安徽省2024届高三年级下册联考（二模）数学试题（含答案与解析）

2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考

高三数学

考生须知：

1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知A,B是全集U的非空子集，且人之①'，则（）

A.BAB.BcC.疫AuVBD.A^B

2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事

休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特

2x

征.则函数/■（%）=——的图象大致为（）

X十1

3.已知复数2=。+历(a,bwR)且X2-(4+2i)x+4+ai=0有实数根6,则|z"=()

A.273B.12C.275D.20

4.已知等边」ABC的边长为2,点、D、E分别为AB,的中点，若DE=2EF，则砂•■=（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

5.已知耳，K是双曲线5―==l（a〉0,6〉0）的左、右焦点，若双曲线上存在点尸满足

ab

尸瓦•尸片=—2/，则双曲线离心率的最小值为（）

A.76B.75C.2D.也

6.在数列｛。“｝中，S,为其前"项和，首项4=1,且函数〃%）=%3一%+避近1+（为“+1）1+1的导函

数有唯一零点，则$5=（）

A.26B.63C.57D.25

2024

7.已知函数〃尤）的定义域为R,且/（x+2）—2为奇函数，/（3x+l）为偶函数，/⑴=0,则（4）

k=T

=（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.已知直线/：Ax+3y+C=0（A2+32/0）与曲线W：y=d-x有三个交点O、E、尸，且Q目=|石耳=2,

则以下能作为直线/的方向向量的坐标是（）.

A.（0,1）B,（1,-1）C.（1,1）D,（1,0）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知由样本数据（4%）（i=l,2,3,…，10）组成一个样本，得到回归直线方程为亍=-x+3,且1=4.易I

除一个偏离直线较大的异常点（-5,-1）后，得到新的回归直线经过点（6,-4）.则下列说法正确的是

A,相关变量尤，y具有正相关关系

B,剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5,-1）

D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小

10.在平面直角坐标系xOy中，角3以坐标原点。为顶点，以无轴的非负半轴为始边,其终边经过点M（a,b）,

定义/（。六处乌，g（^）=—,则（）

mm

n+g[]=iB.f（0）+f（0）＞o

C.若^(=2,则sin26==D.〃e)g(e)是周期函数

g⑻5

11.如图，多面体PS—A3CD由正四棱锥ABCD和正四面体S—MC组合而成，其中PS=1,则下

列关于该几何体叙述正确的是()

A.该几何体的体积为二B.该几何体为七面体

4

C.二面角A—P8—C的余弦值为一;D.该几何体为三棱柱

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单

位：mm),现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分

位数、众数的概率为.

13.已知偶函数/(x)=sin(ox+0)(o>O)图像关于点中心对称，且在区间0,：上单调，则

CD=.

14.若实数X,y满足f+V=25,则，50+8%+6y+,50+84-6y的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数"X)=Inxd--ax,aeR

(1)若了(%)在定义域内是减函数，求a的取值范围；

(2)当。<；时，求〃％)的极值点.

16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国

首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计

划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发

展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进

器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

飞行距离x（kkm）5663717990102110117

损坏零件数y（个）617390105119136149163

88

参考数据：x=86,歹=112,82743,^62680

Z=1Z=1

（1）建立y关于x的回归模型y=2X+6,根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（B精确到

0.1,6精确到1）；

（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60

台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%,请根据统计数据完成2义2

列联表，并根据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

£（%「于）（％-歹）

附：回归方程£=晟+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为另=上匕------------，a=y-bx,

i=l

n(ad-bc]

K2=7---77---77---77---7，n=a+b+c+d;

(^a+b)[c+d)[a+c)^b+d)

0.250.10.050.0250.010.001

6635

k。1.3232.7063.8415.02410.828

17.在三棱锥P—ABC中，平面ABC,A5=BC=5P=2,点E在平面ABC内，且满足平面

平面PBE,BA垂直于BC

71TC

C1）当NABEe时，求点E的轨迹长度;

o3

（2）当二面角石一Q4—3的余弦值为走时，求三棱锥£—FCB的体积.

3

22

18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆卬：=+3=1（。〉6〉0）的离心率为e,已知椭圆长轴长是短轴长

ab

的2倍，且椭圆W过点（l,e）.

（1）求椭圆W方程；

（2）已知平行四边形A3C。的四个顶点均在W上，求平行四边形ABC。的面积S的最大值.

19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在机（旋转变换或反射变换）的作用下

仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记机为K的一个对称变换.例如，正三角形R在㈣（绕中心。

作120。的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以网是R的一个对称变换，考虑到变换前

「123、

后R的三个顶点间的对应关系，记犯=；又如，R在乙（关于对称轴弓所在直线的反射）的作

1312）

（123、

用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以4也是R的一个对称变换，类似地，记记正

I_LJZ/

三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满

足:

I.\/a,beG,abGG；

II.\/a,b,c&G,(ab)c=a(bc)；

III.eG,\/aeG,ae=ea=a-

IV.VaeG,3a-1GG>a(f'=(f'a=e-

对于一个群G,称III中e为群G的单位元，称W中的为。在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集

»叫做G的一个子群，假如反对于G的代数运算来说作成一个群.

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；

（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如

I23)(132)_(213)_(2312、’32

叫32r112.对于集合S中的

(312凡21厂U3厂123b1力

vt-o%b2b3y(a}a2%、

元素，定义一种新运算*,规则如下：7,,

bbcccc

323）23>23>

{4，%,%}=他也也}={。,。2，。3}={1,2,3}.

①证明集合s对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②已知H是群G的一个子群，e,e'分别是G,〃的单位元，aeH,a1>a'分别是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,e'之间的关系以及a-'a'之间的关系，并给出证明；

③写出群S的所有子群.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知A,B是全集U的非空子集，且4口乐3,则（）

A.BoAB.C.UBD.A^B

【答案】B

【解析】

【分析】根据Venn图，结合子集和集合间的运算理解判断.

【详解】由题意知A口电5,从而可得Venn图如下图，

对A、D：由Venn图，可得5cA=0,故A、D错误;

对B：因为6cA=0,正确，故B正确；

对C：因为5cA=0,则板1°B错误,故C错误;

故选：B.

2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事

休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特

2x

征.则函数/(X)=F—的图象大致为(

十JL

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性求解即可.

【详解】函数/(x)=F—的定义域为R,

JC+1

-2x2x

〃r)==一/(x),所以函数“X)为奇函数，排除A,B选项,

(-x)2+lX2+1

2x

又因为当x>0时，/（%）=——>0,排除C选项，选项D满足题意，

故选:D.

3.己知复数2=。+矶且x2-（4+2i）x+4+ai=0有实数根6,则目=（）

A.273B.12C.2逐D.20

【答案】D

【解析】

Z?2—4Z?+4=0

【分析】根据题意可求得廿—4b+4+（2〃+a）i=0,从而得<，求解得z=Y+2i,从

（26+a）i=0

而可求解.

【详解】由题意知b为犬―（4+2。X+4+盘=0的实数根,

则/—（4+2i）Z?+4+oi=0,即/—4Z?+4+（a—2Z?）i=0,

d―46+4=0[b=2

则c…c，解得｛，，所以z=4+2i，

（"26）1=0[。=4

所以,|=42+22=20,故D正确.

故选：D.

4.已知等边，ABC的边长为2,点£）、E分别为AB,BC的中点，若DE=2EF，则EFAF=（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

【答案】A

【解析】

【分析】取AC、A2为基底，利用平面向量基本定理表示出A/，进行数量积运算即可.

【详解】在」WC中，取AC,为基底，则kq=|Aq=2,AC,A3=60。.

因为点。、E分别为的中点，

EF=-DE=-AC,

24

111Q

AF=AE+EF=-（AB+AC）+-AC=-AB+-AC,

2、>424

1(13、132

EFAF=-AC]-AB+-AC\=-AC-AB+—AC

4(24J816

13

=—x2x2xcos60H--x4=l

816

故选：A

5.已知6，工是双曲线W—a=1（。〉0］〉0）的左、右焦点，若双曲线上存在点p满足

朋•尸耳=—2",则双曲线离心率的最小值为（）

A.76B.75C.2D.73

【答案】D

【解析】

【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即

得.

22

【详解】设尸（%,%）,双曲线的半焦距为C,则有4-4=1-耳（一。,0）,乙（。,0）,

ab

于是尸耳=（c—九0,-%）,尸发=（一。一%0，-%），

222

因止匕出.尸耳=君_02+,；=%+（•一I）/—。？=彳.焉_沙2_022;.。2_32_02=_》2,

aaa

当且仅当I/1=。时取等号，则—242—62,即g.22,离心率e=£=Jl+?»G，

aaYa"

所以双曲线离心率的最小值为G.

故选：D

6.在数列｛a“｝中，S”为其前”项和，首项6=1,且函数/（%）=%3一%+避近%+（勿“+1）1+1的导函

数有唯一零点，则$5=()

A.26B.63C.57D.25

【答案】C

【解析】

【分析】计算/'(%),分析/'(%)的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得｛%｝的递推关系，求出前5

项，计算求和即可.

【详解】因为=—a〃+[Sinx+(2a.+1)^+1,

所以/'(x)=3x2—a“+icosx+(2a“+l),由题意可知：/'(尤)=0有唯一零点.

令g(x)=f(x)=3/-an+1cos%+(2an+1),可知g(x)为偶函数且有唯一零点,

则此零点只能为0,即g(0)=0,代入化简可得：a“M=2a”+l,

又％=1,所以%=3,q=7,%=15，生=31，所以S5=57.

故选：C

2024

7.已知函数〃尤)定义域为R,且/(x+2)—2为奇函数，〃3x+l)为偶函数，/(1)=0,则(4)

k=T

=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【解析】

【分析】根据题中/(%+2)-2为奇函数，/(3x+l)为偶函数，从而可得出/(可为周期为4的函数，从

而可求解.

【详解】由题意得/(x+2)—2为奇函数，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

〃x+2)+/(-x+2)=4,所以函数4％)关于点(2,2)中心对称,

由〃3x+l)为偶函数，所以可得“X+1)为偶函数，则/(x+l)=/(—x+1),所以函数/(%)关于直线

X=1对称，

所以〃x+2)=/(—x)=—/(-x+2),从而得/(x)=/(x+4),所以函数/(九)为周期为4的函数,

因为y(l)=O,所以/(1)+/(3)=4,则/(3)=4,

因为“可关于直线x=l对称，所以〃3)=/(—1)=4,

又因为〃龙)关于点(2,2)对称，所以"2)=2,

又因为〃4)=/(—2)=—〃0),又因为/(—2)=/(—2+4)=。(2)=2,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

所以E?依)=一^义口⑴+/(2)+/(3)+〃4)]=4048,故D正确.

k=i4

故选：D.

8.已知直线/：—+为+。=0(42+4#0)与曲线W：y=13一；(；有三个交点£)、£、况且0目=|石耳=2,

则以下能作为直线/的方向向量的坐标是().

A.(0,1)B,(1,-1)C.(1,1)D,(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函数丁=三-x的性质可得曲线W的对称中心(0,0),即得石(0,0),再根据给定长度求出点。

的坐标即得.

3

【详解】显然函数/(x)=x3—x的定义域为R,y(-x)=(-x)-(-%)=-/(%),即函数/(X)是奇函数，

因此曲线W的对称中心为(0,0),由直线/与曲线W的三个交点。，及尸满足国=|访|=2,得

£(0,0),

设。(X,/—X),则％2+，—X)2=4,令£=t，则有2r+2/—4=0,即(『+2)(〜2)=0,

解得f=2,即％=±0,因此点。(立,0)或。(―夜,—后)，£。=(应,四)或石。=(一0,—近)，

选项中只有坐标为(1,1)的向量与加共线，能作为直线/的方向向量的坐标是(1,1).

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为(0,0),从而得到E(0,0),然后再去设点。

坐标，根据|。耳=2,得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出。的坐标即可.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知由样本数据(4%)(i=l,2,3,…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为亍=-x+3,且工=4.剔

除一个偏离直线较大的异常点(-5,-1)后，得到新的回归直线经过点(6,-4).则下列说法正确的是

A,相关变量尤，y具有正相关关系

B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,-1)

D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.

【详解】依题意，原样本中，y=—4+3=—1,

剔除一个偏离直线较大的异常点(-5,-1)后，新样本中，?=4*IO9(―5)=5,V=—1义1；—(―1)=,

因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,-1),C正确；

由新的回归直线经过点(6,-4),得新的回归直线斜率为，。1=-3,因此相关变量x,y具有负相关

关系，A错误；

又I-3|>1,则剔除该异常点后，随尤值增加相关变量y值减小速度变大，D错误;

由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的

绝对值变大，B正确.

故选：BC

10.在平面直角坐标系尤Oy中，角e以坐标原点。为顶点，以X轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),

=定义〃。)=处g(0)=~,贝|()

mm

A./用+g[]=lB.4)+/⑻对

f⑼3

=2,则sin§D.”e)g(。)是周期函数

g⑻

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意分别求出cos6=@,smO=-,贝U/(，)=0sin［e+；］

mm14J

g（，）=后sin，-；，从而可对A判断求解，利用换元法令

t—sin0+cos0—V2sinf0H—］e「一J5,、回］可对B判断求解，由~~7~7=----—=2求出

IL」g⑻tan6»-l

tan6»=3,并结合sin28==—从而可对C判断求解，由/（。京（。）=^€«2。可对口判断求解.

tan~e+l

【详解】由题意得M（a,Z?）在角。的终边上，且|0闸=机，所以cos，=幺，sin^=—,

mm

则/（°）=""=sin6+cose=V^sin[e+?）,g（8）=---=sine—cos^=V2sinf^-^-j,

,上「兀、/兀、.兀71.71兀1

对A：/—+g—=sin—+cos—+sin——cos—=1故A正确;

<6J<6J6666

对B：/⑻+/⑻=sine+cose+(sine+cose)2,令

%=sin6+cos6=A/2sin］。(

所以/'(e)+/2(e)=f+/=’+；)故B错误;

f⑻sin0+cos6tan61+1、

对C-v=--------------=----------=2,解得tan0=3,

g⑻sin8-cos6tan8—1

2sin6*cos2tan6*2x3_3

又由sin10=2sin6cos0=故C正确;

sin2e+cos?6tan23+132+l-5

对D：/(8)g(。)=(sin8+cose)(sine—cos8)=sin?夕一cos?8=—cos20,因为y=cos2。为周期

函数，故D正确.

故选：ACD.

11.如图，多面体PS—A3CD由正四棱锥P—ABCD和正四面体S—P5C组合而成，其中PS=1,则下

列关于该几何体叙述正确的是（）

A.该几何体的体积为正

B.该几何体为七面体

4

C.二面角A—依―C的余弦值为-g

D.该几何体为三棱柱

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A可以分别求正四棱锥P-A6CD和正四面体S-P3C的体积即可;

选项C先确定二面角A-PB-C的平面角为NAFC,在三角形中利用余弦定理可得;

选项D先根据二面角A—依―C与二面角S-PB-C的关系确定P,A,3,S四点共面，再证得平面SCB//平

面R4。，三个侧面都是平行四边形即可；

选项B根据选项D三棱柱有5个面，可判断错误.

如图：在正四面体中S—P3C中，G为PB的中点，连接CG,连接SG作SOLCG于。,

则。为一PBC的中心，SO为正四面体中S—PBC的高，

因FS=1,CG=—，CO=-CG=—，SO=ylSC2-CO2=—，

2333

匕=-x-xPBxCGxSO=-x-xlx—x—,

S~PrBaCc32322312

在正四面体中S—PBC中，G为PB的中点，所以SGLPB,CGLPB,

故ZCGS为二面角S-PB-C的一个平面角,

1

3

如图：在正四棱锥尸一A5CD中，由题意PC=CB=1,

连接AC，BD交于点E,连接PE，则PE为正四棱锥P—ABCD的高,

CE=—CB=—,PE=y/PC2-CE2=

22—2'

=-xCDxBCxPE=ixlxlx—=—

3326

该几何体的体积为VpS-ABC£>=Vs-PBC+Vp_ABC»=今+坐'故A正确,

12o4

取PB的中点尸，连接A尸，CF,

由题意正四棱锥P—ABCD的棱长都为1,所以A尸，CF±PB,

故ZAFC即为二面角A——C的一个平面角，

其中4尸=。尸=[3。=岑，AC=42BC=V2>

Af+cb—

在中,cosZAFC=-1,故C正确,

2AF-CF3

因cosZCGS=-=-cosZAFC,可知二面角S-PB-C与二面角A—P5—C所成角互补,

3

故平面P5S与P朋为同一平面，同理，平面PDC和平面？DS也为同一平面,

故该几何体有5个面，B错误,

因P,A3,S四点共面，且△PDC和一PCS都为等边三角形，易知SC/APD,且SC=。。，故侧面

?DCS为平行四边形,

又PDu平面QAD,SCa平面BLD,所以SC//平面BLD,

同理S3//平面R4。，且侧面E4BS为平行四边形，

又S。SB=S,SCu平面SCB,SBu平面SCB,

所以平面SC8//平面R4。，又侧面A3CD为正方形，

故多面体PS—A3CD即为三棱柱AD尸—5CS,故D正确,

故选：ACD

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57（单

位：mm）,现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这H个零件尺寸的平均数、第六十百分

位数、众数的概率为

【答案】士

【解析】

【分析】分别求出11个零件平均数49、第六十百分位数50,众数45,然后分别求出取出3个零件有

165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.

43+45+45+45+49+50+50+51+51+53+57

【详解】由题意知H个零件的平均数为=49,

11

第六十百分位数的位置为Hx60%=6.6,即取第7位数50,故第六十百分位数为50,

由题可知众数为45,

所以当从11中取出3个零件共有C：］=165种情况,

则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50,众数45共有C；C；C；=6种情况,

所以其概率为———

16555

故答案为：—.

71中心对称，且在区间：上单调，则

13.已知偶函数/（x）=sin（〃，x+0）（啰＞O）的图像关于点,00,

o)=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

兀3

【分析】根据题意夕=E+—，再由对称中心求出0=3左+—,左eZ,最后根据函数单调性确定0.

22

【详解】因偶函数/(xhsiMaa+o)®>。)，所以°=左兀+]■,keZ,

即/(%)=COS(9X或/(无)=-COSCDX,

又/(x)=sin(a)x+0)(G>O)的图像关于点中心对称，

7T7T7L

所以COS—Q=0,即一①=E+一,左wZ,

332

3

所以刃=3左+—,左sZ,

2

TTTT.fl)71

因为xe0,-函数单调，所以04口XV——<-,即0<口<2,

L4J42

3

所以当左二。时，◎二大符合条件.

2

3

故答案为：一

2

14.若实数X,y满足X2+y2=25,则j50+8x+6y+,50+8%-6y的最大值为

【答案】6710

【解析】

【分析】利用向量不等式并结合龙的范围求最值.

【详解】设a=(羽y)]=(1,1),

则a-b=x+y4同忖=当且仅当x=y20等号成立

故J'50+8x+6y+j50+8x-6y<夜•V16x+100，

又必+丁=25,所以,区5,

所以夜-Jiex+lOO<72-716x5+100=6A/W，

当且仅当x=5,y=o等号成立.

故答案为：6yjl0

【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数=ln%+——ax,

(1)若/(九)在定义域内是减函数，求。的取值范围；

(2)当。〈:时，求了(%)的极值点.

【答案】(1)；，+°0]

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】⑴先由"%)在定义域内是减函数得出对于+8),/'(x)<0恒成立，进而分离参数将问

10<^—<-

题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出x+—22,2即可解答.

X%+一

X

(2)分aWO和0<a<；两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数7(%)的单调性即可求解.

【小问1详解】

a+a

由"了)=111%+9—ax可得：函数定义域为(0,+。)，f'(x\=--^--a=-^~^.

XXXX

因为了(%)在定义域内是减函数，

所以对于Vxe(0,+co),/'(x)WO恒成立，即对于Vxe(0,+co),依？—工+。》0恒成立.

]

则对Vxe(O,-Ko),a~1恒成立.

X

X

因为x>0,

所以x+^22,当且仅当x=l时等号成立，

X

X

所以a」

2

故a的取值范围为

【小问2详解】

2

b「，/、1aax-x+a/n,\

因f\X)=---2~a=------2---，］£(。，+00)，

所以当aWO时，/^%)>0,则函数/(%)=111%+0—a尤在(O,+e)上单调递增，此时了(%)无极值点;

当0<a<g时，方程℃2—%+a=o的判别式八=1—4片=。—2a)(l+2a)>0,方程两根为

l-Jl-4a之八1+J1-4a2

X=-------->0，M=--------->0.

12a22a

冷力汨1—J1-4〃21+—4/

令费%)>O,角牛得-----------<%<------------；

2a2a

令/'(x)<0,解得,<］一反还或x>匕曲二丝i,

2a2a

1-Jl-4a2

则函数八％)在0,上单调递减，在上单调递增，在

2a

上单调递减,

所以函数〃%)的极小值点为1—'1—4」,极大值点为1+2―4/

la2a

综上可得：当aWO时，"％)无极值点；

当0<a<工时，函数八可的极小值点为匕近至，极大值点为“"—4〃.

22a2a

16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国

首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计

划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发

展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进

器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

飞行距离X（kkm）5663717990102110117

损坏零件数y（个）617390105119136149163

88

参考数据：元=86,歹=112,82743,=62680

1=11=1

（1）建立y关于x的回归模型y=Bx+&,根据所给数据及回归模型，求y关于龙的回归方程（B精确到

0.1,6精确到1）；

（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60

台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%,请根据统计数据完成2x2

列联表，并根据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

£（七-元）（％-歹）

附：回归方程£=晟+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为月=且吃-------------，a=y-bx,

i=l

K?n[ad-bc)

n=a+b+c+d；

(i+b)(c+d)(i+c)(b+d)

*0.250.10.050.0250.010.001

k。1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1），=L6x—26

（2）2x2列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可求出另=1,6，4=—26,从而可求解.

（2）根据题意可将2x2列联表补充完整，并求得片=9.375>6.635,从而求解判断是否报废与是否保

养有关.

【小问1详解】

二：/舟—取

882743-8x86x112,,

由题意得g=上―---------------------------------3—»1.6,

£（七—可262680-8x862

Z=1

则4=112—1.6x8