安徽省皖江联盟2024届高三年级下册4月模拟数学试题及答案

姓名座位号_________________________

（在此卷上答题无效）

数学

本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

GI,

1.已知复数2=-一—,则2的共加复数5=（）

1

A.l+2iB.1-2iC.一l+2iD.-1-2i

2.已知集合A=｛I,2,3｝，6=｛x|x>a｝,则实数a的取值范围是（）

A.^>1B.a<\C.a>3D.a<3

3.已知〃7是宜线，a,夕是两个不同的平面，下列正确的命题是（）

A.若"?〃尸，a〃尸，则〃?〃aB.若〃z_L4，a_1_6，则〃z//a

C.若，〃〃尸，a上尸,则〃？J_aD.若in〃0,m..La,则a_L/?

4.已知数列｛a“｝的前"项和为5“=/+],等比数列也｝满足4=%,4=%，若坛=4“，则〃?=

()

c39+139-

D——

,22

5.已知的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.笫5项B.第6项C,第7项D.第8项

6.已知函数,f（x）=。1一：一2（a〉・且axl）有两个零点，则实数〃的取值范围是（）

C.(1,1)D.

7.已知△A8C的内角A，B,C对边分别为a,b,c,满足qsinA+c(sinA+sinC)=2sin3,若

b=2,则"8。面积的最大值为（）

B./C9D,0

A.--

4632

8.已知函数），=/（x）（xx0）满足/'（4）=/+-1,当x>l时，则（）

A./（K）为奇函数B.若jf(2x+l)>l,则一l<x<0

C.若"2)=3,则〃1024)=_4。・若佃］、

2,则/10

1024,

二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数、f(x)=Asin(3：v+0)(69>0~<（p<^）的部分图象如图，则（）

A.A=>/3B,函数/卜+工的图象关于），轴对称

71

C.函数+在上单调递减D.函数/（Q在（0,2乃）有4个极值点

4

22

10.已知双曲线C：±为=1（«>0.〃>0）左右隹点分别为6，尸2，忻61=4"。经过片的

直线/与C1的左右两支分别交于尸，Q,且△尸QG为等边三角形，则（）

21

A.双曲线C的方程为土-21_

820

B.鸟的面积为84

C,以QK为宜径的圆与以实轴为直径的圆相交

D.以Q名为直径的圆与以实釉为直径的圆相切

11.已知正方体A8CD—的校长为1，尸，。分别为棱GR，8C上的动点，则()

A.四面体PQ18的体积为定值B.四面体尸。A。的体积为定值

C.四面体P0AC的体积最大值为」D.四面体PQ4D的体枳最大值为工

36

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12,一组样本】0,16,20,12,35,14,30,24,40,43的第80百分位数是.

13.已知抛物线)'=。』的焦点产，宜线/过厂与抛物线交于A,8两点，若A(4,4),则直线/的方程为

.AOAB的面积为(O为坐标原点).

14.已知函数/(x)=(x-])sinx+(x+l)cosx,当[0,句时/(x)的最大值与最小值的和为_.

四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数/(x)=A-2-IOA+3/'(1)Inx.

(I)求函数/(x)在点处的切线方程:

(2)求/(x)的单调区间和极值.

16.(15分)

为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比

赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛

学生的情况如下表：

学生ABC

获胜概率0.40.60.8

获胜枳分654

(I)求甲班至少获胜2场的概率：

(2)记甲班获得积分为X,求X的分布列与数学期望.

17.(15分)

将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90°，使得CD至"EF的位置，得到如图所示的几何体.

B

C

3）求证：平面ACF..L平面BDE：

（2）点M为。F上一点，若二面角C-AM—E的余弦值为,，求NM4>.

3

18.（17分）

己知点P在椭圆C：土+21=1的外部，过点「作。的两条切线，切点分别为A,B.

42

（【）①若点A坐标为（x”y）,求证：直线处的方程为苧+竽=1；

②若点P的坐标为（4,为），求证：直线AB的方程为号+替=1：

（2）若点P在圆A2+=4上，求APAB面积的煨大值.

19.（17分）

在平面直角坐标系xO丫中，利用公式「"①（其中a,b,c,"为常数），将点变换

V*=s+dy

为点。（y,），'）的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a,b,

（1）在平面直角坐标系XO.Y中，将点P（3,4）绕原点。按逆时针旋转三得到点P'（到原点距离不变），

求点P'的坐标；

（2）如图，在平面直角坐标系x0y中，将点P（x,y）绕原点0按逆时针旋转a角得到点产（只力（到原

点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)向量OP=(x,)，)(称为行向量形式)，也可以写成:，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐

、ah

标公式①可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积，设人是一

cd,

/

个二阶矩阵，比，M是平面上的任意两个向量，求证：A(成+万)=A/力+A”.

数学参考答案

题号1234567891011

答案DCDACACCBDBDBCD

1.【解析】z-；—=(2+i)i=-142i,故二二—1—2i,故选D.

2.【解析】由已知An(q*)=A,所以今8,又今8=卜k4〃},所以故选C.

3.【解析】选D.

4.【解析】由已知q=2,2时，氏=S〃-S“_]=2〃-1,/?(-a2=3,b2=a5=9>々.=3，故

310+1

2/77—1=310»m—------.故选A.

2

5.【解析】由己知2"=256,故"=8,故通项为7；“=(-1)*02«f口(4=0,

I,…，8),故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由《2«»。:|2八'，解得425.所以选

C.

6.【解析】问题等价于函数)，=■一1|的图像与直线)，=2"，有两个公共点，当0<〃<1时，山图象得

。<2"1,故。<小；当心时由图象得2"2,不符合条件.所以选A.

7.【解析】由已知得。2+。2=〃2-砒，故COS8=-L,所以/8=2三，由。2+。222比，得

233

△A8C面积的最大值为正nc=走，故选C.

43

8.【解析】令x=l，y=-l,则"1)=1；令x=-l,y=-l,则/(-1)=L令)，=一1,得

/（-x）=/（x）,故），=/（刈（X。0）为偶函数.任取司，占6（。,+°0），3<工2，则上>1,

芭

则/（内）=/（4）+/&]-1</（犬2），故）'=/（工）（犬?!：0）在（°，+。。）上为减函数.由已知

kXlJ

/（2x+l）>l,可得/（|2x+l|）>/⑴，故|2x+l|<l,解得一l<x<0,且xw—；.若/（2）=：,则

/（1024）=/（2'<>）=/（29）+〃2）-1=10八2）一9=-4,故选C.

'7乃712乃

9.【解析】由图可知/（x）的周期为：T=2=兀，又7=丝，所以切=2：

A2~nco

7rle[八口乃乃「匚”乃

rhJ—=0,sin—+0=0,且——＜伊＜一，所以勿=——:

U2Jk6)226

由/（。）=塔，所以A=-JJ,故A错误：所以/（x）=-J£in（2工一看

因为/(x+qj=-2sin2.r+y

=-2cos2x为偶函数，B正确;

XG(0,z，则2x6(0,万)故/若在0,（上单调递增，c错误;

—G，乎1=石，故D正确。所以选BD。

因为佃:一后/信卜G/信）

V6J

10.【解析】由已知得PQ=。鸟=。尸2，由双曲线定义知：PFt=QFt-QF2=2a,

PF2=PF}4-2r/=4r/,故。用=4〃，QF1=6a,

在△(?匕居中，由余弦定理得：1642+367-2x24/xg=16x7,

解得：/=4,所以〃2=24,方程为二一乙=1,A错误。

424

jR

△心Fz的面枳为S=]X8/X5=8,B正确。

取。片的中点例，。例=3。鸟=3（。e一2"）=3。"一”，两圆内切，故C错误。

取Q6的中点N,则=3（QE+2a）=gQ鸟+a,两圆外切，故D正确。

Jo

11.【解析】因为△A8Q的面枳为羊，。到平面A8P的距离不是定值，故A错误:

因为△A。。的面枳为q，P到平面A。。的距离为李，体枳为:，故B正确；

因为△QAC的最大值为*,P到平面ACQ的最大距离为2?,

।ZT71

故四面体PQAC的体枳最大值为？x拳x手=§,故C正确.

过点Q作G月〃8C,PM.LDG,PNLCD,

设CG=z,PR=s,则r,se[O/上

=gAD>DG=：Jl+/,PM=DG=11+户,OM=DMs'mCDG=(t+s)

、tl-.v

CP=J1+7—"')E=k

故四面体PQAD的体枳为丫=[x』=—sr）,其最大值为1,故D正确.

32Vl+^66

12.【答案】37.5【解析】从小到大排序为：10,12,14,16,20,24,30,35,40,43：10x80%=8.

故第8。百分位数是37.5.

13.【答案】3x—4），+4=・，1【解析】由已知得“=（抛物线的方程为/=4丫，所以打0,1）,

直线/的方程为F=，K+I,与1=4），联立整理得Y-3x—4=0,

故N=4,々=一1,取△QAB的面枳为S=1\OF\-(归|+昆|)=|.

(6}

14.【答案】--1【解析】

、4,

ff^x)=sinx+(x-1)cosx+cosx-(A+l)sinx=A(cosx-sinx),

当0,()时，/'(X)>O，/(x)递增；当时，r(x)<°，/(x)递减;

/(x)gx=/("=与，/⑼=1,/⑺=-(1+1)，/(虫,=-5+1)

..(历、

故最大值与最小值的和为：I--4---1)7T—1.

15.【解析】(1)由已知/'(x)=2x-l()+“S,

X

所以/"(])=—8+3/'(1),解得/'(1)=4,故/(x)=V—Kir+I21nx,/(|)=-9

所求切线方程为：)，+9=4(x—】)，即)，=4x—13

(2)由已知函数/(力=心一10x+121nx,定义域为(0,+oo)

..122(F-5X+6)

f'(x}=2X-I0+-=---------L,

XX

由r(x)=0,解得x=2或x=3

随x的变化r(X)和/(X)的变化如下

X(0,2)2（2,3）3（3，同

/'（X）+0—0+

/（X）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

函数/（X）单调递增区间为（0,2）和（3,400）,单调递减区间为（2,3）

当x=2时，/（X）取得极大值/（2）=-16+12ln2,

当x=3时，/（x）取得极小值/⑶=-21+12In3

16.【解析】（1）记A,B,C1参赛获胜事件分别记为A,8,C表示，参赛失败分别记为彳，B,

c.

所以P（A）=0.4,P（Z?）=0.6,P（C）=0.8,P（A）=0.6,P（8）=0.4,P（t）=0.2

则甲班至少获胜2场事件记为M,则M=ABC+ABC+ABC+ABC

P（〃）=P（ABC）+P（ABC）+P（A8C）+P（ABC）

=P（A）P（3）P（C）+P（A）P（3）P（e）+P（A）P„（C）+P（Z）P（3）P（C）

=0.4x0.6x0.8+0.4x0.6x0.2+0.4x0.4x0.84-0.6x0.6x0.8=0.656

所以甲班至少获胜2场的概率为0.656

（2）由已知X取俵为0,4,5,6,9,10,11,15,

P（X=0）=P（ABC）=0.6x0.4x0.2=0.048,P（X=4）=P（ABC）=0.6x0.4x0.8=0.192,

p（X=5）=P（ABC）=0.6x0.6x0.2=0.072,P（X=6）=P[ABC）=0.4x0.4x0.2=0.032,

P（X=9）=P（ABC）=0.6*0.6x0.8=0.288,P（X=10）=P（ABC）=0.4x0.4x0.8=0.128.

P（X=11）=P（ABC）=0.4x0,6x0,2=0.048,P（X=】5）=P（ABC）=0.4x0.6x0.8=0.192,

所以

E（X）=0x0.048+4x0.192+5x0.072+6x0.032+9x0.288+10x0.128+11x0.048+15x0.192

=0.768+0.360+0.192+2.592+1.280+0.528+2.880=8.600

17.【解析】（I）由已知得平面A3O?_L平面AHE/，AFA.AB,所以AE-L平面A3C。

因为3Ou平面A3CQ,故.BD工AF

因为ABC。是正方形，所以3OJ.AC

AC,AEu平面ACE,ACAF=A,_L平面ACE

又Z?Ou平面BDE,所以平面ACFL平面BDE。

（2）又（1）知：AD,AF,A3两两垂直，

以A。，AF,A3所在直线分别为、，.y,z轴，建立空间直角坐标系如图。

设NM4O=a,AB=\,

则A（0,0,0）,M（cosa.sincr,O）,C（l,0,l）>£（0,1,1）.

故AM=(cosa,sina,0),AC=(1,0,1),AE=(0,1,1)

设平面4WC的法向量为历=(N，x，zJ,则〃，AC=0,mAM=0

故修+…

取N=sina,则y=-cosa，4=-sina

与coscr4-ysina=()

所以〃？二(sina,-cosa,-sina)

设平面AME的法向量为H=(苍n-AE=0,n-AM=0

故422,取x,=sina,则y,=—cosa，z,=cosa

x2cosa+_y2sina=0

所以"=(sina,-cosa,cosa)

1-sinacosa

所以cos(〃i,〃)=

Vl+sin2a-Jl+cos:a

1-sinacosa

由已知得

Jl+sirfaJl+cos2a3

化筒得：2siM2a-9sin2a+7=(),解得sin2a=1或sin2a=1(舍去)

2

故a=45°,即NMAD=45°

18.【解析】（1）①当PA斜率存在时，X=（），设PA方程为：.y-x=Nx-x）

与C：亍+日=1联立整理得：(1+2Z;2)A:2+4A:(.v,-ALV,).V+2(.y,--tr,)2-4=0,

由己知得：16G(y-31—4(1+2代)12(x—何y-q=0

化简得：(4—x：)X+2.qy«+2—y：=0

因为X：+2)：=4,则4y：Z*+4M.y/+x；=0,

即(2.y/+xj2=0,所以A=一七

L

QA方程为：V-.V,=-T-(X-XI),即乎i+2yy=X；+2.Y；,

故直线PA的方程为3三+型=1

42

当Q4斜率不存在时，y=（），直线Q4的方程为x=2或x=-2满足上式。

所以宜线田的方程为生+型=1

42

②由①知，设B点坐标为(工,)、)，则直线PB的方程为于+罗=I

由点Q的坐标为(%..%),则个+号=1,牛+苧=|,

故直线AB的方程为3三+上宜=1

42

(2)由(1)知直线AB的方程为至+%'=1,由题意知%HO,

42

22

与C：?+'=1联立整理得：(片+2)，：卜2-84/+]6—8$=0

因为、+)，：=4,所以△=64片一4(所+2)%)(16—84)=32)%

为，…=咛孥

因为A(*,.yJ，巩%,乃)，则为+再=~，驾；；

汇+2yoVo+4-得+4

点Q到直线A8的距离为：d=k>：2)2_q=^・:

«+4474+3>0

所以△QAB面积S=gMMd=自兴(.％*0)

石炉,、血(短+12)

当0<"2时，令/(.%)=金，所以，(先)=•」二、」>0,

为+4()，；+4)

故/(%)在(0,2]单调递增，所以/(%)的最大值为/⑵=&

由对称性可知△PA8面积的最大值为五

34

19.【解析】(1)可求得OQ=O/=5,设/QQx=8,则COS8=2,si