长春市2023-2024学年高考数学全真模拟卷含解析

长春市重点中学2023-2024学年高考数学全真模拟密押卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（）

A.k>7?B.k>6?C.k>57D.k>4?

2.曲线f=4y在点（2j）处的切线方程为（）

A.y=%-1B.y=2x-3C.y=-x+3D.y=-2x+5

3.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数

字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）

A.48B.60C.72D.120

4.已知集合A={%£N|y=={冗|%=£Z},则AB-（）

A.[0,4]B.{0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

47r

5.如图，用一边长为0的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为色-的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

6.己知四棱锥S-43。中，四边形ABC。为等腰梯形，AD//BC,ZBAD=12（f,A5A。是等边三角形，且

SA=AB=2g;若点P在四棱锥S-ABC。的外接球面上运动，记点P到平面ABC。的距离为d,若平面

平面ABCD,则d的最大值为（）

A.J13+1B.\/13+2

C.V15+1D.V15+2

7.复数万（1+i）的模为（）.

A.；B.1C.2D.2亚

8.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：应“414,百“732,石土2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

9.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为Pl,P2,则（）

115

A.Pi»P=-B.Pi=P=-C.Pi+P=-D.Pi<P

2432622

（\iY°

io.土炉—去的展开式中有理项有（）

〔2取）

A.3项B.4项C.5项D.7项

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）

俯视图

A.2>j5B.4C.2D.2忘

x+2y-2>0

12.已知实数x,y满足约束条件x—2y+220,则％?+y?的取值范围是（）

x<2

2、”1「4"I「2

A.---,2A/2B.1，8C.y,8D.[1,8]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.复数2=1（2+，）（其中i为虚数单位）的共甄复数为.

22

14.已知双曲线5-==1（。〉0力〉0）的左右焦点分别为耳,心，过耳的直线与双曲线左支交于A,3两点，

ab

ZAF,B=90,AAEB的内切圆的圆心的纵坐标为且“，则双曲线的离心率为.

一2

15.设平面向量。与b的夹角为氏且卜+4=1,卜-b|=G,则。的取值范围为.

16.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P-ABCD为

阳马，侧棱底面ABC。，且24=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为E,内切球半径为小则

R

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在等腰梯形ABC。中，AD^AB=CD=2,BC=4,M,N,。分别为BC,CD,

AC的中点，以AC为折痕将一ACO折起，使点。到达点P位置（Pe平面ABC）.

（1）若〃为直线QN上任意一点，证明：〃平面A5P；

71

（2）若直线与直线所成角为一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

V2y2

18.（12分）已知尸（0,—2）点A,3分别为椭圆E：二+=l（a〉6〉0）的左、右顶点，直线BP交E于另一点、

ab2

Q,AA3P为等腰直角三角形，且|P@:|QB|=3:2.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设过点P的直线/与椭圆E交于两点，总使得NMQV为锐角，求直线/斜率的取值范围.

19.（12分）已知函数/（x）=|x-l|+|x+3].

（I）解不等式〃x））6；

（II）设g（九）=-X2+2你其中。为常数.若方程/⑴=g（可在（0,+8）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取

值范围.

20.（12分）已知抛物线。：/=295〉0）的焦点为P，直线/交C于A8两点（异于坐标原点O）.

（1）若直线/过点R,OA.O3=-12，求。的方程；

（2）当0403=0时，判断直线/是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

21.（12分）记S“为数列｛a“｝的前〃项和，已知S“=〃2,等比数列｛2｝满足e=q,伪=%.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求也｝的前〃项和7“.

22.（10分）已知函数/（x）=|x+2|+|x—3|.

（1）解不等式/。）<3%-2；

13

（2）若函数7（x）最小值为〃，且2a+3b=M（a>03>0）,求——的最小值.

2a+1b+1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表：

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

2、A

【解析】

将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.

【详解】

曲线炉=4>，即y=

当x=2时，代入可得r=；x22=l,所以切点坐标为（2』），

求得导函数可得y=

由导数几何意义可知左=y'=gx2=l,

由点斜式可得切线方程为y—l=x—2,即y=x-1,

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.

3、A

【解析】

对数字2分类讨论，结合数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论

【详解】

数字2出现在第2位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第3,4位或者4,5位，

共有窗用其=12个

数字2出现在第4位时，同理也有12个

数字2出现在第3位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第1,2位或者4,5位，

共有&&=24个

故满足条件的不同的五位数的个数是48个

故选A

【点睛】

本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

4、B

【解析】

计算A={0,l,2,3,4},再计算交集得到答案

【详解】

A={xeN|y=V^}={0,l,2,3,4},5={x|x=2%”eZ}表示偶数,

故A3={0,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

5、D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为0',球心为。，

47r4c47r

由题意，球的体积为一，即一"A?：——可得球。的半径为1,

333

又由边长为鱼的正方形硬纸，可得圆o'的半径为:，

利用球的性质可得=r勺2=与,

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为工，

2

所以球心到底面的距离为无+L=走±1.

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

6、A

【解析】

根据平面平面ABC。，四边形ABC。为等腰梯形，则球心在过的中点E的面的垂线上，又AS4D是等

边三角形，所以球心也在过人的外心F面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.

【详解】

依题意如图所示：

取的中点E,则E是等腰梯形ABC。外接圆的圆心，

取斤是A54D的外心，作平面A3CD,。/，平面

则。是四棱锥S-ABCD的外接球球心，且O尸=3,S/=2,

设四棱锥S-ABCD的外接球半径为R,则R2=592+0p2=]3,而。石=1,

所以"1mx=R+0E=A+I，

故选：A.

【点睛】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.

7、D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

解：2/(1+z)=-2+2z,

•••复数2z(l+0的模为7(-2)2+22=2血.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题.

8、C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为50cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5应(“-I)卜m,

得到不等式10+5夜(〃—1)W100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为5^cm,每装两个球称为“一层“，这样装“层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5夜5-1))cm,

若想要盖上盖子，则需要满足10+5夜(〃—1)4100,解得〃W1+9攻。13.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

9、C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123>132、213、231、312、321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=：;

6

2

方案二坐车可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以Pi+P=7

26

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

10、B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时厂的个数，即可求解.

【详解】

&]=(—1)'21°小/一至，OWrWlO,

当r=0,3,6,9时，为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

11,D

【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.

【详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

B

ED

由三视图知：|AD|=2,\CE\=73,\SD\=2,

所以,q=\DC\=2,

所以恸=，阿+幽2=2亚，阂=‘阿+阿=2万，

所以该几何体的最长棱的长为272

故选：D

【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

12、B

【解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得f+y2的取值范围.

【详解】

由约束条件作出可行域是由A(2,0),8(0,1),C(2,2)三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而f+y?可

理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到A6所在的直线％+2y-2=0的距离是可行域内的点到原点距离

的最小值，此时小+y2=o£>2/0408]=3,点。到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时

(ABJ5

「4-

/+丁=22+22=8.所以产+丫2的取值范围是_,8.

y

故选：B

【点睛】

本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—1—2z

【解析】

利用复数的乘法运算求出Z,再利用共物复数的概念即可求解.

【详解】

由z=z(2+i)=—1=—1+,

则［=—1—23

故答案为：—1—2z

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及共朝复数的概念，属于基础题.

14、2

【解析】

由题意画出图形，设内切圆的圆心为M(x,y),圆M分别切A片,3月,48于S,T,Q,可得四边形S8力0为正方形,

再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得AA85的内切圆的圆心的纵坐标，结合已知列式，即可求得双曲线的离

心率.

【详解】

设内切圆的圆心为M(x,y),圆以分别切巴,A3于S,T,Q,连接MS,MT,MQ,

则I取1=|乙S|,故四边形理力0为正方形，边长为圆M的半径，

SIA5HAGI,\BT\4BQ\,n\AF2\-\AQ\=\SF2\^\TF2\=\BF2\-\BQ\,

二。与耳重合,

:.\SF2\^\AF2\-\AFl\=2a,:.\MF\=2a,即(x—c-+/=4/——①

222

\MF2\=242a,(x+c)+y=8a------@

4A4

联立①②解得：x=—幺,>2=4/一与，

cc

又因圆心的纵坐标为五a，

2

e-=2.

4c2a

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

【解析】

根据已知条件计算出同2+网之=2,结合,+4=1得出a»=-g,利用基本不等式可得出同的取值范围，利用

平面向量的数量积公式可求得cos6的取值范围，进而可得出0的取值范围.

【详解】

|^+/?|=1,卜_.二G,+|/?|2=—^+/?|2+|tz-/?|2j=2,

由|。+〃|=1得J+ZQ.8+Z/=1，—5，

由基本不等式可得2=同2+好＞2同.网，.•.0＜同•网＜1,

_1

a-b?

-l＜cos^＜L...cosne=।=：w

\a\-\b\\a\]b\

QQ<0<7T,因此，。的取值范围为—

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

16、叵

2

【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出氏=叵，内切球。।在侧面R4D内的正视图是

2

AR4D的内切圆，从而内切球半径为「由此能求出

r

【详解】

四棱锥P-A5CD为阳马，侧棱尸底面ABC。，

且24=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为E,

,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

:.R=叵,

2

侧棱？A，底面ABC。，且底面为正方形，

二内切球&在侧面QAD内的正视图是的内切圆，

,内切球半径为r=产=1,

故一R=-7-4--1

r2

故答案为手

【点睛】

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）叵

7

【解析】

⑴根据中位线证明平面MNQ平面即可证明MH〃平面A3P；（2）以QM,QC,QP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：连接,

-：M,N,。分别为BC,CD,AC的中点，

:.QMAB,

又平面上短，ABi平面

/.QM,平面

同理，QN〃平面？A3,

•.•QMu平面政VQ,QNu平面MAQ,QMQN=Q,

二平面MNQ平面P4B,

平面MNQ,

•*.MH〃平面ABP.

(2)连接PQ,在ABC和一ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC'

由NABC与互补，AD=AB^CD=2,BC=4,可解得AC=2jL

于是3c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

vQMAB直线AB与直线MN所成角为7，

f4

7T

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

rr

：.ZMQN=-,即QMLQN,

.•.QM,平面APC,

平面ABC_L平面APC,

•.•。为AC中点，PQ±AC,

PQ,平面ABC,

如图所示，分别以QM,QC,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则8(2,-百,0),C(0,3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-"—1),PC=(0,A-l).

设平面尸5C的法向量为"=(%,y,z),

n-PB=02x-y/3y-z=0

,即

n-PC=06y-z=0

令y=l,则％=有，z=5可得平面尸5c的一个法向量为“=(百,1,石).

又平面APC的一个法向量为根=(L。,。)，

.m-nV21

•・cos<m,n>=--------=-----,

\m\-\n\7

二面角A-PC-B的余弦值为叵.

7

【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

18-.(I)----Fy=1；(II)—2,------。----,2.

422

【解析】

3

(I)由题意可知：由PQ=QQ3,求得。点坐标，即可求得椭圆E的方程；

(II)设直线y=Ax—2,代入椭圆方程，由韦达定理，由/>0,由NMQV为锐角，则OM.ON>0，由向量数量

积的坐标公式，即可求得直线/斜率的取值范围.

【详解】

解：(I)根据题意A的是等腰直角三角形

一.a=29

.-.5(2,0),

设Q(q,y°)由|PQ|:|Q@=3:2

3

得加=户

16

%=不

则4

卜。1

代入椭圆方程得

X2

二椭圆E的方程为上+y=l

4-

(II)根据题意，直线/的斜率存在，可设方程为丁=履-2

设河(菁，％)N®,%)

y=kx-2

由<x2,得(1+4左2)光2—16代+12=0

彳+了=

由直线/与椭圆E有两个不同的交点则A>Q

即(一16%)2—4x12x0+4左2)>0

得,土3

16k

又

12

X|X二------------7

121+4产

ZMON为锐角则cosZMON>0

OM-ON>0%>0

/龙2+X%=%龙2+（村一2）（层一2）=（1+左?）/龙2_2左（/+々）+4〉0

即（-）信一"与+4>0

k2<4②

由①②得正〈左<2或一2（左<—W

2

故直线/斜率可取值范围是

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考

查计算能力，属于中档题.

19、(I)(^>o,-4]I,[2,+<»)；(II)(A/2+l,+oo).

【解析】

（D零点分段法，分-3<x<l,xW—3讨论即可;

2x+2,x>l

,分工2〉芭21,0<Xj<x,<1,0<%<1<々三种情况讨论.

4,0<%<1

【详解】

⑴原不等式即卜―l|+|x+3|»6.

①当时，化简得2x+2N6.解得了之2；

②当—3＜%＜1时，化简得426.此时无解；

③当3时，化简得一2x—226.解得xW-4.

综上，原不等式的解集为(-8,7][2,+8)

(II)由题意小)=「0-＜1，

设方程/(x)=g(x)两根为小龙2(%＜玉)•

2

①当乙〉罚时，方程一%2+2ax=2x+2等价于方程2a=x+—+2.

X

易知当+,方程2a=x+j+2在(1,+8)上有两个不相等的实数根.

此时方程-无2+2依=4在(0,1)上无解.

ae]&+1,'满足条件.

4

②当0＜再。2Vl时，方程—必+2依=4等价于方程2a=x+-f

x

此时方程2a=x+±在(0,1)上显然没有两个不相等的实数根.

X

③当0＜西＜1＜工2时，易知当ae1|＞+oo],

方程2a=x+d在(0,1)上有且只有一个实数根.

X

此时方程-炉+2依=2x+2在[1,”)上也有一个实数根.

，ae《,+oo]满足条件.

综上，实数。的取值范围为(、反+1,+oo).

【点睛】

本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.

20、(1)/=8%(2)直线/过定点(2p,0)

【解析】

设4(%,%),3(々,y2).

(1)由题意知呜,0),A。,%),噂,%).设直线/的方程为―+?teR)，

y1=2px

由＜〃得则夕『+〉

1=*y2_2p)_p2=0,A=424p20,

由根与系数的关系可得%+%=2pr,%%=-P2＞

22a

所以OA.OB=44-+X%=)p2.

4Pz4

3

由。4-O5=—12，得—7/=—12，解得。=4.

所以抛物线C的方程为＞2=8x.

(2)设直线/的方程为尤=町+m(〃€11,机片0),

y2=2nx.

由「得y2-2p〃y-2/wi=。，由根与系数的关系可得％%=-2pm,

x=ny+m

2

所以。4・08=%电+X%=+%%=(1P?-2pm=0,解得m=2P.

4p~4p

所以直线/的方程为x=ny+2PseR),

所以。4。8=0时，直线/过定点(2p,0).

/*、