高考数学复习 立体几何中的向量方法

专题8.7立体几何中的向量方法

1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

新课程考试要求

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

4.会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.

核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.

（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.

（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.

（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要

围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制

试题，以多面体为载体、证明线面（面面）的平行（垂直）关系是主要命题方向.空间的角

考向预测

与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小间形式呈现，

考查用向量方法解决立体儿何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，

并通过计算解决立体几何问题.距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查.此

类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问

则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.

【知识清单】

知识点1.利用空间向量证明平行问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：，是空间一直线，A,8是直线，上任意两点，则称葩为直线，的方向向量，与诵平行

的任意非零向量也是直线/的方向向量.

②平面的法向量可利用方程组求出：设a,6是平面。内两不共线向量，〃为平面。的法向量，则求法向

n•c?=0,

量的方程组为‘八

〃・6=0.

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线4和A的方向向量分别为火和v2,则乙〃人（或乙与A重合）=%〃心

②设直线/的方向向量为％与平面。共面的两个不共线向量外和心则/〃。或/u存在两个实数X,

y,使v—xvi+yvz.

③设直线1的方向向量为V,平面a的法向量为u,则1//a或/ua=

④设平面。和£的法向量分别为u”u2,则a〃£=u,〃①.

知识点2.利用空间向量证明垂直问题

1.用向量证明空间中的垂直关系

①设直线上和的方向向量分别为匕和V2,则!<<=>Vt-V2=0.

②设直线/的方向向量为片平面a的法向量为u,则7±a=

③设平面。和£的法向量分别为s和5,则a±•如=0.

2.共线与垂直的坐标表示

设a=(a”a2,a),b=(b”bi,&),则a〃/x=»a=幺Zx=>ai=乂b,a2=bi,ai=A&(4GR),

a上b^a,b=Q<^a\b\-\-a-ibi-Vasbi=Q^a,6均为非零向量).

知识点3.异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角

①定义：设。，匕是两条异面直线，过空间任一点。作直线a'//a,b'//b,则加与从所夹的锐角或直

角叫做。与b所成的角.

②范围：两异面直线所成角e的取值范围是(0,幺］.

2

/7•h

③向量求法：设直线a,6的方向向量为Q,从其夹角为夕，则有cos6=|cos9|=|———|.

1。1•网

知识点4.直线与平面所成角

1.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为w,直线/与平面a

所成的角为夕，两向量e与"的夹角为仇则有sin0=|cos4=春4

知识点5.二面角

1.求二面角的大小

(1)如图1,AB.CD是二面角a—/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=(AB,CD).

(2)如图2、3,%,%分别是二面角a-/一£的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小9=<勺,%>(或

7r-<n],n2>).

知识点6.利用向量求空间距离

1.空间向量的坐标表示及运算

(1)数量积的坐标运算

设。2，。3)，b=(h\tZ?2，〃3)，

则①吊功=3土方i，a2m2,a3m3);

②2。=(2。],2a2，2a3);

@a'b=a]b]+s历+〃383.

(2)共线与垂直的坐标表示

设。=(。1，。2，的)，b=(b、,岳，生)，

则。〃60标=劝04]=〃?1，。2=劝2，〃3=2b3(2£R),

〃，/>0。2=000历+。2岳+。3必=0(〃'b均为非零向量).

(3)模、夹角和距离公式

设a=3i，。2,。3),b=(bI,b?,Z?3)>

则⑷=y[a*a=\/届+星+=，

。1加+〃2历+。363

COS〈。，b)

⑷网#吊+/+而々屏+、+员

设bi,a),Bg，岳，6),

222

则ZB=|AB|=7(«2-«,)+(^-^)+(C2-C,).

2.点面距的求法

如图，设AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则B到平面a的距离4=噜臼

【考点分类剖析】

考点一：利用空间向量证明平行问题

【典例1】(湖北高考真题)如图，在棱长为2的正方体43。一A百G"中，E,£M,N分别是棱

AB,AD,A综AA的中点，点P,Q分别在棱DD,,8^上移动，且。P=BQ=4(0<2<2).

(1)当;1=1时，证明：直线BG〃平面EFPQ.

【答案】直线BG〃平面EFPQ.

【解析】以。为原点，射线04,DC,分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系。-型，

由已知得8(2,2,0),G(0,2,2),F(l,0,0),P(0,0,4),

所以BCt=(-2,0,2),FP=(-1,0,2),FE=(1,1,0),

(1)证明：当/l=l时，丽=(一1,0,1),因为属=(一2,0,2),

所以属=2而，即BCJ/FP,

而"u平面EFPQ,且BQZ平面EFPQ,

故直线BG〃平面EFPQ.

【规律方法】

利用空间向量证明平行的方法

线线平行证明两直线的方向向量共线

①证明该直线的方向向量与平面的某一法

向量垂直；

线面平行

②证明直线的方向向量与平面内某直线的

方向向量平行

①证明两平面的法向量为共线向量；

面面平行

②转化为线面平行、线线平行问题

【变式探究】

（选自天津高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA，底面ABC,NB4C=90°.点D,E,N分别为棱PA,

PC,BC的中点，M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

（I）求证：MN〃平面BDE；

【答案】（I）证明见解析

【解析】如图，以A为原点，分别以A8,4C,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

依题意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N

(1,2,0).

(I)证明：DE=(0,2,0),DB=(20,-2).设〃=(x,y,z),为平面BDE的法向量，

n-DE=0[2v=0

则4，即'.不妨设z=l,可得"=(1,0,1).又MN-(1,2,-1),可得MM"=0.

n-DB=Q[2x-2z=0

因为MV(z平面BDE,所以MN〃平面BDE.

【总结提升】

证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平

面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计

算问题.

考点二：利用空间向量证明垂直问题

【典例2】(2021•浙江高二期末)已知正方体ABCD-ABGA,E是棱BC的中点，则在棱CQ上存在点尸，

使得()

A.AF//DtEB.AF1D.E

C.A/〃平面CQED.AF_L平面CQE

【答案】B

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向

量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则A(l，0,0)，R(0,0,1)，吗,1,0),设尸(0,1m)((04241),

则£)£=(《,1,一1),AF=(-l,l,z),

1

因为2.1，所以不可能平行，即AF,RE不可能平行，

-1T

1|

£=--+l-z=O,z=-,囚此八A〃£可以亚H，l!|JAF匕，£K能垂：直.

G(0,1,1),RG=(0,1,0),

设平面GRE的一个法向量为"=(x,y,z),

n•D[C]=y=0

则[1,取x=2,则〃=(2,0,1),

n-DtE=—x+y-z=0

AF与〃不可能平行，因此AF与平面G〃E不可能垂直，

AF-n=-2+ze[-2,-l],因此A尸与〃不可能垂直，因此AF与平面GRE不可能平行,

故选：B.

【规律方法】

用空间向量证明垂直问题的方法

线线垂证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它

直问题们的数量积为零

线面垂直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用

直问题线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直

面面垂两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判

直问题定定理转化为证明线面垂直

【变式探究】

在边长是2的正方体ABCD-AAGR中，E,F分别为

AB,A,C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.

⑴求EF的长

(2)证明：石尸〃平面

⑶证明：防，平面AC。.

【答案】(1)72.(2)见解析；(3)见解析.

【解析】

(1)如图建立空间直角坐标系

z

A=(2,0,2),A=(2,0,0),8=(2,2,0),。=(0,2,0),。=(0,0,2)

E=(2,l,0),F=(1,1,1)

EF=(-1,0,1),\EF\=424分

(2)ADt=(—2,0,2)AD,\EF

而EF<Z面ADD|A]

...EF//平面A4QQ8分

(3)EFCD=0,EFA|D=0.\EF±CD,EFlAjD

又CDcAQ=D

.•.£F_L平面4co.

【总结提升】

1.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转

化为直线与直线垂直证明.

2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两

线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础.

3.证明线面垂直，可利用判定定理.如本题解法.

4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直.

考点三：异面直线所成的角

【典例3】(2021•天津高二期末)如图，在棱长为1的正方体A8CO-AIBIGOI中，E,尸分别为。Di,BD

的中点，点G在。上，且CG'CD

（1）求证：EF_LBiC；

（2）求EF与CiG所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

17

【解析】

如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解

【详解】

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则E(0,0$),1,0),C(0,1,0),,8,(1,1,1),C,(0,1,1),G(0,1,0),

(1)V£F=(p^,-^),4c=(—1,0,—1),

UlllUUU

VEF・B£=0:.EF上B。,

UUU-I

（2）由（1）知。0=（0,一7一1），

uuir+（-匹姮

/.|C,G|=j02

Ul»

\EF\=

uiuuuu*iii|3

EF.C1G=-xO+-x(--)+(--)x(-l)=-)

设EF与GG所成角为0,则

3

EF-C\G回

cosd=8

|EF||C,G|~

24

故EF马CiG所成角的余弦值为叵

【特别提醒】

提醒：两异面直线所成角0的范围是（0,y,两向量的夹角。的范围是［0,〃，当两异面直线的方向向

量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其

补角才是两异面直线所成的角.

【变式探究】

（2021•江苏省苏州第十中学校高一月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中

^ADC=/4CB=90,DC=3,AC=BC=5,当。8=取时，此时A&G。四点外接球的体积为

异面直线AB,CD所成角的余弦为.

【解析】

求得NADB=90°，取AB的中点。，由O£>=OC=。4=O3得点。是四面体MCZ）外接球的球心，外接球半

径R=]AB,进而可得外接球的体积；证得BCL平面ACQ,建系如图，由空间向量的夹角公式可得结果.

【详解】

依题意可知A£>=4,AB=5近,当08=后时，AD2+DB2=AB2-则/4£>3=90"，取AB的中点。，则

OD=OA=OB-,又NAQ?=90，则OC=OA=O8,所以OD=OC=OA=O8,即点。是四面体ABC。外接

球的球心，外接球半径R=1AB=逑，故外接球的体积丫=3万R3=±%X125夜

2233

依题意DC=3,BC=5,当OB=衣时，DC2+BC2=DB2.则8C_LO),又8CJ_AC,且C£H4C=C,

所以BC_L平面ACD.以点C为原点，C4,C8为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图.

过点。作0HLAC于点”，由A£)x£)C=ACxHD得HD：/,则07=卜-(同=|,所以

又C(0,0,0),71(5,0,0),3(0,5,0),则A3=(—5,5,0),CD=^,0,yj.

I/«\AB-Cd|-9|3应

设异面直线AB,8所成的角为。，则cos，=kos(AB,CQ=一=笠.

|AB|.|CD|50X310

故答案为：①经述;T；②述.

【总结提升】

向量法求两异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量Ki,外;

(3)代入公式|COS<Fi,V。I=JJ,求解.

IKi|\V2\

考点四：直线与平面所成角

【典例4】(2021•浙江高考真题)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，

ZABC=]20°,AB=},BC=4,PA=y/]5,M,N分别为BC,尸C的中点，PDLDC,PM1MD.

p

(1)证明：

(2)求直线AN与平面POW所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)巫.

6

【解析】

(1)要证可证DCJ-PM,由题意可得，PDVDC,易证ZWJ_Z)C,从而。。_1_平面口!做，

即有£>C_LPM,从而得证：

(2)取中点E,根据题意可知，两两垂直，所以以点”为坐标原点，建立空间直角坐标

系，再分别求出向量AN和平面灯阳的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】

(1)在△DCM中，DC=l,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得。仞=出，

所以DW'+ZX^=。〃2,...DMJ_£)C.由题意DC_LPD且PE)cOW=r),r.OCJ■平面PDW,而PMu平

面PDW,所以DCJ_PM,又他〃DC,所以ABJ_PM.

(2)由PM_LM£),钻J_PM,而AB与O"相交，所以PM_L平面ABCD，因为AW=不，所以PM=20，

取AO中点E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直，以点A7为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则A(-V3,2,0),P(0,0,2夜),D电,0,0).M(0,0,0),C(6,-1,0)

乂N为尸C中点，所以夜=.

由(I)得CD,平面PQM,所以平面PDM的一个法向量〃=(0,1,0)

5

一.c\AN-n\2

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sin0==//

I曲㈤但+至+2

V44

【规律方法】

利用向量法求线面角的方法

（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角

就是斜线和平面所成的角.

【变式探究】

（2020•北京高考真题）如图，在正方体ABC。-AfCQi中，£为8用的中点.

（I）求证：8C1//平面A"£；

（II）求直线与平面AQE所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）

【解析】

（1）如下图所示:

在正方体ABCD-44GA中，AB//A.B,且AB=AyB},ABJ/CR且=CR,

:.AB//CR且AB=@口,所以，四边形A8GA为平行四边形，则

8a仁平面4。£,4。＜=平面4。£,；.3。“平面4。山；

（H）以点A为坐标原点，AD.A3、A4所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系A一町z,

设正方体ABCD—A4Gq的棱长为2,则A（0,0,0）、A（0,0,2）、D,（2,0,2）,£（0,2,1）,

AD}=（2,0,2）,AE=（O,2,l）,

n-AD.=02x+2z=0

设平面的法向量为“=（x,y,z）,由',得

n-AE=Q2y+z=0

令z=—2,则尤=2,y=l,则“=（2,1,—2）.

..n-A4,42

cos<n,AA>=,；~~；~~；----r

H-hl3^23,

2

因此，直线A4与平面A"E所成角的正弦值为

考点五：二面角

【典例5】(江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中调研数学试题)已知在四棱锥尸-ABCD中，PD±

平面ABCD,AD±DC,AB//DC,DC=2AB,。为PC的中点.

(1)求证;8Q//平面

(2)若PD=1,BC=a,BCLBD,求锐二面角。-3O-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)亚.

3

【解析】

(1)取尸。的中点为G,分别连接AG,QG,证明5Q//AG后可得线面平行：

(2)以分别为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】

(1)证明：取尸。的中点为G,分别连接AG,QG

乂因为。为PC的中点，所以GQ//OC,且GQ=gf>C

乂因为AB〃OC,OC=2A8,所以GQ//AB,GQ=A8,

所以四边形A8QG是平行四边形，所以8Q//AG

乂平面PARAGu平面PAO,所以BQ〃平面PA。

(2)解：由题意QADCDP三条直线两两相互垂直.

以。ADC,。尸分别为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图,

因为在四边形ABC。中，AB//DC,AD1.DC,DC=2AB,

所以点B在线段CD的垂直平分线上.又因为BC=应,BC工BD,

所以BO=BC=&,C£>=2

所以有点0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),Q(。，,)，

所以£>Q=((M,；),BQ=(T,0,£j

设平面的一个法向量机=(x,y,z),

in.DQ=0xx+lxy+—xz=0

则｛2]令z=2,得加=(1,一1,2)

in-BQ=-\xx+0xy+-xz=0

易知平面BCD的一个法向量为DP=(0,0,1),

因为\m|=Vl+1+4=y/6,\DP\=\,mDP=2,

m-DP_2>/6

所以cos<m,DP>=

\m\-\DP\~7/6~^

所以锐二面角Q-BD-C的余弦值为逅.

3

【规律方法】

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小.但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则

这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【变式探究】

(2019年高考全国IH卷理)图1是由矩形/庞氏和菱形版K组成的一个平面图形，其中/庐1,

BE=BR2,ZFBe60：将其沿45,比'折起使得德与跖重合，连结a；，如图2.

(1)证明：图2中的4,C,G,。四点共面，且平面平面比1阳

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴见解析;(2)30.

【解析】(1)由已知得加〃龙，CG//BE,所以4VCG,故/〃，C6确定一个平面，从而4C,G,〃四点

共面.

由已知得｛反1•跳；ABLBC,故平面比

又因为4?u平面4?。，所以平面4%」平面aZX.

(2)作EH工BC,垂足为//.因为£7/u平面比窈，平面以选'_L平面/8G所以夕/_L平面18c.

由已知，菱形8砒的边长为2,/EBO60',可求得用*1,E+B

以伪坐标原点，”。的方向为南的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系〃-xyz,

则［(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,G),CG=(1,0,6)，AC=(2,-1,0).

设平面/fCG/用法向量为炉(x,y,z),则

CGn=0,x+x/3z=0,

<即j

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取ZF(3,6,-石).

乂'I'•血向7；/：泊；法向Q：：」取为皿0.1.0；­'?cos(/i,tn)=--——=——

|n||/n|2

因此二面角6-CC-4的大小为30°.

考点六：利用向量求空间距离

【典例6X2021•北京高二期末)如图，在长方体AB。-48cA中，底面AB。是边长为1的正方形，刈=2,

E,F分别为CG，AA的中点.

(1)求证：DF”平面BDE;

(2)求直线RE与平面所成角的正弦值:

(3)求直线。/与平面BOE之间的距离.

【答案】(I)证明见解析；(2)四；(3)组.

33

【解析】

(1)推导出RF//BE,由此能证明。尸〃平面80E；

(2)以。为原点，为x轴，0c为，轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线RE

与平面3DE1所成角的正弦值.

(3)山。尸//平面BOE,=(0,0,2),平面的法向量加=(1,一1,D,利用向量法能求出直线。尸

与平面之间的距离.

【详解】

解：(1)取的中点G,连接FG，GG.

因为Ag〃CQ,且A/|=CQ；WFG,^^=FG,

所以FG//CQ,且FG=CQ.

所以四边形GQFG为平行四边形.

所以DF//C。.

在矩形BCC4中，因为E,G分别为CG，BB1的中点，

所以BE//CQ.所以'F//BE.

又RFU平面BDE,

所以RF//平面B£)E.

(2)如图建立空间宜角坐标系。t*.

则0(0,0,0),8(1,1,0