黑龙江省普通高等学校2024届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

黑龙江省普通高等学校2024届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若。=0,则"=0”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

22

2.已知圆G:（无一a）?+（y—op=8（。〉0）与圆C2:x+y-2x-2y=0没有公共点，则实数a的取值范围为（）

A.（O,2）B.（0,2）O（4,4W）

C.(4,-K»)D.（O,1）U（1,2）O（4,

3.已知｛4｝为等差数列，且q=l,a3+a4+a5=15,则%=()

A.12B.9

C.6D.3

4.若函数/（x）=E—在区间［gs］内有极值点，则实数。的取值范围是（）

32U）

5.已知等比数列｛4｝中，出=2,a5=16,则该数列的公比为（）

A.-3B.-2

C.2D.3

6.焦点为-0,3）的抛物线标准方程是。

A.y2=12xB.y2=-6x

C.x2=-6yD.x2=12y

7.复数*3-0的共轲复数是

A.l+3zB.1-3/

C.—1+3，D.—1—3Z

8.已知向量a=（—1,2,1）,/?=（1,1,-1）,则以下说法不正确的是（）

A.alZ?B.|a|〉W

C.cos（a+b,a）=~~D.|a+&|=|a-Z?|

22,序

9.已知6、B分别为双曲线工—二=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点，且闺凡仁竺，点尸为双曲线右支一点，/

aba

为△尸客工的内心，若SAIPF、=S△呼+lS成立,给出下列结论：

①点/的横坐标为定值”；

②离心率e=¥电；

2

③八史」

2

④当轴时，NP耳心=30。

上述结论正确的是（)

A.①②B.②③

C.①②③D.②③④

10.由小到大排列的一组数据：%、%、退、5、%5,其中每个数据都小于一2,另一组数据2、-玉、%、退、-工4、

的中位数可以表示为（)

A1+%3B一―只

,2.2

Q2+%5口冗3-Z

,2,2

11.若某群体中成员只用现金支付的概率为0.2,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.4,则不用现金支付的

概率为O

A.0.4B.0.5

C.0.6D.0.7

12.函数,=2好-那在［—2,2］的图象大致为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知球的半径为3,则该球的体积为.

14.已知62分别是椭圆G和双曲线。2的离心率，耳，心是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且

/用明=60°,则上+工的最大值为

e\e2

4

15.如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为一，则该正方体的体对角线长为

3

16.在ABC中，ab=6,S,c=岁，"EC的外接圆半径为血，则边c的长为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4｝满足q=L4+i=3%（〃eN*）,数列也｝为等差数列，b3=5,前4项和S4=16.

（1）求数列｛4｝,｛〃｝的通项公式;

(2)求和：。瓦+〃%+43++%〃・

18.(12分)已知数列｛q｝满足q=1,"a“+i=3("+l)a,

⑴设2=子,求证:数列也｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的前〃项和S“

19.(12分)已知数列｛%｝满足，%=1,。,什1=2a“+l(〃eN*)

(1)记b“=a“+l,证明：数列｛b,.｝为等比数列，并求数列｛瓦｝的通项公式;

b,“b,,1

<

(2)记数列｛瓦｝前"项和为T”，证明：淳+而r+TT2

20.(12分)某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查.将调查数据按平均每天锻炼

时间的多少(单位:分钟)分成五组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分

布直方图.将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同

学定义为锻炼不达标

(1)求。的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；

(2)在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这

6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间(单位：分钟)在[50,60)内的概率

21.(12分)已知点耳(—1,0),圆月：(％-1丫+丁2=8,点。在圆B上运动，爽的垂直平分线交Q&于点P.

(1)求动点尸的轨迹的方程C;

(2)过点的动直线/交曲线C于A、B两点,在y轴上是否存在定点T,使以为直径的圆恒过这个点？

若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

22.(10分)已知数列｛飙｝的前"项和为S“=l,2Sn=(n+l)an.

(1)求数列｛丽｝通项公式；

f1、

(2)求数列｛-—;~-｝的前"项和Tn,求使不等式20227；,>m成立的最大整数m的值.

an+an+l-1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.

【题目详解】“若的0,则而=0"，命题为真，则其逆否命题也为真；

逆命题为："若曲=0,则”=0",显然4=1,5=0时满足ab=0,但a#0,即逆命题为假，则否命题也为假.

故选：B.

2、B

【解题分析】求出圆G、c2的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.

【题目详解】圆G：(九一a?+(y—a)2=8(a>0)的圆心G(a，。)，半径4=2万,

圆。2：(%T)2+(yT)2=2的圆心CJLl),半径马=夜，|℃|=)3-1)?+(a-l)2=&|a-1|,

因圆G、没有公共点，51!]有|CCI<l4-2阈GGI>4+G，

即或0|。-1|〉30,又a>0,解得0<a<2或a>4,

所以实数〃的取值范围为(0,2)u(4,”).

故选：B

3、B

【解题分析】由已知条件求出等差数列的公差，从而可求出%

【题目详解】设等差数列｛4｝的公差为2,

由％=1,[3+44+45=15,得

4

l+2d+l+3d+l+4d=15,解得d=—,

3

4

所以%=1+6d=1+6＞耳=9,

故选：B

4、C

【解题分析】若兀r)=［-•|x2+x+l在区间内有极值点,

则/«)=/・依+1在区间内有零点，且零点不是r(“)的图象顶点的横坐标.

由“2犯+1=0,得a=x+J■.因为［；,3］,产叶，的值域是2,51,

当a=2时/(x)=x2.2x+l=(x・l)2,不合题意.

所以实数a的取值范围是［2,故选C.

5、C

【解题分析】设等比数列｛4｝的公比为夕，可得出q=£,即可得解.

【题目详解】设等比数列｛4｝的公比为彘可得出4=后=2.

故选：C.

6、D

【解题分析】设抛物线的方程为/=2外(0>0),根据题意，得到］=3,即可求解.

【题目详解】由题意，设抛物线的方程为f=2py(p>0),

因为抛物线的焦点为E(0,3),可得言=3,解得p=6,

所以抛物线的方程为好=12〉.

故选：D.

7、B

【解题分析】因z(3-z)=1-,故其共朝复数：”应选B.

考点：复数的概念及运算.

8、C

【解题分析】可根据已知的〃和。的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.

【题目详解】因为向量a=(—1,2,1),Z?=(l,l,-1),所以a.0=—lxl+2xl+lx(—1)=0,故「_15，所以选项A

正确；口=J(_l)2+22+F=#,^|=712+12+(-1)2=^,所以同〉W，故选项B正确；a+》=(0,3,0),所

,,、(a+b)・a6>J6y/3iiII

以3〈1+6,4=；+耳,广式"不-二5,故选项C错误；47-/7=(-2,1,2),所以|a+4=3,卜―4=3,

故卜+.=,一囚，所以选项D正确.

故选：C.

9、C

【解题分析】利用双曲线的定义、几何性质以及题意对选项逐个分析判断即可

【题目详解】对于①，设内切圆与尸耳,「马,耳巴的切点分别为",N,T,则由切线长定理可得

|四|=|叩,|耳闾=卬1，|取巾怛刀，

因为|「耳|一|尸图=1琼0H耳明=闺川|—叵刀=2,|耳用=闺刀+优1=2,

所以优T|=c-a,所以点T的坐标为3,0),

所以点/的横坐标为定值。，所以①正确，

对于②，因为闺闾="，所以2c="=至二

aaa

i±V|

化简得砒―4=0,即-1=0,解得e

2

因为e>l,所以e=5叵，所以②正确,

2

对于③，设△尸片石的内切圆半径为乙由双曲线的定义可得|/当|—归4|=2。，闺6|=2/

因为S呼=g|3|"，S帙=^\PF2\-r,SIF^=^--2c-r,=5&稣+1S^IF^,

所以用"=3归园"+九?2。*，

所以匹=q=工=避二1,所以③正确，

2cce2

A2i1

对于④，当尸轴时，可得pE|=L=c=L闺q，此时tan/P耳&=—,所以NP/花片30。，所以④错误,

a22

故选：C

【解题分析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可

【题目详解】因为由小到大排列的一组数据：%、々、毛、%、匕，其中每个数据都小于-2,

所以另一组数据2、-%、%、退、-匕、天从小到大的排列为

所以这一组数的中位数为二

2

故选：C

11、A

【解题分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【题目详解】由对立事件概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为1-0.2-04=0.4.

故选：A.

12、D

【解题分析】函数/(x)=2/—/在［-2,2］上是偶函数，其图象关于V轴对称,

因为〃2)=8—e2,0<8—e?<1,

所以排除A,3选项;

当XG［0,2］时，y=4x—e'有一零点，设为七,当xe(0,x0)时，为减函数,

当xe(%,2)时，/(X)为增函数

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、36%

【解题分析】根据球的体积公式计算可得；

44

【题目详解】解：因为球的半径H=3,所以球的体积V=—万R3=—〃x33=36

33

故答案为：36〃

14、递

3

【解题分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到02的关系，然后利用三角换元求最值即可.

【题目详解】解析：设椭圆的长半轴为。，双曲线的实半轴为％(。>4)，半焦距为c,设|5|=加，|明|=",

山闻=2c,因为/印明=0，所以由余弦定理可得4c2=苏+“2—2]7mcos(①

3mn11

在椭圆中,m+n=2at①化简为4c2=4«2—3mH，=­~l>②

q

在双曲线中，|加一"二2q,①化简为4c=4q+加〃，即0~二1一百，③

13)I31

联立②③得，“*4,即逋+逋=1，

记J=coso,=sina9aefo,—1,则，+L=2coso+^^sino=^^sin[o+2]w^^,当且仅当

2耳2与I2)q%33<3J3

a=%,即G=*，e2=G时取等号

故答案为：拽.

3

15、2瓜

【解题分析】先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.

1114

【题目详解】如图，连接A。，设正方体棱长为。，则匕Y4G=§XS4BCX3片=3乂]]><4=3=>4=2.

D\Ci

2

所以，体对角线|A。1=JAC+cc；—J/+〃2+〃2=y/3a=2G•

故答案为：2百.

16、瓜

【解题分析】由面积公式求得sinC=@,结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.

2

13J3J3---=-7^=2^2

【题目详解】S板=上。6511。=3511。='，从而sinC=Y^，由正弦定理得：sinC0，解得：c="

由222—

2

故答案为：V6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a“=3"T,bn=2/7-1；

【解题分析】(1)根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列｛4｝,｛〃｝的通项公式;

(2)根据(1)中所求，构造数列g=%],证明其为等比数列，利用等比数列的前〃项和即可求得结果.

【小问1详解】

因为数列｛an｝满足q=1,an+｝=3aneN*),

故可得数列｛4｝为等比数列，且公比4=3,则a“=3"T；

数列也｝为等差数列，2=5,前4项和S4=16,设其公差为d,

故可得4+2d=5,4々+6d=16,解得伪=l,d=2,则2=2〃-1；

综上所述，凡=3"、bn=2n-l.

【小问2详解】

221

由（1）可知：«„=3"T,bn=2n-\,故c〃=%=3"-=9"-,

9〃

又上c吐==9,又。=1,则｛1｝是首项1,公比为9的等比数列；

Cn,

l-9n9n-1

则%+%+%++%=。1+。2+。3++C"=q^=-^一.

18、（1）证明见解析；（2）s=*?T）3"+L

"44

【解题分析】⑴将啊,+1=35+1）区,变形为、=也，得到也｝为等比数列,

（2）由（1）得到｛%｝的通项公式，用错位相减法求得S.

a

【题目详解】（1）由q=l,"4+I=35+1）4,可得&L=4,

n+1n

因为2=?则加1=3〃，4=1,可得也｝是首项为1，公比为3的等比数列，

（2）由⑴4=3"-1由2=3"T,可得4=〃-3"T,

n

=l-3°+2-31+3-32++〃・3"T,

3S„=l-31+2-32+3-33++n-3n,

上面两式相减可得：

12n

-2Sn=3°+3+3++3"-'-n-3

“44

【题目点拨】数列求和的方法技巧：

⑴倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和

⑵错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和

⑶分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和

（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.

19、（1）证明见解析；bn=2"

（2）证明见解析

【解题分析】（1）由递推关系式转化为等比数列即可求解；

（2）由（1）求出q=2（2"-1）,再用裂项相消法求和后就可以证明不等式.

【小问1详解】

由dn+i=2“"+1可得%+［+1=2（a“+1）

所以｛瓦｝是以首项4+1=2,公比为2的等比数列

所以—"+1=2”.

【小问2详解】

2(1-2")(、

易得小/一=2(2"-1)

1—Z

因为3>°'所以京+庆++b,,+l<-

TnTn+l2-

4

20、（1）a=0.05,中位数为64；（2）二.

【解题分析】（1）由频率和为1求参数a,根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.

（2）首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.

【题目详解】(1)由题设，(0.005+0.010+0.015+0.020+4)x10=1,可得。=0.05,

中位数应在［60,70）之间,令中位数为x,则0.05x（70—尤）+0.02x10=0.5,解得％=64.

.•.该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.

（2）由题设，抽取6名同学中1名在［30,40）,2名在［40,50）,3名在［50,60）,

若1名在［30,40）为A，2名在［40,50）为吕应，3名在［50,60）为为。2，。3,

...随机抽取2名的可能情况有

A4,4坊,4坊,AG，AG，AG,gG’4。2‘4c3,B2cB2c2,B2c3,GG，℃3,c2c3,共15种,

其中至少有一名在［50,60)内的A。2，AG，4Ci，3C，4c3,打6,32c2，鱼。3,eg,eg,c2c3,共这种，

.•.这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间(单位：分钟)在［50,60)内的概率为g.

丫2

21>(1)---Fy2=1;

2

(2)存在，T(0,1).

【解题分析】⑴根据椭圆的定义，结合|P耳|+俨阊=|PQ|+归阊=\QF.\=2y/2>2忻阊=2即可求P的轨迹方程;

⑵假设存在7(0,。，设A5方程为丁=依-；，联立直线方程和椭圆方程，代入口1.7®=。即可求出定点7.

【小问1详解】

由题可知，|尸制=|尸。，

则归耳|+尸0|+|尸闾=|Q闾=2垃>2闺阊=2,

由椭圆定义知P的轨迹是以丹、B为焦点，且长轴长为2a的椭圆，

a=s/2,c=1•*,•b~=—c~=1>

的轨迹方程为C：—+/=1;

2

【小问2详解】

假设存在7(0,f)满足题意，易得45的斜率一定存在，否则不会存在7满足题意，设直线45的方程为

y=kx-^,A(xl,y1),B(<x2,y2),

y=kx——

联立《23，化为(1+2左36—3=0,易知△>()恒成立,

—+/=139

〔2■

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