【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区突破仿真模拟试题(一模二模)含答案

【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区专项突破仿真模拟试题

（一模）

第I卷（选一选）

请点击修正第I卷的文字阐明

评卷人得分

1.已知集合4={x[0vx<3},且/05={1},则集合5可以是（）

A.{x|x<l}B.{x|x<l}

C.{-1,0,1}D.{x^Z\x>l}

2.已知复数2=。-i（其中Q£R）,则上面结论正确的是（）

A.z=-a+i

B.z-i=-l+tzi

C.|z|>l

D.在复平面上，z对应的点在直线y=-1上

3.下列函数中，定义域为R的偶函数是（）

A.y=2xB.歹=|tanRc.y=—D.y=xsinx

x

4.若ab>0,且则下列不等式一定成立的是（）

,,11

A.a<bB.—<—

ab

baa+br-r

C.—l—>2D.------>Vctb

ab2

5.已知抛物线产=8x,。为坐标原点，过其焦点的直线/与抛物线相交于A,B两点，且|/邳=10,

则48中点/到了轴的距离为（）

A.2B.3

C.5D.6

6.已知边长为2的正方形N8CD,设P为平面N8CO内任一点，则“04君.944”是“点在正

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方形及内部”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设函数/(x)=cos在［-词的图象大致如图所示，则/(x)的最小正周期为()

8.已知直线/被圆C：/+，=2所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线/一定有公共点的

是()

A.y=x2-lB.(x-1)-+y1=1

丫2

C.y+j/2=1D.x2-y2=\

9.若2,-2〉<3r-3->,则()

A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C,ln|x-y|>0D.In|x-y|<0

10.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰高程为8848.86(单位：m),三角高

程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个表示图，现有a3,c三点，

且/,B,C在同一程度面上的投影风。满足4C0=45。，AA'B'C'=60°.由C点测得8

点的仰角为15。，89与CC的差为100；由3点测得N点的仰角为45。，则N,C两点到程度

面48'。的高度差44'-CC约为(6。1.732)()

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A.346B.373C.446D.473

第H卷（非选一选）

请点击修正第II卷的文字阐明

评卷人得分

11.若（x+与6的展开式中的常数项为一20,则斯.

x

12.已知。，4,c成等比数列，且a>0,则log^a+logzcn

13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数危尸：

①/（再马）=/（再）/每）：

②当xe（0,+oo）时，f'（x）>0；

③/'（x）是偶函数.

14.设棱长为2的正方体/3CO-44G4,E是/。中点，点V、N分别是棱/8、GA上的

动点，给出以下四个结论：

①存在EN〃MJ；

②存在MV_L平面ECG；

③存在有数个等腰三角形；

-24

④三棱锥C-ACVE的体积的取值范围是.

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则一切结论正确的序号是

评卷人得分

三、双空题

15.设耳，8为双曲线C：E-1=l(a>0,6>0)的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线

ab

段百用三等分，则双曲线C的离心率为—；渐近线方程为.

评卷入得分

四、解答题

16.已知函数/(x)=2百sinxcosx-2asin2x+a(。>0),再从条件①，条件②中选择一个作为

已知，求：

(1)。的值；

(2)将/(x)的图象向右平移?个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

6

条件①：/(X)的值为2;条件②：/(y)=-l.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按个解答计分.

17.从2008年的冬季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.

十几年间志愿不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京共录用赛会志愿

者18000多人.中先生志愿服务曾经纳入先生综合素质评价体系，为了解中先生参加志愿服务所

用工夫，某市教委从全市抽取部分高二先生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用工

夫，把工夫段按照口.5,2.5),[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名

先生参加志愿服务工夫的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

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(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组工夫区间的平均值，估计这600

名高二先生上学期参加志愿服务工夫的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一

个估计值；

(2)若一个学期参加志愿服务的工夫不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频

率视为该市高二先生上学期参加志愿服务工夫的概率，从全市一切高二先生中随机抽取3名先

生，设本学期这3名先生中达到“预期合格”的人数为X,求X的分布列并求数学期望E(X)；

⑶用每一个小矩形的中点值代替每一组工夫区间的平均值,把工夫段在口.5,4.5)的数据组成新样

本组其方差记为针，把工夫段在35,6.5］的数据组成新样本组瓦其方差记为修，原来600

个样本数据的方差记为S3z,试比较娟，V，S3z的大小(结论不要求证明).

18.如图，矩形48co和梯形43E尸，AFVAB,EFI/AB,平面48£尸_L平面48CD,且

AB=AF=2,AD=EF=1,过DC的平面交平面48E尸于ACV.

(1)求证：ZW与CN相交;

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(2)当〃■为BE中点时，求点E到平面。CW的距离：

⑶若平面/BCD与平面。CW的夹角的余弦值为更，求誓的值.

5EB

22

19.已知椭圆C：=+==1(a>b>0)上一点P到两个焦点的距离之和为4,离心率1为:

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左右顶点分别为/、B,当尸不与工、8重合时，直线/尸，8P分别交直线x=4

于点M、N,证明：以7W为直径的圆过右焦点尸.

20.设函数/(x)=czln(x+l)+x2(aeR).

(1)当。=7时，

①求曲线V=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程；

②求函数/(x)的最小值.

⑵设函数g(x)=axT,证明:当时,函数H(x)=/(x)-g(x)至少有一个零点.

21.素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数.早

在2000多年前，欧几里德就在《几何本来》中证明了素数是有限的.在这之后，数学家们不断

地探求素数的规律与性质，并取得了明显成果.中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数

为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和“，成为了哥德巴赫猜想研讨上的里程碑，在国际

数学界惹起了惊动.如何筛选出素数、判断一个数能否为素数，是陈旧的、基本的，但至今仍

遭到人们注重的成绩.最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.1934年，一名印度数学家发

明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A

,具体构造的方法如下：A中位于第i行第4列的数记为与，首项为九+1且公差为2i+l的等差

数列的第4项恰好为囱，其中f=L2,L；j=l,2,L.请同窗们阅读以上材料，回答下列成绩.

⑴求密；

⑵证明：ay=aji；

(3)证明：

①若,在A中，则2s+l不是素数；

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②若S不在A中，则2s+1是素数.

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答案:

1.c

【分析】

根据集合交集的运算，将选项逐一代入进行排除即可.

【详解】

对于A：/c3={x|0<x<l},故A错误；

对于B：Nc8={x[0<x41},故B错误；

对于C：/c8={l},故C正确；

对于D：Nc8={l,2},故D错误.

故选：C

2.D

【分析】

根据共朝复数判断A,根据复数代数方式的乘法运算判断B,根据复数模的计算公式判断C,

根据复数的几何意义判断D；

【详解】

解：由于z=a-i,aeR,所以z=a+i，故A错误；

zi=(a-i)i=ai-i2=l+ai,故B错误；

|z|=Ja。+(—1)2=Va2+121,故C错误；

复数z=a-i在复平面内所对应的点的坐标为位于直线y=T上，故D正确；

故选：D

3.D

【分析】

根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.

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【详解】

对于A,根据指数函数的性质知，函数y=2”为非奇非偶函数，不符合题意；

对于B,函数/（x）=|tanx|满足/（-x）=kan（-x）卜阿々）|=/■仅）为偶函数，但定义域为

\x\x^^+kn,k,不为R,不符合题意；

对于C,函数>为偶函数，但定义域为{x|xwO},不为R,不符合题意；

X

对于D,函数y=xsinx,定义域为R,且满足/（-工）=-工5亩（-工）=4历工=/0¥）为偶函数，符

合题意.

故选：D.

4.C

【分析】

取。=_3/=-2即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.

【详解】

取。=-3,6=-2满足。6>0,S.a<b,此时/>〃，A错误；

取。=-3,6=-2满足融>0,且此时—>，，B错误；

ab

2>0,£>0可得2+巴>25=2,C正确；

abab\ab

取a=-3,b=—2满足>0,且a<b,此时二丁<,D错误.

故选：C.

5.B

【分析】

根据抛物线的定义求48的横坐标之和，然后得中点V的横坐标

【详解】

设/（4必），8（%,弦），M（x,y）,由抛物线定义得：w+z=|曲-4=6,

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故中点"的横坐标为3

故选：B

6.B

【分析】

建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.

【详解】

解：必要性证明：边长为2的正方形/BCD,设尸为正方形及内部任意一点，以/为原

点建立直角坐标系如图：

由题意可知4(0,0),3(2,0),。(号①(0<x<2)

则益=(2,0),N=(x,y)

ABAP=2x，0<2x<4

^L0<AB-AP<4

•••lt0<Zg.ZP<4”是“点在正方形及内部”的必要条件；

充分性证明：•.•万•衣=2x

若042x44,则0VxW2,但是了可以为任意值，故点尸不一定在正方形及内部.

所以“0W万•9(4”是“点在正方形及内部”的不充分条件.

故“04卷・万44”是“点在正方形及内部”的必要非充分条件.

故选：B

7.A

【分析】

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根据图象先判断出周期的大致范围，再根据图象过点可求解出。,

G与周期的关系可得结果.

【详解】

由图象可知，f\一~~|-0,--+£=g+ATT(左GZ),

V97962

Q_i_Q^

解得0=———(^eZ).

设函数的最小正周期为T,易知T<2〃<2T,

2〃仁4%一

■)―7<2兀<—/.1<<2

回co11

万

当且仅当％=-1时符合题意，此时。3，/=22二44?

2co3

故选：A.

8.C

【分析】

由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1,即直线上有一点到原点的距离小于等于1,故

直线/一定圆面/+/1内的点，再画出图象，图象分析即可.

【详解】

解：；直线/被圆=2所截的弦长不小于2,.•.圆心(0,0)到直线/的距离小于或等于1,

故直线/一定圆面一+产1内的点，在平面直角坐标系中分别画出

2

X2+y2=1,y=X2-L(X-1)2+J2=1>]+/=1、/-y2=1的图象如下所示：

对于A：

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对于B：

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22

图象可知，在四个选项中只要这个点一定在椭圆上+/=1内或椭圆上+V=1上，

2-2

与椭圆一定有公共点

故选：C.

9.A

【分析】

将不等式变为2-3-、<2,-3—,根据/⑺=2'-3T的单调性知x〈儿以此去判断各个选项中

真数与1的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由2*-2〉<3T-得：2,-3T<2y-3一，

令--3、

•.•y=2”为R上的增函数，、=3一'为R上的减函数，.•・/⑺为R上的增函数，

.•・X<儿

Qy-x>0,y-x+l>lf/.ln（j；-x+l）>0,贝UA正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

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本题考查对数式的大小的判断成绩，解题关键是能够经过构造函数的方式，利用函数的单调性

得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

10.B

【分析】

经过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得进而得到答案.

【详解】

过C作过8作14⑷,

tKAA'-CC'=AA'-（BB'-BH）=AA'-BB'+\^=AD+\^,

由题，易知为等腰直角三角形，所以/D=DB.

所以ar-CC=08+100=4'8'+100.

100

由于/BCH=15。所以C7/=UV=

tan15°

在夕。中，由正弦定理得:

A，B'_CB,_100_100

sin45°—sin75°一tan15°cos15°一sinl5°

/7_/y

而sin15°=sin（45。-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°="/

所以1°°x4x"-

所以/'3'=_=_ioo（@+1）*273,

V6-V2

所以N/'-CC'=4『+100土373.

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故选：B.

本题关键点在于如何正确将44-CC，的长度经过作辅助线的方式转化为4方+100.

11.-1

【分析】

利用二项式定理求出展开式的通项公式，列出方程，求出。的值.

【详解】

(X+-)6的展开式的通项公式为,

X

令6-2r=0,解得：r=3,

7；=C^3=-20,解得.a=T

故-1

12.4

【分析】

利用等比中项可得16,对数运算性质可得结果.

【详解】

解：依题意，得：。。=16,

4

所以，log2a+log2c=log,(tzc)=log2l6=log22=4

故答案为4

本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.

13.7(x)=x3(答案不)

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【分析】

根据幕函数的性质条件可得所求的/(x).

【详解】

取/则/(为％)=(w3)3=工；w=/(占)/(%)，满足①，

r(x)=3x2,x>0时有广(x)>0,满足②，

r(x)=3x2的定义域为R,又/(_力=3(-X)2=3/=/(X),故/''(x)是偶函数，满足③.

故〃x)=d(答案不)

14.③④

【分析】

正方体的性质，利用棱锥的体积公式以及空间向量的坐标运算逐一判断即可.

【详解】

对于①：取8c中点尸，当点N在上挪动时，直线ENu平面EPCQi，同时当点M在直线

48上挪动时MQu平面由于EPG2C/3GR=G2,故EN与不可能平行，①

错误.

Z

5NG

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对于②：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，所以E(1,O,O),C(0,2,0),G(0,2,2),设

2V(0,a,2)(0<a<2),M(2,6,0)(0<6<2),

所以就=(-1,2,0),西=(0,0,2),而7=(2/一a,-2),

设平面ECG的法向量为〃=(x,y,z),

n■EC=0[-X+2y=0-..

则_____即c八,令歹=1得x=2,z=o,所以"=2,l,o,

n-Cq=Q[2z=0

所以直7G=4+a-bw0，故血W与平面EC。不垂直，②错误.

对于③：4\NE\=|^w|BP^(1-0)2+(0-^)2+(0-2)2=^(2-0J+(b-a}+p-2),化简得

2

b—2ab+3=0,即2a=b+y,2aG(0,4),b+—>2^/3,由于2百<4,所以该式在

bb

0<a<2,0<b<2的范围中存在有数组解，故阐明有有数组a与6可使|八回=|八面],故③正确.

对于④：根据等体积性质可知七一附==4一°£，所以该三棱锥高可以看作CG，所以体积的取值

范围即底面积的取值范围，根据点”地位的变化可知，当点”在4点时ZCME最小，当

12「24-

点/在8点时以诩,计算得S.CMEe[L2],VN_CME=-CQ-SACME=3S&CME'所以乙-CME£，yj，

故④正确.

故③④

15.3y=±2A/2X

【分析】

由条件确定a，c的关系由此求离心率，再经过求白求渐近线方程.

a

【详解】

22

双曲线二-q=1的顶点坐标为0),(。,0),焦点坐标为(-G0),(c,0),

ab

由于双曲线C的两个顶点恰好将线段招月三等分，

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所以2c=3x2。，所以离心率e=—=3,

a

所以：==2正，

所以双曲线。的渐近线方程为：y=±2瓜,

故3；y=±2A/2X.

JTTT

16.选择见解析；(1)«=1；(2)单调增区间为阱万一二,左"+；]/wZ).

63

【分析】

(1)选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得a的值；选择②：代入直

接求解即可；

(2)根据三角函数伸缩平移变换可得函数g(x)解析式，进而求得其单调递增区间.

【详解】

解：(1)选择①：由于/'(x)=Gsin2x+a-cos2x

所以/(x)=67/sin(2无+勒，其中tan。=宝，

所以43+/=2,又由于。>0,所以。=1.

选择②：f~2A/3xlx0+<7-<7x2xl=-(7=-l,所以。=1.

(①tanp=*不写不扣分，②每个值计算正确各给一分)

(2)由于/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

所以g(x)=2sin[2(x-g)+£]=2sin(2x-g)

666

则2k兀--K2xK2k7i—,keZ

262

九71

k7i-—#x,keZ

63

TTTT

所以函数g(x)的单调增区间为法乃-二，而+']/£Z)

o3

(一个keZ都没写的扣一分)

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17.(1)平均数：4.35,75百分位数:5.25；

(2)分布列见解析，E(X)=2.4：

【分析】

(1)用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位

数的一个估计值；

(2)由题可得，X服从二项分布，可根据公式求出分布列；

(3)根据前3组数据、后3组数据以及全体数据的离散程度进行判定

(1)

平均数等于2x0.05+3x0.15+4x0.4+5x0.2+6x0,2=4.35,

前3组频率和0.05+0.15+0.4=0.6,力口上第4组得0.6+0.2=0.8,

所以75百分位数：4.5+=5.25；

O.o—0.6

(2)

由题可知“预期合格”的概率P=0.8,从全市一切高二先生中随机抽取3名先生，设本学期这3

名先生中达到“预期合格”的人数为X,则X服从二项分布X〜5(3,0.8),

P(X=0)=C(0.8)°(0.2)3=0.008

P(X=1)=C；(0.8)i(0.2)2=0.096

P(X=2)=G(0.8)2(0.2)1=0.384

P(X=3)=《(0.8)3(0.2)°=0.512

X的分布列为：

X0123

p0.0080.0960.3840.512

E(X)=〃p=3x0.8=2.4.

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(3)

由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以sjvs??,而这两组数

据相比全体数据都要集中一些，所以sjvsz'vssz.

18.(1)证明见解析

⑵与

2

(3)0

【分析】

(1)利用线面平行的判定定理，证得DC//平面A8EF,在由线面平行的性质定理，得到

DC//MN,AB//A4N,且AB/MN,即可求解；

所以直线DN与CN相交.

(2)以A为原点，以40,/民4月为x轴、了轴和z轴，建立空间直角坐标系，求得平面。CMV

的法向量为7=(1,0,1)和诋=(-1,-1,2),向量的距离公式，即可求解；

(3)由空=2,求得M(0,2+l,2-2㈤，得到由=(-1,4+1,2-24),进而求得平面DCW的

EB

法向量而=(2-240,1),以及平面平面48CD的法向量为乐，向量夹角公式列出方程，求得2

的值，即可求解.

(1)

证明：由于矩形/BCD,所以DC//48,5.AB=CD

又由于481平面N8EF,DC0平面45EF,所以。C〃平面NBEF,

又由过。C的平面交平面/8EF与初V,

由线面平行的性质定理，可得DC〃丸W,

又由/3〃CD,所以AB“MN,S.AB^MN,

所以直线。N与CN相交.

(2)

解：由平面48E尸_L平面48c。，其交线为48,

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且4尸_L48,4Fu平面ZBEF,所以4F_L平面4BCD,

又由四边形N8CD的矩形，以A为原点，以尸为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示，

3

由于48=/斤=2,4。=昉=1,可得8(0,2,0),£(0,1,2),M(0,-,l),D(l,0,0),C(l,2,0),

则反=(0,2,0),由=(-1亭)，

n-DC=2y=0

设平面DCAW的法向量为〃=(x,y,z),贝上一---3，

n•DM=-x-\——y+z=0

I2

取z=l,可得x=l,y=0,所以3=(1,0,1),

由于赤=(一1,一1,2),

£函

1V2

所以点E到平面DCMN的距离为d=

=7T=T

⑶

解：设山…)，由于方=人即成一瓦，其中。—,

则M(0,/U1,2-24),可得血=(-1,2+1,2-2X)，

设平面DCMN的法向量为碗=®,%zj,则1:Hl2M=：

.DM——X]+(/I+1)乂+(2—2X)Z]=0

取Z1=l,可得X]=2-24,必=0,所以》/=(2-22,0,1),

设平面ABCD与平面DCMN的夹角为。，

由于/尸_L平面ABCD,可设平面ABCD的法向量为AF=(0,0,2),

\m-AF\2V5

所以cos6=।一।।一=---1,=-7~，记得4=0或4=2(舍去)，

|m|-|^F|2xJl+(2-2Xy5

,EM

所fiC以h：行=0.

ED

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22

19.⑴。匕=1；

43

（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据条件，列出关于用b,c的式子，即可求解；

（2）解法一：首先设产（%,%）,M（4,%）,N（4,%）,利用类似关系，求得坐标间的关系，并且

证明砺.彷=0；

解法二：首先设直线4尸方程y=Mx+2）（后#0）,与抛物线方程联立，求得点P,M,N的坐标,

可用人表示，利用坐标表示数量积砺.褥=0.

（1）

c1

由题干可得。=2,-=4，

a2

所以/=/-02=3,即椭圆C的方程上+亡=1；

43

Q）

解法一：设P（X°,%）,/（4，M）,N（4,%）,

由于直线在交直线x=4于点所以也=%舁，则闻=也4，

M6%+2|

第22页/总49页

同理胃=u,则冈=当，

]y2\2%-2|

由于M、N异于X轴两侧，因此乃、为异号,

所以赤.赤=（3，%＞（3，%）=9+孙=9+丽搞句,

又由于3年+4为2=12,所以赤•标=9+学匚=0,

x0-4

即赤_L赤，以跖V为直径的圆过右焦点尸；

解法二：设直线4P方程y=《（x+2）优#0）,尸优,外）,“（4,弘）,N（4,%）,

3x2+4/=12

,（3+4F）x2+16k2x+16k2-12=0

y=K（x+2）

16左2-126-8P12k

得_2x0=即x=y

3+4k203+4*°3+4左2

由于直线/P交直线x=4于点M,即A/（4,6左）,

由于直线社交直线I于点N,则由三点共线，得％=白=一十

即W，一小

所以赤•标=（3，M）（3,%）=9+N弘=0,

即赤_L而，以为直径的圆过右焦点F.

20.⑴①y=-4x；（2）1-4In2

（2）证明见解析

【分析】

（1）①利用求导求出切线的斜率，然后写出直线方程；

②求导后分析函数的单调性可求得最小值；

（2）对参数进行分类讨论，利用倒数来分析函数的单调性来确定函数的零点.

（1）

第23页/总49页

解：由题意得：

函数/(X)定义域为(T+8),

、2x2+2x+a

/W=~

当a=口时/(x)=2/+21=2(x+2)(I)

'7x+1x+1

①〃0)=0，/'(0)=-4

所以曲线N=〃x)在点(OJ(O))处的切线方程是y=-4x.

②令/'(x)=0,》=1，当T<x<lJ'(x)<0,即函数〃x)递减区间为(-1,1)；

当x>l时，/'(x)>0,即函数,X)递增区间为。,+8)

所以函数/(x)的最小值/⑴=1-4In2；

(2)

由于“(x)=x(2：：：")

=_

令“'(x)=0,%]=0,x21

①a=2时，H'(x)>0,函数8(x)在定义域(-1,+⑹上单调递增，至少有一个零点;

②aVO时，■|-14-1,令〃'(X)>O,得x>0,令〃'(X)<O,得-l<x<0

所以函数”(x)在区间(-1,0)单调递减，在区间(0,+。)单调递增

则函数》(x)在x=0时有最小值〃(0)=1>0,此时函数》(x)无零点.

③0<a<2时，-1<——1<0,令H(x)>0,得-1<x<--1或x>0

令『力<0,得>l<x<0

所以函数〃(x)在区间卜1,"I-1](0,+8)单调递增，在区间-1，。]单调递减

由于函数〃(0)=1>0,所以且〃(尤)>0在区间仁-1，+[上恒成立・

所以函数”(X)在区间上至少有一个零点.

第24页/总49页

综上，当.42时，函数〃(x)=〃x)-g(x)至少有一个零点.

21.(1)«53=38

(2)证明见解析

(3)①证明见解析；②证明见解析

【分析】

(1)先求出的和d,根据等差数列为3=%+21即可求解；

(2)先求心和孙，再求出d=2f+l,"=27+1,代入等差数列公式求解即可；

(3)先假设s在A中,得到5=£+2)+在所以2s+l=(2i+l)(2j+l)不是素数;

再假设S不在A中,利用反证法，2s+l为合数，令2s+l=ab,a=2p+\,b=2q+l,

得至！j2s+l=2[2pg+p+g]+l,可知s=2pg+p+g在A中,假设不成立即可求解.

(1)

根据题意：«5j-3x5+1=16,d=2x5+1=11,a53-a51+2J=38.

(2)

ajX=3z+1,公差d=2i+1,

aij=3z+1+(2/+l)(j-1)=/+2ij+j,

a*=3；+1,公差d=2j+l,a]t=3j+1+(2j+l)(z-1)=z+2ij+j,

故%=%.

(3)

①若s在A中，由(2)可知，存在i,jwN*,使得s=i+2(/+/.

2s+\=2i+4ij+2j+1=(2i+1)(2/+1),所以2s+l不是素数.

②若s不在A中，反证法：假设2s+l为合数.

不妨令2s+l=M,这里“，b皆为大于1的奇数(这是由于2s+l为奇数).

令a=2p+l,6=20+1(其中夕国为正整数)，

则2s+l=(2p+l)(2g+l)=2[2pq+p+q\+l.

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由（2）得A中数的通项公式%=24+，+九可知s=2pg+p+g在A中,

这与已知矛盾，所以假设不成立，从而2s+l为素数.

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【高考数学】2022-2023学年北京市朝阳区专项突破仿真模拟试题

(二模)

第I卷(选一选)

请点击修正第I卷的文字阐明

评卷人

一、单选题

1.若复数z=「L(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点位于()

A.象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合/={x|x<3},8={x|(x-5)(x-2)W0},贝|瓜/)13=()

A.(一甩2]B.[3,5]C.[2,3]D.[3,5)

3.在“2C中，AB=60°,AB=6,BC=5,则万.元=()

A.-1573B.-30C.-15D.15

4.已知"，"，c为三条不同的直线，a,许/为三个不同的平面，则下列说确的是()

A.若加//a,nua,则加〃几

B.若加ua,nu廿旦alI。,则加〃〃

C.all。,mlIP,则加//a

D.若=加，/□/=〃，7口。=。且冽〃几，则冽//c

5.函数〃x)=f二+小|)有()

A.值|"B.最小值|c.值2D.最小值2

6.函数〃力=皿》+3)的图像与函数g(x)=.-2]的图像的交点个数为()

A.2B.3C.4D.0

7.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分

中去掉1个分、1个分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特

征是

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A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

22

8.已知月、凡为双曲线C：会-方=1（“>0）>0）的左、右焦点，以线段月巴为直径的圆与

双曲线C的右支交于尸、。两点，若。尸，片。，其中。为坐标原点，则C的离心率为（）

A./上J.B.V3C.占+1D.V3+1

22

评卷人得分

9.已知｛为｝为等差数列，其前〃项和S〃，若％〉0,510=S20,则（）

A.公差d<OB.a16<0

c.Sn<S]5D.当且仅当A<0时“232

10.某地建立了农业科技图书馆，供农民借阅，搜集了近5年的借阅数据如下表:

年份20162017201820192020

年份代码X12345

年借阅量"万册4.95.15.55.75.8

根据上表，可得〉关于x的线性回归方程为方=0.24x+&,则（）A.a=4.68

B.估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长

C.y与x的样本相关系数r>0

D.2021年的借阅量一定不少于6.12万册

11.已知函数〃x）=/sin（0x+。）[/>0,0>0,0<夕<?|的部分图象如图所示，则下列结论中

正确的是（）

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12.已知正四棱台N8CD-44GA的上下底面边长分别为4,6,高为血，E是4月的中点,

A.正四棱台的体积为现1

3

B.平面2CQ，平面44CC

C.NE〃平面BCQ

D.正四棱台ABCD-44GA的外接球的表面积为104万

第H卷（非选一选）

请点击修正第II卷的文字阐明

评卷人得分

第29页/总49页

13.若tan6=-l,《，兀J,贝!!sin6一cos6=.

14.在教学质量调研测试中，某学校高三有1200名先生，全部先生的数学成绩X服从正态分

布若尸（X2100）=0.5,且2（X2120）=0.2,则本次测试数学成绩在80至U120之间

的先生约有人.

15.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm,

灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm.

16.若函数/（》）=。，+三在［1,2］上单调递增，则实数4的取值范围是.

评卷人得分

17.已知正项等比数列｛%｝的前"项和为S"，%=2,且。2，%+2,%成等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列也｝满足a=上+log2an,求数列也｝的前〃项和Tn

an

2

18.在中，。，6,c是角A,B,C所对的边，asinC=V3c-cosA,有三个条件：①cos8=-§；

②6+c=2百；③a=6,现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.

（1）两个条件中能有①吗？阐明理由；

（2）请指出这两个条件，并求A/BC的面积.

19.如图，在直三棱柱/3C-44G中，/A4c=90。，AB=BBl=1,直线3c与平面4BC所

成角为30°

第30页/总49页

(1)求证：平面3/CJ■平面488/1；

(2)求二面角B-CB.-A的余弦值.

20.2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施，试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模

式下，某校先生选择物理或历史与性别能否有关，统计了该校高三年级800名先生的选科情况,

部分数据如下表:

性别

男生女生合计

科目

物理300

历史150

合计400800

(1)根据所给数据完成上述表格，并判断能否有99.9%的把握认为该校先生选择物理或历史与

性别有关；

(2)该校为了进步选择历史科目先生的数学学习兴味，用分层抽样的方法从该类先生中抽取5

人，组成数学学习小组.一段工夫后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数

为X,求X的分布列和数学期望E(X).

第31页/总49页

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[K2k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

22

21.已知椭圆5+%=1(。>6>0)的左、右焦点分别为片、工，右顶点为4过右焦点且垂直于X

轴的直线与椭圆相交于以C两点，所得四边形为菱形，且其面积为学.

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点片的直线/与椭圆交于。、E两点，试求三角形工面积的值.

22.已知函数/(x)：%2-2x+“lnx(a>0).

(1)当a=2时，试求函数图像在点处的切线方程；

(2)若函数/(x)有两个极值点毛、%(不<三)，且不等式/(再)2%X?恒成立，试求实数机的

取值范围.

第32页/总49页

答案:

1.A

【分析】

由复数除法运算求得Z,得其对应点坐标，从而得所在象限.

【详解】

芯濡=W=TWi,对应点坐标为G，g),在象限.

故选：A.

2.B

【分析】

解一元二次不等式得集合8,然后由集合的运算法则计算.

【详解】

由题意5={x|2<％<5},^^={x|x>3},

所以他/)I8={x|34x45}.

故选：B.

3.C

【分析】

根据向量的数量积的定义计算.

【详解】

Z8-SC=|Z8||fic|cos(l80°-60。)=6x5x(-g)=-15.

故选：C

4.D

【分析】

根据空间直线与平面的地位关系判断.

【详解】

对于A,加//戊,〃uen加//〃或加与一异面，；.A错误；

第1页/总49页

对于B,若mua,nu/3,a11。nmI。或m,几异面，1.B错误;

对于C,若a//尸，加//尸n加//a或冽u。，「.C错误；

对于D,'：m/ln,nuy,muy,•:m.

VaC\y=c,m（za,mile.，D正确.

故选：D.

5.D

【分析】

分离常数后，用基本不等式可解.

【详解】

（方法1）VX.•.无一2>0,贝U旷―4;+5=（