湖北省新高考2024届高三年级下册2月收心考试数学试题（含答案解析）

湖北省新高考联考协作体2024届高三下学期2月收心考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知4=卜€叫1082（X-1）<1},8=卜卜=2=无©4},则AcB等于（）

A.0B.{尤[2<尤<3}

C.{x[l<x<8}D.{x[l<x<3}

2.已知复数z满足|z|-z=26-2i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在坐标轴上，点F关于其准线的对称点为（6,0）,

则C的方程为（）

A.y2=-8xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=4x

4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资

金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入

的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lgl”0.04,lg2=0.30）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

5.已知e是单位向量，S.\2e-a\=y/10,a+2g在e上的投影向量为5e,则。与e的夹

角为（）

71-5兀

A.-B.c.-D.—

64312

6.已知函数=(a>0且，-1）是偶函数，则。=（)

j_

A.—B.C.2D.4

4

7.已知圆C:V+y2-2x=0,过圆C外一点尸作圆的两条切线，切点分别为A,8,三

角形丛5的面积为遮，则PC的长为（）

12

A.昱B.正C.后D.2

33

8.已知数列{4}是等比数列，贝！存在正整数3对于VfeN*,%>%恒成立”是：“{叫

为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是

上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示

7T

的曲池，垂直于底面，AA=5,底面扇环所对的圆心角为万，弧AD的长度是弧3C

长度的3倍，CD=2,则下列说法正确的是（）

3

A.弧AD长度为:兀B.曲池的体积为飞-

C.曲池的表面积为20+14兀D.三棱锥A-CCQ的体积为5

10.设函数十）=1吗k3-3">0且"1）在区间［|,2］上单调递减，则。的取值可

以为（）

A.变B.3C.-D.3

223

11.数列｛0｝共有11项，前11项和为立,且满足（4+|-%）2=3（q位一见）一2,q=l,

则下列说法正确的是（）

A.｛4｝可以是等差数列

B.｛巩｝可以不是等差数列

C.所有符合已知条件的数列｛%｝中，X的取值个数为55

D.符合已知条件且满足2%=%+勺的数列｛凡｝的个数为252

三、填空题

12.已知a,人是不同的直线，a,尸是不同的平面，则下列四个结论:

试卷第2页，共4页

①岩a“a,a”。，则a〃£；②若。〃反a〃a,则6//a；

③若a_La,o_L尸，则tz〃月；④若0tA/,<?〃&,则a_L尸；

以上结论中，正确的序号是.

13.如图，圆和直角梯形ABC。，其中4。〃3。,川，3。,4)=4,钙=6,3。=8,且

4CD三点在圆上，则圆的面积为.

14.将函数/(x)=2sinx-l的图象上所有点的横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍，向

下平移1个单位长度，向左平移。(ee(O,7i])个单位长度，最后所有点的纵坐标不变横

坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数g(x)的图象.若对任意占e0,-,都存在

-；,0，使得〃xJ=g(X2),则。的取值范围为

四、解答题

cos/?

15.记,ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,己知-----=tanC

1+sinB

(1)若C=£,求3；

6

7,,

(2)若b=/C,求sinC的值.

16.已知盒中有4个黑球和2个白球，每次从盒中不放回的随机摸取1个球，直到盒中

剩下的球颜色相同就停止摸球

(1)求摸球两次后就停止摸球的概率；

(2)记摸球的次数为随机变量X,求X的分布列和期望.

17.如图，在四棱锥尸-MCD中，底面ABCD为菱形，上4,底面?1BCZ),PA=AS=2,

BD=2y/3,E为线段网的中点，r»p=1r»c,点G在线段PC上(不含端点)，再从下

面三个条件中选择一个条作作为已知条件.

p

①4E、G、尸四点共面②AG_L平面尸③EG〃平面F4尸

(1)求器的值;

(2)求平面AEG与平面河所成角的余弦值.

22

18.已知椭圆c*+1=1(°>。>0)长轴的左右顶点分别为AM，短轴的上下顶点分

别为"生，四边形4片4坊面积为4,椭圆C的离心率是在.

2

⑴求C的方程;

⑵过点T(2,l)的直线交C于P,。两点，直线BR耳。与直线j=-l的交点分别为M,N,

证明：线段的中点为定点.

19.函数〃尤)=亍-。图像与无轴的两交点为4(3,0)，8(%2,0)(%2>%[)

(1)令人⑺=/(%)-lnx+x,若/z(x)有两个零点，求实数。的取值范围；

(2)证明：x1x2<1；

(3)证明：当时，以A8为直径的圆与直线y=¥(x+l)恒有公共点.

(参考数据：e°落。L3,e2-5»12.2)

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得4={》|1<%<3}和8=b[2<><8},

结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】由不等式log2(x—1)<1,可得。<x-1<2,解得l<x<3,即A={x[l<x<3},

又由集合2=卜|=2",无eA}={y[2<y<8},

根据集合交集的运算，可得Ac3={x[2<x<3}.

故选：B.

2.D

【分析】设复数z=a+历(a,6cR),代入忖-z=2后-2i,根据复数相等和复数的几何意义

可得答案.

【详解】设复数z=a+6i(a,6eR),

因为

所以yja2+b2-(a+i>i)=a\la2+b2+b^Ja2+b2i=2c-2i,

ay]a2+b2—25/3,解得〔二f

可得.所以z=A/3—i,

byJa2+b2=-2[b--1

则复数z在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.A

【分析】设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),设焦点/关于准线/的对称点为P(x°,O),求

得天=学，得到¥=6,进而的抛物线的方程•

【详解】由题意，设抛物线的方程为丁=-2px(p>0),

可得焦点坐标/(-汽,。)，准线方程为/：x=5,

设焦点尸关于准线/的对称点为尸(七,0),可得%+(-§=2x5,解得飞=当，

因为点尸关于其准线的对称点为(6,0),可得y=6,解得。=4,

答案第1页，共15页

所以抛物线的方程为V=-8x.

故选：A.

4.C

【分析】假设经过〃年后全年投入的研发资金开始超过200万元，列不等式求解即可.

【详解】假设经过〃年后全年投入的研发资金开始超过200万元，

~,l-31g20.1、「

即160・（1.1）〃>200,所以〃>^^-=^=2.5,

lgl.10.04

因此超过200万元的年份是2026年.

故选：C.

5.B

【分析】根据投影向量可求得a-e,利用|2e-d=10可求得同，根据向量夹角公式可求得

结果.

o+2e)

【详解】a+2e在£上的投影向量为e=(a-e+2)-e=5e.,.a-e=3

同f

.-.\2e-af=4e2-4a-e+a2=d2-8=10,解得：冏=3五,

a-e_3_V2

二.cos(〃,e)又(a,e)G[0,TI],〈a,e)=；

同•同一30—2

故选：B.

6.D

【分析】利用偶函数的定义求解参数即可.

【详解】因为〃x）=4^（a>0且awl）是偶函数,

2"-8"2一*_8r2-8"-8x+2%

所以-------x--=a-----------

x-ax(一ax2九8

因此：=/=16,4=4（舍负），

故选：D.

7.B

【分析】根据已知条件设NAPC=。，n5PAB=^\PA^sin2a=^,在RtAAPC中，|/科用

——1表示，由此得到关于。的方程，三角恒等变换化简解得。=712,即可在RtZVLPC中求解

tana3

答案第2页，共15页

PC.

【详解】因为。：/+/-2%=0可化为（%—iy+y2=i,

设ZAPC=a,S皿=g|PA『sin2a,

三角形APC直角三角形，NB4c=90。，|C4|=1,

所以忸A|=」一,所以L」^sin2a=3，

tana2tai?。12

即112sin6Z-coscr_^3所以1tancr_^3

2tan2asin26/+cos2a12tan2a1+tan2a12

整理可得：tan3。+tana-473=0,1ana-G）（tan2a+gtana+4）=。

tan2a+^3tana+4>0,所以tana-百=0,

解得tana=G，所以

因此在Rt^APC中，|PC|=」一=2叵.

sina3

故选：B

8.C

【分析】取两种特殊情况说明，分左=1和左=4两次情况讨论，将为〉转化为

%（才-1）（才+1）<0,分区>0和4<0两种情况与假设对比，据此即可求解.

【详解】取两种特殊情况说明充分性，

当左=1时显然成立；

当％=4时，理由如下：

因为｛q｝是等比数列，设公比为以彳力。），则产。，

42

当WfeN*,a,A。》时，at>atq,gpa,（^+1）<0,

若q>0,贝Ij—1<q<1,

注意到，当q<0时，卬+]=。々<。，与假设矛盾，舍去，

故0<q<l,此时a.=%“<外,则｛凡｝为递减数列；

若q<。，则q<-1或4>1,

注意到，当q<-l时，al+l=a,q>0,与假设矛盾，舍去，

答案第3页，共15页

故g>i,止匕时a.=。4<1,则｛4｝为递减数歹ij；

综上：存在左=4,使VfeN*,q>%4时，｛%｝为递减数列，即充分性成立;

当｛a,,｝为递减数列时，a,>at+l>at+2>at+3>at+4,即”eN*,a,>。山成立，即必要性成立.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于取两种特殊情况说明，分左=1和％=4两次情况讨论.

9.ACD

【分析】设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为广，根据弧AD的长度是弧8C长

度的3倍及CD=R-r=2求出R、厂，再根据体积、表面积公式计算可得.

【详解】设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为

TTJT

因为弧AD的长度是弧2C长度的3倍,-R^-r,即人力,

/.CD=R—r=2r=2,/.r=1,R=3,

3

所以弧AD的长度为:兀，故A正确;

2

曲池的体积为7=［；兀笛一；兀产］XA41=(；7ix32-；7rxl2)5=107t,故B错误;

:成2—:而X2+。成+)■X5+2X5X2

曲池的表面积为

^-KX32

—KXI2x2+—KX3+—KXIx5+20=20+14K,故C正确;

4JU2J

三棱锥A-CG。的体积为gxgx2x3x5=5,故D正确.

故选：ACD.

10.AC

【分析】利用导数可求得g(x)=x3-3依的单调性，由此可得了=k3-3例的大致图象；分别

在和0<。<1的情况下，根据复合函数单调性可确定y=,-3aR的单调性，结合

y=3国的图象可构造不等式组求得a的范围.

【详解】令y=|无3-3词，g(x)=x3-3ax,

g<x)=3--3a=3(x+痴)卜-痴)，

.•.当天«-<»,-&)(&,+oo)时，g,(x)>0；当》/&,回时，g［x)<0；

答案第4页，共15页

...g(x)在卜8,-,(V^,+8)上单调递增，在卜\/^,上单调递减;

令g(%)=。,解得：%=0或％=±^/§^,

.•.)=卜3_3国的大致图象如下图所示，

当。>1时,若“同在g2)上单调递减,则丫=0-3同在］|,2)上单调递减,

:.-Ja<—<2<V3a,解得：-<a<--

234

当0<“<1时，若/⑺在(别上单调递减，则y中一3同在］汨上单调递增，

:.2<\［a^|->^/3^z,解得：0<4?<-|；

综上所述：实数°的取值范围为I。，,］；•。可能的取值为变和

I4」［34」23

故选：AC.

11.ABD

【分析】分解因式得出两种等差数列判断A,B选项;分类计算得出前11项的和判断C选项;

根据满足条件的组合数计算即可.

【详解】对于AB,因为(a“+i-a”『=3(a"+i—a.)-2,q=l,

所以a,+i-a,=1或。嗨厂。"=2,因此A,B是正确的.

对于C,相邻两项的差值最小为1,最大为2,

所以当｛4｝是以1为首项，以1为公差时，用取最小值为66；

当｛%｝是以1为首项，以2为公差时，与取最大值为121；

且L取值一定是正整数，所以S”的取值个数为121-66+1=56,所以C不对.

对于D,因为2/=囚+小，:.a6-ax=an-a6,

答案第5页，共15页

二（。6-%）++（%-卬）=（%一&）++（%-%），

所以满足24=q+«n的数列｛%｝的个数为

CC+C©+CC+C宵+CC+CC=252.

故选：ABD.

12.③

【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，设2£=/,当时，此时a//iz,a//6,所以a与夕不

一定平行，所以①不正确;

对于②中，若a〃》,a〃a,则6//a或6ua,所以②不正确;

对于③中，由〃，根据垂直同一直线的两个平面平行，则a//£,所以③正确；

对于④中，若。人民“//2，则。与夕的位置关系不确定，所以④不正确.

故答案为：③.

325

13.-----兀

9

【分析】连接AC,结合正弦定理求出三角形ACD外接圆直径，即求三角形ACD的外接圆

的面积.

3

【详解】直角三角形A3C中，AB=6,3C=8,AC=10,所以sinNAa5=g,

3

又AO〃BC,:.sinZDAC=-,

直角梯形ABCD中，DC=^36+(8-4)2=2713,

2A/13IOA/13

三角形ACD的外接圆直径为：2“一丁一三―,

5

因此三角形ACD的外接圆的面积罟325兀.

故答案为：~g~7L

答案第6页，共15页

712"兀

14.—,-7l

23

【分析】由题意易得“X）在上的值域是g（x）在上值域的子集，再分析g（x）的

最值判断值域的包含关系求解即可

【详解】由已知可知g(x)=2(2sin(2x+9)-l)—l=4sin(2x+9)一3,

JTJT

因为对任意玉€。，5,都存在超e--,0,使得=

所以“X）在玉£0,|上的值域是g⑴在％2$-5。上值域的子集,

当玉£0,曰时，OWsin^Kl,则—1£[一1,1],

JT

所以“X）在玉€0,-上的值域卜1』，

兀71

目xG—,0,2x+(p£"一于9

因为g（x）值域中一定有1这个元素，所以]+2Ee<p-%2、kwZ:.（pe会无（必要条件）

还需要约束g（x）的最小值小于等于-1，所以《sin/-?-3《-1或者4sin。-3V-1

因此sin0«1■或者cos°N-g,所以0e兀25

—,—71—71,71

236

故答>案、？为:修兀铲2卜[铲5加

TT

15.d)B=-

6

(2)sinC=；

【分析】（1）将。代入，由三角恒等变换结合3的取值范围求出即可.

（2）先由同角基本关系式和三角恒等变换得出（5+C）与C的三角关系，再根据诱导公式用

。表示A和3,进而得到C的取值范围，最后由正弦定理变形公式求解即可.

【详解】（1）当。=工时，C°S^=,V3cosB-sinB=2cosfB+—=1,

61+sinB3（6）

所以cos[B+\]=：,2e（0,7i）,B+2+\=1,

oyZoI。o703

因止匕8=g；

o

答案第7页，共15页

（2）=tanC,/.cosBcosC-sinBsinC=sinC

1+sinB

化简得cos（5+C）=sinC=-cosAsin^A-^=sinC.

因止匕：A=C+-,B=--2cfo<C<-^

22（4）

7777

因为Z?=—c,则sinB=—sinC,cos2C=—sinC,2sin2c+—sinC-1=0.

2222

所以sinC=」或sinC=-2（舍）

4

因止匕sinC=，.

4

16.⑴,

15

⑵分布列见解析，W64

【分析】(1)摸球两次停止摸球说明前面两次摸到的是白色球，根据概率乘法公式求解即可；

(2)X的可能取值为2,3,4,5,求出X的每个取值的概率可得分布列，由期望公式可得期望.

【详解】(1)摸球两次停止摸球说明前面两次摸到的是白色球，记事件4,，=1，2为“第i次摸

球的颜色是白色”，

71I

因此摸球两次后就停止摸球的概率为P(AA)=1X1=^；

(2)X的可能取值为2,3,4,5,

P（X=2）H

741?

P（Xv=3）=2x-x-x-=—

）65415

（）：321c24314

PX=4=x—x—x—+3x—x—x—x—=—

543654315

Q

P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=—,

X2345

1248

P

15151515

2+6+16+4064

七”)=

1515

64

因此X的期望为正.

答案第8页，共15页

17.⑴选择条件①，黑=：；选择条件②，=选择条件③，=

（2）选择条件①，叵;选择条件②，叵；选择条件③，叵；

51313

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB.AH、AP所在直线分别为％、丫、z轴建立空间直角坐

标系，设PG=XPC，选择条件①，禾！1用A6=AP+PG和AG=mAE+"AF，求解即可；选

择条件②，利用AGLPB，求解即可；选择条件③，利用EG/=0求解即可（九为平面B1F

的法向量）;

（2）利用855,«1〉=疝|求解即可（〃］为平面限?的法向量，"平面印的法向量）.

【详解】（1）解：因为上4,底面A3CD,四边形ABC。为菱形，取CD中点

AB=AD=2,BD=2五

NBAD=120。,.「AGO是等边三角形，AHLCD

以点A为坐标原点，AB.AH、AP所在直线分别为％、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐

则A（0,0,0）、3（2,0,0）、C（1，石,0）、。卜L右,0）、尸（0,0,2）、E（l,0』）、F（-g,6,0

所以尸C=（l,石,一2）,

设2。=2尸0=（彳,后,-2/1）,其中0<%<1,

贝ljAG=AP+PG=（4及,2-22）；

选择条件①，A£=（1,O,1）,AF=L1,V3,O'|

答案第9页，共15页

设AG=mAE+nAF=m—n,yfin,m\,

2J

1,

m——n=Z

2

鸟=后，解得彳=±

则

m=2-22

选择条件②，AG_L平面PSD,

所以AG_LPB，

又因为尸8=(2,0,-2),

所以AG-P3=6/l-4=0,所以2=即：|="|；

选择条件③，EG〃平面R4F,

£G=AG-AE=(2,A/32,2-22)-(1,0,1)=(2-1,5/32,1-22),

因为AP=(0,0,2),AF=(-g,百,0),

可得平面左广的法向量为：〃=(6,代,0),

所以EG"=6(X-l)+32=94-6=0,

解得4=即n=g；

(2)解：选择条件①，AG=mAE+nAF==(1,0,1),平面AEG的法向量

«TAG=〉+：岛+9=0_(若)

<777，则々=-L---J,

4-AE=%+Z]=0I)

设平面W的法向量为〃=(x,y,z),AP=(0,0,2),■=[-；■()

n•AP=2z=02.Ro,

则1厂，取x=2,贝

n-AF=-—X+y/?>y=0k37

/.n-n,V13

cos〈〃,4〉=K||=—二

阿45

答案第10页，共15页

平面AEG与平面APF所成二面角的余弦值为叵；

5

',7A9'

选择条件②，AG=MS=(1,0,1),平面AEG的法向量4=(占,%,zj

55J

'22732

n,,A.G——x,H--------y,H—z,—011,.

,33131,贝5=(—1,0,1),

々•AE=玉+4=0

设平面衣的法向量为万=(X,%Z),AP=(0,0,2),存=,后0),

n-AP=2z=0

则1「，取x=2,则〃=卜加,

n-AF=-—x+y/3y=0IJ7

几尿

cosV",/〉=

I«IH

平面裕G与平面物所成角的余弦值为丫£；

13

选择条件③，AG=,AE=(l,0,l),平面AEG的法向量4=(占,%,zj

VAG=|xl+^%+2]=0u

3贝5=(-1,0,1)

々•AE=石+Z]=0

尿

cos(n,n)=—p1-

1石

平面AEG与平面APF所成角的余弦值为叵.

13

丫2

18.⑴1+丁=1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据四边形面积、离心率和椭圆。关系可构造方程组求得“，b，c,由此可得

椭圆方程；

(2)设PQ方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；用P,。坐标表示出",N坐标，将

M,N横坐标作和可整理得到定值，由此可知线段中点为定点.

答案第11页，共15页

【详解】（1）5=i-2tz-2Z?=4,:.ab=2,

又离心率6=£=^^,a2-b2+c2>:.a=2,6=1,C=A/3,

a2

可设尸Q：y=2）+1,P（%,yJ,Q（孙％），

y=A：（x-2）+l

得：（左）尤2左（一左）尤+（左2—左）

又V2।42+1+81216=0,

——+y=1

14-

贝I]A=6442（1—2k}-64（4左2+1）（左？一左）=644>0,：.k>0,

8%（1-24）16（k2-k）

Xt+x2=--~,x.x2=-二----，

4%+1"24^+1

V—1

乌（。,1）,；•直线4尸：，=2一x+i,

玉

令y=-i,解得:同理可得：另］一；\,一1

工（，一々（%一

212X22%121）+21）2%,（Ax2-2k）+2x2{kxx-2k）

%Ty2T（向-2左）（而2-2左）

64左（左2一后）+32左2（1一2次）

4日一4%（玉+々）32k2

，

2=8

kxxx2-2k2（%]+%）+4k2IF

线段MN中点为定点（4,-1）.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基

本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；

答案第12页，共15页

②利用A>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用坐标表示出所求量，代入韦达定理的结论，化简整理可得定点.

19.(l)(e+1,+(»)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求导判断Mx)的单调性，结合函数趋近值即可得出结果;

⑵根据已知得到”一?化简可得要证'，即证

<；一~一一，即证明In茎<卜-桂,令，=>1'即证：21nt<t--,令

In%—1明石%下丫%2'国A"t

g«)=21WT+；,求导得出g⑺单调性，即可得证；

(3)要证以为直径的圆与直线y=¥(x+l)恒有公共点，即证中点到该直线距离小

于半径，即__鼠_n<三二五，即4「4(%+々)-11](%+%+2)>。，即占+%>?成

A/192-4

立，根据/(X)单调性，令”三，可得看+羽=('+1)1皿,令夕⑺=('+1)1皿,贝!]

x\t—1t—1

-121n/-/^+—|i

，⑺二I令g«)=21n/，+-,根据单调性，即可得证・

八)一"1)2'

【详解】(1)由题知网力定义域为

所以函数Mx)在(0,1)上单调递减，(1,E)上单调递增,

所以妆X)的最小值为〃(l)