北师版高数必修五第9讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)

正弦定理和余弦定理的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。与实际应用问题有关的名词、术语=1\*GB3①铅直平面：与水平面垂直的平面=2\*GB3②坡角：坡面与水平面的夹角=3\*GB3③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比=4\*GB3④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角=5\*GB3⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角=6\*GB3⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角=7\*GB3⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于=8\*GB3⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角解三角形应用问题步骤准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）A.角和边B.角和边C.边和角D.边和角解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D答案：D练习1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A．eq\f(400,3)mB．eq\f(400\r(3),3)mC．200eq\r(3)m D．200m解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°∴BC＝eq\f(200,tan60°)＝eq\f(200\r(3),3)，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝eq\f(200,3).∴CD＝AB－AM＝eq\f(400,3).答案：A练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()A．10eq\r(2)mB．20mC．20eq\r(3)m D．40m解析：设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．答案：D例2：一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，该船实际航程为________．解析：如图，水流速和船速的合速度为v，在△OAB中：OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°，∴OB＝v＝2eq\即船的实际速度为2eq\r(3)km/h，则经过eq\r(3)h，其路程为2eq\r(3)×eq\r(3)＝6km.答案：6km练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．解析：由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝eq\f(AB×sin30°,sin15°)＝eq\f(50×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝25(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(25\r(6)＋\r(2)·\r(2),2)＝25(eq\r(3)＋1)(m)．练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________nmile.解析：如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(nmile)．答案：28规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。类型二：测量角度问题、三角形综合题例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．北偏东35°D．南偏西55°解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.答案：D练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）A.北偏东B.北偏西C.南偏东D.南偏西答案：B练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）A.400米B.500米C.800米D.700米答案：D例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）A.B.C.D.解析：由即又，所以又答案：C练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）A.2B.3C.-2D.-3答案：A练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）A.3B.4C.5D.6答案：B1.在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．北偏东35° D．南偏西45°答案：D2.在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东45°C．北偏东35° D．南偏西45°答案：B3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A.mB.200eq\r(3)mC.mD.400m答案：A4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为()A．10eq\r(2)mB．20mC．20eq\r(3)mD．60m答案：D5.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为eq\f(3,4)，设α为坡角，那么等于()A．B．C．D．答案：D6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C的南偏东70°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东20°B．北偏西20°C．南偏东20° D．南偏西20°答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固某人向正东走Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为km，那么的值为__________答案：2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm答案：B3.有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()A．5mB．10mC．10eq\r(2)mD．10eq\r(3)m答案：C4.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10eq\r(3)mB．100eq\r(3)mC．20eq\r(3)m D．30m答案：D5.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．eq\f(25\r(2),2)m答案：A6.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)答案：5.27.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))nmile/hB．20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/hC．20(eq\r(6)＋eq\r(3))nmile/hD．20(eq\r(6)－eq\r(3))nmile/h答案：B能力提升8.某海岛周围38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．答案：如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.∴此船无触礁的危险．9.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq\r(3)anmile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？答案：如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝eq\r(3)at，B＝180°－60°＝120°， 由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at·sin120°,\r(3)at)＝eq\f(1,2).∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．10.在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝eq\f(\r(2),10))方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？答案：如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.由余弦定理，得 OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，由于PO＝300，PQ＝20t，∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\r(1－\f(2,102))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5)，故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×eq\f(4,5)＝202t2－9600t＋3002，因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．11.在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10eq\r(3)m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．答案：解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10eq\r(3).在△BPC中，根据正弦定理，得eq\f(PC,sin2θ)＝eq\f(PB,sinπ－4θ)，即eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin4θ)，∴eq\f(2sin2θcos2θ,sin2θ)＝eq\f(30,10\r(3)).由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2).∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法二：在△BPC中，根据余弦定理，得PC2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos2θ，把PC＝BC＝10eq\r(3)，PB＝30代入上式得，300＝302＋(10eq\r(3))2－2×30×10eq\r(3)cos2θ，化简得：cos2θ＝eq\f(\r(3),2).∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC为等腰三角形，∴PE＝BE＝15.在Rt△BEC中，cos2θ＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(15,10\r(3))＝eq\f(\r(3)