重庆市渝东八校2020-2021学年高一下学期期中考试联考数学试题

20202021学年重庆市渝东八校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1 D．﹣12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A． B． C．或 D．1或﹣13．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A． B． C．9 D．64．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1： B．1：3 C．1：3 D．1：95．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥β B．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2 B． C． D．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sinA＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣4 C．＝1﹣2i D．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGH B．四边形EFGH是矩形 C．直线AC与底面BCD所成的角为30° D．底面与侧面所成的角为60°11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cosC＝，下列正确的是（）A．AD＝5 B． C．△ABC为锐角三角形 D．∠BAD可能为钝角12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心 B．若，则点M在线段BC的延长线上 C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝．15．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．21．在①3csinA＝4acosC，②2bsincsinB这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sinC．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，M为B1C1的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1 D．﹣1解：z＝＝．故选：A．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A． B． C．或 D．1或﹣1解：∵向量＝（1，k），＝（k，2），∥，∴2﹣k×k＝0，求得k＝±，故选：C．3．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A． B． C．9 D．6解：在△ABC中，由b＝3，c＝3，∠B＝60°，得b2＝a2+c2﹣2ac•cosB，即63＝a2+9﹣3a，∴a2﹣3a﹣54＝0，解得a＝﹣6（舍去），或a＝9．故选：C．4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1： B．1：3 C．1：3 D．1：9解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，故选：C．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥β B．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n与β不一定垂直，故A错误；B．若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故B正确；C．若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，故C错误；D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2 B． C． D．解：由题意可知，每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为cm2，有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为cm2，所以石凳的表面积是＝．故选：B．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．解：因为△ABC的外接圆圆心为O，且，所以O为BC的中点，A为直角，∠B＝，则向量在向量上的投影为||cos＝＝||，所以向量在向量上的投影向量为．故选：A．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sinA＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．解：由B＝C﹣，得C﹣B＝，可得B为锐角，又sinA＝，∴sin（B+C）＝，则sin（2B+）＝，即cos2B＝，∴，解得cosB＝，则sinB＝．sinC＝sin（B+）＝cosB＝，由正弦定理，得b＝，c＝．∴＝．故选：C．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣4 C．＝1﹣2i D．解：∵（1+i）z＝3﹣i，∴z＝＝＝＝1﹣2i，故AD正确，BC错误，故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGH B．四边形EFGH是矩形 C．直线AC与底面BCD所成的角为30° D．底面与侧面所成的角为60°解：如图所示：由于在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，所以AD∥EF，由于EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，故A正确；过点A作AO⊥平面BCD，点O为平面BCD的中心，所以OB＝，所以OA＝，故直线AB与平面BCD所成的角为∠ABO，sin，解得∠ABO＝30°，故C正确；延长BO交CD于点G，故点G为CD的中点，连接AG，所以AG⊥CD，所以∠AGO为斜面与底面的夹角，由于AC＝4，CD＝3，所以AG＝，AO＝2，所以cos，故D错误；对于B：过点E作EH⊥BG，由于∠ABO＝30°，所以EH＝2×，BH＝，所以HG＝3，故EH＝，FG2+EF2＝32+22＝13＝EH2，故EF⊥FG，由于四边形EFGH为平行四边形，且EF⊥FG，故四边形EFGH为矩形，故B正确；故选：ABC．11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cosC＝，下列正确的是（）A．AD＝5 B． C．△ABC为锐角三角形 D．∠BAD可能为钝角解：A：在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2+CD2﹣2AD•CD•cosC＝36+16﹣2×6×4×＝25，∴AD＝5，∴A正确，B：∵cosC＝，C∈（0，π），∴sinC＝＝，在△ACB中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝，∴B正确，D：在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝＞0，∴∠ADC为锐角，又∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD，∴∠BAD为锐角，∴D错误，C：∵cos∠CAB＝﹣cos（∠B+∠ACB）＝﹣cos∠B•cos∠ACB+sin∠B•sin∠ACB＝﹣×+×＝＜0，∴C错误．故选：AB．12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心 B．若，则点M在线段BC的延长线上 C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形解：对于A，设BC的中点为D，若＝（+）＝×2＝，则点M是△ABC的重心，故A正确；对于B，若，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若，且x+y＝1，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确；对于D，因为，所以•（+）＝•（+），即•＝•，所以||||cos∠BAM＝||||cos∠CAM，因为，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．解：z＝i（1﹣2i）＝2+i，∴＝2﹣i，∴＝＝．故答案为：．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝﹣8．解：如图，过F作FG⊥AB于G，所以在上的投影向量为：，所以＝﹣||||＝﹣4×2＝﹣8．故答案为：﹣8．15．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．解：由acosA＝bcosB，结合正弦定理可得，2sinAcosA＝2sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A，B为三角形两内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝；又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2abcosC，则cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．∴△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．故答案为：等边三角形或直角三角形．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．解：设球的半径为R，由球的体积公式，得＝36π，∴R＝3，则正三棱柱的高h＝2R＝6．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：＝3，∴a＝6．∴该正三棱柱的体积为：V＝S底•h＝•a•a•sin60°•h＝162．故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．解：（1）∵z1＝1+3i，z2＝2+2i，∴z1z2＝（1+3i）（2+2i）＝2+2i+6i+6i2＝﹣4+8i，∴|＝|1+3i+2﹣2i|＝|3+i|＝＝．（2）由题意可知A（1，3），B（2，2），∴|AB|＝＝．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．解：（1）∵，∴；（2）∵，且与垂直，∴＝，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴θ＝π．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．解：（1）如图，连接AC，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝BC＝3km，∴根据余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝，∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km，∴（km）；（2）在△ADE中，，∠E＝120°，∴根据余弦定理，63＝AE2+DE2+AE•DE≥3AE•DE，当且仅当AE＝DE＝时取等号，∴AE•DE≤21，∴，∴所种植草坪的最大面积为km2．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．【解答】（1）证明：设A1C交平面AB1D1于点N，连接AN，因为D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1BD，DB⊂平面C1BD，可得D1B1∥平面C1BD，同理由AD1∥BC1，可得AD1∥平面C1BD，又D1B1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，因为OK是平面A1AC与平面C1BD的交线，所以OK∥AN，又AN⊂平面AB1D1，OK⊄平面AB1D1，所以OK∥平面AB1D1；（2）证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以∠DMC＝90°，即DM⊥MC，因为BC⊥平面DCC1D1，DM⊂平面DCC1D1，所以BC⊥DM，CB∩MC＝C，所以DM⊥平面BMC，因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．21．在①3csinA＝4acosC，②2bsincsinB这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sinC．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．解：（1）若选择①3csinA＝4acosC，由正弦定理得①3sinCsinA＝4sinAcosC，因为sinA＞0，所以3sinC＝4cosC，则C为锐角，又sin2C+cos2C＝1，所以sinC＝；若选择②2bsincsinB，则2bsin（）＝csinB，即2bcos＝csinB，由正弦定理得2sinBc