第五章 三角函数 尖子生培优卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（）A． B．C． D．2．已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（）A． B． C． D．3．函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）A． B． C． D．4．已知点在函数（且，，）的图像上，直线是函数图像的一条对称轴.若在区间上单调，则（）A． B． C． D．5．已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．56．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知，给出下列结论：①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.其中，所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（）A．是奇函数 B．是周期函数C． D．在上是增函数10．已知函数，下列说法正确的有（）A．函数在上单调递减B．函数是最小正周期为的周期函数C．若，则方程在区间内，最多有4个不同的根D．函数在区间内，共有6个零点11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．水斗作周期运动的初相为B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为612．设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（）A．的周期为B．的单调递减区间为C．的对称轴为D．的图象可由的图象向左平移个单位得到三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数______.14．已知函数，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上）①是函数的一个周期；②的图象关于点中心对称；③在区间上单调递减④的值域为．15．在△中，已知，其中.若为定值，则实数_________.16．已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．已知函数的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若函数，当时，求的值域.18．已知函数.（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；（2）若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．19．如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；（2）求的最值．20．已知函数.(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求实数的值.21．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．22．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.参考答案1．D【解析】依题意，正的高为1，则其边长，如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，于是得，，，因此，，即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数的图像大致是选项D.故选：D2．A【解析】解：对A，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令时，所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；对B，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令，所以当时，符合题意，故B正确；对C，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；令，则，，所以当时，符合题意，故C正确；对D，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；令，，，所以当时，符合题意，故D正确.故选：A.3．D【解析】∵，，∴，，又对于任意的都有，∴，，∴，又，∴或，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，C错误，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，A错误，当时，，若，则，∴在上单调，D正确，故选：D.4．C【解析】∵在区间内单调，，得，所以∵是函数的零点，直线是函数的图象的一条对称轴，∴，若，则，此时，得，满足条件，若，则，此时，得，不满足条件，综上可知，函数，∵是函数的图象的一条对称轴，∴，即，∵，∴，故选：C5．A【解析】因为，，所以，，，即，，，即，，则，因为，所以，，因为，所以的最大值为，故选：A.6．C【解析】因为函数是偶函数，所以，即，，解得，，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选：C.7．A【解析】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．，，当，则，求得；当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．综上，可得，故选：A．8．D【解析】∵，∴的最小正周期为.对于①：因为f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期为T=2π，.故①错误；对于②：图象变换后所得函数为，若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，当k=0时，.故②正确；对于③：设，当时，.在上有7个零点，即在上有7个零点.则，解得.故③错误；对于④：由，得，取k=0，可得，若f(x)在上单调递增，则，解得.故④正确.故选：D.9．AB【解析】解：对A，由令，得，，为奇函数，故A正确；对B，令，得是周期函数，故B正确；对C，当时，符合题意，但是，故C错误；对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.故选：AB.10．ACD【解析】，为偶函数，当时，，所以，又，由在为减函数可得在上单调递减，故A正确；当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；方程在区间内根的个数，等价于与的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C正确；由函数图象可得在区间有6个零点，故D正确.故选：ACD.11．AD【解析】对于A，由，知，，所以；当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．故选：AD．12．ABD【解析】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.，解得，，B正确；，，，C错误；的图象向左平移个单位得，D正确．故选：ABD．13．或【解析】解：由题知，直线与与函数的图象相交等价于直线与函数的图象相交设，，所以，又由得：即化简得：①由题知点和点的中点坐标为：当直线与函数的交点在轴上方，则即，化简得：②由①②联立得：，所以即解得：当直线与函数的交点在轴下方，则即，化简得：③由①③联立得：，所以即解得：所以或故答案为：或.14．①③【解析】对于①，，是函数的一个周期，①正确；对于②，，，所以，所以的图象不关于点中心对称，②错误；对于③，当时，，，，函数单调递减，③正确；对于④，，，，函数单调递增，由③得函数在上单调递减，又，，，且由①得是函数的一个周期，故函数的值域为，④错误；故答案为：①③.15．【解析】，∴恒成立，则，.故答案为：16．【解析】解：，，．根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，解得，，，此时在轴左侧至少有2个最低点．函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，又，则，故，时，在，恰有3个最低点．综上所述，．故答案为：．17．（1）（2）18．（1）和（2）解：因为，所以，由的图象关于直线对称，可得，所以解得，又因为，所以当时，.所以，令，解得，又由，所以，或，即在上的单调递增区间为和.（2）解：由已知得，令得，即，因为在上仅有一个零点，所以，由于，所以得，解得因为，所以，所以.19．(1)；(2)．【解析】(1)在中，则，又，即有，同理有，显然为锐角，因此，，因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，所以；(2)由(1)知，令，则，因，则，，于是得，又，则，因在上单调递减，当，即时，，当，即或时，，所以.20．(1)，；(2).【解析】(1)∵由，得，解集为，(2)∵，∴，，①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综