上海市青浦区2024届高三年级下册4月学业质量调研数学试卷（含答案解析）

上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.不等式Ix-2|>1的解集为.

2.已知向量4=(-1,1),b=(3,4),则<a,b>=.

3.已知复数2=①，贝!]lmz=________.

1-1

4.[«+的二项展开式中的常数项为.

5.设随机变量4服从正态分布阳2,1),若尸<<“-3)=尸修>1-2“)，则实数,

6.椭圆W+V=1(。>1)的离心率为且，则。=.

7.已知直线《的倾斜角比直线4：y=xtan8O0的倾斜角小20°,则4的斜率为

8.已知/(x)=lgx-1,g(x)=lgx-3,若|/(x)|+|g(x)|=，(x)+g(x)|,则满足条件

的X的取值范围是.

(x-1)3,0<x<2,

9.对于函数，=/(%),其中〃尤)=2，若关于*的方程"x)=辰有两

—,x>2

、%

个不同的根，则实数人的取值范围是.

10.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数字，设“取到的2个数字之和为偶数”为事件A,“取

到的2个数字均为奇数”为事件B,则尸(0A)=.

11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm,上口宽6cm,若以30cm，/s

的匀速往杯中注水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率丫=cm/s.

H—6―H

12.如图，在棱长为1的正方体A8C。-A4GR中，P、Q、R在棱AB、BC、叫上，且

PB=g,QB=g,RB=：,以，PQR为底面作一个三棱柱PQR-4Q内，使点片，G，N分别

在平面AADR、DQCCr4与&2上，则这个三棱柱的侧棱长为.

二、单选题

13.函数y=3x+1(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3亚D.2乖)

14.已知点尸(2,2血)是抛物线C：丁=2必(°>0)上一点到抛抛物线C的准线的距离

为d,/是x轴上一点，贝『'点M的坐标为(1,0)”是=的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件，

15.设凡是首项为%,公比为q的等比数列｛见｝的前“项和，且%23<S*<%24，则().

A.a,>0B.4>oC.⑶归同D.闻<@

16.如图，已知直线、=履+机与函数y=/(x),xe(0,4<o)的图象相切于两点，则函数

y=/(x)-履有().

y=kx+m

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点D.3个极大值点，无极小值点

三、解答题

17.对于函数y=/(x),其中〃x)=2sinxcosx+2>/§cos2x-石，xeR.

⑴求函数y=的单调增区间；

(2)在锐角三角形A3C中，若〃A)=1,AB-ACf，求，ABC的面积.

试卷第2页，共4页

18.如图，三棱柱ABC-是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别为棱A3和

棱441的中点.

(1)求证：面BXCD1面ABBiAx.

(2)求二面角B.-CD-E的余弦值大小.

19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率.目前上

海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾.某

校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分

为A等级和8等级，得到如下列联表:

男生女生总计

A等级402060

B等级202040

总计6040100

(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定：显著性水

平a=0.05)?

2

附：/其中"="+b+c+d,P(Z>3.841)-0.05.

(o+b)(c+d)(a+c)(6+d)''

(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛.每局比赛由

二人参加，主持人A和8轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛.甲，乙两人参加

比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为：，主持人8提问甲赢的概率为义，每局比赛互

相独立，且每局都分输赢.现抽签决定第一局由主持人A提问.

(i)求比赛只进行3局就结束的概率；

(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望E(X).

22

20.已知双曲线r：土-乙=1,小B分别为其左、右焦点.

(1)求耳，工的坐标和双曲线「的渐近线方程；

⑵如图，p是双曲线「右支在第一象限内一点，圆c是△「4鸟的内切圆，设圆与尸耳，

PF。,百鸟分别切于点。，E,F,当圆C的面积为4兀时，求直线尸入的斜率；

(3)是否存在过点工的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,8两点，且使得

“ABfBA,若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.若无穷数列｛%｝满足：存在正整数T,使得%+7=%对一切正整数”成立，则称｛4｝

是周期为T的周期数列.

(几〃TT]

(1)若见=sin—+刀(其中正整数机为常数，"eN,〃Wl),判断数列｛对｝是否为周期

17"3)

数列，并说明理由；

⑵若%”=%+sina“(〃eN,〃21),判断数列｛七｝是否为周期数列,并说明理由；

(3)设｛2｝是无穷数列，=bn+sin(neN,n>1).求证：“存在％,使得｛见｝是

周期数列”的充要条件是“｛2｝是周期数列

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.(-8,1)(3,+co)；

【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果.

x-2>0,Jx-2<0

【详解】|x-2|>lox-2>l或

即x>3或x<l,所以不等式Ix-2|>1的解集为{x|x<l或x>3},

故答案为：(T[)(3,+8).

)应

2.arccos——

10

【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.

ab—3+4>/2

【详解】由向量的夹角公式得cos<。*.丽=而，又因为<。，'>4。同,

所以<a,b>=arccos—

10

拒

故答案为:arccos——.

10

5

3.-/2.5

2

【分析】根据复数的运算法则求出z,再写出复数的虚部即可.

r当的、5i_5i（l+i）_55

【详解】•2===（­）（］+『-5+1,

Imz=—,

2

故答案为：—

2

4.160

【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入厂=3可求出结果.

【详解】因为的展开式通项为4M

展开式中常数项，必有3-r=0,即r=3,

所以展开式中常数项为4=23C"8X20=16。.

故答案为：160

5.-6

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.

答案第1页，共13页

【详解】由正态分布的对称性，得(a-3)+(l-2a)=4,所以〃=-6.

故答案为：-6

6.2

【分析】直接根据椭圆方程得出离心率公式，则a可求.

【详解】由题意得椭圆离心率为包口=1，

a2

解得a=2,

故答案为：2.

7.粗

【分析】根据直线4方程求出直线4斜率为tan80?,由此确定直线6倾斜角80?,结合已知

条件求得直线倾斜角为60。，由此即可求得直线乙的斜率.

【详解】由直线4方程：y=xtan80?得4的倾斜角为80?,

所以4的倾斜角为60。，即乙的斜率为tan'O?「

故答案为：目.

8.(0,10][1000,+00)；

【分析】由绝对值等式可知/(x)g(x)20,代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值

范围求出结果即可.

【详解】因为|/(x)|+|g(x)|=，(》)+g(x)|，

所以y(x)g(x)NO,sp(lgx-l)(lgx-3)?0,

解得IgxWl或电才3,

所以x的取值范围是(o』o]/iooo,”)，

故答案为：(0,10]j[1000,+«)).

【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.

【详解】将函数y向右平移1个单位得到y=(x—l)3,

作出函数y=/(x)的图象如下：

要关于X的方程"X)=H有两个不同的根，

答案第2页，共13页

则函数y=/(x)和函数、=丘有两个不同的交点,

当丫=日过点(2,1)时，k=①,

所以当函数y=/(x)和函数y=区有两个不同的交点时，。(人＜；.

故答案为：［。彳］

3

10.-/0.75

4

【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件A的概率，同样利用排列组合计

算公式求出事件A笈的概率，然后直接利用条件概率公式求解.

【详解】川田=誓=:］，尸的=*》

3

3

10---

由条件概率公式得P(B|A)==24

51

3

故答案为：—.

4

40

11.—

3兀

【分析】计算出当水深为4cm时，水的体积，然后除以流速可得出时刻％的值，设水的深

度为"cm,求出力关于/的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm时，水升高的瞬时变

化率.

【详解】设f时刻水的深度为//cm,水面半径为rem,则=得r=：/i,

r38

所以当水深为4cm时，酒杯中水面的半径为■|cm,止匕时水的体积为x4=3?t,

23⑵

IT

设当水深为4cm的时刻为为,可得30rti=3兀，可得/(,=^5；

/、2A

又由题意可得30/=，兀/嵋=工兀x/?=—ith3,则/；=(640r丫

3318J64(兀J

所以〃=㈣

答案第3页，共13页

640j工2

所以当4时…713_40

cm/s)•

7110~3TI

40

故答案为：—

371

197181

12

【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到片坐标，进而得到

的坐标，从而得到侧棱2和

【详解】

以。为原点，以DA。。,。〃所在直线为苍丁/轴，建立空间直角坐标系,

。卓，。，《1，1口片（不。百），Q"o，%，zJ,如，%，1），

贝|JPQ=(=耳。|=(-石,%，°)，4A=(°，％，-zJ

由三棱柱可知=PQ,即1，］，。］，所以1

%=5

丽=PR,即（0,%,一4）=（0,另）,所以为=；,A*，

所以砥‘T,所以"ITT）

故这个三棱柱的侧棱长为此=+］_g；=噜，

故答案为：＜.

13.D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【详解】因为%＞0,

所以＞=3关+42/3关，=2折

xx

答案第4页，共13页

当且仅当3x=,，即％=且时，等号成立.

X3

贝ijy=3x+：（尤>0）的最小值是26.

故选：D.

14.A

【分析】由题意可知抛物线C的焦点厂（1,0）.易知充分条件成立，结合图形，举例说明必

要条件不成立，即可求解.

【详解】由题意知，将点P（2,2五）代入方程V=2px,即8=4p,得p=2,则抛物线C的

焦点厂（1,。）.

当点M的坐标为（1,0）时，点M与抛物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有1=|加|;当

d=|PM|时，点M的坐标不一定为（1,0）,理由如下：

如图，连接尸居当?刊=|尸网时，d=\PF\=\PM\.

因止匕“点/的坐标为（1,。）”是“〃=|尸网”的充分不必要条件.

故选：A.

15.C

【分析】根据题意算出«2024>-«2025>0）可得且6<0,由此对各项的结论加以判

断，即可得结论.

【详解】；^2023<$2025<$2024;

■,邑025—$2023>°，^2025—^2024<。，即。2024+“2025>。且“2025<°>

«2024>-a2025>0,且。2024>°，两边都除以。2024，得1>一4>°,可得T<"0.

对于A,由02025=4*4<0,可得q<0,故A项不正确;

对于B,由于所以4>0不成立，故B不正确；

答案第5页，共13页

对于C,因为一1<〃<0,所以0<1-4"V1-4，可得0<^-Vl.

1-4

结合同="一0'),可得反=|咄了目.J故C正确；

对于D,根据一1<4<。且％<0,当％=T,q=-g时，|Sj=l)|q|=g,

此时|Sj<@不成立，故D不正确.

故选：C.

16.B

【分析】作出与直线>=辰+机平行的函数/⑺的所有的切线，即可观察得到广⑺与k的大

小关系的不同区间，进而得出尸(x)=/'(x)-Z的正负区间，得出“x)的单调性，进而得到

尸(无)的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.

【详解】

/(%)=/(%)-Ax=>尸(%)=/'(%)-左,

作出与直线>=区+机平行的函数〃力的所有切线，各切线与函数〃%)的切点的横坐标依次

为a,b,c,d,e,

在a1,c,d,e,处的导数都等于k,

在(0,a),色c),(d,e)上，(⑺>%,F(x)>0,F(x)单调递增，

答案第6页，共13页

在(a,Z?),(c,d),(e,+oo)上,/1[x)<0尸(x)<O,*x)单调递减，

因此函数万(力=〃力-履有三个极大值点，有两个极小值点.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线>=6+，，7平行的函数/(X)的所有

的切线，由此观察图象即可顺利得解.

.5兀.兀/j

17.(1)ku-----,kit+—,(k,GZ)

_1212」'7

⑵"

2

【分析】(1)由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简/(尤)，根据复合函数的单调性求出

结果；

(2)由(1)及条件求出角A,根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果.

(详解】(1)〃%)=2sinxcosx+2A/3COS2A:一百=2sinxcos%+A/3(2COS2J;-1)

=sin2x+V3cos2x=2sin

jrjr

令〃=2x+§,则/(w)=2sin〃，函数〃=2x+]为增函数，

兀71

当2防1一万,2阮+Q,%£Z时函数/(〃)=2sin〃为增函数，

IL

即2kn——W2x+—W2kn+—,keZ,得阮---WxW阮+—,keZ,

2321212

5兀JT

所以函数/(X)的单调增区间是kTt--,kTt+—,(ZeZ).

(2)(2)由已知/(A)=2sin(2A+*l,所以si“2A+升;，

因为0<A<?所以弓<2A+5<¥，即2A+g=^,所以A=£,

2333364

XA8-AC=|AB|.|AC|COSA=72,所以k2,人。卜2,

所以ABC的面积5=子48,4(?卜inA=；x2x#=孝.

18.(1)证明见解析

⑵如

10

答案第7页，共13页

【分析】（1）根据等边三角形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的性质、线面垂直的判

定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）方法一：根据二面角定义，结合（1）的结论、线面垂直的性质，结合余弦定理进行求

解即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）。为棱A3中点，ABC为正三角形，.'ABLCD.

又三棱柱ABC-AB£是直三棱柱，

M1ffiABC,又CDu面ABC,z.AA.1CD,

而AB⑨=448,9u平面ABBE，

\CD人面ABB,A,,CDu面3C。，

•••面BtCD1面ABBlAl■

（2）由（1）得，CD_L面ABB14,

..CDIB^D.CDIED,

■■■NBQE是二面角耳-cn-E的平面角，

在ABC中，CD=^2,BD=B,E=-j5^cosZB,DE==—

t3矿J10

二面角片-。-E的余弦值为巫.

10

方法二：以。为原点，建立直角坐标系如图：

则D(0,0,0),B(l,0,0),C(0,y/3,0),Bx(1,0,2),E(-l,0,1),

DC=(0,73,0),OB,=(1,0,2),DE=(-1,0,1),

设平面BtCD、平面CDE的法向量分别为公巧，

771-DC=5/3=0

.••%可以是(2,0,-1)

〃1•DB]=否+2Z]=0

答案第8页，共13页

n2•DC—y/3y2—0

•••%可以是(1,0,1),

n2•DE--x2+z2=0

二.二面角B.-CD-E的余弦值为巫.

10

19.⑴无关

（2）（i）！；（ii）分布列见解析，找

18Wo

【分析】（1）计算/的值，再与3.841进行比较即可得结论;

（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；

（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出P（X=0）,P（X=1）,P（X=2）,则分布列可得,

再由期望公式求数学期望即可.

【详解】（1）提出原假设乜）：学生对垃圾分类的了解程度与性别无关,

确定显著性水平&=0.05,由题意得，a=40,6=c=d=2。

1

2_n(ad-bc)_100x(40x20-20x20)"_25

守,(〃+b)(c+d)(a+c)伍+d)60x40x60x409

25

由尸(723.841)a0.05,且豆<3.841,

所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.

2122

（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为=g

比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为02=11-：）“-3卜（1-.=5,

215

故比赛只进行3局就结束的概率为A+A=-+-=-；

9lolo

（ii）X的可能取值为0,1,2,3,

X=0,即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故P（X=0）=LL'=’，

32318

X=l,即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢,

71111111125

^P(X=l)=-x-x-X—+—X—X—X—+—X—X—X—=

323232336

X=2,即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢,

211112121121111

故P(X=2)=]x—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+

23233232332323

答案第9页，共13页

11211111111121113

—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=,

323233232332323108

X=3,即最后甲赢得比赛，由概率性质得

p(X=3)=l-P(X=0)-P(X=l)-JP(X=2)=l-^-^-^=||

所以分布为

X0123

151337

P

183610854

故数学期望为E(X)=0x：+lx[+2x击+3碍=联

lo36lUo34luo

20.(1)月(-3,0),6(3,0),y=±6x

-2

(3)存在，y=±^-(x-3).

【分析】(1)直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；

(2)由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径r=2,再借助于点到直线的距离公式求

直线尸耳的斜率；

(3)假设存在直线/,由/耳42=/耳54得闺A卜|耳目，取A3的中点则与=-1,

进而得焉+需=9；又利用：5得4y：=5片-15%,于是联立方程组可得M的坐标，

迤一匹=1

145

从而得到直线/的斜率并得出直线/的方程.

fv2

【详解】(1)因为双曲线「:土-乙=1,所以/=4*2=5,所以0=3,

45

即耳(一3,0),工(3,0),

所以双曲线「的渐近线方程是y=±咚X;

(2)由题意可知|PD|=|PE|,\FlD\=\FlF\,\F2F\=\F2E\,

所以IP6H尸E1=(1PD\+\DFt\-(]PE\+\EF21)HDF,\-\EF21=|所H%[=2a=4,

二.尸(2,0),即尸是椭圆右顶点

设圆C的半径为厂(厂＞0),因为圆C的面积为4兀，则兀/=4兀，即r=2,

答案第10页，共13页

CF1^F2,

••・设直线尸鸟的斜率为k,则直线2心的方程为丫=笈。-3),即辰-y-3K=。,

由圆心C到直线尸入的距离等于圆的半径，

\2k-2-3k\

可得=2,

J*1

4

解得直线尸耳的斜率为左=3

(3)假设存在过点4的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点，且使得

ZFlAB=ZFlBA,

设4(芯，乂),B(x2,y2),AB中点为“(%,%),又不(-3,0),&(3,0),

由N£A3=N£5A,可知△尸/5为等腰三角形，|£A|=|£B|,且直线/不与x轴重合,

于是GM_LAB,即

因止匕kFM-kMF--1,°,°3=T,君+需=9(1),点A,8在双曲线「上,

AQJXQ—J

’22

匚2L=1①

45

所以《22

-一互=1②

145

5

①-②化简整理得：3号%一、25%%一%

xi—x24'x0Xj-x24

则如2%可得停卷rl4"5焉-15%叫

22

|x0+y0=94

联立(I)(II)得N%?=5%2-15尤0=3片—5%—12=0,得/=一§或％o=3(舍)，所以

、

/土±妪

33

7

所以直线/的方程为尸士嗒(x-3).

【点睛】关键点点睛:针对类似于4A2=4胡的角度问题，一般情况下会转化垂直问题,

再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题.

答案第11页，共13页

21.是周期为2%的周期数列,理由见解析

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据题设定义，利用