甘肃省酒泉市2024届高二年级上册数学期末考试试题含解析

甘肃省酒泉市2024届高二上数学期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线必=-2y的焦点坐标是()

A.(0,-1)B.(-1,0)

2222

2.已知椭圆土+匕=1与椭圆，+上—=1(左＜4),则下列结论正确的是()

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.焦距相等D.离心率相等

3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项

目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种

C.240种D.480种

4.直线5x—2y—10=0在％轴上的截距为在丁轴上的截距为6,则有()

A.a=2,b=5B.a=2,Z?=—5

C.a——2,b=5D.a=—2,b=—5

5.在等比数列｛4｝中，4=1，%=3,则以等于()

A.-5B.5

C.-9D.9

22

6.已知椭圆C：5+9=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为工，下顶点为A,直线与椭圆。的另一个交

点为B,若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为()

1B

A.-j

33

C.1D也

22

7.若数列｛4｝的前“项和S〃=〃-l（teR）,则此数列是（）

A.等差数列B.等比数列

C.等差数列或等比数列D.以上说法均不对

8.已知数列｛4｝,'=，则下列说法正确的是（）

n+4n-1

A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是名

C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是出

9.在正方体A3CD—4与£，中，AQ=xAAl+yAB+zAD,贝！|(羽y,z)=()

A.(1,1,1)B.(1,1,0)

C.(l,l,-1)D.(l,0,-l)

10.已知｛4“｝为等比数歹1].%=2,%=8,则%=（）

A—4B.4

C.—4或4D.16

11.已知数列｛g｝的前〃项和5〃=①产"，且4=2,则跖=（）

A.28B.32

C.56D.64

12.下列结论正确的是（）

A.若〃>人，则,〉，B.若"v/,则〃

ba

C.若a>b,c>d贝！D.若贝!

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知耳,B是双曲线E：二一与=1（。〉0]〉0）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过

ab

月作耳角平分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点.若|ON|I=FUF^I,则双曲线E的渐近线方程为

6

14.若直线丁=履+2与双曲线d一>2=6的右支交于不同的两点，则上的取值范围________

15.若函数/（幻=2/一。尤2+1（。©尺）在（0,+oo）内有且只有一个零点，则a的值为

16.如图，在棱长为1的正方体ABC。-44GA中，点M为线段3,上的动点，下列四个结论:

①存在点M,使得直线AM与直线片。夹角为30。；

②存在点M,使得GM与平面做C夹角的正弦值为走；

3

③存在点V,使得三棱锥A-GDM体积为吃；

④存在点M,使得。>万，其中&为二面角河-朋-3的大小，£为直线与直线A3所成的角

则上述结论正确的有.（填上正确结论的序号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆三+为=1（。〉。〉0）的离心率为孝，短轴长为2血

（1）求椭圆的标准方程;

（2）已知P（0,l）,A,5分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为占的直线交椭圆于另一点E,连接EP并延长交

椭圆于另一点凡记直线3歹的斜率为左2.若勺=3&,求直线E户的方程

18.（12分）已知等差数列｛4｝的前“项和为"，若公差S4=14且%,a3,%成等比数列•

（1）求｛&｝的通项公式；

（2）求数列」一J的前”项和北.

[44+1J

19.（12分）已知抛物线C：y2=2px（〃>o）上的点（2,。到焦点户的距离为4

（1）求抛物线。的方程;

（2）设纵截距为1的直线/与抛物线。交于A,3两个不同的点，若E4.EB=4,求直线/的方程

20.（12分）已知焦点为F的抛物线。：＞2=2内（口〉0）上一点尸（2/）到下的距离是4

（1）求抛物线C的方程

（2）若不过原点O的直线/与抛物线C交于4,3两点（A,B位于x轴两侧）,C的准线/,与x轴交于点E,直线OA,OB

与4分别交于点M,N,若|ME|-|NE|=8,证明：直线/过定点

21.（12分）已知椭圆E：W+与=1（。〉6〉0）过点（0,、历），且离心率e=R2.

a~b2

//

（1）求椭圆E的方程；

9

（2）设直/:%=四一1（加€尺）交椭圆£于4,8两点，判断点G（—-,0）与以线段A3为直径的圆的位置关系，并说

4

明理由.

22.（10分）已知数列｛斯｝满足q=g,a“+i=；a.+g!，"eN*

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛斯｝的前"项和S,

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】根据抛物线标准方程，可得P的值，进而求出焦点坐标.

【题目详解】由抛物线/=-2y可知其开口向下，p=l,所以焦点坐标为

故选：C.

2、C

【解题分析】利用左＜4,可得9-左＞4—左＞0且9一左一（4一口=9-4,即可得出结论

【题目详解】•.•左＜4,

9一左＞4—左＞0且9一左一（4一左）二9一4,

r2V2Y2y2

二椭圆三+匕=1与椭圆，+J=1（左＜4）的关系是有相等的焦距

949—k4一左

故选：C

3、C

【解题分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排歹U,乘法原理

求得.

【题目详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选

2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的

元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【题目点拨】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求

解.

4、B

【解题分析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.

【题目详解】直线方程5x-2y-10=0化成截距式为|+^=1,

所以a=2,b=-5

故选：B.

5、D

【解题分析】由等比数列的项求公比，进而求R即可.

【题目详解】由题设，/=5=3,

a2

。6=〃4g=9

故选：D

6、B

【解题分析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点3坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.

【题目详解】如图所示：

因为为等腰三角形，且|AR=|A-|=a,

又|AB|+阿|+|"|=4a,所以|叫=手，

所以|9|=2后同，

过点5作轴，垂足为“，

则AOF,-BMF2,

由A(0,说,由(c,0),得3芳,

2

9c2A

因为点3在椭圆C上，所以三+二方=1,

4a2枷

21

所以」c=上，

a23

即离心率6=£=走,

a3

故选：B.

7、D

【解题分析】利用数列通项与前〃项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.

【题目详解】当〃=1时，S]=1—1,

1=f*(r-l)

当时，an=Sn-Sn_}

当/=1时，4=0,所以｛4｝是等差数列；

当£=0时，｛4｝为非等差数列，非等比数列，

当/W1/W。时，4=广(—1),所以｛4｝是等比数列,

故选：D

8、B

【解题分析】令/=〃—120,则"=r+l,]=。+1)2+4«+1)]=/+6/+4,然后利用函数的知识可得答案・

【题目详解】令々〃一公°,贝！|〃=/+1,%+『■]=7^，

当t=0时，y=。

1

当，>0时，、；4+6,由双勾函数的知识可得y在(0,2)上单调递增，在(2,”)上单调递减

t

所以当t=2即〃=3时，y取得最大值，

所以此数列的最大项是。3，最小项为4=0

故选：B

9、A

【解题分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.

【题目详解】因为=AC+CG=至+5。+。。1:.+池+招，

而AC[=xA4；+yAB+zAD，

所以有％=Ly=Lz=l,

故选：A

10、B

【解题分析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.

【题目详解】由题意，设公比为g,则/=今=4=>/=2,则/=%/=4.

故选：B.

11、C

【解题分析】由0_|Sn-Sn_i，(n22)可得&=4旦(a22),从而可得4=2”,利用等差数列的前〃项和公式即

an-[Si,(n=l)nn-V7

可求解.

【题目详解】解：因为s“二，；）"〃，所以2S,,=e+l）4，2S“T=W"T5之2）,

两式相减可得2%=（"+1）an-叼H,即组=乌、>2）,

因为q=2,幺=2,所以"=2（〃22）,即。"=2"（”之2）,〃=1时，也满足上式，

1n

所以g=2〃,

7（2+2x7）

所以S7=---------=56,

故选：C.

12、C

【解题分析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立.

【题目详解】当。=1力=—2时，满足a>6,但▲>!不成立，所以A错；

ba

当。=1力=—2时，满足/</,但不成立，所以B错；

当。=1/=-2,°=0时，满足。>6,但改2>儿2不成立，所以D错；

因为c>d所以-d>-c,又a>b,因此同向不等式相加得a-d>〃一c,即C对；

故选：C

【题目点拨】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、y-+2y[2x

【解题分析】延长KN交班于点p,利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得a,c的关系，然后利用,2=从+/,

及渐近线方程即可求得结果.

【题目详解】延长片N交于点p,•••加是g的平分线，

又。是耳心中点，所以尸乙〃NO,且|PK|=2|QN卜2x^=^,

y.\PF^=\MF^-\MF\=\MF^-\MF\=2a,

2a=—,c=3a,,又c?—a1=b，，

3

b-=Sa-,b=242a

..•双曲线E的渐近线方程为y=+-x=±2缶

a

故答案为：y=±2y[2x.

【解题分析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此

构造不等式组，解不等式组求得结果.

详解】将丁=履+2代入双曲线方程整理可得：(1-F)X2-4AX-10=0

设直线与双曲线右支交于两点(%,%),(%,%)

1-Fwo

A=16左2+40(1—左2)〉。

_4-〉0，解得：ke-——,-1

…2-—2〉。I3

10八

〉

〔X1X2,=---"--I-C--?0

(V15)

本题正确结果：——,-1

I3)

【题目点拨】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.

15、a=3

【解题分析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性，根据单调性结合已知可以求出a的值.

【题目详解】•.•函数/(%)=2%3一办2+］(〃£©在(0,+oo)内有且只有一个零点，

:・?(x)=2x(3x-〃)，(0,+oo),

①当心0时，f(x)=2x(3x-a)>0,

函数/(x)在(0,+QO)上单调递增J(0)=1,

/(X)在(0,+8)上没有零点,舍去；

②当〃>0时，f(x)=2x(3x-a)>0的解为x〉］,

：.f(x)在(0,巴)上递减，在(-,+oo)递增，

33

又/(x)只有一个零点，

a

：.f(-)=-—+1=0,解得a=3

327

故答案为：a=3

【题目点拨】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.

16、②③

【解题分析】对①：由连接A。1，BC］,由耳C,平面A3G。］,即可判断；对③：设用到平面CORG的距离为

则疑必1,所以%式.=%-6他=；5的°・/7即可判断；对④：以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

C-xyz,设8M=ZB2(0gi儿1),利用向量法求出cosa与cos尸，比较大小即可判断；对②：设G"与平面做C

夹角为。，利用向量法求出sine=gs<GM,7〃>|,即可求解判断.

【题目详解】解：对①：连接A，，BCX,在正方体ABCD-A耳CA中，由平面3cq与，可得A3,30,

又与C，5G，ABIBCX=B,所以耳C,平面A5C|〃，所以用CLAM,故①错误；

对③：设M到平面CDRG的距离为/?,贝！］滕必1,所以匕f=%陋0=京他。"=；>4'逅0,1,故③正确;

对④：以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,设8"=25已(噫睨1),

则,=(-1,0,0),丽=(0,0,1),BD；=(1,-1,1),BM=(A,-2,㈤，所以Af(41一4丸)，AlM=(A-l,

-2,A-1),

5-AMAB,1-2

/.cos夕=|cos<AM,A3>|=|----------1=/2=,

?\AlM\\AB\V32-42+2

n-AA=0fz=0

设平面M44]的法向量为〃=(x,y,z),贝!!1,即，

n-\M=0[(A-l)x-Ay+[A-l)z=O

取〃=(/l,X-l,0),又D4=(0,1,。)是平面A331A的一个法向量，

又二面角M-AA.-B为锐二面角或直角,

,〜,n-DA,1-A1-A

所Plcosa=cos<n,DA>=-------=

\n\\DA\，2万-22+1

3A2-4A+2-(2Z2-2/l+l)=22-2A+l=(/l-l)2>0,

.-.322-42+2>2/l2-2A+l,又1-/L.0,

••.cos/?,,cosa,a„/3,故④错误

对②:由④的解析知,QM=(2,1-2,A-1),C4=(l,l,0),西=(0,1,1),

m-CA=0a+b=0

设平面AB。的法向量为加=(a,0,c),贝,即

b+c=0'

m-CB]=0

u

取a=l,则加=(1,—1,1),

设GM与平面做C夹角为凡令sin8=bos港>1=7|3—_2]_昱，即342—44+1=0,又

11V322-42+2x733

噫股1,解得几=1或工，故②正确.

3

故答案为：②③.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)—+=1

42

(2)x-y+l=O

【解题分析】（1）由离心率得。，。关系，短轴求出b,结合关系式解出dJ可得椭圆的标准方程；

（2）设£（%,%），/（“2,%），过EF的方程为y=H+l,联立直线与椭圆方程得韦达定理，结合斜率定义和K=3%

W9y；2-x9（2+%）

化简得/c、2=/；、2,由耳尸在椭圆上代换得^―L=——上,联立韦达定理可求3进而得解；

（%1+2）（X2-2）2+玉2-X2

【小问1详解】

由题意可得，,2b=2亚,

a2

a=2,无22

又小—匕2=。2,解得厂所以椭圆的标准方程为L+匕=1;

b=y/2,42

【小问2详解】

由⑴得4（-2,0）,5（2,0）,显然直线EF的斜率存在且不为0,设£（%,%）,网孙％），则与，巧都不为±2

和0

y=kx+l,

X2消去y得(2/+1)•尤2+4代一2=0,显然A〉。，则石+々=丁吟

设直线E尸的方程为y=履+1,由

---1---=11+2k

142

因为勺=3及，所以亢=占

才_94

等式两边平方得

a+2y(/-2y①

又因为£（&%）,网%,％）在椭圆上，所以y；=g（4—片），£=#4—只）②

将②代入①可得2s土=9（2+"）,即2%范+5（玉+w）+8=。，

2+百2-X2

—4+-204+8-01

所以1+2/+1+2左2+,即4左2—5左+1=0,解得左=1或上=（舍去，此时空2<0）

所以直线E尸的方程为％一丁+1=°

n

18、(1)a0=〃+1；(2)T”=

2(H+2)-

【解题分析】（1）由等差数列的通项公式、前〃项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解;

111

⑵由二二初一方'结合裂项相消法即可得解•

【题目详解】（1）因为数列｛4｝为等差数列，54=14,%,%，%成等比数列，

所以生？=%,%，

4a+---d=142〃i+3d=7

所以2即［2』

(q+2d/=q(q+6d)

=2

又因为dwO,所以1,

d=1

所以a“=弓=；

11_1_____1

(2)因为-----

44+1(“+1)(“+2)n+177+2

.11111111n

所以,=;一1+胃_1++~Tf——^7=;一_二=”―一

2334”+1〃+22〃+22（〃+2）

【题目点拨】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

19、（1）y2=8%；（2）5x-4y+4=0

【解题分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.

（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.

【题目详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为x=-

2

由点（21）到焦点产的距离为4,得2+5=4,解得，=4,

所以抛物线C的标准方程为>2=8%

(2)设A(再,％),3(尤2,%)，

显然直线/的斜率存在，故设直线/的方程为y=H+l,

y=kx+1,…/、

联立［Q消去y得上27+（2左—8卜+1=0,

y=8%,

由A>0得（2左一8）2—4左2>0,即％<2

b”2左-8

所以玉+九2~---~j~2—

K

又因为E4.EB=4，尸(2,0),

所以外・幡=&一2)(%-2)+%%=4,

所以―2(%+%)+4+(优+1)(心+1)=(1+左2)%龙2+(左一2)(%+/)+5=4,

即4左一5=0,

解得左=3,满足A>0,

4

所以直线/的方程为5x-4y+4=。

20、(1)/=8x；

(2)证明过程见解析.

【解题分析】(1)利用抛物线的定义进行求解即可；

(2)设出直线/的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.

【小问1详解】

该抛物线的准线方程为x=-',因为点P(2,0到F的距离是4,

2

所以有2—(—?=4np=4,所以抛物线C的方程为：/=8x；

【小问2详解】

该抛物线的准线方程为x=-2,

设直线/的方程为：x=my+n(n^Q),

y=Sx

与抛物线方程联立，得=>y?-Smy-Sn=0,

x=my+n

2

不妨设A(今,%),,%)(%〉0,%<0)，因此为%=-8”，

o

—8

直线Q4的斜率为：Kx,所以方程为：＞=—x,

-16__,_-16XT/C一16、

当天=一2时，y=—,即M(-2,----)同理N(—2,---),

%X%

因为|M石|・|N£|=8,所以有8nMy2=-32,而%为二—8〃，

所以有〃=4,所以直线/的方程为：x^my+4,因此直线/恒过(4,0).

【题目点拨】关键点睛：把直线/的方程为：％=阳+〃("/0),利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.

21、(1)—+^=1(2)点G在以4?为直径的圆外

42

【解题分析】解法一：(I)由已知得

b=石,a=2

{£=解得g=加

a2a=b22+c2,c_=SA

22

所以椭圆E的方程为工+匕=1

42

（II）设点A（Xyi）,B（X2，y2）,AB中点为H（xo，yo）

x=my—1

由｛k12得（苏+2）y2-2my-3=0,

-----1------1

42

2m3u而m

所以丫1+丫2，丫42从而犷

m2+2m2+2

Q55?5

所以GH『=（5+：）2+%2=（加％+）2+