高三数学一轮复习讲义（用样本估计总体）教师

课题：用样本估计总体知识点一、频率分布直方图1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的特征数估计总体的特征数．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示eq\f(频率,组距)，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．(2)总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．作频率分布直方图的步骤：作出频率分布表：①求极差（即一组数据中最大值与最小值得差）②决定组距和组数：绘制频数分布表和频数分布直方图时要将一批数据分组，组距和组数的确定没有固定的标准，通常数据越多，所分的组数也越多，当数据在100个以内时，根据数据的多少常分成5─12组．一般地，所分的小组里含最小值，不含最大值，即数据x满足a≤x<b（2）建立直角坐标系：X轴为组距；Y轴为频率/组距4.在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；中位数是所有小长方形的面积相等的分界线；平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和.【典型例题】【例1】（2023·全国·高三专题练习）某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．频率分布直方图中aB．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为110【答案】B【解析】由可得，故A错误前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误故选：B【例2】．（2022·天津滨海新·模拟预测）某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间5，25（单位：百万元）内，将其分成5组：5，9，[9，13，13，17，17，21，21，25，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（

）A．频率分布直方图中aB．估计全部销售员工销售额的中位数为15C．估计全部销售员工中销售额在区间[9，13内有64人D．估计全部销售员工销售额的第75百分位数为17【答案】C【解析】由频率分布直方图可得，解得，故A错误；估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为：（人），故C正确；设中位数为，则，解得，故B错误；因为，故为第百分位数，故D错误；故选：C【例3】．（2022·全国·模拟预测）（多选）某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取1000名市民对该项目进行评分，统计发现评分均在内，把评分分成，，，，，六组，并绘制成频率分布直方图（如图所示）.则下列判断正确的是（

）A．图中a B．该次满意度评分的平均分为85C．该次满意度评分的众数为85 D．大约有34%的市民满意度评分在内【答案】ACD【解析】由频率分布直方图知，由得，故A正确；因为，所以满意度的平均分为80.7，故B错误；由频率分布图可知众数估计为85，故C正确；，由样本估计总体可以认为约有34%的市民评分在内，故D正确.故答案为：ACD.【例4】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0，2)62[2，4)83[4，6)174[6，8)225[8，10)256[10，12)127[12，14)68[14，16)29[16，18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－eq\f(10,100)，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，，所以a＝eq\f(频率,组距)＝eq\f(0.17,2)，课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，，所以b＝eq\f(频率,组距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.【举一反三】1.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的_________；（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.2.（2022·全国·高三专题练习）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92．(1)求n的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由已知可得，．则，得．(2)设中位数为，则，得．(3)按照分层抽样的方法从，内选取的人数为，从，内选取的人数为．记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为，事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种，其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种，由古典概型的概率计算公式得．知识点二、茎叶图茎叶图：定义是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数画法对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处理．对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎优缺点用茎叶图表示数据的优点是：(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到；(2)便于记录和读取，能够展示数据的分布情况．缺点是：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便【典型例题】【例1】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：(1)作出茎叶图；(2)从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0.1.2.3.解：(1)计算得，，从计算结果来看，A药的疗效更好．(2)A药B药60.55689855221.12234678998776543322.1456752103.2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．【例2】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（D）A．9B．10C．11D．13【举一反三】1.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为()A、3B、4C、5D、6【答案】B2.某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；解析：这20名工人年龄的茎叶图如图所示：知识三、用样本的数字特征估计总体的数字特征1．用样本的特征数估计总体的特征数(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差、标准差样本方差标准差.其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．2.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．3.在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；中位数是所有小长方形的面积相等的分界线；平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和.4．平均数与方差都是重要的特征数，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，掌握公式不难求出，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．【典型例题】【例1】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(A)A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53【例2】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数．请说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.【答案】（1）（2）36000；（3）【解析】（）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为同理，在等组的频率分别为，，，，，.由，解得（）由得，位居民月均水量不低于吨的频率为.由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为（3）设中位数为组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以由，解得故可估计居民月均用水量的中位数为吨.【举一反三】1.某市高三学生数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130~140分数段的人数为90人，则90~100分数段的人数为_____.【答案】8102.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.(1)求频率分布直方图中的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人”证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你用样本来估计总体，给出这个分数线的估计值.【答案】(1)，平均数为(2)【解析】(1)由频率分布直方图可知，测试分数位于的频率为，则测试分数位于个数为，所以，测试分数位于的个数为，所以.估计平均数为.(2)因为测试分数位于的频率为，测试分数位于的频率为，能够获得“滑雪达人”证书的中学生测试分数要在前，故设能够获得证书的测试分数线为，则，由，可得，所以分数线的估计值为.【课堂巩固】1.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【答案】D2.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为，若成绩大于等于分的人数为，则成绩在的人数为（）A．B．C．D．【答案】A3.为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.B.C.D.【答案】C4.以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为.【答案】【解析】因为甲组数据的中位数为，由茎叶图可得.因乙组数据的平均数为，则，解得，答案为【课后练习】正确率：__________1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．30【答案】A试题分析：由分层抽样得，从高二年级抽取的学生人数为人.2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（） 【答案】A【解析】从5000份中抽取200份，样本的容量是200，抽取的200份是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体.所以选A.3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（）A．1