2024年4月上海市徐汇区高三数学二模(含解析)

2024学年其次学期徐汇区学习实力诊断卷

高三年级数学学科

2024.4

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生

应在答题纸的相应位置干脆填写结果.

1.设全集0={1,2,3,4},集合A={x|x2_5x+4<0,xeZ},则C〃A=.

2.参数方程为1a为参数)的曲线的焦点坐标为_____________.

y=2t

3.已知复数z满意忖=1,则|z-2|的取值范围是.

2

4.设数列{4}的前〃项和为S“，若S〃=l—(neN*),贝”吧S“=.

5.若(x+」-)"(n>4,neN*)的二项绽开式中前三项的系数依次成等差数列，则n=.

2x

6.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形态大小一样的卡片上,随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6

的数的卡片的概率为.(结果用最简分数表示)

124

xX|

7.若行列式cos土sin-0中元素4的代数余子式的值为一，则实数x的取值集合为.

8.满意约束条件国+2|y|K2的目标函数z=y—x的最小值是

log2x,0<x<2

9.已知函数/(x)=<2.5.若函数g(x)=/(x)-左有两个不同的零点，则实数k的取值范围

(3)+9,x~2

是.

10.某部门有8位员工,其中6位员工的月工资分别为8200,8300,8500,9100,9500,9600(单位:元),

另两位员工的月工资数据不清晰，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的

最大值为元.

11.如图:在AABC中，M为上不同于氏C的随意一点，点N满意AN=2NM.若/)

AN=xAB+yAC,则的最小值为.BM

12.设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，假如单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的值域

也是A,则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数

2

已知定义域为可的函数/心）=1——r，函数/（X）与g（x）互为反函数，且h（x）是/（X）的一个“保值

打一3|

域函数”，g（x）是/z（x）的一个“保值域函数”，则

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.“龙＞1”是“工＜1”的（

)

x

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

14.《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内

角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处

堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,

米堆的高为5尺，间米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的

体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）

(A)21斛(B)34斛(C)55斛(D)63斛

15.将函数y=--的图像按向量£=（1,0）平移，得到的函数图像与函数y=2sin»x（-2＜x＜4）的图像的

X

全部交点的横坐标之和等于（）

(A)2(B)4(C)6(D)8

22

16.过椭圆土+-J=1（加＞4）右焦点厂的圆与圆O:必+V=1外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹

mm—4

是（）

（A）一条射线（B）两条射线（C）双曲线的一支（D）抛物线

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图：在四棱锥P—ABCD中，PA±^ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AD=2.

(1)求异面直线PC与A3所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；P

(2)若点E、E分别是棱AD和PC的中点，求证：石歹工平面必。./

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

m,4，+1

已知函数/(x)=---是偶函数.

(1)求实数加的值；

(2)若关于x的不等式2h/(x)〉342+1在(_oo,0)上恒成立，求实数左的取值范围.

19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，

某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间的6点处，丙

船在最终面的C点处，且3。：/43=3:1.一架无人机在空中的

P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得ZAPB=30°,

NBPC=90°.(船只与无人机的大小及其它因素忽视不计)

(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；

(2)若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距

离.(精确到1米)

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）

222

如图：椭圆上+y2=1与双曲线二—与=1（。〉01〉0）有相同的焦点耳、F它们在y轴右侧有

2crb~

两个交点A、B,满意=将直线A3左侧的椭圆部分（含两点）记为曲线叫，直线AB

右侧的双曲线部分（不含A,5两点）记为曲线叫.以耳为端点作一条射线，分别交叫于点P（%,%），

交比2于点加（%”，为）（点又在第一象限），设此时RM=m-RP.

（1）求快的方程；

（2）证明:4=工，并探究直线ME,与尸居斜率之间的关系；

m

（3）设直线g交叫于点N,求的面积S的取值范围.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

现有正整数构成的数表如下：

第一行：1

其次行：12

第三行：1123

第四行：11211234

第五行：1121123112112345

第左行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…,直至按原序抄写第左-1行，最

终添上数K（如第四行，先抄写第一行的数1,接着按原序抄写其次行的数1,2,接着按原

序抄写第三行的数1,1,2,3,最终添上数4）.

将依据上述方式写下的第n个数记作。”（如4=1,%=I,%=2，。4=1，…，%=3，…，

。14=3,%5=4,）•

（I）用友表示数表第左行的数的个数，求数列｛4｝的前左项和4；

（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求％和为。的值;

若不是，请说明理由；

（3）令S”=。］++。3++4"，求邑。"的值.

参考答案

一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)

7

1.{1,4}2.(1,0)3.[1,3]4.15.86.—

7.=ezj8.-29.(1,1)10.880011.|-12.1

二、选择题：(共20分，每题5分)

13.A14.A15.D16.C

三、解答题

解：(1)以点A为原点，以A3方向为x轴正方向，4。方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，则

P(0,0,2),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),........2分

所以，PC=(2,2,-2),AB=(2,0,0),.........4分

设PC,AB的夹角为a,

nilPCAB4V3八

贝！Icosa=।--j—i-----r=—T=—二:一,.....5分

|PC|-|AB|2V3-23

所以，PC,A5的夹角为arccos75,

3

即异面直线PC与AB所成角的大小为arccos—.........6分

3

(2)因为点E、尸分别是棱AD和PC的中点，

可得E(0,l,0)，F(l,l,l),所以丽=(1,0,1),..........8分

又BC=(0,2,0),PC=(2,2,-2),.........10分

计算可得E/-PC=0,E/］仁二。，.....12分

所以，EF±PC,EF1BC,又PCBC=C,所以EFL平面网。14分

m•4"+1

瓜(1)因为函数小户二^是定义域为R的偶函数，所以有=-2分

x

口门m•4一”+1m-4+l

即---------

Tx

m+4Xm-4A+1八

即nri------二---------，.........................................4分

2X2X

故m=l.........................................................6分

Ax।1

(2)/(x)=--------〉0,3左2+1〉0,且2h/(x)〉342+1在(—8,0)上恒成立,

2X

9k1

故原不等式等价于在(—8,0)上恒成立，.............8分

3k+1/(%)

XXG(-00,0),所以/(X)£(2,+00),...................................................10分

所以...................11分

fM12)

smZCBPsmZCPB1

又生=3,sinZABP=sinZCBP,.............................................................6分

AB1

Apo2

故一=—.即无人机到甲、丙两船的距离之比为一................7分

CP33

(2)由BC:AB=3：1得AC=400,且NAPC=120°,.........................................9分

由(1),可设AP=2x,贝!JCP=3x,..............................................................10分

在AAPC中，由余弦定理，得160000=(2X)2+(3X)2-2(2X)(3X)COS120。，……12分

解得产胆=理叵，

19

即无人机到丙船的距离为CP=3比=1200Mx275米.-…14分

19

20、解：(1)由条件，得且(1,0),依据区4+68=0知，尸2、4、8三点共线，

且由椭圆与双曲线的对称性知，A、8关于x轴对称，

J?J?

故A5所在直线为尤=1,从而得A(1,X—),5(1,--)..........2分

22

所以，5一2=1，又因为工为双曲线的焦点，所以4+尸=1,

解得...........................................3分

2

22

因此，区的方程为十—十=1(%>1)........4分

22

M(X,JM)，=(X+1,JM),

⑵由P(Xp,yp)、M得耳P=(xp+l,yp),FXMM

xM+l=m(xp+l)XM=mx+771-1

由条件，得即｛p..........5分

mm

yM=yPyM=yP

由P(尤p»p)、分别在曲线”和抬上，有

<2%,消去加，得

22

2(jnxp+m-l)-2(myp)-1

2

3mx；+4m(m—V)xp+1—4m=0(*)7分

1]1—4H2

将一代入方程(*),成立，因此(*)有一根/=—，结合韦达定理得另一根为马=—因为

mm3m

机>1,所以与=」1—4-J"Tl<」，舍去.

P3m

所以，%=-8分

m

21

m——

从而P点坐标为(工,2

)，

mm

所以，直线PF2的斜率左时.........................9分

1-m

由“=mxp+加-1=加，得M（加,

所以，直线班的斜率左.2.............10分

m—1

因此，“鸟与P居斜率之和为零.......................11分

(3)由⑵知直线PF?与"关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点产与点N关于x轴对称，故

14分

因为S在(1,+0。)上单调递增,.......................15分

所以,S的取值范围是(&,+8卜...................................16分

21、解：(1)当上22时，

4=G+，2+a-1+1»............................................2分

&+1=：+，2+&+1，

于是&+]_(=&，即&+i=2几，又质=2：片=1,..............3分

所以友=2人，

故[=1+2+22++2i=2"-l...........4分

(2)由4=21得第8行中共有27=128个数，

所以，第8行中的数超过73个，-一一6分

7

«0=7；+73=2-1+73=200,…7分

从而fa%=。200="73，

由26-1=63<73,27-1=127>73,

所以，按上述依次依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知

^73=^10=2.........................................................................................................................9分

9

所以，分

a他n=2.......................................................................................10

(3)由于数表的前n行共有2"-1个数，于是，先计算Sy」.

方法一：在前2"-1个数中，共有1个〃，