高考数学利用洛必达法则解决导数问题

第第页高考数学利用洛必达法则解决导数问题目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：洛必达法则的简单计算高频考点二：洛必达法则在导数中的应用第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆一型及型未定式1定义：如果当（或）时两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大）那么极限（或）可能存在也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.2定理1（型）：（1）设当时及（2）在点的某个去心邻域内（点的去心HYPERLINK邻域内）都有都存在且（3）则：.3定理2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及(2)和在与上可导且(3)那么.4定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及(2)在点的去心HYPERLINK邻域内与可导且(3)那么=.5将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.6若条件符合洛必达法则可连续多次使用直到求出极限为止:,如满足条件可继续使用洛必达法则.二型型1型的转化：或2型的转化：3型的转化：幂指函数类第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：洛必达法则的简单计算1判断下列计算是否正确解：由于中分子记为分母记为不是未定式不能直接使用洛必达法则.2求（本题属于型）解：原式=（属于型继续使用洛必达法则）=（不属于未定型直接将代入分子分母）=3求（本题属于型可使用洛必达法则）解：原式=（不属于未定型直接将代入分母）=04求（本题属于型可使用洛必达法则）解：原式=（不属于未定型直接将代入分子）=05．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子分母同时趋近于0的分式结构称为型比如：当时的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在也可能不存在为此洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【详解】故选：D6．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子分母同时趋近于0的分式结构称为型比如：当时的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在也可能不存在为此洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：则________．【答案】##0.5【详解】故答案为：7．（2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子分母同时趋近于0的分式结构称为型比如：当时的极限即为型两个无穷小之比的极限可能存在也可能不存在．早在1696年洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则）用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限法则的大意为：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：则______．【答案】2【详解】由题可得.故答案为：2.高频考点二：洛必达法则在导数中的应用1．（2021·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立求的取值范围？【答案】【详解】当时原不等式等价于.记则.当时令则可知在上单调递增所以即所以.因此在上单调递减..所以.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值(2)若不等式恒成立求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：,

函数在处取得极值

又曲线在点处的切线与直线垂直解得：(2)不等式恒成立可化为即当时恒成立当时恒成立令则令则令则得在是减函数故进而（或得在是减函数进而）．可得：故所以在是减函数而要大于等于在上的最大值当时没有意义由洛必达法得．3．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数曲线在点处的切线方程为．（1）求的值（2）如果当且时求的取值范围．【答案】（1）（2）（-0]【详解】（1）由于直线的斜率为且过点故即解得．（2）当且时即也即记且则记则从而在上单调递增且因此当时当时当时当时所以在上单调递减在上单调递增.由洛必达法则有即当时即当且时.因为恒成立所以.综上所述当且时成立的取值范围为.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值(2)若不等式恒成立求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：,

函数在处取得极值

又曲线在点处的切线与直线垂直解得：(2)不等式恒成立可化为即当时恒成立当时恒成立令则令则令则得在是减函数故进而（或得在是减函数进而）．可得：故所以在是减函数而要大于等于在上的最大值当时没有意义由洛必达法得．5．（【区级联考】天津市北辰区2019届高考模拟考试数学（理）试题）已知函数（I）求函数的单调区间（II）若在恒成立求的取值范围（III）当时证明：【答案】（I）见解析（II）（III）见解析【详解】（I）由题意知：（1）当时恒成立

在定义域上单调递增（2）当时令解得：则变化情况如下表：极小值的单调减区间为：单调增区间为：

（II）（1）当时原不等式化为：恒成立可知（2）当时则令则

令则当时则在上单调递减

即

在上单调递减

当时

综上所述：（III）（1）当时则由（II）可得时

则只需证明：成立令当时在上单调递增