辽宁省凌源市2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

辽宁省凌源市第二中学2024届高三二诊模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C:♦一方=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为瓦、F2,抛物线9=2力（〃＞0）与双曲线。有相

同的焦点.设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且COSNPEK=：,则双曲线C的离心率为（）

A.&或若B.后或3C.2或6D.2或3

2.在一个数列中，如果V“eN*，都有44+14+2=左（左为常数），那么这个数列叫做等积数列，人叫做这个数列的

公积.已知数列｛4｝是等积数列，且4=1,4=2,公积为8,则6+g+…+/020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.若函数/（x）=（f-勿x+2）e%e=2.71828…为自然对数的底数）在区间［1,2］上不是单调函数，则实数机的取值

范围是（）

510510

2'T2?1"

4.将函数/（x）=百sin2x-2cos2》图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移！个单位长

8

度，则所得函数图象的一个对称中心为（）

3713兀

T

5.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（“23,是由前〃2个正整数组

成的一个”阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

A.75B.65C.55D.45

6.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）

控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正

方形A3C。，在点E,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E,尸处

的目标球，最后停在点C处，若AE=50c/n.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,则该正方形的边长为（）

A.50y]2cmB.40^/2cmC.50cmD.20#cm

13

7.已知a=logi213/=,c=log1314,则a/,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

8.已知复数z满足忖=1,则|z+2—z]的最大值为（）

A.2+3B.1+A/5C.2+6D.6

9.已知函数/（x）=奴2-4奴-Inx,则/（尤）在（1,4）上不单调的一个充分不必要条件可以是（）

1cl111

A.a>--B.0<〃<—C.〃>—或—<。<0D.a>—

21616216

-x+y<4

io.点P（x,y）为不等式组所表示的平面区域上的动点，则二■的取值范围是（）

cX—2

y>0

A.（^O,-2）<J（1,4W）B.（-oo,-l]C.（-2,1）D.[-2,1]

11.设凡。为非零向量，贝！1"卜+0=忖+卜卜是“。与b共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

tHE♦气（F

A.12万B.16"

C.24〃D.48〃

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+2y<l

13.设X,y满足条件2x+y2—1,则z=2x—3y的最大值为.

x-y<0

x>0

14.已知X,y满足不等式组卜+》-金0,贝!|z=x+2y的取值范围为.

x-3y-l<0

21

15.已知函数/(x)=/+A+4X2+8X，-(X<,若函数g(x)=a/(x)+l有6个零点，则实数。的取值范围

x2+2x-l,x<-2,%>0

是.

16.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{%},则。ioo=.

••

•••••

•••*«*

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱ABCD-中，P是侧棱CQ上的一点，CP=m.

(1)若根=在，求直线AP与平面BDD&I所成角

3

(2)在线段AG上是否存在一个定点。，使得对任意的实数机，都有4QLAP,并证明你的结论.

18.(12分)如图，已知抛物线E：y2=4x与圆加：(x—3?+丁=r(r>0)相交于A,B,C,。四个

(1)求厂的取值范围；

(2)设四边形ABC。的面积为S,当S最大时，求直线AD与直线的交点P的坐标.

19.(12分)已知函数/(用=6-妙_痴(其中e为自然对数的底，兀为常数)有一个极大值点和一个极小值点.

(1)求实数上的取值范围；

(2)证明：/>)的极大值不小于1.

20.(12分)已知动圆过定点厂(0,1),且与直线/：y=-1相切，动圆圆心的轨迹为C,过歹作斜率为左/*0)的直线

机与C交于两点A,3,过A,3分别作C的切线，两切线的交点为尸，直线与C交于两点

(1)证明：点P始终在直线/上且。尸，A3；

(2)求四边形AMBN的面积的最小值.

21.（12分）已知函数/（x）=1.

（1）求/（x）的解析式;

（2）已知g（x）=x?-2x+/〃-3（1＜小＜4）,若对任意的％e[0,7i],总存在％e[-2,列）,使得/（%）=g（x2）成立,

求机的取值范围.

22.（10分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点4与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光,

从点A向小岛建三段栈道AB,BD,3E,湖面上的点3在线段AC上，且BD,跖均与圆C相切，切点分别为。,

E,其中栈道AB,BD,m和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道DE•记NCBD

为。.

A

（1）用。表示栈道的总长度/（。），并确定sin夕的取值范围;

（2）求当。为何值时，栈道总长度最短.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

设|坨|=如归周="，根据cosNP£E=g和抛物线性质得出|「局=：相，再根据双曲线性质得出m=7。，

n=5a,最后根据余弦定理列方程得出。、c间的关系，从而可得出离心率.

【详解】

过P分别向X轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M、N,不妨设|尸耳|=机，怛闾=77,

IJl!)=\PN\=|P2^|=cosZPF^=—,

-P为双曲线上的点，则归耳|P闾=2a,即"?—£=2a,得m=7a,；.n=5a,

,n-t-^Ttn―1-ZH549矿+4c"-25矿

又闺骂|=2c,在APK月中,由余弦定理可得_=-----------------,

72x7ax2c

整理得。2—5ac+6a2=0,即e2-5e+6=0,Qe>l,解得e=2或e=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题.

2、B

【解析】

计算出4的值，推导出a,,+3=%(〃eN*),再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

—8彳

由题意可知44+14+2=8,则对任意的〃eN*，。产0，则qa2a3=8,,%=---=4,

由94+14+2=8,得an+ian+2an+3=8，…=4"+1""+2。”+3>…%+3=%，

2020=3x673+1)因此，q+tz2H---=673(4+为+%)+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

3、B

【解析】

求得了(%)的导函数/'(X),由此构造函数g(x)=f+(2-加卜+2-加，根据题意可知g(x)在(1,2)上有变号零点.

由此令g(x)=0,利用分离常数法结合换元法，求得加的取值范围.

【详解】

=［尤2+(2-m)x+2-m^|,

设g(x)=%2+(2-m)x+2—m,

要使/(%)在区间［1,2］上不是单调函数，

即g(x)在(1,2)上有变号零点，令g(x)=0,

贝(IX2+2x+2=m(x+l),

令/=x+l«2,3),则问题即m=/+1在小(2,3)上有零点，由于f+工在(2,3)上递增，所以机的取值范围是

悖为’‘

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于

中档题.

4、D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数y=Asin(a>x+<p)的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin(gx-1,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

y=A/3sin2x-2cos2x

=V3sin2x-(l+cos2x)=2sin12%一()一1,

.•・将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

271

y=2sin—x----T,

36

jr

再向右平移三个单位长度,所得函数的解析式为

8

y=2sin

2n

=2sin—x----T,

34

-x--=k7r^x=-k7V+—,keZ,

3428

左=0可得函数图象的一个对称中心为故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦(余弦)

函数的性质求解.

5、B

【解析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2++25工―X',“，故选B.

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

6、D

【解析】

过点瓦厂做正方形边的垂线，如图，设NA£M=。，利用直线三角形中的边角关系，将用a表示出来，根

据=列方程求出进而可得正方形的边长.

【详解】

过点瓦厂做正方形边的垂线，如图，

设ZAEM=a,则NC/Q=a,ZMEF=ZQFE=6Q-a,

则AB=AM+MN+NB-AEsincr+EFsin（^60-a^+FCsina

=50sinor+40sin（60一q）+30sina=40—sinan-----cosa

122

CB-BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（^60一。）

3y/3.、

=50cosa+30cosa-40cos（60-a）=40一cosa-^—sma

”2

7

因为AB=CB,贝!）4o13sina+走cosa

=40—cosa-----sina

（22J”2

整理化简得之吧=2—6,又sii？o+cos2a=1，

cosa

A/3+1

得sina=,cosa--—

2V22V2

(3,cos«、=4oCx与+

AB=40—sma+=20A/6.

2~2

J22V222V2)

即该正方形的边长为20娓cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

7、D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得万最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较。和c的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<z,=(

<1，

U3j

由对数函数的图像与性质可知〃=logi213>l,c=log1314>l,所以人最小;

而由对数换底公式化简可得a-c=log1213-log1314

1g131g14

lgl2lgl3

Ig*213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

|(lgl2+lgl4)

由基本不等式可知lgl2,lgl4V,代入上式可得

2

lg213-j(1g12+1g14)

Ig213-lgl2-lgl4^

Igl24gl3Igl2-lgl3

2fl

2

lg13-olgl68

7

1g124g13

1M1

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

2]\2)

Igl2-lgl3

综上可知。>c>Z>,

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

8、B

【解析】

设2=。+历,|z+2-]=J(a+2)2+3—1)2,利用复数几何意义计算.

【详解】

设2=。+历,,由已知，a2+b2=1,所以点(a,〃)在单位圆上，

22

而|z+2-i|=|(a+2)+S—l)i|=.+2)2+3-1)2,+2)+(/,-1)表示点(a,b)

到(—2,1)的距离，故|z+2—j<J(-2>+12+1=1+75.

故选：B.

【点睛】

本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|z+2-z•区|z|+12-i|来解决.

9、D

【解析】

先求函数在(L4)上不单调的充要条件，即/'(x)=。在(1,4)上有解，即可得出结论.

【详解】

2ax2-4ax-1

fr(x)=2ax-4a--=

xx

若/(x)在(1,4)上不单调,令g(x)=2ax2-4ax-l,

则函数g(x)=2ax2-4ax-l对称轴方程为x=1

在区间(1,4)上有零点(可以用二分法求得).

当4=0时，显然不成立；

a〉0

当时，只需<g(l)=-2。—1<0

g(4)=16a—1>0

a<0

或<g⑴=-2a—1〉0,解得。〉人或

g(4)=16a-l<0I，"

故选:D.

【点睛】

本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.

10、B

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论.

【详解】

x+%,4

不等式组％,x作出可行域如图：4(4,0),8(2,2),0(0,0),

y..O

z=1的几何意义是动点尸(x,y)到。(2,-2)的斜率，由图象可知QA的斜率为1,QO的斜率为：-1,

x-2

则的取值范围是：(T»,,+8).

x-2

故选：B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.

11、A

【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若卜+耳=忖+忖，则。与b共线，且方向相同，充分性；

当a与b共线，方向相反时，卜+。/卜|+卜|,故不必要.

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

12、A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2夜，如图：

.•.AA3C的外接圆的圆心为斜边AC的中点。，ODLAC,且ODu平面&4C,

SA=AC=2,

二sc的中点。为外接球的球心，

二半径R=百，

夕卜接球表面积S=4万><3=12万.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、—

3

【解析】

272z

作出可行域，由2=2%-3y得丁=—%—-,平移直线丁=一x-二，数形结合可求z的最大值.

33-33

【详解】

作出可行域如图所示

277

平移直线y=耳，当直线经过可行域内的点M时，-：最小，此时z最大.

,y----1

2x+y=-l3(1O

解方程组八，得.

x-y=01I33)

故答案为：—♦

3

【点睛】

本题考查简单的线性规划，属于基础题.

14、［l,+oo)

【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知z=x+2y在点(1,0)处取得最小值，即Zg=1+2x0=1,

所以由图可知z=x+2y的取值范围为口,+8).

【解析】

由题意首先研究函数y=V(x)l的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实

数。的取值范围.

【详解】

当—l<x<0时，函数《％)=£+2］在区间(—1,0)上单调递增，

很明显《％)€(—1,0),且存在唯一的实数占满足小石)=—g,

当—lw/<0时，由对勾函数的性质可知函数y=/+：在区间L-上单调递减，在区间g,0)上单调递增，

结合复合函数的单调性可知函数y=炉+2%+1^^在区间(-1,%)上单调递减，在区间(石,0)上单调递增，且当

x=M时，y=x2+2x+-------=1,

14X2+8X

考查函数y=产+2%-1在区间(0,+“)上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=,+2x-1|在区间(0,72-1)上单调递减，在区间(V2-1,+(X))上单调递增,

函数g(x)=a|/(刈+1有6个零点，即方程。|/(刈+1=0有6个根，

也就是，(x)1=—!有6个根，即y=1/(x)|与y=—」有6个不同交点，

aa

注意到函数y=/+2x关于直线尤=—1对称，则函数y=|/(%)I关于直线尤=—1对称，

绘制函数y=1/(%)I的图像如图所示,

154

观察可得：1<——<-,即—.

a45

综上可得，实数。的取值范围是-1,-^.

故答案为T—

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

16、5252

【解析】

根据图像归纳为=2+3+4+...+〃+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：％=2+3,g=2+3+4,故/=2+3+4+...+"+2,

.(2+102)x101

故[00=2+3+4+…+102=-----------=5252.

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(2)存在，0为线段AG中点

【解析】

解法一：(1)作出平面APC与平面BDD&I的交线,可证AO±平面BDD&1，计算,AO,得出tanZAMO,

从而得出NAMO的大小；（2）证明42,平面ACGA，故而可得当。为线段AG的中点时4QLAP.

（兀\\AP-AC\

解法二，以D为原点,以D4,DC,。。为x,y,z建立空间直角坐标系：（1）由sin8=cos[»—。）=向向，利

用空间向量的数量积可求线面角；（2）设AG上存在一定点。，设此点的横坐标为x,可得。（％/-％,2）,由向量垂

直，数量积等于零即可求解.

【详解】

（1）解法一：连接AC交于。，

设AP与平面BDD国的公共点为M,连接，

则平面APC\平面BDD&1=OM,

四边形ABCD是正方形，AC，，

5与，平面ABQ）,ACu平面ABC。，

：.AC±BB},又BB[CBD=B,

：.AC,平面8。。1片，

ZAMO为直线AP与平面BDD}B}所成角，

CPU平面BDD[B],CPu平面APC,平面APC平面BDD}BX=OM,

:.CPIIOM,又。为AC的中点，

:.OM^-PC^—,AO^-AC^—，

2622

tanZAMO=——=V3,:.ZAMO=-,

OM3

直线AP与平面BOD中所成角为q.

(2)四边形正方形，

AG-LB}D},

■：M，平面A/IGD，BRU平面，

AA]±B}D},又4G,

42，平面AG。1，又APu平面AQCA,

BQ±AP,

二当0为线段4G中点时，对于任意的实数山，都有。QLAP.

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（l,0,0）,5（Ll,0）,P（0,Lm），

C（0,l,0）,D（0,0,0）,4（1,1,1）Q（0,0,2）,

UUUL

所以BD=（—1,—LO），BB,=（0,0,2）,AP=（-l,l,m）,AC=（-1,1,0）

又由AC.8r>=0，ACBBl=0,则AC为平面的一个法向量，

设直线AP与平面BDD&I所成角为0,

则sing=cos］至;立,

〔2）|AP|-|AC|0.也+加22

故当机=如时，直线AP与平面用所成角为£.

（2）若在AG上存在一定点。，设此点的横坐标为X,

则Q（x,l—羽2）,DlQ=（x,l-x,O）,

依题意，对于任意的实数"7要使LAP,

等价于£>Q，APo£>QAP=0,

即-x+l-x=O,解得x=L

2

即当。为线段AC中点时，对于任意的实数根，都有4QLAP.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

18、（1）272<r<3（2）点P的坐标为（―g,0）

【解析】

（1）将抛物线方程V=4x与圆方程（尤-3y+丁2=/联立，消去y得到关于x的一元二次方程，抛物线E与圆〃有

四个交点需满足关于x的一元二次方程在（0,+。）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于r的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆〃的四个交点坐标为4（玉,2募），3（%,-2嘉），。（々，-2后），。（尤2,2后），据此可

表示出直线AD、BC的方程，联立方程即可表示出点P坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S

的表达式，令t="杯,由t=49-产及（1）知0</<1,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形ABCD的面积取得最大值时t的值，进而求出点P坐标.

【详解】

y~=4x,

（1）联立抛物线与圆的方程,",,

［（x-3）2+y2=r2,

消去y,得/一2x+9—产=0.

由题意可知/—2x+9-产=0在（0,+8）上有两个不等的实数根.

A=4-4(9-r2>0,广

所以《解得2后<r<3.

9-r2>0,

所以厂的取值范围为「中立3).

(2)根据(1)可设方程好―2%+9—产=0的两个根分别为%，%(0<%[<%2),

则3(周,一2A,(^(&，一2《^),D®,2G^),

且玉+%=2,X1%=9-r2,

所以直线A。、BC的方程分别为

y—2喜=2内-2仄

Xx-X2

联立方程可得，点P的坐标为葭瓯,0),

因为四边形ABC。为等腰梯形，

所以s=5(|AB|+|CD|MX2_玉)=](45y^*+4^^*)(工2_石)

=2dX]+4+2-yJX]%：•J(X]+%2)--4X]X,=2小2+2^9—r•,4—4(9一厂)»

令t=53(0,1),则/⑺=52=4(2+2*4—4户)=—32(尸+/-—1),

所以广⑴=—32(3/+2?-1)=-32(/+1)(3/-1),

因为。〈/<1,所以当o</<g时,/''(/)>()；当g</<i时,/''(/)<(),

所以函数/■(7)在(0,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，

即当时，四边形ABC。的面积S取得最大值，

因为_1%丫2=T点P的坐标为卜5石々，°)，

所以当四边形ABC。的面积S取得最大值时，点P的坐标为(-50).

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

19、(1)左e(2—21n2,+oo)；(2)见解析

【解析】

(1)求出/'(x)=H—2x—左，记g(x)=e'-2x,问题转化为方程g(x)=左有两个不同解，求导，研究极值即可得

结果；

(2)由(1)知，/(%)在区间(—8,In2)上存在极大值点玉，且左=*—2再，则可求出极大值/(%)=(1—%)/+为2,

记/z«)=(l—/)£+〃«£(—oo,ln2)),求导，求单调性，求出极值即可.

【详解】

x

(1)/'(%)=e-2x-k9由/'(尤)=0=>"—2%=左，

xx

记g(x)=e-2x9g'(x)=e-29

由g'(x)=0nx=ln2,且xvln2时，gr(x)<0,g(%)单调递减，g(x)e(2-21n2,+oo),

x>ln2时，gr(x)>0,g(%)单调递增,g(x)G(2-21n2,+oo),

由题意，方程g(%)=左有两个不同解，所以左e(2—21n2,+8)；

(2)解法一：由(1)知，/⑴在区间(—8,In2)上存在极大值点看，且左=*-2西，

所以Z(x)的极大值为/(^)=*—%；_(八—2x1)x1=(l-x1)e』+V，

记/z(t)=(1-r)e'+产«e(-co,In2)),则h'(t)=-tef+2/=(2-e'),

因为，e(—8,ln2),所以2—e'>0，

所以『<0时，/?(0<0,丸«)单调递减，0</<ln2时，W)>0,力4)单调递增，

所以/(?)>力(0)=1,即函数/(X)的极大值不小于1.

解法二：由(1)知，/(%)在区间(-8,In2)上存在极大值点/，且左=e』-2%，

所以/(x)的极大值为/(%)=*—%；_(八—2%)%=(1—七)e』+V，

因为］一/〉0,ex>>1+%1,所以/++=i.

即函数/(X)的极大值不小于1.

【点睛】

本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.

20、(1)见解析(2)最小值为1.

【解析】

(1)根据抛物线的定义，判断出C的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C的方程.设出A,3两点的坐标，利用导数求得

切线尸AM的方程，由此求得P点的坐标.写出直线机的方程，联立直线心的方程和曲线C的方程，根据韦达定理求

得P点的坐标，并由此判断出P始终在直线/上，且P尸，A5.

(2)设直线的倾斜角为求得却的表达式，求得|肱V|的表达式，由此求得四边形AMBN的面积的表达式

进而求得四边形AMBN的面积的最小值.

【详解】

⑴•.•动圆过定点厂(0,1),且与直线/：y=-l相切，•••动圆圆心到定点厂(0,1)和定直线y=-l的距离相等，•••动圆圆

心的轨迹C是以歹(0,1)为焦点的抛物线，.•.轨迹C的方程为：f=4》,

设4和手)，8(々净,•.•尤2=4%.•.丁竹，.•.直线的方程为：y——即：4y=2XIX—X：①,

同理，直线P3的方程为：4y=2%%-石②，

由①②可得：P(五上，之上)，

24

直线a方程为：y=kx+\,联立一履+1可得：/_4履—4=0,P(2k,-I),

[x=4y

二人小义左=—L义左=—1，；•点尸始终在直线/上且。尸J_AB;

k

(2)设直线A5的倾斜角为由(1)可得：|AB|=J1+不,一%|=4(1+1)=4(l+tan%)=^^,

COScc

44

:.\MN\=-------------—

cos2(df+90)sin2a

io32

二四边形4WBN的面积为：-x\AB\x\MN\^-------.>32,当且仅当。=45或135，即人=±1时

2sin~acos~asin2a

取等号，四边形AMBN的面积的最小值为1.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查

运算求解能力，属于中档题.

21>(1)/(%)=2sinfx--^-j；(2)(1,3]

【解析】

⑴由/(0)=—1"1,可求出a力的值，进而可求得f(x)的解析式;

(2)分别求得/Xx)和g(x)的值域，再结合两个函数的值域间的关系可求出他的取值范围.

【详解】

解得〃=1)=回

2

3+3]sinx+£_371

故/(x)=