2024届辽宁省辽河油田高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届辽宁省辽河油田二中高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f（x）=ax?+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是

2.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错煲的是（）

21/辽"5皿；

=出口0一进口由”■•出口015—这口埸诲

A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

3.+工）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

1UUULULW1

4.已知ABC是边长为3的正三角形，若则A£>.8C=

5.设机、〃是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，则加，力的一个充分条件是（）

A.且根uaB.miln旦nLBC.al/3AmilaD.m_L〃且“//，

6.已知将函数/（x）=sin（w+。）（0<«<6,—]<0<g）的图象向右平移!•个单位长度后得到函数g（x）的图

77

象，若/（X）和g（x）的图象都关于x=—对称，则。的值为（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

7.执行如图所示的程序框图，若输入的。=3,则输出的，=（）

A.9B.31C.15D.63

8.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A.1B.V2C.73D.2A/2

9.已知i为虚数单位，若复数4=2+i,z-Z1=5,则|z|=

A.1B.下

C.5D.5辨

4

10.已知命题，：“加=1”是“直线X-7盯=0和直线x+切=0互相垂直”的充要条件；命题入函数/'（x）=x+—的

最小值为4.给出下列命题：①PM；②0V"；③。A（「q）；④（」p）A（［q）,其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.已知复数：+二二+二为纯虚数（二为虚数单位），则实数二二（）

A.-1B.1C.0D.2

2,

12.设2=——+（l+z）2（i是虚数单位），则|z|=（）

1+Z

A.V2B.1C.2D.y/5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若一组样本数据7,9,X,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为.

14.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的7的值为.

3

Do

Z+2

UntilI>6

EndDo

Prin/T

佛债）

xy-y*__/|jy*__]>0

is.已知函数/（力=[必+桁x]o'是偶函数，直线、=/与函数丁=/（%）的图象自左向右依次交于四个不同

点A,B,C,D.若4B=BC,则实数f的值为.

16.在区间[-6,2]内任意取一个数方,则.％恰好为非负数的概率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

「01]1「02]

17.（12分）已知矩阵4=八的逆矩阵4一|=,八.若曲线C”土+丁=1在矩阵A对应的变换作用下得到

a0b04"

另一曲线。2,求曲线。2的方程.

JT

18.（12分）如图，在AABC中，AC=2,ZA=—^点。在线段A5上.

(1)若cosNCDB=—J,求CD的长；

3

(2)若AD=2DB,sinZACD=A/7sinZBCD,求AABC的面积.

22

19.（12分）已知椭圆C：J+]=l（a〉5〉0）的两个焦点是《，B，M（行』）在椭圆C上，且|峥|+|〃巴|=4,

。为坐标原点，直线/与直线OM平行，且与椭圆交于A,3两点.连接M4、MB与％轴交于点。，E.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：为定值.

20.（12分）数列｛4｝满足q=1,a”是—1与4+1的等差中项.

（1）证明：数列｛a〃+l｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列｛。"+2"｝的前〃项和S..

21.（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

频率

(1)求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表)，并以此预计

2020年的销售量.

22.(10分)如图，四棱锥V-A3CZ)中，底面A5C。是菱形，对角线AC与50交于点O,ABCD,E是

棱VC的中点.

(1)求证：V4〃平面KDE；

(2)求证：平面以C_L平面BDE.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-l,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=g,又f(-x)=f(x),

.,.b=0,a+b=—.故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(X);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

2、D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

3、D

【解析】

55r52rrr5r52r

令x=l得a=l.故原式=(x+-)(2x--).(^+-)(2%--)的通项=C5(2x)-(-x-1)=C5(-iy2-x-,

XXXX

由5-2r=l得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-l得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40,选D

解析2.用组合提取法，把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出

X

若第1个括号提出从余下的括号中选2个提出工，选3个提出x.

XX

故常数项=X-Cf(2X)2-Cf(-—)3+—■C^(-—)2-C^(2X)3=-40+80=40

XXX

4、A

【解析】

由=可得+因为A6c是边长为3的正三角形，所以

33

ADBC=(AB+|BC)BC=AB-BC+^BC=3X3COS120°+|X32=-1,故选A.

5、B

【解析】

由m//“且"」，可得加，尸，故选B.

6、B

【解析】

因为将函数/(x)=sin(or+e)(0<®<6,的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象,

223

)

可得g(x)=sina)[x-^\+(p71

=sina>x-—a)+(p\9结合已知，即可求得答案.

【详解】

将函数/(x)=sin(s+。)(0<。<6,—?<9<3)的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象

二.g(x)=sinx-^7\1+(p~sm\a)x-^a)+(p\,

3

77

又/⑴和g(x)的图象都关于x对称,

71771

一①+(P=k、兀+一

，由，42(左匕eZ),

nn,n

—a>---o+0=幻兀+—

〔4322

得g啰=(左1_左2)»，(%,左26Z),

即0=3(勺一左2)(匕,左2GZ),

又0<0><6,

0=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

7、B

【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【详解】

执行程序框％=3,，=0；，=8,，=1；%=23,，=3；

t—68,；=7；t=203,/=15；t=608,/=31»

满足/'>606,退出循环，因此输出i=31,

故选:B.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

8,B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.

【详解】

正方体的面对角线长为2&，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为0,故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.

9、B

【解析】

由Z-Z[=5可得Z=』，所以故选B.

4IZj||2+1|,5

10、A

【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题P的真假，由基本不等式判断命题〃的真假，从而得出p,g的非命题的真假，继而

判断复合命题的真假，可得出选项.

【详解】

已知对于命题，，由Ixl-n?=0得加=±1,所以命题0为假命题；

4

关于命题心函数y(x)=x+—,

X

4I44一—

当x>0时，f(x)=x+—>2Jx--=4,当％=—即x=2时，取等号，

xVxx

4

当元<。时，函数/(x)=x+—没有最小值，

X

所以命题q为假命题.

所以rP和rq是真命题，

所以2人4为假命题，PVq为假命题，0人为为假命题，rp人rg为真命题，所以真命题的个数为1个.

故选：A.

【点睛】

本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的

条件，属于基础题.

11、B

【解析】

化简得到二二二-1-二-1二，根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】

二=(J*Z)(Z+二)=二-/+1二+/)二为纯虚数，故口-J=。且口♦Jw0,即：］=J.

故选：二.

【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

12、A

【解析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出z,即可根据复数的模计算公式求出Iz|.

【详解】

2,_____

+(i+o2=i-i+2z=i+z,.••izZr+u="

1+2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，

属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

根据题意，由平均数公式可得7+9+：+8+10=9,解得x的值，进而由方差公式计算，可得答案.

【详解】

根据题意，数据7,9,X,8,10的平均数为9,

.7+9+X+8+10

则---------------=9,解得:

x=ll9

则其方差S2=1[(7-9)2+(9-9)2+(11-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=2.

故答案为：L

【点睛】

本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出x的值，属于基础题.

14、15

【解析】

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.

【详解】

根据题中的程序框图可得：T=L/=3,

执行循环体，T=3,/=5,

不满足条件/>6,执行循环体，T=15,1=7,

此时，满足条件/>6,退出循环，输出T的值为15.

故答案为：15

【点睛】

本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的T,/的值是解题的关键，属于基本知识的考查.

15、--

2

【解析】

由f(x)是偶函数可得X>Q时恒有〃-x)=于(X),根据该恒等式即可求得。。的值，从而得到“无)，令”/(%),

可解得A,B,。三点的横坐标，根据=可列关于f的方程，解出即可.

【详解】

解：因为/Xx)是偶函数，所以x>0时恒有/(一%)="X),即2/-法+c=/-4x-l,

所以(Q-2)%2+(/?-4)x-c-l=0,

a-2=0

所以<6-4=0,解得a=2,Z?=4,c=—1；

c+1=0

2x~-4x一1,x..0

所以/'(%)=<

2x2+4x-l,x<0

由r=2/+4x-l,即Zr+dx-l-"。，解得x=-l±：j2/+6；

2

尤A=-1—-J2t+6,xg=-]+万J2t+6.

由r=2》2-4x-l,BP2JC-4x-1—/=0>解得x=l土5J2r+6」.

=1—-J2f+6,x0=1+—J2f+6.

因为A3=6C,所以乙；一%=%-/，即j2r+6=2-J2t+6，解得/=—■!，

故答案为：-*.

2

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题.

1

16、-

4

【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“毛恰好为非负数”的概率.

【详解】

当天是非负数时，/e[0,2],区间长度是2—0=2,

又因为[-6,2]对应的区间长度是2-(-6)=8,

所以“加恰好为非负数”的概率是尸=.

o4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、x2+y2=1

【解析】

根据A4T=E，可解得。力，设P（x,y）为曲线G任一点，在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x,y）,则点。在

曲线上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式,再用九,V表示出了'»',代入曲线G的方程中，即得•

【详解】

10b010

词=E，即

0102a01

101

b=lCl———

解得，2>A=1

la=10

b=li2

设P（尤,y）为曲线G任一点，则《+y'2=l,

又设P（V，V）在矩阵A变换作用得到点Q（x,y）,

0x

”「门「qF/1rr-i\y'=z

则1八，=，即x'=',所以x'即，'

2Qp]L〉」[yj及」[y=x

代入g+y2=i,得v+x2=i,

所以曲线的方程为必+/=1.

【点睛】

本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.

18、（1）CD=—（2）记

42

【解析】

（1）先根据平方关系求出sin/QM,再根据正弦定理即可求出CD；

（2）分别在AADC和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB,再根据余弦

定理求出AB,即可根据S=LAC•A3•sinA求出AABC的面积.

2

【详解】

11n5

（1）由cosNCDB=——,得cosNOM=—,所以sin/OM=*.

333

CD2

CD4r—=得3手

由正弦定理得,.,即G2V2

sinAsinZCDA

23

ADAC

(2)由正弦定理，在AADC中,①

sinZACDsinZADC

DBCB

在ABDC中,

sinZBCD~sinZBDC

又sinZADC=sinN6r>C,AD=2DB,sinNACO=V?sinZBCD,

由而得CB=J7,

由余弦定理得CB?=Ac2+Ag2_2ACABcosA，

即7=4+Ag2—2AB，解得AB=3,

所以AABC的面积S=』AC-A5-sinA=S.

22

【点睛】

本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基

础题.

22

19、(1)—+^=1(2)证明见解析

42

【解析】

(1)根据椭圆的定义可得。=2,将"代入椭圆方程，即可求得人的值，求得椭圆方程；

(2)设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和MB的方程，求得。和E的横坐标，表示出|。。+。石|,根

据韦达定理即可求证口。+OE\为定值.

【详解】

(1)因为|肛|+M8|=4,由椭圆的定义得2a=4,a=2,

点M(、历』)在椭圆。上，代入椭圆方程，解得廿=2,

22

所以。的方程为上+上=1;

42

(2)证明：设4(%,另)，B(x2,y2),直线A5的斜率为存，设直线/的方程为y=^x+f，

y=----x+t

联立方程组22.,消去y,整理得/+四及+/一2=0，

土+乙=1

142

所以玉+/二一"1，%/=/一2,

直线M4的直线方程为y-i='一1r(%一0)，令丁=°，则々＞=-三——+V2,

X[72\'-1

同理XE=—互亚+应，

y2T

所以：|OD+OE|=.一拒+应_/0+g

1।%-1y2T

=2V2

(%-1)(%-1)

=2V2

(%-1)(%T)

代入整理得|。0+0@=20，

所以|OD+OE]为定值.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，