黑龙江省哈尔滨市香坊区2024届高三年级上册期末联考数学试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市香坊区2024届高三上学期期末联考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知i为虚数单位，若复数z则()

A.复数z实部为1

B.复数z虚部为0

C.\z\=41

D.在复平面内z对应的点位于第二象限

2.已知集合/={-1,0,1,2},集合8={y|y=x2-2x,xeN},则集合8=()

A.{-1,0}B.{-1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,3}

3.已知直线如〃，平面mua,nu/},&□/?=/,mil,则/_L〃是a_L〃的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设函数〃x)=sin,x[](o>0),已知方程=l在[0,2可上有且仅有2个根，

则。的取值范围是()

A。齿(_3|]「53、。K「7E11)。七「7巨

5.下列函数的图象不可能与直线，=2x+九%eR相切的是()

A./(x)=x2+xB./(x)=x3+ex

C./(x)=lnx+—D./(x)=Vx+2x

6.已知函数/(%)=2-*(1-优)(“〉0且4。1)是奇函数，则。=()

A.1B.V2C.2D.4

7.过正四棱锥P-45cZ)的高PH的中点作平行于底面45C。的截面4片G〃，若四棱

12

锥P-与四棱台/5CD-的表面积之比为石，则直线尸/与底面/BCD所

试卷第1页，共6页

成角的余弦值为()

Vio口屈「乖>V3

zA\.•JJ•L•Un•

5533

8.在平面直角坐标系Oxy中，/为直线/：y=2x上在第一象限内的点，8(5,0),以

48为径的圆。与直线交于另一点。.若丽.丽=0，则/点的横坐标为()

A.-1B.3C.3或-1D.2

二、多选题

9.已知椭圆C:；+£=l(0<6<2)的左右焦点分别为片,乙，点尸(3,1)在椭圆内部，

点。在椭圆上，则以下说法正确的是()

A.离心率的取值范围为0,—

B.|。耳。0阊的最小值为4

C.不存在点。，使得办「诙2=0

D.当e=@时，以点尸为中点的椭圆的弦的斜率为1

3

10.下列判断正确的是()

A.函数“X)是定义在R上的奇函数，若x<0时，/(x)=-ln(-x),贝曦>0时，

/(x)=-lnx

B.若贝壮的取值范围是(0,£|

C.为了得到函数y=log2A/T1的图象，可将函数了=bg2无图象上所有点的纵坐标

缩短为原来的：，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

D.设A满足x+lnr=2,X2满足In(l-x)-尤=1,则一+-=1

11.如图，在正四棱柱中，AA^AAB,点E,F,G分别是BC,CD,CG

的中点，点w是线段4。上的动点，则下列说法正确的是()

试卷第2页，共6页

A.存在M,使得NM〃平面EBG

B.当/>1时，存在M,使得CM_L平面EFG

C.存在M,使得平面AffiG〃平面比7G

D.存在2,使得平面A«iC_L平面E尸G

12.已知数列｛。"｝也=。向+(-1)"。"，则()

A.当g=“时，数列抄2"｝是公差为2的等差数列

B.当。“=〃时，数列｛〃,｝的前16项和为160

C.当"=〃时，数列｛%｝前16项和等于72

D.当时，数列｛4｝的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和

三、填空题

13.若向量a3满足a=(i,i),问=1,且[在3上的投影向量为工，贝!|

(1+B.

14.已知数列｛的｝满足04+07=2,-8,若｛的｝是等差数列，则；

若｛。〃｝是等比数列，则。/+。/0=.

15.如图，圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,8在圆。上，且点C位于第一象限,

点8的坐标为住,一|[,Z?1OC=a.若忸C|=1,则Geos?g-sinAosq-3的值

155J2222

为.

试卷第3页，共6页

22

16.已知椭圆C:与+与=l(a>b>0)的左顶点A,左焦点尸，过C的右焦点做x轴的

ab

垂线，p为垂线上一点，当椭圆C的离心率为g时，sin/N尸尸最大值为.

四、解答题

17.已知双曲线。的实轴长为4,且与双曲线《-上=1有公共的焦点.

23

(1)求双曲线。的方程；

⑵已知M(5,0),P是双曲线C上的任意一点，求忸河|的最小值.

18.如图，在三棱柱/3C-48cl中，AB1AC,顶点4在底面/3C上的射影恰为点3，

且48="=//=2.

(1)证明：4。1，平面/6月4；

(2)P是线段4。中点，求平面P4B和平面484夹角的余弦值.

19.已知在数列｛%｝中，4=1,%+%+1=：.

⑴令证明：数列出｝是等比数列；

⑵设5“=%+3%+324+—+3"%”，证明：数列｛4S“-3"%｝是等差数列.

20.在△BCD中，/£>=90。，点”在线段2。上，AD^1,ZACB=a,>2a+3S=180°,

AC=2a,BC=3a,

试卷第4页，共6页

D

⑴求。的值；

(2)求AB的值和△BCD的面积.

21.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些

折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为厂；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点尸；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点尸到

圆心E的距离为4,按上述方法折纸.以点尸,£所在的直线为x轴，线段E尸中点为原点

建立平面直角坐标系.

(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段ZE交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的

标准方程；

(2)记(1)问所得图形为曲线C,若过点。(1,0)且不与了轴垂直的直线/与椭圆C交于

两点，在x轴的正半轴上是否存在定点T&0),使得直线力促,0V斜率之积为定

值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

22.已知-iWaWl,函数/(x)=e'尤2-asinx-1,g(x)=/(%)+

(1)讨论函数g(x)的单调性;

(2)设厂(x)是“X)的导数.证明:

⑴/(x)在R上单调递增;

试卷第5页，共6页

ii)当xe-j,|时，若则|/(x)14M.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】首先利用复数的运算求得2=-1,再结合复数的相关概念即可得答案.

1-i1-i1

【详解】由题意得：2二7二'=-r=T，

所以复数Z的实部为-1,虚部为0,即A错误，B正确；

目=1,故C错误，在复平面内z对应的点为(-1,0),故D错误，

故选：B.

2.D

【分析】由题意计算，直接得出集合B.

【详解】由题意知，当x=-l时，y=x2-2x=3,

当尤=0时，y=x2-2x=0,

当x=l时，y=x2-2x=-1,

当x=2时，y=x2-2x=0,

所以8=卜加=--2x,xe/}={-1,0,3}.

故选：D

3.B

【分析】利用线面垂直的判定、面面垂直的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】依题意，由机，/,加当〃///时，不能证得从而不能证得

当a_1_时，由已知及面面垂直的性质知加而"u£,因此机_L",

所以加，“是a的必要不充分条件.

故选：B

4.C

【分析】由题意知函数了=|〃刈图象与直线y=l在[0,2可上仅有2个交点，由xe[0,2可得

」工8-22皿-四，所以型v2兀。-色<2,解之即可求解.

444242

【详解】由题意知，VxeR-l<sin[^fflx-^<l,gpVxeR,|/(x)|<l,

又xe[0,2兀],方程|〃x)|=l有且仅有2个实根，

答案第1页，共18页

所以函数V=图象与直线y=1在[0,2TI]上仅有2个交点,

由xe[0,27t],^--<a)x--<27t®--,

444

7

ur*i%i3TT,—兀57r11一

所以--27ity--<--，8-8

242

即实数①的取值范围为W，?).

oo

故选:c

5.D

【分析】题目转化为函数/''卜)=2有解，则直线>=2x+m就可以为该函数图象的切线，则

逐项检验即可得结论.

【详解】若导函数_f(x)=2有解，则直线y=2x+加就可以为该函数图象的切线.

对于选项A,令/'(x)=2x+l=2,解得x=g,满足条件；

对于选项B,因为/'(尤)=3/+/在(0,+司上单调递增，且广⑼=1<2,广⑵=12+，>2,

所以方程/'(司=3/+d=2有解，满足条件；

对于选项C,令/''(尤卜:+方？，解得x=l,满足条件；

对于选项D,r(x)=^=+2>2,不满足条件.

故选：D.

6.D

【分析】根据/(-1)=-八1)求出。，然后验证即可.

【详解】因为/(x)为定义在R上的奇函数，

所以/(一1)=一1⑴，即2(1-/)=一2-乂1一°),解得。=1(舍去)或a=4,

则/(尤)=2-，(1-2")=2、21

因为/(-x)=2-2T=-(2-、-2)_〃x),

所以a=4时，/(x)为奇函数.

故选：D

7.A

答案第2页，共18页

【分析】根据题意知4,Bi，G，2分别为尸/,PB,PC,尸。的中点，设正方形/BCD

的边长为。，PA=b,然后表示四棱锥尸-4BC。与四棱台48co的表面积，由表

12

面积之比为打，得到。，6的关系，确定线面角，求解即可.

【详解】!•

n

依题意过正四棱锥尸-48CD的高的中点作平行于底面48C。的截面44GA,

则4，吕，G，2分别为p/,PB,PC,p。的中点,

设正方形48co的边长为。，PA=b,

所以正方形ABCD的面积为/,正方形4AGA的面积为:〃，

正四棱锥的侧面积为4x」q

2

四棱台4BCD-4片G。的侧面积为

四棱台"Cl的表面积为/+3+1”523

——ClH------CI

42

解得b=a,

2

由尸H_L平面/BCD,所以为直线产/与底面/8C。所成角,

所以cosNP/*=誓，又AH=£,PA=b=且a,

PA22

所以cosZPAH=翅。.

5

故选：A.

答案第3页，共18页

8.B

【分析】由已知得3。，/,求得2。的方程，进而得。(1,2),设/(a,2a),则等,a

从而根据平面向量的数量积求出结果.

【详解】如图，由已知得则％=彳，所以8。的方程为y=-g(x-5).

解得。(1,2).

二,2-

设N(a,2a),a>0,则从而AB=(5,-2Q),CD=

2

所以益.丽=(5i).三22a(2i)=0,解得°=3或.=_1.

又。>0,所以。=3,即点/的横坐标为3.

故选：B.

9.AC

【分析】根据点尸(也」)在椭圆内部求6的范围，然后可得离心率范围，可判断A；利用椭

圆定义和基本不等式判断B；当点。为短轴端点时4凿最大，然后利用余弦定理判断

/耳”的最大值，然后可判断C；利用点差法求解即可判断D.

【详解】因为点尸(也」)在椭圆内部，所以|+£<1,得〃>2,

因为e=£=Jl—[=J1-",所以0<e<』^,A正确；

因为点。在椭圆上，所以|。用+|。阊=2a=4,

所以|。耳卜|0闾/幽土日]=4,当且仅当制=|。闾时等号成立,

12J

答案第4页，共18页

所以，|0耳HORI有最大值4,B错误;

由椭圆性质可知，当点。为短轴端点时/片。工最大,

a+a2c

此时，cos/耳QF,=""~()=I_23，

122a2

因为,所以cos/々Q£=1-2/>0,

2一

即/与凿的最大值为锐角，故不存在点。，使得5vm2=0,C正确;

当e="时，有色=立，得,=也，所以〃=1

32333

易知，当点尸为弦中点时斜率存在，记直线斜率为比与椭圆的交点为/(』,"),Ba?)?)，

22

国M

一+

铲=1

4(%-%)(%+%)£2

22由点差法得

天%(x-x)(x+x)43

一+2121

4正=1

y

又k=。必心+为产2屈%+%=2,

x2一/

所以也发=一2,即左=一述，D错误.

233

故选：AC

10.CD

【分析】根据函数奇偶性可求得当x>0时其解析式为/(x)=ln%,可知A错误；利用对数

函数单调性分类讨论参数。解不等式可得o<。或〃>1,即B错误；利用含图像变换规

则以及对数运算法则可知C正确；由函数与方程的思想可得再」-迎是

函数/(x)=x+lnx-2的两个零点，由单调性可得D正确.

【详解】对于A,若x<0时，/(x)=-ln(-x),

则%>0时，一x<0,/(—x)=—lnx,

又因为/(%)是定义在R上的奇函数，所以/(-x)=-lnx=-/(x),可得〃x)=lnx,即A

错误；

对于B,若k)g*<l,当0<a<l时，可知>=log/单调递减，所以loga；<l=log/,解得

答案第5页，共18页

0<a<—；

2

当a>l时，可知了=log.x单调递增，所以log“g<l=k)g/,解得所以。>1；

综上可得0<。<:或。>1,即B错误；

对于C,将函数y=log2X图象上所有点的纵坐标缩短为原来的横坐标不变，可得

j=^log2x=log2Vx,

再向右平移1个单位长度可得yulOgzA/H，因此C正确；

对于D,将ln(l-x)-x=l变形可得ln(l-x)+l-x=2,即莅满足ln(l-x)+l-x=2,

又A满足x+Inx=2,可知再,1满足方程尤+Inx=2,

又因为函数/(无)=x+lnx-2单调递增，且〃匹)=〃1-尤2),所以再=1一工2，即玉+工2=1,

D正确.

故选：CD

11.ACD

【分析】建系；A设面EBG的一个法向量为〃=(x,y,2),由直线和平面EBG同时垂直

于法向量求出质B若CM,平面E尸G,则加//人解出力=4=1；C证明平面M(D)BG〃

平面E尸G即可；D设平面儿叫。的法向量为%=(x,y,z),用五-Jp-72+l=0&/=1即可.

【详解】以。为原点，。4。C。2分别为》/,2建立空间直角坐标系，如图：

设48=2,则/4=22，则，（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,

答案第6页，共18页

又点E,F,G分别是BC,CD,C3的中点,

所以£（1,2,0）,尸（0,1,0）,G（0,2,1）,

A：设平面MG的一个法向量为3=（x/,z）,而二屁二卜1,0"）,

n•EF=-x-y=0一/.

所以｛——►,取z=l,解得〃二（4一4』），

n-EG=-x+Az=0

设DM二kDA「

-.-4（2,0,22）,\DA1=（2,0,2/）,加二（2左,0,2/@,\MQk,0,214\AMQk-2,0,214,

若AMII平面EFG,贝ljAM±n，

所以/（2左一2）+2/左二0D/（4左一2）二0,

所以当左=；或4=0（舍）成立，此时M为4。的中点；故A正确；

B：延用A中的解答，CM（2k-2,21k）,若CM,平面ENG,则百江/方,

贝U-=-4=受，当且仅当几=4=1时成立，故B错误；

1-11

当W与。重合时，因为EG//BC、,FG//DC、,EGCFG=G,BC、CDC「C、,且EG,尸Gu面

EFG,BG，DC|U面BOQ,此时平面M（D）8。〃平面EFG,故C正确;

D：延用A中的解答,M（2人,0,2困，则由=（2左,-2,2人），因为耳（2,2,2/）,\西=（2,0,2/）,

设平面MB。的法向量为五=（x/,z）,

fh-CM=2kx-2y+2kAz=Q

则取z=1,得冽=（-/,0,1）,

m-CB]=2,x+2Az=0

若平面平面EPG,则肃［p-72+l=0&1=1，故D正确;

故选：ACD

答案第7页，共18页

12.BCD

1〃为奇数

【分析】由题意可得4=2向,〃为偶数,进而得V］，根据等差数列的通项公式即

可判断A；分别求出数列也,｝前16项和中奇数项和与偶数项和，即可判断B；由

an+i+(-1)"%=n得a1M+a2k=2k、a2k-*=2左-1、a2t+2-a2k+l=2k+］,进而得

a2k-i+Cl2k+<Z2*+1+a2k+2=*+2,计算即可判断C；由选项C知。2A=2左T,利用累加法求

出数列前2k项和中偶数项和与奇数项和之差，即可判断D.

"〃+1—，〃为奇数

【详解】由题意知,

。"+1+%,〃为偶数,

1/为奇数

A：当a=〃时，b=所以仇”=4〃+1,

nn2”+1,"为偶数

数列也“｝是以4为公差的等差数列，故A错误;

1,"为奇数

B：当g=〃时，b=所以数列曲,｝前16项和中奇数项和为8,

n2"+1,〃为偶数

偶数项和为2(2+4+…+16)+8x1=152,则数列也｝前16项和为160,故B正确;

C：当6"="时，。什］+(-1)"%=〃，令力=2后，4eN*得。2川+°2《=2无①，

令”=2左—1,得02R=2后-1②,令〃=2上+1,得。2R+2一。2&+1=%+1③，

①-②，得a2"1+。22=1，①+③，得%-2+%="+1,

所以a2k-\+“2%+。2左+1+。2%+2=妹+2,

所以数列｛%｝前16项和为40+3+5+7)+8=72,故C正确；

D：由选项C可知a?*-=2后-1>

当数列｛%｝的项数为偶数时，令项数为"(左eN*),

(a2—%)+一°3)+'"+(°2*—%*-i)=(a2+%+—+a?*)—(q+%++—2(1+2+*“+无)_k=k，>0

即偶数项和大于奇数项和，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：已知。“+1+(-1)"%="，分别令”=2左，n=2k-\,〃=2左+1可得到｛%,｝

答案第8页，共18页

中相邻项和或差的关系，%+1+。2无=2后，a2k-a2k_x=2k-\,4左+2-%+1=〃+1，进一步可得

aa=

到隔项关系2k+\+2k-\1,a2k+2+a2k=4k+l,若已知前两项，由此可求出｛6,｝的通项公式,

可惜本题中没有出现通项问题.

13.0

【分析】由题意，根据投影向量公式可得3%=-1，计算直接得出结果.

a-hb-

【详解】由题意知，Z在B上的投影向量为M.同二4，

由W=l,得Q./)=-1，

所以(a+B)石=a+B=—1+I=0.

故答案为：0

14.-728-7

【分析】答题空1：利用等差数列性质求出生和劭的值，从而得到数列的公差，然后求出

幻和R0即可求解；答题空2：利用等比数列的性质求出Q4和Q7的值，从而得到数列的公比，

然后求出ai和aio即可求解.

【详解】若｛。/是等差数列，

则。4+。7=。5+。6=2,又a5a6=~8,

所以45和46为一2x-8=0的两根，

当巴=-2,4=4时，公差"==6,

易得，/=_26,<710=28,故qaio=-728；

当%=4,4=—2时，公差"=46-“5=-6,

易得，%=28,%o=—26,故〃吗。二一728；

若｛〃〃｝是等比数列，设其公比为夕，

则a5a6=a4a7=~8,

又。4+。7=2,

答案第9页，共18页

%=j或%=4

所以。4和。7为X2一2%-8=0的两根，解得,

。7=4Ctq=一2

当&=一2,%=4时，则，"=如二-2,

故q='=1,4o==—8,即q+40=-7；

q

,,”731

当为=4,%=—2时，则一=q=~~,

。42

故。1=—^=-8,%0=a7d=］，即q+々o=-7.

q

故答案为：-728；-7.

【分析】由倍角公式和辅助角公式可得瓜。，2羡5卜，7号="5"由题意

JT

ZAOB=--a,再由三角函数的定义即可求sin//。氏

p用=1,，圆。的半径为1.

又忸C|=l,.“BOC为等边三角形.

TT

.Z.AOB=——cc,且。为锐角.

a.aa1.

cos2----sin—cos——-sma-

22222

V31..

=——cosa——sina-sinJaj=sinZAOB.

22

,3

由三角函数的定义可得，sinZAOB=-.

_3

故答案为t：—.

【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的

关键.

16.-/0.5

2

【分析】如图，由题意，设右焦点为片，尸（c,M（加W0）,根据正弦定理可得

sinZAPF16

144c2Mm，结合基本不等式计算即可求解.

^^+丁+

mc40

答案第10页，共18页

【详解】如图，A（-a,O）,F（-c,O）,设椭圆的右焦点为耳,尸耳_Lx轴，则P（c,切）（加wO）,

在△"尸中’由正弦定理'得H=忐匕'即高而二牛需

mmm(a-c)

在△/尸片中，sinZP^F=--,所以sin/4尸尸二

2222

J(a+c)2+加2\lm+4cy/m+(tz+c)

c1

由e=—=一,得〃=5c,

a5

所以

4mc/16m2c2I16

7^2+4c2Vm2+36c2N144c,+/+40加2c2144c?严？“0

所以sin//尸尸的最大值为:.

(2)2

【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解;

（2）设出坐标，根据双曲线的性质得出外的范围，利用两点间距离公式求解.

【详解】（1）由双曲线［-9=1的焦点在x轴，坐标为（百,0）,（-75,0）,

22

所以可设双曲线C的方程为0-彳=1（。>0,6>0）,

ab

由已知2a=4,所以。=2,

答案第11页，共18页

22

又因为双曲线。与双曲线二-2=1有公共的焦点，所以4+/=5,

23

解得b=l,

所以双曲线。的方程为土-/=1；

4

f

(2)

由^--y2=l,可得％2或％22,

4

设「(%,%),因为尸是双曲线。上的任意一点，

2

所以会需=1,则%4-2或%22,

X424

\PM\=1同一5)»；=,一5f+券1=^^-10x0+24=^|(O-)+，

因为％W-2或％22,

所以当％=4时，|尸加|有最小值2.

18.(1)证明见解析

【分析】(1)根据顶点4在底面N8C上的射影恰为点B,得到42J■面N8C,根据线面垂

直的性质得到1AC,结合工AC和AC//A.C,即可证明；

(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系，结合面面角的计算公式进行求解即可.

【详解】(1)因为顶点4在底面N8C上的射影恰为点3,所以42上面/BC,

因为NCu面4BC,所以48_L/C,

因为在三棱柱/3C-44G中4c〃4。，所以4§J_4G，

因为431/C,所以/8_L4G，

又因为42,4Bu面AlBp\AB=B,

所以4G，面Z8g4

答案第12页，共18页

(2)在平面内，过点B作AE■〃/C,则8£_L4B,

因为42_1面48<7,BE,4Bu面4BC,

所以,

以8为原点，而，万，怒为x,%z轴正方向建立空间直角坐标系,

则/（0,-2,0）心（0,2,2）6（2,0,2）,4（0,0,2）,

故靖=(2,-2,0),所以率=(1,一1,0),所以尸(1,1,2),

所以丽=(1,1,2),在=(0,2,0),

设平面PAB的法向量加=(xj,z),

则｛一，令z=l,则平面尸48的一个法向量加=(-2,0,1),

m•AB=2y=0

由(1)知：=(1,0,0)是平面4/8的一个法向量，

m-n2245

平面PAB和平面484夹角的余弦值为kos伍万〉卜

\m\\n\V5xl5

19.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据等比数列定义由，=3"-4利用递推关系式0“+%=g化简可得

卧=-3,即可得证明；

b“

33

(2)解法一：由(1)可得4S.=〃+\-tx(-3)〃，代入表达式可得

4S"-3"a「(4S"_「3"T%_J=l；解法二：由S”,。“的关系式可得凡-=3'%,,化简可得

答案第13页，共18页

结论4s=

b3〃%-13l）413〃。〃

【详解】（1）证明：易知皿=-------什———产=，------=-3,

"3"一％-43”匕一4»%“一彳

13

又4=〃]—=一。0,

44

所以数列｛〃｝是以:为首项，-3为公比的等比数列；

（2）证明：解法一：由（1）知，=3"%"-彳1=3》（一3尸，所以一33尸+“1

又3"%3x(-3)"+13,所以4s“一3"g=〃，

所以“22时，4s“一3%「（4%「3"%1）=1,又4s「3%=1,

所以，数列｛4S“-3%”｝是首项为1,公差为1的等差数列.

2x

解法二：由S〃=4+3a2+34---卜3"an,

Si=%+34+32%+…+3〃一2,相减得S”一Si=3~%,

所以4S“_3”_(4S“「3"T%)

=4(凡-九)-3"%+3""一=4.3"-%“-3a+3"%一=31(%+%)=3-1.击=1,

又4s-3%=1,

所以数列｛4S“-3"%｝是首项为1,公差为1的等差数列.

20.(1)3

(2)48=5,面积为14血

【分析】（1）分别在△BCD和“3C中，利用正弦定理列式求解可得;

（2）在“3C中，利用余弦定理求出48,然后可解.

3

【详解】（1）因为2a+38=180。，所以。+/8=90。，①

B

因为口+3+//。=90°,所以。=不，

2

答案第14页，共18页

在RtABC。中，由正弦定理得2=sinO,②

2a2

3a2a

在&4BC中，由正弦定理得./A,、=，

sm(5+a)sinB

____为____-2"3_2

将①代入得(90。-夕|si"，所以cos^—sin5,解得sin,=]代入②得”3.

(2)由sinO=1，00<5<900,0°<-<45°,得cos”=N^,

23223

所以sinB=2sinOcos0=2x'X’逝,cosB=l-2sin2^-=1-2xp-]=L,

223392319

在“3C中，由余弦定理得/C?=/82+8C2-2N84C-COS8

7

即(24=AB1+(3a)2-2AB-3a-cos5,将a=3代入得36=AB2+S1-2AB-9x-,

化简得//一i4/8+45=o,解得A8=5,或48=9,

因为所以NB<8C=9,所以N3=5

在RMBCD中，由勾股定理得。。2=8。2-8。2=32,所以。=4也，

所以Rt"CO的面积为S=■瓦)CD=14行.

2

£

x/\\

B

22

21.⑴上+匕=1

95

(2)存在点7(3,0)使得原材和kTN之积为-1.

【分析】(1)建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程；

(2)设出直线/的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解.

【详解】(1)如图，以EF所在的直线为x轴，E尸的中点。为原点建立平面直角坐标系,

设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知\MF\+\ME\=\AE\=6>\EF\=4,

.♦.点M的轨迹点瓦尸为焦点，长轴2a=1初用+1ME|=6的椭圆，

答案第15页，共18页

V2a=6,2c=4fa=3,c=2,

22

：.b2=a2-c2=5,则椭圆的标准方程为土+匕=1,

95

-----F—

(2)设直线/的方程为x=my+l,将直线方程和椭圆方程联立95

x=my+1

消去工得（5加2+9）歹2+10阿—40=