辽宁省抚顺市十中2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

辽宁省抚顺市十中2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

3害用手…用半

2.定义在上的函数—满足二二42二•，且—为奇函数，贝！J-的图象可能是（）

3.复数4在复平面内对应的点为（2,3）/2=—2+z•，则五=（

Z2

18.18.18.

A.-----\--iB.----------1C.-1+—z

55555

22

4.已知耳、骂分别为双曲线—[=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过耳的直线/交C于A、B两点,。

ab

为坐标原点，若。4,8耳，|AFJ=|B月|,则。的离心率为（）

A.2B.75C.76D.V7

5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所

示（单位：寸），若乃取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为（）

5.4

正视国侧视图

俯视图

A.3B.3.4C.3.8D.4

47r

6.如图，用一边长为形的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为号的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

A,包C01D.'I

22'22

7.已知四棱锥P-A3CD中，24,平面ABC。，底面ABC。是边长为2的正方形，PA=5E为PC的中点,

则异面直线无与所成角的余弦值为（）

.V13„713„V15「岳

393955

8.若函数/（》）=℃3+3必+6在x=l处取得极值2,贝！Ja—匕=（）

A.-3B.3C.-2D.2

)

10.已知双曲线C:£-E=l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为。，且cos6=也，则该双曲线的离心率为()

。b-5

A.J?B.@C.2D.4

2

11.已知函数/(x)=x2—2x,集合A={%"(%)<O},B={x\f\x)<Q],则AB=()

A.[-1,0]B.[-1,2]

C.[0,1]D.(^»,l]o[2,+a))

12.如图，四边形ABC。为平行四边形，E为A5中点，产为CD的三等分点（靠近。）若AP=xAC+yOE,则

丁一x的值为（）

DF

B

121

A.——B.——C.——D.-1

233

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x+y>2

13.若羽y满足约束条件y—2W0,则2=》+»的最大值为

2x-y<2

14.在AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,若sinA+sinB=J^sinC，且c=l,则AABC面积的

最大值为.

15.已知数列｛a'｝的前〃项和为S“，S„=2（an+1）,则满足S“=-126的正整数”的值为.

16.在平面直角坐标系X0Y中，双曲线二-二=1（a>0,b>0）的左顶点为A,右焦点为F,过尸作x轴的垂

ab~

线交双曲线于点P,。.若AAPQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆。:'+9=1的左、右焦点分别为耳,巴，直线/垂直于x轴，垂足为丁，与抛物线y2=4x交于

不同的两点RQ,且耳?—巴。=—5,过尸2的直线机与椭圆。交于48两点，设=且几且—2,—1].

(1)求点T的坐标；

(2)求|出+尊|的取值范围.

「x—m2

18.(12分)在平面直角坐标系X0V中，曲线C的参数方程为〈(机为参数).以坐标原点。为极点，x轴正半轴

y=2m

为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin3-夕cos6+1=0.

(I)求直线/的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

,、11

(II)已知点P(2,l),设直线/与曲线C相交于两点，求回j+西的值.

19.(12分)如图，四棱锥尸-A3CD的底面ABC。中，AABD为等边三角形，5CD是等腰三角形，且顶角

ZBCD=120°,PC±BD,平面平面ABC。，以为必中点.

(1)求证：£>“//平面尸5C；

(2)若PD工PB,求二面角C—B4—3的余弦值大小.

20.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直

方图，以样本的频率作为总体的概率.

(1)估计这100人体重数据的平均值〃和样本方差a?；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在［55,65)的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重y近似服从正态分布N(〃02).若

P(^-2o-<Y<p+2a)>0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

21.(12分)在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长

X—y/3—tn

度单位.已知直线1的参数方程为广。为参数)，曲线C的极坐标方程为p=4sin(0+£).

y=l+y/3t3

(1)求直线1的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线1与曲线C交于M,N两点，求AMON的面积.

22.(10分)某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为P,现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前

每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若

每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每左个(左＜5)一组进行分组检验，如

果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件

产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+左次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验

次数为X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)试说明，当P越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当。=0」时，求使该方案最合理时上的值及1000件该产品的平均检验次数.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.

【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆

锥的体积v=lx-x4^x2^=小殳，下半部分的正三棱柱的体积^=1x4x2^x4=1673，故该几何体的体积

1233'2

丫=匕+匕=当^+166.

故选:D.

【点睛】

本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

2、D

【解析】

根据—■为奇函数，得到函数关于中心对称，排除",计算:三'二排除，得到答案.

【详解】

—■为奇函数，即(匚+：,=­,~,函数关于〔中心对称，排除.

二…＜，一=•,二，排除.

故选：二.

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.

3、B

【解析】

求得复数百，结合复数除法运算，求得五的值.

【详解】

z,2+3z_(2+3z)(-2-z)_(2+37)(—2-z)&18.

易知马=2+37,则一=----------1

-2+z(-2+z)(-2-z)55

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

4、D

【解析】

作出图象，取A8中点E,连接E尸2,设尸iA=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7层，进而得

到e的值

【详解】

解：取A3中点E,连接EF2,则由已知可得尸2,

设尸iA=x,则由双曲线定义可得A尸2=2a+x,BFi-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,贝!|EF2=2白a,

由勾股定理可得(4a)2+(273«)2=(2c)2,

所以d=M,

【点睛】

本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题，关

键是列出含有中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.

5、D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为％3,1和

一个底面半径为高为5.4-x的圆柱组合而成.

该几何体的表面积为

2（x+3x+3）+^■•（5.4-%）=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

6、D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为。'，球心为。,

4c4〃*

由题意，球的体积为之，即一乃K=，可得球。的半径为1,

333

又由边长为0的正方形硬纸，可得圆0'的半径为:，

利用球的性质可得='俨一0)2=手，

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为

2

所以球心到底面的距离为^+-=叵口.

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

7、B

【解析】

BEPD

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos(3E,PD)=即可得解.

BE|.|PD|

【详解】

24,平面ABC。，底面ABC。是边长为2的正方形,

,如图建立空间直角坐标系，由题意:

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,石），D（0,2,0）,

E为PC的中点，

BE=T以，PD=（0,2,一⑹,

1

cos^BE,PD^BEPD__万_V13

|BE|.|PD|-VB39

2

二异面直线班与P。所成角的余弦值为cos(BE,PD\即为巫.

、/39

故选：B.

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

8、A

【解析】

对函数f(x)求导可得[二.，即可求出。力，进而可求出答案.

J(1)=2

【详解】

因为/0)=加+3厂+6,所以八%)=3叱+6%,则1,/,、,c，解得"=-2/=1,则。一A=一3.

j(X)=a+3+b=2

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

9、A

【解析】

7F

用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用/(K)<0排除&用/(])〉4排除。.故只能选A.

【详解】

因为/(—X)=6.(一》-(~x)2==/(X),

41+(-媛yjl+x2

所以函数/(X)为偶函数，图象关于V轴对称，故可以排除C；

...兀21

/(〃)=6smm~■=1-<1--——=1-1=0

因为J1+7I11T，故排除3,

\2+2

,1>6--,144

I型+3］应+生=6-存〉6_：=6_2=4由图象知，排除骨.

,72N不十早”

故选:A

【点睛】

本题考查了根据函数的性质，辨析函数的图像，排除法,属于中档题.

10、A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为c,由题意9e［0,万）

又cos6=好，则sin6=也，tan6=2,-=2,所以离心率《=£==6,

55aa飞［aJ

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

11、C

【解析】

分别求解不等式得到集合AB，再利用集合的交集定义求解即可.

【详解】

A={x|x2-2x<0}={.r10<x<2}={x|2x-2W0}={x|xWl},

：.A8={x|0WxWl}.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算，难度容易.

12、D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出.

【详解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

—.1一1

又AF=xAC+y£>E=x（AB+A。）+近万AB—AD）=（x+万y）AB+（x—y）AD

r115

y1x=—

XH———Qt

23解得/所以y—x=-1

x-y=iy=--

故选：D

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】

作出可行域如图所示：

目标函数2=x+y,即为y=—x+z,平移斜率为-1的直线，经过点4(2,2)时，z〃皿=2+2=4.

14、叵

4

【解析】

利用正弦定理将角化边得到a+6=6,再由余弦定理得到cosC=2-l,根据同角三角函数的基本关系表示出

ab

sinC,最后利用面积公式得到5=!出^也。=!。/—[2]+HJ—1+2",由基本不等式求出ab的取值

22\\abab2

范围，即可得到面积的最值;

【详解】

解：•.,在AABC中，sinA+sinB=A/3sinC»**a+b=A/3C=A/3，

."a2+b2-c2(a+b)2-lab-c11.

••cosC----------------------------------------------1,

■:a+b«22寂,即0<。人《金，当且仅当a=6=走时等号成立，

42

：.S=-yj-l+2ab<-.I-1+2x3=旦，：.AABC面积的最大值为—.

22V444

故答案为：在

4

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.

15、6

【解析】

已知S“=2(%+1),利用a“=S〃-S“T=2a“-2a“_i，求出｛%,｝通项，然后即可求解

【详解】

；SR=2(%+1),.,.当〃=1时，S[=2(.+1),二q=-2；当〃22时，an-Sn-Sn_x-2an-2a,：.an=2an_1,

故数列｛q｝是首项为2公比为2的等比数列，二4=—2".又5,=2(q+1)=—126,二。"=-64,二—2"=—64,

n=6.

【点睛】

本题考查通项求解问题，属于基础题

16、2

【解析】

人2

根据AAPQ是等腰直角三角形，且R为P。中点可得A尸=。尸，再由双曲线的性质可得a+c=幺，解出e即得.

【详解】

由题，设点P(c,%),由炉y2,解得y土一，即线段PR=L,AAPQ为直角三角形，

-------—=1(〃>0,/7>0)ua

b

Jl

ZPAQ=-9且AP=AQ,又尸为双曲线右焦点，P2过点尸，且轴，.•.”=p尸，可得〃+c=幺，

2a

2_2

:.a+c=^-^-,整理得：2a~+ac-c2=0.即e?—e—2=0,又e〉l,，e=2.

a

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)T(2,0)；(2).

8

【解析】

(1)设出RQ的坐标，代入々P•耳。=-5,结合RQ在抛物线/=4x上，求得RQ两点的横坐标，进而求得T

点的坐标.

(2)设出直线机的方程，联立直线机的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合月4=；1月6,求得|Z4+ZB(的表达

式，结合二次函数的性质求得|力4+窃|的取值范围.

【详解】

(1)可知6(一1,0),耳(1,0),

设P(%，%)，Q(Xo，—%)

22

则用•加=-5=(%+1,%)•(x0-l,-y0)=x0-l-y0,

又y2=4x,

所以-5=Xo?-1-4%0

解得%=2,

所以T(2,0).

(2)据题意，直线加的斜率必不为0,

所以设m:x=什+1,将直线m方程代入椭圆c的方程中,

整理得(7+2)3+22-1=0,

2t

贝11%+%=-涔宾①

1

②

因为耳4=4耳5,

所以％=%%，且x<0,

将①式平方除以②式得M+当+2=--^―

%Xt-+2

所以2+_1l+2=-4t

2『+2

2

同-2,-1],又解得0K产咛

4(/+1)

又7A+7B=(%+X2_4，X+%)，玉+/_4=(％+%)_2=--——

.।ooo

­

所以L4+TB=(x1+x2-4)­+(y1+y2)=16--3—+—~-y

f+/(尸+2)

1

令”=

7+2

7J_

则“e

16,2

所以网+研2=8/—28〃+16=8—j-ye4,箸

、

TUAT+TUlBTer2,吆12L6

[8

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

4

18、(I)直线/的直角坐标方程为x—y—1=0；曲线C的普通方程为V=4x；(II)

【解析】

（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得4+^=2夜，柩2=-14,而根据直线参数方程的几何意义，知

1=j（4+，2）一竺代入即可解决.

1PMl网剧团kJkzlMM

【详解】

（I）由x=pcos0,y=psin0,

可得直线1的直角坐标方程为x-y-1=0.

由曲线C的参数方程，消去参数机，

可得曲线C的普通方程为y2=4x.

f°V2

X—2H-----1

（n）易知点P（2,I）在直线/上，直线/的参数方程为:.为参数）.

y=l+—t

[-2

将直线I的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得f-2万-14=0.

2

设4是方程t-2万—14=0的两根，则有tx+t2=2夜/人=-14.

,1।1=\1=.+闵」。-2|=J（G+-）2—4%

"\PM\回一|他|一|%|一M

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

19、（1）见解析；（2）叵

7

【解析】

（1）设中点为N,连接MN、DN,首先通过条件得出CBLAB,加。NLA5,可得DN//BC,进而可得

DN//平面PBC,再加上ACV//平面尸3C,可得平面DMN//平面尸5C,则DW7/平面尸5c；

（2）设血中点为。，连接A。、CO,可得尸O_L平面ABCD,加上班），平面PCO,则可如图建立直角坐标系

O-xyz,求出平面R钻的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：设AB中点为N,连接MN、DN,

・.A血为等边三角形，

DNLAB,

DC=CB,ZDCB=12Q°,

.-.ZCBD=30°,

ZABC=600+30°=90°,即CBLAB,

rDNLAB,

：.DN//BC,

BCu平面PBC,Z)N<z平面PBC,

:.DN//平面PBC,

MN为△PAB的中位线，

:.MN//PB,

Mu平面P3C,MNa平面「5C,

:.MN//平面PBC,

MN、ON为平面DAW内二相交直线，

•••平面DMN//平面PBC,

DMu平面DMN,

」.£)M7/平面尸5c；

(2)设6。中点为。，连接AO、CO

m为等边三角形，5CD是等腰三角形，且顶角NBCD=120。

:.AO±BD,COVBD,

,-.A>C、。共线，

PC±BD,BDLCO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POu平面PCO

:.BD±PO

平面平面ABCD,交线为BD,POu平面尸况)

.,.PO_L平面ABC。.

设AB=2,则AO=3

在5CD中，由余弦定理，得：BD2=BC~+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又BC=CD,

22=2BC2-2BC2-cos120°，

百_百

...CrnJD—_rCzryi-_-2----，CC7-，

33

PD±PB,。为BD中点，

PO=-BD=1,

2

建立直角坐标系O-孙z(如图)，则

C-日,0,0,P(0,0,l),A(AO,O),5(0,1,0).

I37

.-.BA=(A/3,-1,0),PA=(A/3,0,-1),

设平面R43的法向量为“=(x,y,z),贝！I，

n-BA=Q\f3x-y=0

n-PA=06x-z=0

取x=l,则＞=2=0，

平面PAC的法向量为OB=(0,1,0),

/八小n-OB0T

\/M网7，

二面角C—K4—8为锐角，

二二面角C—K4—8的余弦值大小为叵.

7

【点睛】

本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.

20、(1)60；25(2)见解析，2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析

【解析】

(1)根据频率分布直方图可求出平均值〃和样本方差

(2)由题意知X服从二项分布6(3,0.7),分别求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),尸(X=3),进而可求

出分布列以及数学期望；

(3)由第一问可知y服从正态分布N(60,25),继而可求出尸(50<F<70)的值，从而可判断.

【详解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60—47.5y+(72.5—60月x0.02+[(60—52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.5)2+但5—60)2]x0.35标25

(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7.

随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X服从二项分布5(3,0.7),

则P(X=0)=Cx0.7°x0.33=0.027,尸(X=1)=C；x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=Cfx0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列为：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

数学期望EX=3x0.7=2.1

(3)由题意知F服从正态分布N(60,25),

则P(〃-2CTWF<〃+2cr)=P(50<7<70)=0.96>0.9544,

所以可以认为该校学生的体重是正常的.

【点睛】

本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没

有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.

21、(1)直线/的普通方程为括x+y—4=0.曲线C的直角坐标方程是圆：(X