2024年高考数学模拟卷6（新题型地区专用）

2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知数据4%+1,4X2+1,4%+1的平均数和方差分别为4,10,那么数据4，巧，…，%的平均

数和方差分别为（）

A.-I,-B.1,-C.1,-D.-

22248

【答案】D

【解析】设数据占，%,…，%的平均数和方差分别为〃和$2,

则数据4%+1,4无2+1,4/+1的平均数为4x〃+l=4,方差为42XS2=10,

/日35

得〃=7，s2=g，

4o

故选：D.

2.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的

数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和

B,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的

笛卡儿积，又称直积，记为AxB.即=且关于任意非空集合M,N,T,下列说

法一定正确的是（）

A.MxN=NxMB.（〃xN）xT=〃x（NxT）

C.Mx（NT）（MxN）（MxT）D.Mx（NT）=（MxN）（MxT）

【答案】D

【解析】对于A,若〃={1},N={1,2},则知*"={（1,1）,（1,2）}3*”={（1,1）,（2,1）},“><双片双*河，A错

误；

对于B,若M="N={2},T={3},则MXN={（1,2）},（MXN）XT={（（1,2）,3）},

而Mx（NxT）={（l,（2,3））},（MxN）xTwMx（NxT）,B错误；

对于C,若M="N={2},7={3},则Mx（NT）={（1,2）,（1,3）},

MxN={(l,2)},MxT={(l,3)),Mx(NT)=(MxN)l(MxT),C错误；

对于D,任取元素(x,y)eMx(NT),贝且yeNT,贝iJyeN且yeT,

于是(x,y)wAfxN且(x,y)层MxT,即(x,y)e(MxN)(MxT),

反之若任取元素(x,y)«MxN)(MxT),贝lj(尤,y)eMxN且(x,y)eMxT,

因止匕xeM,yeN且yeT,即xeM且yeN7,

所以(x,y)eMx(NT),即Mx(NT)=(MxN)(MxT),D正确.

故选：D

3.已知圆。的半径为2,弦跖V的长为26，若2Mp=PN，则MO-OP=()

A.4B.2C.2D.4

【答案】B

【解析】如图，设MN的中点为Q,连接OQ,则OQLMN.由打。卜|/°|=2,

\MN\=2y/3,得照="侬=1,所以NOMQ.,|四=手，所以阀|=*

所以/尸OQ=F，所以NPOM=±|OP|=2^,

66II3

所以加06=-0加6=一|0刈0小0$巳=-2*¥^等=-2.

故选：B.

4.下表数据为2017~2021年我国生鲜零售市场规模(单位：万亿元)，根据表中数据可求得市场规模y关

于年份代码x的线性回归方程为y=0.34x+a,则°=()

年份20172018201920202021

年份代码X12345

市场规模y4.24.44.75.15.6

A.1.01B.3.68C.3.78D.4.7

【答案】C

【解析】由题意得，尤=3，y=4.8,所以a=y—Z?x=4.8—0.34x3=3.78.故选：C.

5.复数z=x+yi(x,yeR,i为虚数单位)在复平面内对应点Z(x,y),则下列为真命题的是().

A.若|z+l|=|z-l|,则点Z在圆上

B.若|z+l|+|z-l|=2,则点Z在椭圆上

C.若|z+l|-|z-l|=2,则点Z在双曲线上

D.若|x+l|=|z-l|,则点Z在抛物线上

【答案】D

【解析】|z+l|=厌+丁+）表示点（x,y）与（-1,0）之间的距离，

2-1|=亚丁丁表示点（x,y）与（1,0）之间的距离，记以-1,0）,6（L0）,

对于A,|z+l|=|z-l|,表示点z（x,y）到片、B距离相等，则点Z在线段月区的中垂线上，故A错误；

或由（尤+lp+y2=（尤_iy+y2,整理得了=0,所以点Z在x=0,故A错误；

对于B,由|z+l|+|z-1|=2得|Z£|+|Z闾=|耳闾=2,这不符合椭圆定义，故B错误；

对于C,若|z+l|Tz-1|=2,|Z周-|Z闾=|耳耳=2,这不符合双曲线定义，故C错误；

对于D,若|x+l|=|z-l|,则（了+丁式彳-丁+丁，整理得『=4无，为抛物线，故D正确.

故选：D.

6.比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相

切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆.如图所示，这个结论在圆柱中也适用.用平行光源照

射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点A,若平行光与桌面夹角为30,

球的半径为火，则点A到球与桌面切点距离的最大值为（）

A.（4-石）RB.3RC.2y/3RD.（2+g）R

【答案】D

【解析】解：由题意，如图所示，

贝1JNBAC=3O,NBAO=15,NAOB=15,

所以A到球与桌面切点距离的最大值为：

|AB|=tan75-R=tan（30+45）R,

tan45+tan30

=---------------------------R,

1-tan45-tan30

1+W

」R=fR,

1------

3

故选：D

7.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1,现有一个半径为厂（厂＞。）的玻璃球放入该

玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底(盛酒部分)，贝卜的取值范围是()

A.(0,2]B.],2C.^0,—D.^0,—

【答案】C

【解析】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系,

当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为，+。-「)2=/位>0).

因为抛物线的通径长为1,则抛物线的方程为y=x2,

代入圆的方程消元得：尤2[f+(l-2r)]=0,

所以原题等价于方程x?1+(1_23=0在f网上只有实数解x=0.

因为由f，+(l_2r)]=0,得x=0或炉=2-1,

所以需2r-lW0或2厂一1>/，即rvg或(r-l><0.

因为厂>。，所以0<rv[,

故选：C.

8.如图，圆锥的高5。=若，底面直径AB=2,C是圆。上一点，且AC=1,若S4与3C所成角为。，则

20

sin2--cos）

22

A.叵

bCD•瑞

4-4-I

【答案】B

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系得：A(0,-1,0),8(0,1,0),

、

1兀71

5（0,0,A/3）,C-,0,而AS,BC的夹角为aovew：

2，

72

ASBC_是

则cos0=

|A5||BC|4

由于sin2，-cos2g=-cose=一^^,故选：B.

224

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知复数Z=l-3i,=（2-i）,z3,则（）

1+1

，，的实部依次成等比数列

A.Zj+z2=4+7iB.ZZ2Z3

，的虚部依次成等差数列

c.710^1=2|Z2|D.Z],Z2Z3

【答案】ABC

【解析】因为Z2=（2-i）2=3-4i,Z3=[2（8+10i）（l-i）_____

人.J：.J=9+i,所以4+Z2=4-7i,所以z+z2=4+7i,

l+iI-

故A正确;

因为z-z2,Z3的实部分别为1,3,9,所以4,z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确;

因为Z，z2,Z3的虚部分别为-3,-4,1,所以4,z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误;

^/i0|z1|=^/10x^/i+9=2|z2|=2x5=10,故C正确.

故选：ABC.

10.函数/(x)=sin2口与函数g(x)的图象关于点对称，F(x)=/(x)+g(x),则()

A.函数g(x)的图象可由函数、=cos2也向右平移|个单位长度得到

B.函数g(x)的图象向右平移，个单位长度为偶函数的图象

C.函数尸(%)的图象关于直线尤=g对称

D.尸(》)=0(段-1-5)的所有实根之和为2

【答案】BCD

【解析】由题意知g(x)=-/[g-x)=-sin[g-2"[=sin127tx-m),

又函数y=cos2m向右平移得个单位长度得到y=cos12存-gj=cos12/+三卜sin127LT_；］,所以A错

误；

函数g（无）的图象向右平移4个单位长度得到V=sin12心-TJ=-cos2TUC,

由于y=-cos2也是偶函数，所以B正确；

F（x）=/（x）+g（x）=sin（2TLV）+sinlux_=VSsin^ZTLv-^,

717cKI

令2©=kn+—,kGZ,解得力=—+一,左cZ,

6223

4

当左=2时，x=-,所以C正确；

当％=0时，可得网无）的图象关于X=g对称，曲线y=G（|3尤-1|-5）也关于x=；对称，

尸（x）与曲线y=W（|3x-1|-5）的简图如下,

尸，］=6<=若13*：1-5］=石,当转3时，尸⑴的图象与曲线>=君（|3无一1|一5）有三个交点，

所以方程/（尤）=6（段-1|-5）的所有实根之和为3、^=2,所以D正确.

故选：BCD.

11.已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且C4=CB=2AB=4.设E为空间内任一点，且

A,B,C,D,£五点在同一个球面上，则（）

A.AB1CD

B.四面体A3CD的体积为

C.当AE=2有时，点E的轨迹长度为4兀

D.当三棱锥E-ABC的体积为整时，点E的轨迹长度为30兀

【答案】AC

【解析】对于A,依题意，可知QA=CB=O3=AC=4,OC=Ag=2,

设厂为AB的中点，连接CEDE,则CA民AB,

而cw。歹=产,cr,r）Pu平面crz）,故ABJ,平面CFD,

CDu平面CEO,故ABLCD,A正确；

对于B,将四面体A3CD放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为x，Xz,

则x2+y2=4,x2+z2=16,j2+z2=16,解得x=y=-s/2,Z=y/14,

由于z=Ji?，即异面直线AB和CD的距离为&I，且平面CFD,,

所以四面体ABCD的体积为』SDckAB=』xLx2xMx2=£m,B错误；

对于C,由以上分析可知，四面体ABCD的外接球半径为+:+z?=述

22

由4石=2石，知点石的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为小

则=(2A/3)2,解得r=2,

所以E的轨迹长度为271T=4兀，C正确;

对于D,由题意可得是尸=J4?—1=JI?,.•.sin/A5C=d—.

4

_1x_4_——_.8

故,.ABC的外接圆半径为2岳一岳,

~T~

所以球心到ABC所在平面的距离为_1,：=噌，

设三棱锥E-ABC的高为儿

由三棱锥E-ABC的体积为恒时，可得.h=-x-x2xy/42-lxh=—,

62ABC326

不

故，=

730

又由笆，故E点轨迹为外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距离为M的两个截面圆,

2V30V30

其中一个圆为外接球的大圆，

所以点E的轨迹长度大于2”还=3后兀，D错误，

2

故选：AC.

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设非空集合。a”,当。中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称。是"的偶子

集，若集合”={1,2,3,4,5,6,7},则其偶子集。的个数为.

【答案】63

【解析】集合。中只有2个奇数时，则集合。的可能情况为：｛1,3｝、｛1,5｝、｛1,7｝、｛3,5｝、｛3,7｝、｛5,7｝,

共6种,

若集合。中只有4个奇数时，则集合。=｛L3,5,7｝,只有一种情况，

若集合。中只含1个偶数，共3种情况；

若集合。中只含2个偶数，则集合。可能的情况为｛2,4｝、｛2,6｝、｛4,6｝,共3种情况;

若集合。中只含3个偶数，则集合。=｛2,4,6｝,只有1种情况.

因为。是M的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合。中的元素全为偶数，则满足条件的集合。的个数为7；

若集合。中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；

若集合。中的元素是2个奇数1个偶数，共6x3=18种；

若集合。中的元素为2个奇数2个偶数，共6x3=18种；

若集合。中的元素为2个奇数3个偶数，共6x1=6种；

若集合。中的元素为4个奇数1个偶数，共1x3=3种；

若集合。中的元素为4个奇数2个偶数，共1x3=3种；

若集合。中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.

综上所述，满足条件的集合。的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.

故答案为：63.

13.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志

愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有种

（用数字作答）.

【答案】105

【解析】由题意可得恰有两名女生人选的选法有C；xC；=60种，

恰有3名女生人选的选法有C；xC：=40种，

恰有4名女生人选的选法有C；xC；=5种，

所以至少有两名女生人选的选法有60+40+5=105（种），

故答案为：105

14.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如

图1).现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2,—ASC为锐角三角形，面积为1,NACB=$7T,以一ABC的三边为

边长的正方形中心分别为陷，以，加3,则|必叫「+|险的最小值为.

【答案】22-40

JT

【解析】由题意知，S=1,Z.ACB——,

6

111

XS^=—absin^ACB,Wfll=—abx—,得ab=4,

由余弦定理，^c2=a2+b2-2abcosZACB=〃+/_4^,

在M2AM3中，|AM2\=^b,\AM3\=^c,ZM2AM3=ABAC+],

由余弦定理可得

IM.A/J2=-c2+-b2-2x—cx—bxcos(ABAC+巴]=b+C+bcsinZBAC,

12312222I2)2

1»22

又sMC=2bcsin^BAC=1,所以bcsmZBAC=2,贝U2M3/="7+2.

同理MM广=dj^+2，MM『=《f^+2，

2222

故幽幽2「+MM「+\M3M^=a+b+c+6=2(a+〃)+6-4技

因为/+从22"=8,当且仅当a=b=2时等号成立，

2

故1MM?+|Af2M3|+|M3M/>22-4A/3.

故答案为：22-46.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=x3+a/+6x+c在x=-l和x=3处取得极值.

⑴求a,b的值及/(x)的单调区间；

⑵若对任意xe[l,5],不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范围.

【解析】(1)f'(x)=3x2+2ax+b,

'''函数/(%)=V+ox?+万龙+。在工=-1和尤=3处取得极值.

f'(3)=21+6a+b=0,/'(-l)=3-2a+b=0,

联立解得：a=—3,b=—9.

:.f\x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令/''(x)=0,解得x=3和x=-l,

xw(-oo,-l)时，函数/5)单调递增；xw(T,3)时，/,(x)<0,函数/5)单调递减；xe(3,+8)时，

刊㈤>0,函数/'(x)单调递增.

故x=—1和x=3是/(x)的极值点，

故函数Ax)单调递增区间为(3,-1),(3,+8)；函数/5)单调递减区间为(-1,3).

(2)由(1)知/(x)=丁-3x?-9x+c在(1,3)单调递减，在(3,5)单调递增，

要使得对任意％且1,5],不等式/(x)<c2恒成立，则需/⑴VC?且/(5)<°2,

i^/(l)=-ll+c<c2_a/(5)=5+c<c2,

的汨1+721-1->/21

解得c>------,或c<------,

22

c的取值范围是S,匕图)5匕且，+8).

22

16.某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记。分，罚点球一次，罚进记2

分，罚不进记1分.已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为罚不进的概率为上，每次罚球相互独

立.

(1)若该队员罚点球4次，记积分为X,求X的分布列与数学期望；

⑵记点球积〃分的概率为P..

(i)求Pi,A，P3的值；

(ii)求P”.

【解析】(1)由题意得，X的所有可能取值为4,5,6,7,8,

;.P(X=4)=用=[,尸(X=5)=8

27

P(X=7)=C：f|Jx|=||,P(X=8)

\JJJO1

：.x的分布列为

X45678

1883216

p

8181278181

L/v-1u8/8r32cl620

/.E(X)—4x--F5xF6x---F7x---1-8x—=—.

v781812781813

/八/•、百日否上阳12门丫7C21/1丫13

(2)(i)由忌,Pi=_9P2=—H—=—,P3=2x_x—F_=—.

1323(3J9户333⑶27

(ii)由题意得，要得〃分，必须满足以下情形：先得"-1分，再点1个球不进，此时概率为:P“7,

2

或先得九-2分，再点1个球进球，此时概率为:P-，

122

这两种情况互斥,Pn=~Pn-X+］，〃一，2，P〃-P〃-l=—§(P〃-「P〃-2),

.••{%+「P”}是首项为0-口=gT=。公比为-1的等比数列，

17.如图，AB,CO是圆锥底面圆。的两条互相垂直的直径，过CO的平面与尸8交于点E,若NBOE=45。,

点P在圆。上，PA±PB.

⑴求证：平面CDE；

(2)若NAB厂=30。，24=2,求三棱锥尸-3OE的体积.

【解析】(1)连接尸。，则P01圆。所在平面，而CO在圆。所在平面内，

?.PO1.CD,

又CDA.AB,ABP0=0,AB,尸Ou平面

CD_L平面又PBu平面RW,.IP3_LCD,

由B4_LPB,且R4=PB可得NPAB=45。，

又NBOE=45°,：.OE//PA,

E为PB的中点，且BE_LOE,

又O0CD=O,OE,CDu平面CDE,

尸3_L平面CDE；

(2)由题意得，PA=PB=2,AB=2A/2，

由/45/=30°可得4歹=0，BF=瓜,

：.S&ABF=3*也义底=6'S^BOF=：SAABF=与,

乙LL

点E到底面的距离等于点尸到底面距离的一半，即为走，

2

...三棱锥尸—3OE的体积/BOE=VEBOF=」x走xY2=Y6.

r—DULLr,—DUr322]2

18.已知椭圆C：