第4章数列章末测试(提升)(原卷版+解析)

第4章数列章末测试（提升）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分）1．（2023·全国高二单元测试）设是等比数列，且，则（）A．12 B．24 C．30 D．322．（2023·全国高二单元测试）用数学归纳法证明，从推导到时，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．3．（2023·全国高二单元测试）设i是虚数单位，则的值为（）A． B．C． D．4．（2023·江苏高二单元测试）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（）A．9 B． C． D．25．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项的和为，且，则（）A．为等比数列 B．为摆动数列C． D．6．（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，，则的前30项之和为（）A． B． C． D．7．（2023·全国高二单元测试）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（）A．4041 B．4039 C．2021 D．20208．（2023·浙江高二单元测试）已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A．4 B．6 C．7 D．8二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023·全国高二单元测试）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．或为的最小值10．（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前项和11．（2023·全国高二单元测试）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．（2023·全国高二单元测试）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若，，则C．若，则数列是递增数列D．若数列的前和，则三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·全国）等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6＜S7，S6＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9＜S6；③S14＜0；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是______（填序号）．14．（2023·全国高二单元测试）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.15．（2023·全国高二单元测试）设各项均为正数的数列的前项和满足，,则数列的前2020项和____．16．（2023·全国高二单元测试（理））已知函数，对于，定义，则的解析式为________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2023·浙江高二单元测试）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（2023·全国高二单元测试）对于数列{an}，a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣．（1）求a2，a3，a4，并猜想这个数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19．（2023·全国高二单元测试）已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，.（1）求q与的通项公式；（2）记，求证：.20．（2023·广东惠州）若数列的前项和满足，等差数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．（2023·全国高二单元测试）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.22．（2023·全国高二单元测试）在数列中，，.（1）证明，数列是等差数列.（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.第4章数列章末测试（提升）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分）1．（2023·全国高二单元测试）设是等比数列，且，则（）A．12 B．24 C．30 D．32答案:D解析：设公比为q，因为是等比数列，且，所以，所以q=2，所以.故选：D.2．（2023·全国高二单元测试）用数学归纳法证明，从推导到时，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．答案:A解析：当时，等式左端为，当时，等式左端为，所以从推得到时，左边需增乘的式子为.故选：A.3．（2023·全国高二单元测试）设i是虚数单位，则的值为（）A． B．C． D．答案:B解析：设，两端同乘以得：，相减，得：，，可得：，可得：，故选：B.4．（2023·江苏高二单元测试）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（）A．9 B． C． D．2答案:B解析：由题意，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：B．5．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项的和为，且，则（）A．为等比数列 B．为摆动数列C． D．答案:D解析：因为①，当时，，解得：，当时，②，①-②得：，即，所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，所以，所以，所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，，故选项不正确，选项正确.故选：6．（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，，则的前30项之和为（）A． B． C． D．答案:A解析：因为，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，所以.故选：A7．（2023·全国高二单元测试）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（）A．4041 B．4039 C．2021 D．2020答案:B解析：∵等差数列存在最大值且，∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴，∵，所以∴，.所以满足的最大正整数的值为.故选：B．8．（2023·浙江高二单元测试）已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A．4 B．6 C．7 D．8答案:C解析：因为，故.同理，故，所以，即当时，取得最小值.故选：C.二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023·全国高二单元测试）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．或为的最小值答案:AB解析：在等差数列中，依题意，，即，B正确；因，则，A正确；由得数列是递减数列，于是有，即得，C不正确；因，则有，又为递减数列，因此，或为的最大值，D不正确.故选：AB10．（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前项和答案:AD解析：因为，所以，所以，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，可得，故选项A正确，选项B不正确；因为单调递增，所以单调递减，即为递减数列，故选项C不正确；的前项和．故选项D正确；故选：AD．11．（2023·全国高二单元测试）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍答案:BCD解析：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列．所以，解得．选项A：，故A错误，选项B：由，则，又，故B正确．选项C：，而，，故C正确．选项D：，则后3天走的路程为，而且，D正确．故选：BCD．．12．（2023·全国高二单元测试）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若，，则C．若，则数列是递增数列D．若数列的前和，则答案:AC解析：设等比数列的公比为，则，且.对于A选项，，所以，数列是等比数列，A选项正确；对于B选项，由等比中项的性质可得，又因为，则与同为正数，则，B选项错误；对于C选项，若，由可得，可得，解得，则，，则，此时，数列为递增数列；若，由可得，可得，解得，则，，则，此时，数列为递增数列.综上所述，C选项正确；对于D选项，，，，由于数列是等比数列，则，即，解得，D选项错误.故选：AC.三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·全国）等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6＜S7，S6＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9＜S6；③S14＜0；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是______（填序号）．答案:①②③④解析：由于，所以，所以，①正确.，所以，②正确.，③正确.由于数列前项为正数，从第项起为负数，所以一定是中的最大值，④正确.故答案为：①②③④14．（2023·全国高二单元测试）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.答案:解析：，，当时，由，可得，即.是以为首项，公差为的等差数列...当时，.当时，上式成立.故数列的通项公式为.故答案为：.15．（2023·全国高二单元测试）设各项均为正数的数列的前项和满足，,则数列的前2020项和____．答案:解析：依题意，由*，可得.因为数列的各项均为正数，所以，.当时，，当时，，.检验：当时，，所以，.所以，.故.故答案为：16．（2023·全国高二单元测试（理））已知函数，对于，定义，则的解析式为________.答案:解析：函数对于，定义，．，，由此可以猜想以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设时成立，即，则时，也成立故故答案为：．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2023·浙江高二单元测试）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案:（1）；（2）.解析：1）设的公差为，，因为，，成等比数列，，可得，，，，又，解得，，．（2）．18．（2023·全国高二单元测试）对于数列{an}，a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣．（1）求a2，a3，a4，并猜想这个数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．答案:（1），，，猜想通项公式：（其中）；（2）证明见解析.解析：（1）∵a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣，∴，，，由此归纳猜想：（其中）（2）①由（1）可知，结论对n≤4均成立；②假设n＝k时结论成立，即，当n＝k+1时，ak+1＝a1﹣＝＝＝＝＝,∴结论对n＝k+1也成立.综合①②可知结论成立．19．（2023·全国高二单元测试）已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，.（1）求q与的通项公式；（2）记，求证：.答案:（1），（2）证明见解析解析：（1）因为为等比数列，公比，所以，所以，即，解得或（舍），因为，所以，由得，又，所以，所以，所以.（2），所以.20．（2023·广东惠州）若数列的前项和满足，等差数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案:（1），；（2）．解析：（1）∵，∴当时，，则，当时，，∴，即，∴，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴，∴，又，，∴，，∴数列的公差，∴，综上：，；（2）由（1）得，，∴，∴，∴，∴．21．（2023·全国高二单元测试）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.答案:（1）见解析，或；（2）存在，.解析：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.②，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.（2）若选择①，.则.若，，成等比数列，则，即，整理，得，即，此方程无正整数解，故不存在正