2024考二轮数学讲义 三角函数中ωφ的范围问题

2024高考二轮数学新教材讲义微重点3三角函数中

co,（P的范围问题

1.（2023・潮州模拟）若於尸sin（2x+§在区间［―f,力上单调递增，则实数t的取值范围为（）

A.偿,B.（0,

端,3］D.（0,1

2.（2023・成都模拟）将函数段）=$皿（5+：）（3>0）的图象向右平移：个单位长度后得到函数四）

的图象，若g（x）在佯，苧）上单调递增，则”的最大值为（）

A.1B.JC、D.1

3.设函数y（x）=sinx在［a,a+专上的值域为［M,N］,则N—M的取值范围为（）

A（2）阴B（?小］

C.J—坐,1］D.J—坐,

TT

4.（2023•湖州模拟）已知函数<x）=acos5（〃W0,加>0）,若将函数y=«x）的图象向左平移疏

个单位长度后得到函数丫=83的图象，若关于x的方程g（x）=0在［o,居］上有且仅有两个不

相等的实数根，则实数。的取值范围是（）

rio24、「16八

A.—,—JB.41

C［34）D.愕,的

5.（2023•开封模拟）已知函数危）=sin3c+9）（m>0,。（”宫的图象过点P（0,现将丁=%）

的图象向左平移;个单位长度得到的函数图象也过点尸，则（）

A.0）的最小值为2B.co的最小值为6

C.①的最大值为2D.G的最大值为6

6.（多选）（2023•宜春模拟）设函数段）=sin（cax一卷）

（①>0）,若的图象与直线丁=一1在血2兀］上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（）

A.co的取值范围是祟H）

B.y（x）在［0,2用上有且仅有2个零点

6

则-

C.若7W的图象向右平移自个单位长度后关于y轴对称,-5

D.若将/（x）图象上各点的横坐标变为原来的看得到函数g（x）的图象，则g（x）在［。，用上单调

递增

兀九-|

7.（2023・沈阳模拟）已知函数於）=sincox+cos①x（①>0）,若三回£—7］使得危）的图象在

点（枇，兀卬））处的切线与x轴平行，则口的最小值是.

8.（2023•北京模拟）设函数;（x）=sin（0x+§（o>O）.给出一个。的值，使得./（x）的图象向右平

移/个单位长度后得到的函数g（x）的图象关于原点对称，则。的一个取值为

;若直外在区间（0,兀）上有且仅有两个零点，则s的取值范围是.

9.（2023・晋中模拟）已知函数次x）=sin2x+小cos2r的图象向左平移以夕乂））个单位长度后得

到函数g（x）,若g（x）在［一々，是上单调，则。的最小值为.

10.设函数於）=sin（（ox+9）,其中<o>0次0）=坐，且/（*）+/停）=。，则。的最小值为

微重点4平面向量数量积的最值与范围问题

1.（2023・咸阳模拟）已知向量a,b,且|。|=网=5,|。+）=6,则依+"«£R）的最小值为（）

24八“八16C12

A.-yB.4C.yD.-y

2.（2023•辽宁省名校联盟联考）已知单位向量a,b,若对任意实数x,|xa+b|Z田恒成立,

则向量a，5的夹角的取值范围为（）

「兀37fl「兀2兀一

A.不TB.亨至

717U兀71~

C.D.

4f2r2

3.（2023•成都模拟）如图，四边形ABC£>中，E为AB的中点，M为线段4。上的动点，若说

^XBE+nBD,则2+"的取值范围是（）

A.(1,+8)B.(0,1)

C.[1,2]D.[0,2]

4.（2023•北京模拟）已知e为单位向量，向量a满足a-e=2,|“一初|=1,则⑷的最大值为（）

A.1B.2C.小D.4

5.（2023•深圳模拟）已知aABC是单位圆O的内接三角形，若A=：，则赢灰的最大值为（）

D.陋

6.在四边形A8CD中，点后为4。的中点，点F为BC的中点，且丽|=1,|而|=2,若诵•灰＞0,

则|函的取值范围是（）

3-

2

7.（多选）（2023•南通模拟）平面向量a,5满足/—ab—4=0,向=3,则同的取值可能是（）

8.（多选）（2023・岳阳模拟）如图，正方形A8C。的边长为2,P是正方形ABC£＞的内切圆上任

意一点，AP=kAB+^Aba，〃CR）,则下列结论正确的是（）

A.行•烈的最大值为4

B.〃的最大值为当

C.4卜防的最大值为2

D.2+〃的最大值为1+坐

9.（2023・安康模拟）在aABC中，C4=CB=2,。为AC的中点，则OCOB的取值范围是

10.已知向量a,b满足⑷=1,俗|=3,则|2a+b|+|2a—”的最小值是,最大值是

培优点5极化恒等式、奔驰定理与等和线定理

1.如图，AB为。。的直径，P是A8上任一点，M,N是直径AB上关于点。对称的两点,

且A8=6,MN=4,则前•丽等于（）

A.13B.7C.5D.3

2.点O为AABC内一点，若S^AOB'S&BOC：SAAOC=4：3：2,设位）=%赢+“病，则实数2

和〃的值分别为（）

2442

--

一

一9

A.夕99

12

CD.§,

99

3.如图，在四边形MNP。中，若局）=而，|曲|=6,|5>|=10,MN-MQ=-28,则称•小

等于（）

A.64B.42

C.36D.28

4.如图所示，正方体ABCD-A\B\C\Dy的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面

上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，

丽•丽的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,3]D.[0,4]

5.（2023・佛山模拟）已知4（-1,0）,8（2,0）,若动点〃满足加8=2肱4,则麻・麻的最大值是（）

9

A.一'B.4

C.12D.18

6.（多选）给定两个长度为1的平面向量为和拉J,它们的夹角为号，如图所示，点C在以。为

圆心的上运动，若无=》后+），油（x,yCR）,则x+y的取值可以是（）

二

oA

A.1B.1C.2D.|

7.（多选）（2023•六安模拟）已知。是△ABC内一点，△8OC,△AOC,△AOB的面积分别为

SABOC，SAAOC，SAAOB，则SZ\6OCOA+SZ\AOCO3+SZ\AOBOC=0，ABAC,NA3C，Z.ACB分

别是AABC的三个内角，以下命题正确的有（）

----------

A.若20A+30B+40C=0,贝US„BOC:SAAOC:SAA.B=4：3：2

B.若|方i|=|加|=2,ZAOB=y,且2a+3m+4&=0,则SAABC=¥

C.若®•无=5k流=次苏，则。为△ABC的垂心

D.若。为△A8C的内心，且5a+12励+13及'=（）,则ZACB=^

8.（2023・黄冈模拟）如图，已知菱形ABCC的边长为2,ND48=45。.若M为菱形48CE）内部（含

边界）任一点，则麻•访的取值范围是.

9.若△ABC内接于以。为圆心，以1为半径的圆，且3夕+4为+5次=0厕AABC的面

积为.

10.如图，圆。是边长为2小的等边△42C的内切圆，其与BC边相切于点。，点M为圆上

任意一点，BM=xBA+yBD（x,>GR）,则2x+y的最大值为.

A

微重点3三角函数中“，°的范围问题

1.D2.A3.B4.B5.A

6.AC［由题意若_/U）的图象与直线丫=-1在［0,2扪上有且仅有1个交点,

则。x—弩G［一知，2^-y］,结合正弦函数图象，如图，

,-n2兀

由于一2＜一丁，

_LL3兀2兀7兀

故5"W2①兀一亍下，

1939

解得而〈而，

即［品，即，A正确；

结合以上分析可知5一知6［一尊2sL第，

2防冬修,,，

当＜wx—卷=也，々WZ时，y（x）=0,由此可知当ox—卷=0或n时，函数一定有2个零点,

当。x一2年兀=2兀或3兀时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是，

即_/（x）在［0,2扪上可能有2个零点，也可能有3个或4个零点，B错误；

凡r）的图象向右平移专个单位长度后关于y轴对称，

即平移后图象对应的函数

产sin[“(x迷)一用

.(con2n

=sinlcox—jy—~为偶函数,

a)Tt2兀兀।1

则一~py—7=]+E,kez,

即G=一弓一12鼠&RZ,只有当Z=-1时，即，C正确;

将/U)图象上各点的横坐标变为原来的3,得到函数g(x)的图象,

则g(x)=sin(2@x一餐)，xw[o,:,

_27CCO7l_27f]

则2Gx~~59

由于"e[舄,lo)>

4/r_——「3兀23。

®C--TGL40,初,

h兀2兀3兀兀23兀

而一于一丁，而＜5〈而，

故g(x)在0,今上不一定单调递增，D错误.]

7-4&2(1.|

9工

解析函数段)=sin2x+小cos2x

=2sin(2x+§,

，函数«x)的图象向左平移勿个单位长度后得到g(x)=2sin2(1+3)+^=2sin^2x+2^+^j,

当节时,

_兀一,71.2,71

2p—WW2X+29+QW23+至,

7T7T

又g(x)在一不彳上单调,

由正弦函数的单调性可知,

2p-季，2。+争]£[2E+T,L,

2

3冗--兀2兀---

2E十寸3兀一(MZ)或2夕一看，2^4-yc2far—2E+](%£Z).

要使9最小，则2取0,故有

29-胪了2-杳一于

〈一或1,

12@+-^wU卜+胃芍,

结合夕>0,解得打衿驾，

综上，8的最小值为全

10.1

解析因为"x）=sin（cor+9）,式0）=苧，

、巧jr27r

=

所以sin（p=2^则3=§+2对兀或（p~+2k\n9kgZ,

因为/（*）+/俘）=0，

且一介驿尹2号，

若要使3最小，则结合正弦函数的对称性可知大X）关于点。，0）对称，

所以sin年u+,=0,贝曲+8=22兀，k?GZ,

当夕=守+2玄兀时，扣+号+2所兀=痴，则号=一/心一2Z],其中M&Z,fa^Z,

因为5>0,所以一3+幻一2攵]>0,则攵2—22i>；,又女2—2Z]£Z,

所以（超一2e）min=l,则住）min=-/2-22i）min=|,故①min'；

当°=专+2向定时，加+用+2佑兀=女2兀，则竽=—；+22-2鬲，其中Z]£Z,k?GZ,

22

因为8>0,所以一]+22-2&i>0,贝U左2—2攵1>]，又依一22I£Z,

所以仅2—2鬲）min=l,则图min=一亨+出一2角）min=g,故。min=,；

4

-

综上，Q^min3

微重点4平面向量数量积的最值与范围问题

1.A2.B3.C4.C

jr

5.C[如图所示，圆。是△ABC的外接圆，且人=不所以08_L0C,

又0=无一才1,所以赢•灰'=

OBOC-OAOC=~OAOC

=—cos(OA,OC),

故当力，沆反向共线时，油•灰;最大，

所以(赢.dbmaxU.]

6.A[因为珠=西+油+济，EF=ED+DC+CF,

又点E为4。的中点，点尸为BC的中点，所以2部=油+力h

又因为0<矗•庆W1X2=2,

所以4\EF]1=AB2+DC2+2ABDC>l+4=5,

且4|丽2=病+诙2+2嘉庆wi+4+2X2=9,

所以4|函2G(5,9],

即面(卓|.]

7.ABC[设向量a,b的夹角为仇

；层一0方一4=0,步|=3,

4=〃.5=3|〃|cos0,

⑷2—44

/.3cos0=-j-j-=|a|一力|C<|，且a#0,

4

.,.-IWcosOWl,即一3W|a|一而W3,V|a|>0,，解得lW|a|W4.]

8.ABD[以正方形ABC。的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系,

则A(T,-1),B(l,-1),£»(-1,1),

设尸(cos仇sin3),。昼[0,2元)，

则祚=(l+cos。，1+sinJ),Q=(2,0),访=(-2,2),Ab=(0,2),

所以布•M=2(1+COS6),

所以当0=0时，行•赢的最大值为4,A正确；

APBD=-2(l+cos。)+2(1+sin6»)=2(sin。-cos，)=2gsin((?一；；

所以当6=空时，崩•彷的最大值为2巾，C错误；

由崩=*力+/显知

(1+cosal+sind)=42,0)+〃(0,2),

(1+cos0

fl+cos0=2z,'=-2-'

所以,得〈,

〔1+sin。=2",1+sin0

¥=-2一'

则2—〃=T(cos0—sin9)

=^cos(，+q),所以当e=华时，

-v/2

力一〃的最大值为奇，B正确；

2+"=1+号(cos6+sin0)

=1+乎sin(0+；),所以当64时,2+〃的最大值为1+乎，D正确.]

9.(-1,3)

10.62VB

解析,：\2a+b\+\2a-b\^\2a+b-\-2a-b\=4\a\=4,

且|2«+6|+|2a—臼冽2a+b—2。+臼=2步|=6,

J.|2a+"+|2a—》|26,当且仅当2a~\~b与2a-b反向时等号成立.

此时|2a+臼+|2°一例的最小值为6.

_\2a+b\+\2a—b\

・2

22

<^\2a+b\+\2a—b\-

=d|2肝+|肝=回,

A|2a+Z>|+|2a-*1^2^13,

当且仅当|2a+b|=|2a一例时等号成立,

...|2a+%|+|2a—目的最大值为2VH.

培优点5极化恒等式、奔驰定理与等和线定理

1.C2.A3.C4.B5.D

6.ABC［令x+y=Z,如图，在所有与直线A8平行的直线中，切线离圆心最远，即此时左

—►

取得最大值，又NAOB=§,则％=也=2.

\0E\

当点C在4或8）处时，x+y最小为1.

故x+y的取值范围是［1,2］.

7.BCD[对于A,2®+3协+4灰'=(),

则SABOC:SAAOC:S<MOB=2：3：4,故A错误；

对于B,5AAOB=^X2X2Xsin^=V3,

又2万1+3m+4元=0,

故S&BOC:S^AOC:SAAOB=2：3：4,

所以SAABC—^SAAOB—^^,故B正确；

对