2024届陕西省西安市高三下学期三模数学数学试卷（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省西安市2024届高三下学期三模数学试卷（理）第I卷一､选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，，所以，故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以.故选：D.4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为的样本，并将得到的数据分成，，，四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在的同学有24人，则（）A.80 B.60 C.100 D.50〖答案〗A〖解析〗由频率分布直方图可得，支出在频率为.根据题意得，解得.故选：A.5.已知双曲线与抛物线有相同的焦点，点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知抛物线的焦点为，所以.又因为点到双曲线的一条渐近线的距离为2，所以，从而，.故选：D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为4，则输入的的可能值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗C〖解析〗由题意得，若输出的的值为4，则，或，或，解得或或，所以输入的的可能值有3个.故选：C.7.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率.故选：B.8.圆被直线截得的弦长的最小值为（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗直线可化为，故直线恒过点.圆的圆心为，半径为当直线垂直于直线时，截得的弦长最短，此时弦长.故选：B.9.将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是的图象的一条对称轴，则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.在上单调递减 D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗由题意知，因为直线是的图象的一条对称轴，所以，故，因为，所以，为非奇非偶函数，所以A选项错误.因为，则，所以在上单调递减，所以C选项正确.因为，所以为奇函数，所以B选项错误.当时，，所以在上单调递减，所以D选项错误..故选：C10.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故.故选：A.11.已知数列的首项，则（）A.7268 B.5068 C.6398 D.4028〖答案〗C〖解析〗易知，因为，所以，即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.所以，即.故选：C.12.在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，点分别是直线上的动点，记直线与所成角为，则当最小时，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥的外接球即三棱柱的外接球，因为三棱柱为直三棱柱，所以其外接球球心为上、下底面三角形外心和连线的中点.由题意，是平面内的一条动直线，所以的最小值是直线与平面所成角，即问题转化为求直线与平面所成角的正切值.不妨设正方体的棱长为2，则.因为为等腰三角形，所以外接圆的直径为，则，从而.如图，以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，则.故选：D.第II卷二､填空题13.已知向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知函数是奇函数，当时，，则的图象在点处的切线斜率为__________.〖答案〗〖解析〗当时，，则，此时，所以，所以.故〖答案〗为：15.已知正项等比数列的前项和为，若，则___________.〖答案〗〖解析〗设的公比为，则，解得或（舍去）.所以.故〖答案〗为：16.已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________.〖答案〗15〖解析〗因为，所以当时，，则；令，得，所以的系数为.设的系数的绝对值最大，则，解得，因为，，所以，故系数的绝对值最大的项的系数为.故〖答案〗为：；.三､解答题（一）必考题17.在中，内角的对边分别为,且.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）由及正弦定理，得，∴，∴.∵，为三角形的内角，∴，∴.∵，∴.（2）由知，由余弦定理得，∴，∴，∴.18.每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数101520255赞成的人数61220122（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.则，，．所以的分布列为234所以19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为的中点,是棱的中点，.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的大小.（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴.∵，∴，即.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵平面，平面平面.（2）解：由（1）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，.设平面的一个法向量为，则令，得.取平面的法向量，记二面角为，则.由图可知为钝角，所以二面角的大小为.20.已知函数.（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.（1）解：当时，，定义域为，，当时，；当时，.可知在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值.（2）证明：，因为，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，.所以的最小值为，因为，所以在上存在一个零点；因为，可知在上也存在一个零点；所以，故.21.已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且.（1）求点的轨迹的标准方程；（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，记点到直线的距离分别为，求的最大值，并求出此时点的坐标.解：（1）由，可知为线段的中点，又，所以是线段的垂直平分线，故.因为点在直线上，所以.由椭圆的定义可知，点轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，解得，另当点坐标为时，与重合，不符合题意，故的标准方程为.（2）设，所以曲线点处的切线的方程为，又因为切线过，所以.同理可得，故直线的方程为.所以.因为直线的方程为，所以，.又因为在直线的两侧，所以，所以，令，，则，当，即时，有最大值，此时点的坐标为.（二）选考题【选修4一4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线相交于点，将逆时针旋转后，与曲线相交于点，且，求的值.解：（1）由曲线的参数方程为，（为参数），可得其普通方程，由，得曲线的极坐标方程，由，得曲线的直角坐标方程.（2）将代入，得.将逆时针旋转，得极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得.由，得，.即，解得.因为，所以.【选修4一5：不等式选讲】23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：.（1）解：.即，或，或解得或，所以原不等式的解集为或.（2）证明：由（1）知当时，有最小值，所以，.因为，所以，因为，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，时取等号.陕西省西安市2024届高三下学期三模数学试卷（理）第I卷一､选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，，所以，故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以.故选：D.4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为的样本，并将得到的数据分成，，，四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在的同学有24人，则（）A.80 B.60 C.100 D.50〖答案〗A〖解析〗由频率分布直方图可得，支出在频率为.根据题意得，解得.故选：A.5.已知双曲线与抛物线有相同的焦点，点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知抛物线的焦点为，所以.又因为点到双曲线的一条渐近线的距离为2，所以，从而，.故选：D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为4，则输入的的可能值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗C〖解析〗由题意得，若输出的的值为4，则，或，或，解得或或，所以输入的的可能值有3个.故选：C.7.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率.故选：B.8.圆被直线截得的弦长的最小值为（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗直线可化为，故直线恒过点.圆的圆心为，半径为当直线垂直于直线时，截得的弦长最短，此时弦长.故选：B.9.将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是的图象的一条对称轴，则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.在上单调递减 D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗由题意知，因为直线是的图象的一条对称轴，所以，故，因为，所以，为非奇非偶函数，所以A选项错误.因为，则，所以在上单调递减，所以C选项正确.因为，所以为奇函数，所以B选项错误.当时，，所以在上单调递减，所以D选项错误..故选：C10.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故.故选：A.11.已知数列的首项，则（）A.7268 B.5068 C.6398 D.4028〖答案〗C〖解析〗易知，因为，所以，即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.所以，即.故选：C.12.在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，点分别是直线上的动点，记直线与所成角为，则当最小时，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥的外接球即三棱柱的外接球，因为三棱柱为直三棱柱，所以其外接球球心为上、下底面三角形外心和连线的中点.由题意，是平面内的一条动直线，所以的最小值是直线与平面所成角，即问题转化为求直线与平面所成角的正切值.不妨设正方体的棱长为2，则.因为为等腰三角形，所以外接圆的直径为，则，从而.如图，以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，则.故选：D.第II卷二､填空题13.已知向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知函数是奇函数，当时，，则的图象在点处的切线斜率为__________.〖答案〗〖解析〗当时，，则，此时，所以，所以.故〖答案〗为：15.已知正项等比数列的前项和为，若，则___________.〖答案〗〖解析〗设的公比为，则，解得或（舍去）.所以.故〖答案〗为：16.已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________.〖答案〗15〖解析〗因为，所以当时，，则；令，得，所以的系数为.设的系数的绝对值最大，则，解得，因为，，所以，故系数的绝对值最大的项的系数为.故〖答案〗为：；.三､解答题（一）必考题17.在中，内角的对边分别为,且.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）由及正弦定理，得，∴，∴.∵，为三角形的内角，∴，∴.∵，∴.（2）由知，由余弦定理得，∴，∴，∴.18.每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数101520255赞成的人数61220122（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.则，，．所以的分布列为234所以19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为的中点,是棱的中点，.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的大小.（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴.∵，∴，即.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵平面，平面平面.（2）解：由（1）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，.设平面的一个法向量为，则令，得.取平面的法向量，记二面角为，则.由图可知为钝角，所以二面角的大小为.20.已知函数.（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.（1）解：当时，，定义域为，，当时，；当时，.可知在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值.（2）证明：，因为，所以在上单调递增，又因为