安徽省合肥市庐江第三中学2023-2024学年高考数学四模试卷含解析

安徽省合肥市庐江第三中学2023-2024学年高考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图,这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率.

组距]

O.ldL-----------

8

8.10

,08

OS.,04

.002

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

2.已知三棱锥A—BCD的所有顶点都在球。的球面上，平面ABC,N54C=120°,AD=2,若球。的表

面积为20万，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为（）

A.2B.友C.6D.2A/3

33

3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

3749

A.-B.—C.一D.—

510510

4.设R,则“d〈27”是“1划＜3”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数/（x）的导函数为1（%）,记/（％）=/'（X）,力（力=工'（龙），…，源（#=九0（〃""）.若

/（x）=%sinx,则力o/x）+力021（力=（）

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sin%

6.设0<%<2=，且Jl一sin2%=sinx-cos犬，贝！J（）

八兀，兀兀,，、兀兀，，3几

A.B.一---C.一«%V—D.一«x«—

444422

7.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且7s2=4S"则公比q的值为（）

A.1B.1或工C.—D.tB

222

8.已知函数/（x）=；or2_（x—l）e%ae&若对区间［0,1］内的任意实数百、%、髭，都有/4）+/（々）2/（马）,

则实数。的取值范围是（）

A.[L2]B.[e,4]C.[14]D.[1,2)3%4]

sinfx+

2k兀一%,2k兀*三\、kGz),

9.己知函数y=<的图象与直线y=m（x+2）（根>0）恰有四个公共

-sinfx+

,XGIkjr+—,Ikjr+-(k€z),

22

点人（不必）,8（%,%），。.（元3，%），。（%了4），其中石则（%4+2）tan%4=（）

A.-1B.0C.1D.—+2

2

Y3+Qi.nx

10.已知函数/（%）=；；~-——-~-一为奇函数，则机=（）

（1+x）（m-x）+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

11.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是（）

A.13B.14C.15D.16

12.已知条件p：a=-1,条件4：直线%—分+1=0与直线x+/y_l=0平行，则。是^的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线点—y—左+2=。与直线x+6—2左—3=0交于点P,则0尸长度的最大值为——.

14.已知双曲线;-4=1(。〉0力〉0)的两条渐近线方程为〉=±且》，若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方

ab3

程为.

15.若存在实数后人使得不等式/(%)〈依+b<g(x)在某区间上恒成立，则称/(%)与g("为该区间上的一对“分

离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有.(填上所有正确答案的序号)

①0,^,/(x)=sinx,g(x)=tanx；

(2)xG[1,+oo),=J/_],g(x)=J%'+1;

(3)xeR,/(%)=x2+2,g^x)=ex+e~x•

@XG(0,+oo),/(%)=%--,g(%)=2xlnx.

X

16.已知多项式0+2)"(%+1)"=4+%%+。2炉++%+/"""满足/=4,Oj=16,贝！]7篦+〃=,

«0+«1+a2++%”+“=-------------------------

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱柱ABC—4月£中，AC=5C=1,AB=夜,4。=1，4。，平面43C

(1)证明：平面4ACC]，平面BCG耳

(2)求二面角A-45-C的余弦值.

18.(12分)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,a2-ab-2b2=0.

(1)若C=[,证明：y/3sin5=sinC.

27r

(2)若C=——，c=7,求AABC的面积.

3

19.(12分)已知点M(T0),N(l,0),若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.

（I）求点p的轨迹方程;

（II）过点。（一百,0）的直线/与（I）中曲线相交于A,3两点，。为坐标原点，求小面积的最大值及此时直

线/的方程.

G[x=cos0

20.（12分）在直角坐标系/中，已知直线/的直角坐标方程为y=、2x，曲线G的参数方程为，,八（。为

-31y=l+sin。

TT

参数），以直角坐标系原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕=4sin（e+§）.

（1）求曲线C和直线/的极坐标方程；

（2）已知直线/与曲线G、G相交于异于极点的点A3,若A,3的极径分别为8,p2,求，-的值.

21.（12分）已知数列｛qj,其前〃项和为S,,,满足q=2,其中几.2,neN*-%，

⑴若4=0,〃=4,bn^an+｝-2an（九6N*），求证：数列｛"｝是等比数列；

⑵若数列｛为｝是等比数列，求X,〃的值；

3

⑶若。2=3,且2+〃=],求证：数列伍〃｝是等差数列.

22.（10分）如图,三棱柱ABC-431G中，侧面BB©C是菱形，其对角线的交点为。，且AB=AQ=&，即，4c

（1）求证：49，平面5月。。；

（2）设/用3C=60。，若直线A片与平面3耳CC所成的角为45。，求二面角4一50]-6的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0」6+0.08+004)x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

2、B

【解析】

由题意画出图形，设球。得半径为R,A5=x,AC=y,由球。的表面积为2(hr,可得甯=5,再求出三角形43c外接圆的

半径，利用余弦定理及基本不等式求盯的最大值，代入棱锥体积公式得答案.

【详解】

设球。的半径为R,AB=x,AC=y,

由4万区2=2。万，得叱=5.

如图:

设三角形ABC的外心为G,连接。G,GA,OA,

可得OG=；AD=1,则AG=VFW=2.

BC

在AABC中，由正弦定理可得：——=2AG=4,

sin1200

即BC=26,

由余弦定理可得，BC?=12=尤?+/一2孙*(一g)=/+9+孙..3孙，

初,4.

则三棱锥A—BCD的体积的最大值为工x工x4xsin120。*2=友.

323

故选：B.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运

算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题.

3、D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为a,4c,d,e,其中”,dc产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有a）,ac,ad,ae,A/d/e,cd,ce,,共9种情况，所以所选2部专著中至

mQ

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为「=一=;;;.故选D.

n10

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有⑴枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；⑵树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，用），（4,2）….（4,反），

再（4,4）,⑷4）..…（4,凡）依次（4,4）（4,不）.…⑷,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

4、B

【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可

【详解】

解不等式d<27可得x<3,

解绝对值不等式Ix|<3可得一3（尤<3,

由于｛x|—3<%<3｝为｛x|x<3｝的子集，

据此可知“%3<27”是“Ix1<3"的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.

5、D

【解析】

通过计算工(力/(九)"(x)’G)j(x),可得以_3(%)，以一2(%)/l(x)，以(％)，最后计算可得结果.

【详解】

由题可知：/(x)=xsinx

所以＜(x)=sin%+JVcos羽力(％)=2cosx-xsinx

力(x)=_3sinx—xcos%，a)=Tcosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,---

所以猜想可知：以一3(x)=(4左—3)sin%+xcosx

力02(x)=(4左-2)cosx-xsinx

f4k_x(x)=-(4^-1)sin%-xcosx

启(1)=Ykcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以办io9(x)=-2019sinx—xcos尤

力mc(%)=202lsinx+xcosx

所以上109(%)+力021(x)=2sinx

故选:D

【点睛】

本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档

题.

6、C

【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin乂.cos%,即可求出x的范围.

【详解】

.•J1—sin2x=Vsin2x+cos2x—2sinxcosx

=&sinx-cos%)?

=|sinx-cosx|

=sin%—cos%

sinx-cosx.0,即sinx.cosx

v®2乃

.-.-M—

44

故选：C

【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sinx,cos无的关系即可求解，属于简单题目.

7、C

【解析】

由7s2=4s4可得3(q+4)=4(%+%)，故可求q的值.

【详解】

因为7s2=452所以3(4+02)=4(84—82)=43+%)，

故因｛4｝为正项等比数列，故q>0,所以q=白，故选C.

【点睛】

一般地，如果｛4｝为等比数列，S”为其前〃项和，则有性质：

(1)^m,n,p,qeN*,m+n=p+q,则%“%=与4；

(2)公比qwl时，则有S“=A+3q",其中4,3为常数且人+5=0；

⑶Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等比数列(S#0)且公比为4".

8、C

【解析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数西、9、马，都有

/(%)+/•(马)2/(/)，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得/r(x)=ax-［ex+(%-l)ex］=ax-xex=x(a-ex).

当aVl时，尸(X)<。，所以函数f(x)在［0,1］单调递减，

因为对区间［0,1］内的任意实数卬々、%，都有/(%)+/(毛)》/(%3)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以一ci-\—

22

故叱1,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当Gave时，函数f(x)在［OJna］单调递增，在(Ina,1］单调递减.

12

所以/(工)3=f(］na)=—aina-a\na+a,

因为对区间［0,1］内的任意实数为、%、X3,都有/(%)+/(%)2/(七)，

所以/(0)+〃1)之/(111。)，

112

所以1+—。2—olna-a］na+a,

22

121

即一aIna—aInciH—a—IVO

121

令g(a)=］alna-alna+—a-l,(l<a<e)9

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，

所以g(a：U=g6=-；<0，

所以当lSa<e时，满足题意.

当a»e时，函数f(x)在(0,1)单调递增，

因为对区间［0』内的任意实数占、%、%，都有/(X)+/(/)»/(七)，

所以/(0)+7(0)2/⑴，

.1

故

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

综上所述，ad［1,4］.

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间［0,1］内的任意实数0马、不，都有/(%)+/(々)2/(%3)”的转化•由于是函数的问

题，所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就

是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.

9、A

【解析】

先将函数解析式化简为y=|cosx|,结合题意可求得切点5及其范围4e叁，乃，根据导数几何意义，即可求得

(%4+2)tan%4的值.

【详解】

.।7C।77C77T।7

sin%+—2k兀-----,2k兀+—(Kez),

函数y—<

.(吟「07n3TTV

即y=|cosx|

直线y=m(x+2)(m>0)与函数y=|cos%|图象恰有四个公共点,结合图象知直线y=+2)(m>0)与函数

y=—cosx相切于%,x4

因为y'=sinx,

7-cosx

故％-sinx—4,

4Z+2

)-1

所以(％+2)tan%4=(%+2)x©os4=(x+-2x=-1

4)U+2),

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用,由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.

10、B

【解析】

根据/(九)整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出机的值.

【详解】

依题意f(%)是奇函数.而y=V+sinx为奇函数，y=/+(L为偶函数，所以g(x)=(l+”(加—%)为偶函数，故

g(%)-g(-%)=0,也即(1+X)(口_尤)_(1_尤)(加+%)=(),化简得(2wi—2)x=0,所以m=1.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

11、c

【解析】

根据含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2'-1个真子集，计算可得；

【详解】

解：集合集合,1,9｝含有4个元素,则集合合,0,1,9｝的真子集有元—1=15（个），

故选：C

【点睛】

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有〃个元素的集合，有2'个子集，有2"-1个真子

集，属于基础题.

12>C

【解析】

先根据直线x-ay+l=0与直线x+/丁_1=o平行确定a的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线X—ay+l=。与直线x+—1=0平行，

所以储+。=0，解得。=0或。=一1；即q：a=0或。=一1；

所以由。能推出q；q不能推出「；

即口是q的充分不必要条件.

故选C

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、20+1

【解析】

根据题意可知，直线6-y-左+2=。与直线x+6—2左—3=0分另IJ过定点，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点尸在以为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线入一y_k+2=0可化为左（x_l）+2_y=0,

所以其过定点A（l,2）,

直线为+6一2左一3=0可化为x-3+左（丁一2）=0,

所以其过定点8（3,2），且满足左•1+（―1）・左=0,

所以直线依一y—左+2=。与直线》+外一2左一3=0互相垂直,

结合图形可知，线段OP的最大值为|。。|+1,

因为C为线段A3的中点，

所以由中点坐标公式可得C（2,2）,

所以线段OP的最大值为272+1.

故答案为：20+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以AB为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

2o2

14、-生=1

44

【解析】

由已知、'，即"\取双曲线顶点1及渐近线,、’口则顶点到该渐近线、'］，的距离为

a33'

43u2r23v2

。-、，由题可知「2,所以力，则所求双曲线方程为L—3L=l.

、卜5）、3：2“J344

15、①②④

【解析】

由题意可知，若要存在立+b使得依+AWg(x)成立，我们可考虑两函数/(x)，g(x)是否存在公切点，若两函

数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特

点可知，y/x2+l>x>A/X2-1>进而判断

【详解】

①xe时，令人(x)=x-sinx,贝UZ)'(x)=l-cos尤2。，/(力单调递增，/o(%)>/(%)=0,即x»sinx.令

go(x)=x-tanx,贝!Jg。(尤)=x---,g()(x)单调递减，g0(x)<g(x)=。，即xWtanx,因此sinxVxVtanx,满足

cos'x

题意.

②xw[l,+oo)时，易知Jx2+1>x>y/x2-1»满足题意.

③注意到〃0)=g(0)=2,因此如果存在直线丫=区+6,只有可能是/(力(或g(x))在x=0处的切线，

〃x)=2x,-(0)=0,因此切线为y=2,易知g(x”2&，.eT=2,/(%)>2,因此不存在直线>=区+6满足题意.

④xe(0,+8)时，注意至!j/(l)=g。)=0,因此如果存在直线>=履+6,只有可能是g(x)(或/(%))在x=l处的

切线，g'(x)=21nx+2,g'⑴=2,因此切线为y=2x—2.

令力(x)=x--(2x-2),则以力=：-1,易知玲(外在(0,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减，所以

加x)4%⑴=0,BP%--<2%-2.

X

令g°(x)=2Hn尤-(2x-2),则《(犬)=21nx,易知g°⑴在(0,1)上单调递减，在(1,行)上单调递增，所以

心(九)之go⑴=。，即2xlnx>2x-2.

因iHsx—V2x—2V2xlnx,糖意.

x

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题

16、572

【解析】

2

,.,多项式(％+2)'”(%+1)"=a0+G1X+G2X++am+"x'"+"满足%=4,ax—16

•••令x=0,得2'Rxl"=.=4,则m=2

(x+2)m(%+l)n=(x2+4x+4)(%+1)〃

该多项式的一次项系数为4c+4Cf1r,-1=16

:・c『=3

：•〃=3

:.m+n=5

2

令1=1,得(1+2)x(1+1)?=%+%+〃2H----Ham+n=72

故答案为5,72

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)B

3

【解析】

(1)证明AC，平面5。。1片即平面4ACG，平面5CGA得证；(2)分别以C4,C5,5。所在直线为x轴，y轴.

轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,再利用向量方法求二面角A-与3-。的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为与平面A3C,所以51C，AC

因为4。=3。=1,43=0.所以4。2+5。2=452.即AC±BC

又BCg。=。.所以4。，平面3。。4

因为ACu平面AACC1•所以平面4ACG，平面BCG用

(2)解：由题可得用CCACB两两垂直，所以分别以CAC3,与c所在直线为X轴，y轴.轴，建立如图所示的空间

直角坐标系Cxyz,则A(l,0,0),。(0,0,0),3(0,1,0),耳(0,0,1),所以3=(0,-l,l),AB=(-1,1,0)

设平面ABB｝的一个法向量为m-(x,y,z),

—y+z—0

由=0,根＞15=0.得〈

[—%+y=0

令x=l,得加=(1,1,1)

又CA，平面CBB1,所以平面C8区的一个法向量为CA=(1,0,0).

/沙\1百

cos(m,CA)=-j==——

V33

所以二面角A-B.B-C的余弦值为昱.

3

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18、(1)见解析(2)迪

2

【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；

(2)由余弦定理和已知条件解得/仇然后由面积公式计算.

【详解】

22222222

解：(1)c=a+/,_labcosC=a+b-ab=a-ab-2b+3b，

由cr-ab-2b2=0得到c2=3b2，由正弦定理得sin2C=3sin2B.

因为3,Ce(O,7Z-),所以百sin5=sinC.

(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=49,①

由。2—。匕一2/=0得(a+b)(a—2Z?)=0,即a=2Z?,②

联立①②解得。=近，a=2A/7.所以S^BC=匕sinC=.

【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边.解题时要注

意对条件的分析，确定选用的公式.

22f7

19、(I)]+]=l；(II)AAQB面积的最大值为g,此时直线/的方程为x=±苧y—Q.

【解析】

(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程；

(2)设出直线方程后，采用工x|A3|xd(d表示原点到直线AB的距离)表示面积，最后利用基本不等式求解最值.

2

【详解】

解：(I)由定义法可得，尸点的轨迹为椭圆且2a=4,c=l.

22

因此椭圆的方程为L+匕=i.

43

22

(II)设直线/的方程为x-道与椭圆亍+4=1交于点

B(%，%)，联立直线与椭圆的方程消去x可得(3〃+4)/-6岛-3=0,

_

Hri6y/3t、,、，_3

即％+,2=-?-------9=~^~27・

123/+43r+4

11I-/----------------------

AAQB面积可表示为SaoB=]I。。I•I%-%1=],如•，(%+%下一4%乂

二百/(£巨)2_4--=叵岑-•的产+3/+4=小—厅工

2'3/+43r+423r+43r+4

____6M6Vr-

令百币="，则M/l，上式可化为/+3一,-3，

Lt।

U

当且仅当“=JI,即/=±逅时等号成立，

3

因此AA6®面积的最大值为G，此时直线/的方程为x=±半y-JL

【点睛】

常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题:

(1)已知点M(-c,0),N(c,0),若点P(x,y)满足|9|+|附|=2"且2。＞2°,则尸的轨迹是椭圆;

(2)已知点M(-c,0),N(c,0),若点尸(x,y)满足11PMi-|PN||=2a且2a<2c,则尸的轨迹是双曲线.

20、(1)Q=2sin，，0=—Qp&R).(2)\p-p|=3

6x2

【解析】

(i)先将曲线G的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角,

即可得极坐标方程.

(2)将直线/的极坐标方程代入曲线Q、可得8,夕2,进而代入可得2|的值.

【详解】

JQ—cose

(i)曲线G的参数方程为一,."(。为参数)，

y=1+sin，

消去。得f+y—2y=0,

把公+/=夕2,y=〃sin。代入得0?—2sin0=0,

从而得G的极坐标方程为夕=2sin6>,

•••直线/的直角坐标方程为y=18x，其倾斜角为

36

TT

直线I的极坐标方程为8=土(夕eR).

6

jr

(2)将。=£代入曲线G，c2的极坐标方程分别得到

6

Pi=2sin—=1,pi=4sin(—+—)=4,

oo3

则3一夕21=3.

【点睛】

本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.

21、(1)见解析(2)A=l,〃=0(3)见解析

【解析】

试题分析：(1)邑=4%-]5»2),所以仇=2〃T，故数列｛0｝是等比数列；(2)利用特殊值法，得“=1,2=1,

1yi

故2=1,4=0；⑶得2=5，〃=1,所以s“=耳。”+a,T，得(〃一1)4+1-(〃一2”“—2a“T=0,可证数列｛4｝

是等差数列.

试题解析：

(1)证明：若2=0,4=4,则当S,,=4%1(”工2),

所以%=Sn+l~Sn=4(%—%),

即an+l~2%=2(%—2%_1),

所以么=2鼠1，

又由Q]=2,Q]+%=4。1,

得%=3〃]=6,%—2〃]=2w0,即2w0,

所以3=2,

故数列也｝是等比数列.

(2)若｛%,｝是等比数列，设其公比为4(q4),

当〃=2时，S2=2Aa2+/day,即％+%=24%，得

1+q=2鸡+//,①

当〃=3时，53=32<23+/^a2,即4+%+%=32%+4〃2，得

]+q+/=34q2+"q,②

当〃=4时，S4=42%+〃/，即4+。2+。3+。4=4几。4+4〃3，得

1+q+12+q3=42q3+以―,(§)

②一①X“，得1=的2,

③一②X«,得1=27,

解得夕=1,4=1.

代入①式，得4=。.

此时S〃=nan(n>2)9

所以4=%=2,,“｝是公比为1的等比数列，

故2=1,〃=0.

(3)证明：若。2=3,由囚+g=ZXg+〃q,得5=62+2〃，

31

又2+〃=—,解得