七年级数学下-期末复习重要考点04 《几何图形初步》十二大考点题型（热点题型+限时测评）（解析版）

（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点04《几何图形初步》十二大重要考点题型【题型1从不同方向看立体图形】1．（2023•花都区一模）下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可．【解答】解：A．该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；B．该圆锥的主视图为三角形，符合题意；C．球的主视图是圆，不符合题意；D．正方体的主视图是正方形，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．（2023•鼓楼区校级模拟）下列几何体的从上往下看得到的图形是矩形的是（）A．B． C． D．【分析】由题意根据俯视图即是从上面向下看所得到的图象，对各个选项进行分析判定即可．【解答】解：A、其俯视图为圆形，不符合题意；B、其俯视图为三角形，不符合题意；C、其俯视图为矩形，符合题意；D、其俯视图为梯形，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查立体图形的俯视图，熟练掌握俯视图即是从上面向下看所得到的图象是解题的关键．3．（2023秋•东丰县期末）从不同方向看某物体得到如图所示的三个图形，那么该物体是（）A．长方体 B．圆柱 C．正方体 D．圆锥【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，故选：B．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．4．（2023秋•桦甸市期末）如所示几何体中，从正面看和从上面看都为长方形的是（）A． B． C． D．【分析】分别确定四个几何体从正面和上面观察得到的图形，分析选择．【解答】解：A．正面看是三形形，上面看是圆，本选项不合题意；B．正面看是长方形，上面看是长方形，本选项符合题意；C．正面看是长方形，上面看是圆，本选项不合题意；D．正面看是梯形，上面看是长方形，本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查从不同方向观察几何体；具备一定的空间相想能力是解题的关键．5．（2022秋•个旧市期末）观察如图所示的几何体，从左面看到的图形是（）A．B． C．D．【分析】根据三视图的看法即可求解．【解答】解：从左面看到的图形是，故选：C．【点评】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的看法是解题的关键．6．（2023•南皮县校级一模）用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据左视图以及俯视图，可以在俯视图中标出各个位置的正方体的个数，进而得到x+y的值．【解答】解：如图，根据俯视图标数法，可知最多需要7个，最少需要5个，即x+y＝12，（第2行3个空可相互交换）故选：A．【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．7．（2023秋•洪山区期中）20个棱长为acm的小正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（）A．100a2cm2 B．60a2cm2 C．30a2cm2 D．10a2cm2【分析】根据立体图形的三视图来解答即可．【解答】解：从正面和后面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形，从左面和右面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形，从上面和下面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形，∴图形的表面积为：（10+10+10）•a•a×2＝60a2（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的表面积，利用三视图来求解是本题解题的关键．【题型2立体图形的展开图】1．（2022秋•湘西州期末）如图图形中是圆锥的展开图的是（）A． B． C． D．【分析】根据圆锥的展开图可进行求解．【解答】解：由题可知圆锥的展开图只有A选项符合；故选：A．【点评】本题主要考查圆锥的展开图，熟练掌握圆锥的展开图是解题的关键．2．（2022秋•太原期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体可能是（）A． B． C． D．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【解答】解：从展开图可知，该几何体有七个面，两个五边形的底面，五个长方形的侧面，因此该几何体是五棱柱．故选：D．【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．3．（2023•滕州市校级开学）下列图形中，不属于正方体展开图的是（）A．B． C．D．【分析】根据正方体展开图的11种特征，选项A属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，选项B属于正方体展开图的“3﹣3”型，选项C属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，选项D都不属于正方体展开图．【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A是正方体展开图；选项B是正方体展开图；选项C是正方体展开图；选项D不属于正方体展开图．故选：D．【点评】正方体展开图有11种情况，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．4．（2023秋•牟平区期中）如图为四个几何体的表面展开图，折叠还原后得到的几何体是棱锥有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据底面为多边形，侧面为三角形可以折叠成棱锥，依次进行分析即可．【解答】解：（1）底面为四边形，侧面为三角形，可以折叠成四棱锥，（2）底面为四边形，侧面为三角形，可以折叠成四棱锥，（3）底面为三角形，侧面为三角形，可以折叠成三棱锥，（4）侧面不全是三角形，不能折叠成棱锥，∴有3个可以折叠成棱锥，故选：C．【点评】本题考查棱锥的展开图形，解题的关键是熟知底面为多边形，侧面为三角形可以折叠成棱锥．5．（2023秋•砀山县期中）将如图立方体盒子展开，以下各示意图中有可能是它的展开图的是（）A． B． C． D．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点即可判断出答案．【解答】解：选项A、B、D中含有标记的三个面不相交于一点，与原立方体不符，所以只有C是立方体的展开图．故选：C．【点评】此题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键．6．（2023秋•南岸区校级月考）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（）A． B． C． D．【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故A，B，D均不符合题意；故选：C．【点评】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面．7．（2022秋•琼海期末）一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数字之和相等，如图你能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和可能为（）A．51 B．53 C．55 D．57【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是8，9，再根据已知数有10，11可知另一个数不可能是6，只能是12，然后求解即可．【解答】解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，∴看不见的三个面上的数必定有8，9，若另一个面上数是6，则11与7是相对面，所以，另一面上的数是12，此时7与12相对，8与11相对，9与10相对，所以，这六个整数的和为3×（10+9）＝57．故选：D．【点评】本题考查了正方体的向对面问题，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8．（2022秋•铜仁市期末）如图所示是正方体的平面展开图，且相对面上两个数之和为6，则x﹣2y点的值为（）A．0 B．﹣4 C．1 D．﹣1【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，求出x、y的值，从而得出答案．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“3”与“y”是相对面，“1”与“x”是相对面，∵相对面上的两个数之和为6，∴x＝5，y＝3，∴x﹣2y＝5﹣2×3＝5﹣6＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【题型3直线、射线、线段的表示方法】1．（2023春•莱州市期中）手电筒发射出来的光线，若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为（）A．线段AB B．射线BA C．直线AB D．射线AB【分析】根据直线、射线、线段的表示方法：①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示进行解答即可．【解答】解：根据题意可知：若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为射线AB，故选：D．【点评】此题考查的是直线、射线、线段，掌握它们的表示方法是解决此题的关键．2．（2022秋•毕节市期末）图中射线OA与OB表示同一条射线的是（）A．B． C．D．【分析】根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案．【解答】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项不符合题意；B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项符合题意；C、方向相反，不是同一条射线，故本选项不符合题意；D、方向不同，不是同一条射线，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了射线，注意射线的端点，射线的方向．3．（2023•承德二模）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【分析】根据两点确定一条直线即可求解．【解答】解：观察图形可知，过点C线有AC，BD，一共2条．故选：A．【点评】本题考查了直线的性质，关键是熟悉两点确定一条直线的知识点．4．（2022秋•罗湖区期末）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（）A． B． C． D．【分析】依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．【解答】解：A选项中，线段AB与射线CD无交点，不符合题意；B选项中，直线AB与射线CD有交点，符合题意；C选项中，射线AB与直线CD无交点，不符合题意；D选项中，直线AB与线段CD无有交点，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了直线、射线或线段，掌握直线以及射线的延伸性是解决问题的关键．5．（）A． B． C． D．【分析】依据直线、射线和线段的画法，即可得出图形．【解答】解：画射线AB，画直线BC，连接AC，如图所示：故选：B．【点评】本题主要考查了直线、射线和线段，掌握直线、射线和线段的区别是解决问题的关键．6．（2022秋•北京月考）如图中，有条直线，条射线，条线段．【分析】根据直线、射线、线段的定义即可得出答案．【解答】解：如图所示，图中共有1条直线，8条射线，6条线段．故答案为：1，8，6．【点评】本题考查了根据直线、射线、线段的定义，注意结合图形作答，不要遗漏．7．（2020秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有条；能用字母表示的线段有条；在直线EF上的射线有条．【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到．【解答】解：图中有直线AB、直线AD，直线EF有3条；以B为端点的射线：有射线BE、射线BC；以C为端点的射线有：CE，CD；以D为端点的射线有：DC、DF，射线共有6条；线段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6条．故答案为：3，6，6．【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．【题型4直线、线段的基本事实的应用】1．（2022秋•渭滨区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上都不是【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：B．【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．2．（2023秋•长春期末）如图是学校花圃的一角，小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点之间直线最短【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．【解答】解：小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是两点之间线段最短．故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．3．（2022秋•昭阳区期末）下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线【分析】根据直线的性质，线段的性质，以及线段的大小比较对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项正确；C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是线段的大小比较，故本选项错误；D、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了线段的性质，直线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．4．（2022秋•朝阳区期末）有下列一些生活中的现象：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为．（只填序号）【分析】依据直线的性质进行判断，即可得出结论．【解答】解：有下列一些生活中的现象：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为②，③，④．故答案为：②，③，④．【点评】本题主要考查了直线的性质，关键是掌握直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．5．（2022秋•管城区校级期末）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【分析】①④根据“两点确定一条直线”解释，②③根据两点之间，线段最短解释．【解答】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；②可用“两点之间，线段最短”来解释，两点之间，线段最短，减少了距离，符合题意；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，符合题意；④属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了线段和直线的性质．解题的关键是掌握两点之间，线段最短；两点确定一条直线．6．（2023•南关区校级四模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是．【分析】利用线段的性质进行解答即可．【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．【题型5线段长度的计算】1．（2022秋•安化县期末）如图，C为线段AB的中点，若点D在线段AC上，且AD＝2．AD：CB＝1：3，则AB的长度是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由C为线段AB的中点得CB=12AB，再由AD：CB＝1：3得CB＝3AD，则AB【解答】解：∵C为线段AB的中点，∴CB=1∵AD：CB＝1：3即CB＝3AD，∴AB＝6AD＝12，故选：D．【点评】本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握各线段之间的关系进行计算是解决本题的关键．2．（2023秋•东丰县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【分析】根据题意可以画出简单示意图，请仔细观察图形特点，找出已知条件和图形中的隐含的条件；观察图形可知，BO＝AB﹣AO，即只要求出AO的值便可；由AB＝8cm，结合AO＝CO，可知AO=12【解答】解：根据题意画出简单示意图：∵AB+BC＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝8cm．∵AO+CO＝AC，AO＝CO，AC＝8cm，∴AO＝4cm．∵AB＝5cm，AO＝4cm，∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1cm．故选：B．【点评】本题考查两点间的距离，掌握距离公式是解题关键．3．（2023秋•曹县期中）如图，点C是线段AD的中点，AB＝10厘米，AB=54BC，则AD的长度为【分析】根据线段中点的定义，线段之间的数量关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系解答即可．【解答】解：∵AB＝10厘米，AB=5∴BC=4∴AC＝AB﹣BC＝10﹣8＝2（厘米），∵点C是线段AD的中点，∴AD＝2AC＝2×2＝4（厘米），故答案为：4厘米．【点评】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的数量关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键．4．（2022秋•同安区期末）如图，AB＝10，点C是线段AB延长线上的动点，在线段BC上取一点N，使得BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN−14BN＝【分析】根据题意设CN＝x，则BN＝2x，由点M为线段AC的中点，表示出MC的长度，进而表示出MN的长度，然后代入MN−1【解答】解：设CN＝x，则BN＝2CN＝2x，BC＝3x，∴AC＝AB+BC＝10+3x，∵点M为线段AC的中点，∴MC=1∴MN=MC−CN=5+3∴MN−1故答案为：5．此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．【点评】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．5．（2022秋•陵水县期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm【分析】分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时；②当点C在线段AB的延长线时．根据线段中点的定义，计算即可．【解答】解：①当点C在线段AB上时，如图，∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB﹣BC＝6cm，∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC=12AC=3cm，CN=∴MN＝MC+CN＝5cm；②当点C在线段AB的延长线时，如图，∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB+BC＝14cm，∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC=12AC=7cm，CN=∴MN＝MC﹣CN＝5cm；综上，线段MN的长度时5cm．故选：B．【点评】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握线段中点的定义，难点在于分情况讨论．6．（2022秋•千山区期末）如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC＝6．（1）若F为BC的中点，且BC＝4，求EF的长；（2）若EC：CB＝1：3，求AB的长．【分析】（1）根据线段中点的定义得到AE＝BE，设CE＝x，求得AE＝BE＝6﹣x，得到BC＝BE﹣CE＝6﹣x﹣x，于是得到结论；（2）设CE＝x，则CB＝3x，根据线段中点的定义得到AE＝BE，求得AE＝4x，得到AC＝5x＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）∵点E是线段AB的中点，∴AE＝BE，设CE＝x，∴AE＝BE＝6﹣x，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣x﹣x，∵F为CB的中点，∴CF=12BC＝3﹣∴EF＝CE+CF＝x+3﹣x＝3；（2）∵EC：CB＝1：3，∴设CE＝x，则CB＝3x，∵点E是线段AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝4x，∴AC＝5x＝6，∴x=6∴AB＝8x＝9.6．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答．7．（2022秋•抚州期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．【解答】解：（1）如图1所示：∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm∴AC＝6+4＝10cm又∵D为线段AC的中点∴DC=12AC=∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm（2）如图2所示：设BD＝xcm∵BD=14AB∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，又∵DC＝DB+BC，∴BC＝3x﹣x＝2x，又∵AC＝AB+BC，∴AC＝4x+2x＝6xcm，∵E为线段AB的中点∴BE=12AB=12又∵EC＝BE+BC，∴EC＝2x+2x＝4xcm又∵EC＝12cm∴4x＝12，解得：x＝3，∴AC＝6x＝6×3＝18cm．【点评】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．8．（2023春•泰山区期中）（1）已知线段AB＝18，点M线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求：①如图1，若点C为线段AB上任意一点，求线段MN的长度；②如图2，若点C为线段AB延长线上任意一点，线段MN的长度会发生变化吗？请说明理由；（2）如图3，若点C为线段AB延长线上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC上的一点，且NC=13BC．求：23CM【分析】（1）①由于点M是AC中点，所以MC=12AC，由于点N是BC中点，则CN=12BC，而MN＝MC+CN=12（AC+BC②由CM=12AC，NC=12BC得到MN＝CM﹣NC=12AC−12BC=12（2）由已知条件得到CM=12AC，BN=23BC，故23CM−12BN=23×12AC−【解答】解：（1）①∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴CM=12AC，NC=∴MN＝CM+NC=12AC+12BC=12（AC∵AB＝18，∴MN＝9；②线段MN的长度不会发生变化，理由：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴CM=12AC，NC=∴MN＝CM﹣NC=12AC−12BC=12（AC∵AB＝18，∴MN＝9；（2）∵点M是线段AC的中点，∴CM=12∵NC=13∴BN=23∴23CM−12BN=23×12AC−12∵AB＝18，∴23CM−1【点评】本题考查了线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，理清线段之间的数量关系是解答本题的关键．【题型6角的概念及表示方法】1．（2023春•潍坊期中）图中能用一个大写字母表示的角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据角的表示方法，可得答案．【解答】解：可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B．故选：B．【点评】本题考查了角的概念，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．2．（2022秋•惠来县期末）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角 C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【分析】由角的概念，角的表示方法，即可判断．【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查角的概念，关键是掌握角的表示方法．3．（2022秋•宜州区期末）如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠AOB表示同一个角 D．图中只有两个角，即∠1和∠2【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论．【解答】解：A．∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意；B．∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意；C．∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；D．图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．4．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（）A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角【分析】根据线的表示方法和角的表示方法逐个判断即可．【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确；B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确；C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确；D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确；故选：A．【点评】本题考查了角的表示方法和线的表示方法的应用，准确识图是解题关键．5．（2022秋•隆化县期末）如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【分析】利用角的意义分别找出各角即可得出结论．【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，故选：D．【点评】本题主要考查了交点概念，利用角的定义找出各角是解题的关键．6．（2022秋•北京月考）如图所示，能用一个字母表示的角有个，图中所有小于平角的角有个．【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．【解答】解：能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠C；小于平角的角有7个：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADC．故答案为：2；7．【点评】本题考查了角的概念：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1．角+3个大写英文字母；2．角+1个大写英文字母；3．角+小写希腊字母；4．角+阿拉伯数字．【题型7角的度量及角度的运算】1．（2022秋•天山区校级期末）把7.26°用度、分、秒表示正确的是（）A．7°2′12″ B．7°2′6″ C．7°15′36″ D．7°15′6″【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.26°＝15.6′，∵1′＝60″，∴0.6＝36″，∴7.26°＝7°15′36″，故选：C．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．2．（2022秋•绥德县期末）20°13'12″化为用度表示是（）A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°【分析】由度、分、秒相邻单位之间是60进制，即可得到答案．【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【点评】本题考查度分秒的换算，关键是掌握：度、分、秒相邻单位之间是60进制．3．（2022秋•永年区期末）下面等式成立的是（）A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″ C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行换算即可．【解答】解：A、83.5°＝83°30'，故本选项不符合题意；B、90°﹣57°23'27″＝32°36'33″，故本选项不符合题意；C、15°48'36″+37°27'59″＝53°16'35″，故本选项不符合题意；D、41.25°＝41°15'，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了度、分、秒的计算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．4．（2022无为市三模）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：B．【点评】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．5．（2023秋•雁塔区校级期中）36.33°用度、分、秒表示正确的是（）A．36°19'48″ B．36°18'108″ C．36°30'33″ D．36°30'3″【分析】将0.33°化为分，再化成秒，可得答案．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.33°＝19.8′，∵1′＝60″，∴0.8′＝48″，∴36.33°＝36°19′48″．故选：A．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．6．计算：（1）28°32'46'+15°36'48'′；（2）（30°﹣23°15'40″）×3．【分析】（1）根据度分秒的加法，相同单位相加，满60时向上以单位近1，可得答案；（2）根据度分秒的减法，相同单位相减，不够减时向上一单位借1当60再减，可得答案．【解答】解：（1）原式＝43°68′94″＝44°9′34″；（2）原式＝6°44′20″×3＝18°132′60″＝20°13′．【点评】本题考查了度分秒的换算，度分秒的加法：相同单位相加，满60时向上以单位近1；度分秒的减法：相同单位相减，不够减时向上一单位借1当60再减．7．计算：（1）32°17′53″+42°42′7″；（2）90°﹣36°12′15″；（3）25°12′35″×5；（4）53°÷6．【分析】（1）1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依此计算加法；（2）1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依此计算减法；（3）1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依此计算乘法；（4）1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依此计算除法．【解答】解：（1）原式＝74°59′60″＝75°；（2）原式＝53°47′45″；（3）原式＝125°60′175″＝126°2′55″；（4）原式＝8°50′．【点评】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．【题型8钟表中的角度问题】1．（2023春•肇东市期末）一节课45分钟，分针所转过的角度是（）A．180° B．270° C．90° D．45°【分析】根据钟面角的定义，求出每分钟分针转过的角度即可．【解答】解：钟面上每分钟，分针转过的角度为360°60所以一节课45分钟，分针所转过的角度是6°×45＝270°，故选：B．【点评】本题考查钟面角，理解钟面角的定义，求出每分钟分针转过的角度是解决问题的关键．2．（2022秋•西固区校级期末）当时钟是3：30时，时针和分针的夹角是（）A．75° B．105° C．85° D．70°【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出3：30时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：3：30时，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴3：30时，分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．故选：A．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角，掌握钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°是解题的关键．3．（2022秋•澧县期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：4×30°＝120°，∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，故选：B．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．6．（2022秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（）A．105° B．155° C．159° D．157°【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为360°12【解答】解：∵10：18时，时针与分针之间11到3间隔度数为30°×4＝120°，3分钟对应角度为35×30°=18°，18分钟时针对应角度∴在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为120°+18°+21°＝159°．故选：C．【点评】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键．【题型9角度的计算】1．（2022秋•庆阳期末）如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，∠AOD=13∠AOE，∠BOEA．20° B．30° C．50° D．60°【分析】求出∠AOE＝90°，则∠AOD=13∠【解答】解：∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOD=13∠AOE∵∠AOC＝50°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝50°﹣30°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了角的计算，求出∠AOD的度数是解题的关键．2．（2022秋•渝中区校级期末）如图，O为直线AB上一点，∠COD＝100°，∠BOD：∠AOC＝1：3，则∠BOC的度数为（）A．110° B．120° C．135° D．140°【分析】利用角的和差关系和平角的定义，先求出∠BOD，再得结论．【解答】解：设∠BOD＝x°则∠AOC＝3x°．∵∠BOD+∠COD+∠AOC＝180°，∴x°+100°+3x°＝180°．∴x＝20．∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝120°．故选：B．【点评】本题主要考查了角的计算，掌握平角的定义和角的和差关系是解决本题的关键．3．（2022秋•唐县期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，则∠DOC的度数为（）A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65°【分析】分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形求出∠DOC的度数即可．【解答】解：当∠AOB在∠BOC的外部时，如图1所示：∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∴∠BOD=1∵∠BOC＝50°，∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝65°；当∠AOB在∠BOC的内部时，如图2所示：∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∴∠BOD=1∵∠BOC＝50°，∴∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝35°；综上分析可知，∠DOC的度数为35°或65°，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考出了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．4．（2022秋•巴中期末）如图，点A、O、B在一条直线上，且∠BOD＝138°，∠AOD：∠BOC＝1：3，则∠DOC＝度．【分析】先根据已知条件求出∠AOD，∠BOC，最后再∠DOC＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC，求出答案即可．【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∵∠BOD＝138°，∴∠AOD＝180°﹣138°＝42°，∵∠AOD：∠BOC＝1：3，∴∠BOC＝3∠AOD＝126°，∴∠DOC＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝180°﹣42°﹣126°＝12°，故答案为：12．【点评】本题主要考查了角的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．5．（2022秋•萨尔图区校级期末）如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于°．【分析】设∠CON＝∠BON＝∠，∠MOC＝y，则∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝2x+y＝∠AOM，∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝2x+y+y＝2（x+y）＝80°．而∠MON＝∠MOC+∠NOC＝x+y，即可求解．【解答】解：∵ON平分∠BOC∴∠CON＝∠BON设∠CON＝∠BON＝x，∠MOC＝y则∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝2x+y又∵OM平分∠AOB∴∠AOM＝∠BOM＝2x+y∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝2x+y+y＝2（x+y）∵∠AOC＝80°∴2（x+y）＝80°∴x+y＝40°∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝x+y＝40°故答案为40°．【点评】此题主要利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．6．（2022秋•秦都区期末）已知：如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB．若∠DOB＝80°，∠DOE＝60°，求∠DOA的度数．【分析】根据题意求出∠BOE的度数，依据角平分线定义得到∠BOC度数，从而可求∠DOC度数，最后运用OD是角平分线这个已知得到∠DOA度数．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∴∠DOC=12∠AOC∠DOE=∠DOC+∠COE=1∵∠DOB＝80°，∠DOE＝60°，∴∠BOE＝∠DOB﹣∠DOE＝80°﹣60°＝20°，∵OE平分∠COB，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×20°＝40°，∵OD平分∠AOC，∠DOA＝∠DOC＝∠DOB﹣∠BOC＝80°﹣40°＝40°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角之间的和差倍分关系是解题的关键．7．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）当∠BOC＝30°时，∠DOE＝；（2）当∠BOC为任意锐角时，（1）中∠DOE的度数是否发生变化？请说明理由．【分析】（1）先根据∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再根据角平分线的性质求出∠COD和∠COE，最后根据∠DOE＝∠COD+∠COE，求出答案即可；（2）先根据角平分线的性质求出∠COD=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，最后根据∠DOE＝∠COD+∠【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°，∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∴∠COD=1∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝30°+15°＝45°，故答案为：45°；（2）∠DOE的度数不发生变化，理由如下：∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∴∠DOC=12∠AOC∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°．【点评】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和性质，正确识别图形，找出角与角之间的数量关系．【题型10线段（或角）规律探究问题】1．（2022秋•绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（）A．15 B．30 C．20 D．10【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．【解答】解：如图所示：A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，图中共有线段：AB，AC，AD，AE，AF．BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，总共15条，所以共有15种不同的票价，故选：A．【点评】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．2．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段，则当线段上有20个点时，共有线段（）条．A．171 B．190 C．210 D．231【分析】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：如果线段上有3个点时，线段共有1+2＝3条，如果线段上有4个点时，线段共有1+2+3＝6条，如果线段上有5个点时，线段共有1+2+3+4＝10条，由以此类推可以得出：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=1故选：D．【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题的关键．3．（2023秋•乾安县期末）在∠AOB的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有个角．【分析】每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有（n+2）条射线，其中每一条射线与剩余（n+1）条射线都组成一个角，可组成（n+1）个角，（n+2）条射线可组成的角（n+2）（n+1）个角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成12【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；…若引n条射线，图中共有1+2+3+⋯+(n+1)=1故答案是：12【点评】本题主要考查图形变化类的规律题，能够根据题意找出规律是解题的关键．4．（2022秋•吴川市校级期末）如图，在∠AOB内，从顶点O画一条射线，图中共有个角；若从顶点O画10条射线，图中共有个角．【分析】首先分析在，在∠AOB内，从顶点O画一条射线，有3个角，再添加出一条射线，有6个角，进而得出规律求解即可．【解答】解：由图得，从顶点O画一条射线，则此时图中共有3条射线，有1+2=3×2当再在∠AOB内再添加一条射线，如图，则此时图中共有4条射线，有1+2+3=4×3∴从上可得，当从顶点O画10条射线时，则图形中一共有10+2＝12（条）射线，有1+2+3+…+11＝66（个）角，故答案为：3；66．【点评】本题考查了角的概念，掌握图形变化规律是解决本题的关键．5．在线段AB上选取3种点，第1种是将AB线段10等分的点；第2种是将AB线段12等分的点；第3种是将AB线段15等分的点，这些点连同AB线段的端点可组成线段的条数是（）A．350 B．595 C．666 D．406【分析】先找出重复的点，再求出所有的点的个数，利用组合即可求出线段的条数．【解答】解：10，12，15的最小公倍数为60，重复的点的个数＝（6012−1）+（除端点外的点的个数为：（15﹣1）+（12﹣1）+（10﹣1）﹣7＝27，∴连同AB线段的端点共27+2＝29个端点，∴29个点任取2个的组合有C（29，2）=29×28故选：D．【点评】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数．6．（2022秋•威县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C，D，分别以点A，B，C，D为端点的线段共有条．（2）模型构建：若线段上有m个点（包括端点），则共有条线段．（3）拓展应用：若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），根据上述模型，求一共要进行多少场比赛．【分析】【观察思考】从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；【模型构建】根据数线段的特点列出式子化简即可；【拓展应用】将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）【观察思考】∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1＝6（条）．故答案为：6；（2）【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），∴x=12m（故答案为：12m（m（3）【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m＝8时，m(m−1)2答：一共要进行28场比赛．【点评】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．7．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点．（1）如图1，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有个角．（2）如图2，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有个角．（3）如图3，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有个角．（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有个角．【分析】（1）根据角的定义解决此题．（2）根据角的定义解决此题．（3）根据角的定义解决此题．（4）根据角的定义以及特殊到一般的数学思想解决此题．【解答】解：（1）由图可得，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有的角的个数为2+1＝3（个）．故答案为：3．（2）由图可得，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有的角的个数为3+2+1＝6（个）．故答案为：6．（3）由图可得，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有的角的个数为4+3+2+1＝10（个）．故答案为：10．（4）由（1）（2）（3），以此类推，在角的内部作n条射线，那么图中一共有的角的个数为n+1+n+n﹣1+…+2+1=(n+2)(n+1)故答案为：(n+2)(n+1)2【点评】本题主要考查角，熟练掌握角的定义以及特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．【题型11余角和补角】1．（2022秋•雄县校级期末）若∠A＝60°45'，则∠A的补角的度数为（）A．118°15' B．119°15' C．119°55' D．120°15'【分析】利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可．【解答】解：∵∠A＝60°45′，∴∠A的补角为180°﹣60°45'＝179°60'﹣60°45'＝119°15'，故选：B．【点评】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题的关键．2．（2022秋•青山区期末）小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（）A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补【分析】由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，即∠AOC＝∠DOB，故选项A不符合题意；B、∵∠COA+∠DOA＝90°，∴∠COA与∠DOA互余，故选项B不符合题意；C、当AB⊥OD时，∠AOD＝∠B，故选项C符合题意；D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°，∴∠AOD与∠COB互补，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了余角和补角的概念，熟记余角和补角的概念是解题的关键．3．（2022秋•个旧市期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故选：B．【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．4．（2022秋•合肥期末）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，则图中∠BOE的余角共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据余角的和等于90°，结合图形找出构成直角的两个角，然后再计算对数．【解答】解：∵∠AOC＝∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COE+∠BOE＝90°．∴∠BOE的余角共有2个．故选：B．【点评】本题考查了余角和补角的知识，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．5．（2022秋•黄岩区期末）如果∠α和2∠β互补，且∠α＜2∠β，给出下列四个式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③∠β−12∠α；④∠β+A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】若两个角之和为90°，这两个角互余；若两个角之和为180°，这两个角互补，据此即可作答．【解答】解：∵∠α与2∠β互补，∴∠α+2∠β＝180°，∴∠β=90°−1①由余角的定义知90°﹣∠α为∠α的余角；②∵2∠β−90°+∠α=2(90°−1∴2∠β﹣90°与∠α互余；③∵(∠β−1∴∠β−12∠α④由③可知∠β+12∠α∴可以表示∠α的余角的有3个，故选：B．【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的概念是解题的关键．6．（2023秋•东丰县期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．【分析】（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解；（2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断．【解答】解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°；（2）∠DOC=12×∠∠AOE=12×∠∠DOE与∠AOB互补，理由：∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，∴∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，故∠DOE与∠AOB互补．【点评】本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，需要熟练掌握．7．（2022秋•上蔡县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°．（1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝；∠AOE与∠DOB的关系是；（2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．【分析】（1）先根据平角的意义，得∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，再由条件可知∠AOE+∠BOD＝90°，可求得答案；（2）先证得∠BOC=12×180°=90°，∠DOE＝90°，再利用平角的定义证得∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝90°，即可证∠AOE【解答】解：（1）∵点O在直线AB上，∴∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，又∵∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，若∠AOE＝46°，则∠BOD＝90°﹣46°＝44°；故填：44°，互余．（2）∠AOE+∠COD＝180°，理由如下：∵点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，∴∠BOC=1∵∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°，即：∠AOE+∠COD＝180°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键．【题型12线段动点与动角的探究问题】1．（2022秋•黄陂区期末）如图，90°＜∠AOB＜180°，0°＜∠COD＜90°．若∠AOB+∠COD＝150°，∠COD在平面内绕点O旋转，分别作∠AOC和∠BOD平分线OP、OQ，则∠POQ的度数为．【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可．【解答】解：∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠AOP＝∠COP=12∠AOC，∠BOQ＝∠DOQ=1∵∠AOB+∠COD＝150°，∴2∠COP+2∠DOQ+∠COD+∠COD＝150°，∴∠COP+∠DOQ+∠COD=1故答案为：75°．【点评】本题考查角的平分线，理解角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．2．（2022秋•和平区期末）如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．（1）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，直接填空：AM＝AB；（2）在（1）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，则MNAB=【分析】（1）认真读懂题意掌握C、D的运动过程，设运动时间为t，MD＝AB﹣AM﹣BD，BD＝2t，AC＝AM﹣CM，CM＝t，再加上已知条件MD＝2AC，就可以得到AM=13（2）分两种情况讨论计算，当N在线段AB上时，N在线段AB延长线上时，分别求出比值即可．【解答】解：（1）设运动时间为t，∵MD＝AB﹣AM﹣BD，BD＝2t厘米，AC＝AM﹣CM，CM＝t厘米，MD＝2AC，∴AB﹣AM﹣2t＝2（AM﹣t）厘米，∴AB﹣AM﹣2t﹣2AM+2t＝0，∴AB﹣3AM＝0，∴AM=13故答案为：13（2）当N点在线段AB上时，如图所示，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，∴AM＝BN=13∴MN=13AB，即当N点在线段AB的延长线上时，如图所示，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，∴AM＝BN=13∴MN＝MB+BN＝MB+AM＝AB，即MNAB综上所述，MNAB故答案为：13【点评】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．3．（2023春•乳山市期末）如图①，点O在直线AB上，∠AOC＝120°，OD⊥AB，将OD绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当OD旋转到第t秒时，OD所在的直线平分∠BOC，则t的值为．【分析】根据平角的定义得到∠BOC＝60°，进行分类讨论，求出OD旋转的度数即可求解．【解答】解：∵OD⊥AB，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，①如图，当OD逆时针旋转到OE时，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1则OD逆时针旋转了90°+30°＝120°，∴t＝120°÷2°＝60（s），②如图，当OD逆时针旋转到OF时，由①得：∠BOE＝30°，∠AOD＝90°，∴∠AOF＝30°，∴∠DOF＝60°，则OD逆时针旋转了360°﹣60°＝300°，∴t＝300°÷2°＝150（s），综上可知：t的值为60或150，故答案为：60或150．【点评】此题考查了角平分线定义，平角的定义，根据旋转后画出图形是解题的关键．4．（2022秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值；②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB；（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD．②利用中点的性质求解．（2）将AP用其它线段表示即可．【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．故答案为：12；②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．故答案为：1：2；（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，∴BD＝3PC，∵PD＝3AC．∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．∴AP=14AB=9【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．5．（2022秋•花山区期末）已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；（2）如图1，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE＝；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由．【分析】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，从而∠AOC+∠BOD＝90°，结合∠AOC＝30°求得∠BOD＝60°，由角平分线定义得∠BOE=1（2）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，从而∠AOC+∠BOD＝90°，结合∠AOC＝α求得∠BOD＝90°﹣α，由角平分线定义得∠BOE=1（3）如图2，根据平角的定义得∠COE=1【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝60°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°；（2）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=(90°−1故答案为：12（3）（2）中的结论还成立．理由如下：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α∵OE平分∠BOC∴∠EOC=∵∠COD＝90°∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−(90°−1【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．6．（2022秋•大竹县期末）如图，点P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案；②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【解答】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm，∵AP＝8cm，AB＝12cm，∴PB＝AB﹣AP＝4cm，∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm）；②∵AP＝8cm，AB＝12cm，∴BP＝4cm，AC＝（8﹣2t）cm，∴DP＝（4﹣3t）cm，∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝（4﹣t）cm，∴AC＝2CD；（2）当t＝2s时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm），当点D在C的右边时，如图所示：由于CD＝1cm，∴CB＝CD+DB＝7cm，∴AC＝AB﹣CB＝5cm，∴AP＝AC+CP＝9（cm），当点D在C的左边时，如图所示：∴AD＝AB﹣DB＝6cm，∴AP＝AD+CD+CP＝11（cm），综上所述，AP＝9cm或11cm．【点评】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．1．（2022秋•朝阳期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A． B． C． D．【分析】根据正方体展开图的11种形式对各选项分析判断即可得解．【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知：A，C，D选项可以拼成一个正方体，而B选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图．熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．2．（2022秋•南开区校级期末）现有一个如图1所示的正方体，它的展开图可能是（）A． B． C． D．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点C符合．故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，理解立体图形和平面图形的关系是解题的关键．3．（2022秋•石家庄期末）如图，观察图形，下列结论中不正确的是（）A．AB+BD＞AD B．图中有5条线段 C．直线BA和直线AB是同一条直线 D．射线AC和射线AD是同一条射线【分析】根据直线，射线，线段的定义解答即可．【解答】解：A、AB+BD＞AD，正确；B、图中有6条线段，故错误；C、直线BA和直线AB是同一条直线，正确；D、射线AC和射线AD是同一条射线，正确；故选：B．【点评】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．4．（2023秋•管城区月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”进行判断即可．【解答】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个，故选：C．【点评】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键．5．A．6种 B．4种 C．10种 D．12种【分析】根据题意得出共有：3×4＝12车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价．【解答】解：∵共有4个站点，∴共有3×4＝12种车票，但往返两个站点的票价相同，即有12÷2＝6种票价，故选：A．【点评】此题主要考查了线段，关键是正确计算出线段的条数．6．（2022秋•石家庄期末）如图，观察图形，下列结论中不正确的是（）A．AB+BD＞AD B．图中有5条线段 C．直线BA和直线AB是同一条直线 D．射线AC和射线AD是同一条射线【分析】根据直线，射线，线段的定义解答即可．【解答】解：A、AB+BD＞AD，正确；B、图中有6条线段，故错误；C、直线BA和直线AB是同一条直线，正确；D、射线AC和射线AD是同一条射线，正确；故选：B．【点评】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．7．（2022秋•华亭市期末）若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与