江西省萍乡市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（含答案解析）

江西省萍乡市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.根据下表数据，通过最小二乘法求得V关于X的线性回归方程为：RO.3X+Q,则"

（）

X1234

y0.60.81.11.5

A.0.2B.0.25C.0.3D.1

2.已知”，b,c是空间中两两垂直的单位向量，贝中a+b-2c|=（）

A.^4B.14C.72D.2

3.焦点在x轴上的双曲线《+亡=1的离心率为石，则％的值为（）

mnn

A.—2B.2C.—D.~

22

4.某一地区患有癌症的人占0.05,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9,正常人对

这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症

患者的概率为（）

A.1B.2C.2D.史

22001937

5.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个

格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）

A.462B.630C.672D.882

6.加斯帕尔・蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意

两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙

22

日圆”（如图）.已知椭圆C：—+^-=1,尸是直线/：4万一3〉+2。=。上一点，过尸作

97

C的两条切线，切点分别为/、N,连接OP（。是坐标原点），当/MPN为直角时，

直线。尸的斜率无”=（）

7.以等腰直角三角形斜边2C上的高AD为折痕，把△ABD和，ACD折成60的二面角.

若AB坨,。加=尤£乂+>>。3+（1-％7）。。，其中乂，€11,则卜闸的最小值为（）

立V21A/21

14~,7

8.抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为产，准线为/,过尸的直线与C相交于P,Q

两点，且满足尸尸=2FQ,F在/上的射影为若.PM。的面积为3亚，贝UPQ的长

为（）

、多选题

9.下列命题中正确的是（）

A.已知随机变量X«6,£|,则O（3X+2）=12

1o5

B.若随机事件A,B满足：P（A）=-,P（AuB）--,则事件A与B相

236

互独立

C.若事件A与8相互独立，且0〈尸（A）尸（3）<1,则P（HB）=P（A）

D.若残差平方和越大，则回归模型对一组数据（4，兀），（4，％），…，（Z，%）的

拟合效果越好

10.曲线C:y=，-X。+4x,直线4：x+-2=0与，2：2/7ZX—2y+777=0,下歹!J结论

里误的是（）

A.曲线C的图象一定关于乙对称B.当时，《与4间的距离为述

一一2

C.当时，m=lD.若4与曲线。有2个交点，则加的取

值范围是0，3）

11.如图，正方体ABC。-ABCA边长为1,尸是线段A2的中点，E是线段AC上的

动点，下列结论正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.CF=-AB--AD+-AA,

221

B.三棱锥G-EAR的体积为定值!

C.直线AB与平面与EC所成角的正弦值为逅

3

D.直线与直线AE所成角的余弦值的取值范围为。乎

22

12.双曲线C：上一匕=1的左右焦点分别为6，F,,两条渐近线分别为（，/,,过坐

412

标原点的直线与C的左右两支分别交于A,B两点,尸为C上异于A,B的动点，下列

结论正确的是（）

A.若以A5为直径的圆经过B，贝"^"2=12

B.若|正耳|=5,则|尸闾=1或9

C.过点片作4的垂线，垂足为。，若［4=九片Q（O<A<1）,则2=1

八，19

D.设P4,尸8的斜率分别为k2,则+”•的最小值为2

三、填空题

13.已知过点P（3,l）的直线/在X轴上的截距是其在y轴上截距的3倍，则满足条件的一

条直线/的方程为.

14.将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方

案有种.（用数字作答）

15.若随机变量X:N（2,4）,且尸（X40）=尸（X"则（…广）一力展开式中

炉项的系数是.

16.盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球.两位同学先后轮

流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被

哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时两位同学摸球的总次数为X,则

尸(X=3)=

四、解答题

17.已知圆M是..ABC的外接圆，圆心为顶点3(-2,6),C(4,-2),且____.

在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.

①顶点A(-2,-2)；②AB1AC；③BM=MC.

⑴求圆加的标准方程；

⑵若点P为直线/：3x-5y-27=0上一动点，过点P作圆”的切线，切点为Q,求|尸。|

的最小值.

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是菱形，PA=PD=AD=2,ZZMS=60°.

⑴证明：AD±PB；

⑵若异面直线PB与8所成角的余弦值为逅，求平面APD与平面CPD所成角的正弦

4

值.

19.甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三

年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了

72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分[90,100)[100,110)[110,120)[140,150]

[120,130)[130,140)

组

甲

校

频

3148103X

数

分[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

乙

组

校

频210y221

试卷第4页，共6页

数

⑴计算尤，y的值；

(2)若规定考试成绩在［130,150］内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1

人来自乙校的概率；

(3)若规定考试成绩在［120,150］内为优秀，根据以上统计数据完成2x2列联表，并判断能

否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.

甲校乙校总计

优秀

非优秀

总计

2n(ad-bc)~

参考公式：Z=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+J)(o+c)(Z?+J)

临界值表:

0.10.050.01

Zo2.7063.8416.635

20.在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答

题,约定:先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，

两人各答错3次视为平局.已知甲每次答对题的概率均为：，乙每次答对题的概率均为

g,且每次答题互不影响.

(1)求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率；

(2)求游戏结束时乙答题次数X的分布列与数学期望.

21.如图，A5co是边长为4的正方形，平面ABC。，AF//DE,S.DE=3AF=3.

(1)证明：3/〃平面DEC；

(2)线段AC上是否存在一点P,使得点P到平面及小的距离为酒？若存在，求线段

21

口的长；若不存在，请说明理由.

22

22.如图，椭圆E：与+三=1(a>Z?>0)的上顶点为A,右顶点为3(1,0),离心

ab

率e=2叵，C、。是椭圆上的两个动点，且满足CW/AB.

3

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)试判断直线AD与3c的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明

理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】先计算样本中心点，再根据样本中心点在回归直线方程上代入求解即可.

【详解】因为无=「^=2.5,0.6+0.8+1.1+1.51

y二---------------二1,

4

所以1=03x2.5+〃,解得】=0.25.

故选：B.

2.A

【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解.

【详解】依题意得，卜卜恸=H=1,a-b=a^c=C-b=0;

所以忖+0-2c卜«3a+b-2cj=\l9a2+b2+4c2+6a-b-12a-c-4b-c=19+1+4=A/14,

故选：A.

3.C

【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解.

22

【详解】因为双曲线方程为L-匕=1,

m—n

所以〃2=根，/=-〃，/=/+〃2=根—〃，

因为离心率为6,所以eZngn'YMB,

am

m1

解得：—2加=〃，所以一=-不

n2

故选：C.

4.D

【分析】记事件A：某人是癌症患者，事件8:化验结果呈阳性，利用全概率公式求出尸（3）的

值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件A:某人是癌症患者，事件8:化验结果呈阳性，

由题意可知P（A）=0.05,P（B|A）=0.9,尸（明=0.05,

所以P（B）=P（A）.P（8|A）+P（孙尸仍区）=0.05x0.9+（1-0.05）x0.05=0.0925,

现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：

P（AB）-0.05x0.9.18

'1'P（B）P（B）0.092537,

答案第1页，共17页

故选：D

5.C

【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分两种情况讨论：

若用两种颜色涂色，有C；x2=42种涂色方法；

若用三种颜色涂色，有C；x3x2x（2+l）=630种涂色方法；

所以有42+630=672种不同的涂色方法

故选：C.

6.D

【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线/：

4尤一3y+2。=。为圆的切线，由片•生「=一1,即可得出结果.

22

【详解】由椭圆C：土+工=1可知：a=3,b=\/7,

97

当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和2",

其对角线长为工西=8,因此蒙日圆半径为4,圆方程为丁+丁=16,

当/为直角时，可知点当P在圆/+产=16,

20

因为O至I］直线4x—3y+2O=0的距离为“=^^=4,

所以直线/：4x-3y+20=0为圆的切线，

因为直线勺=三4，k「k°p=-l,所以勉=_：3

故选：D.

7.D

【分析】根据二面角的平面角的定义得NBDC是AABD和_ACD折成60的二面角的平面角,

答案第2页，共17页

解三角形求得8c=1,由已知得点M在平面ABC内，则的最小值为点。到平面ABC的

距离，设点。到平面ABC的距离为/?,运用等体积法可求得答案.

【详解】由已知得AD_LHD,AT)_LC。，所以NBDC是△川£)和二ACD折成60的二面角的

平面角，

所以N3£)C=60,又AB=0,所以A3=AC=后,AO=CZ)=1,

BC2=AD2+CD2-2-AD-CDcos60=1,所以8c=1,

因为£>A/=xD4+yDB+(l—x-y)OC,其中x,ywR,所以点M在平面ABC内，

则|。加|的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h,

因为4£)_1由),4£)_1。£>,BDcCD=D,BDu平面3DC,C£>u平面3ZJC,

所以AC平面BDC,所以AD是点A到平面BDC的距离，

所以匕RDC=-XADXS=lxlx-xlxlxsinZBDC=—,

A-HDC3BRDnCr32J]2

又，ABC中，AB=AC=^,BC=1,所以cos/R4C=也上4Q二=▲,

2-AB-AC4

所以sinZBAC=也，贝USAC-sinNBAC==立，

4的2244

所以%-Mc=1x%xSAsc=gx%x，=*，解得"=理，所以口知|的最小值为与，

故选：D.

答案第3页，共17页

H

8.B

【分析】设直线PQ的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关

系，可得P,。的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由，加。的面积为3也，即

S梯形./-Spp，M-go。”=30，整理可得P的值，进而求出弦长PQ的大小•

【详解】由题意设直线产。的方程＞=依+勺设网小乂）©（孙为），设玉＞0也＜。，

y=履+"

222

由：2,整理可得：x-2pkx-p=0,可得%+马=2。左，xtx2=-p,

x2=2py

因为Pf=2尸Q,可得一%=23,代入占+%=2p左，可得％=4切占=一2切，再代入

2

XjX2=-p,可得跳2=1，即42=g,

O

设P,。在准线上的射影分别为P',Q',PMQ的面积为3亚，

所以S梯形PPQQ-SPPM-SQQ，M—3^/5,

即;|尤1T2d%+"1+%++事一；|尤212+鼻=30,

所以（七一%2）1左（石+%2）+2〃]一（g+P）玉+（而2+P）X2=6夜

即（与一％2）1左（芯+%2）+2夕]一左（七+%2）（再一工2）一P（X一9）=6后,

整理可得（七一％2＞P=60,

所以玉一元2=J（X]+工2）2-4工1%2=d4k2P2+4.2=2〃•J1+左2=2夕3f=,

所以封l，p=6也，解得加=4,即p=2,

2

答案第4页，共17页

2

所以|PQ|二yjl+k+%2『一4占入2

故选：B

9.ABC

【分析】由二项分布的性质可得。（X）,从而可求出。（3X+2）可判断A；由独立事件的定

义和条件概率公式可判断B,C；利用残差的意义可判断D.

【详解】对于选项A：因为X~2卜,£|,则O（3X+2）=9O（X）=9x6xgxg=12,故A正

确；

125

对于选项B：P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+—-P（AB）=

236

解得：P（AB）=1=P（A）P（B）,所以事件A与B相互独立，故B正确；

对于选项C：若事件A与3相互独立，且。〈尸（A）尸（为<1,

P（AB）=P（A）P（B）,尸（A⑻所以C正确;

对于选项D：残差平方和越小，则回归模型对一组数据另），（孙为），…，（%,%）的拟

合效果越好，故D错误.

故选：ABC.

10.ABC

【分析】求解曲线的形状可判断A；由4〃4求出机=T,再由平行线间的距离可判断B；由

4,4求出帆=0或帆=1可判断C；利用直线与曲线的交点个数可判断D.

【详解】化简y=J-d+标可得/+炉-4x=0，即V+（X-2）2=4,

所以曲线C：y2+（x-2）2=4（y>0）,曲线C的图象关于x=2对称，故A错误;

当/J//2时，（―2）・1—W・2根=0,解得：m=—l,

答案第5页，共17页

所以直线3x+y-2=0,与4：-2%-2y-l=0,即》+1+；=0,

乙与4间的距离为_5_5也,故B错误；

〃=不7再运="

当"4时，2m-l+m2-(-2)=0,解得：根=0或相=1,故C错误；

心2/nx-2y+m=0,恒过。［-；,。)当直线4与曲线C相切时，切点为P,

如图，/2：27nx-2y+机=。的斜率为加，

当直线4与曲线。有2个交点，可知。〈加〈心。,

Ekfpj产’

所以若4与曲线C有2个交点，则机的取值范围是0,1\故D正确.

故选：ABC.

11.ACD

【分析】由空间向量的线性运算可判断A；利用锥体的体积公式可判断B；建立空间直角坐

标系，利用向量法可判断C,D.

答案第6页，共17页

【详解】对于A,CF=AF-AC=1AD1-（AB+AD）=|（AZ）+A41）-（AB+AZ））

=—AB——AD+—TL4J,故A正确；

对于B,连接AC，因为A4.//CG且A4]=CG，故四边形MGC为平行四边形,

所以，AC//4G，AGu平面4G2，4。0平面46。1,「.&。/平面462,

E&AC,所以点E到平面AG2的距离等于点A到平面AG2的距离即AA,

S,AG4=$42=/，

三棱锥G_石4#的体积为％「E11nl=%-G4D,=：ScAD-A4j=：x；=：,故B错误;

3326

对于c,以。为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

4(1,0,0),。(0,0,0),A(1,0,1),Bx(l,l,l),C(0,l,0),B(l,l,0),AC=(-1,1,0),

^AE=2AC(O</1<1),贝lJE(-X+l,40),

设平面B.EC的法向量为n=(x,y,z),

4c=EC=（2-1,1-^,0）,

n-B.C-0-x-z=0

1，即

所以?

n-EC-0（2—=0

令尤=1,则y=i,z=-1,则n=

AB=(O,l,-l),设直线AB与平面所成角为凡

1+1A/6

则sin。=cos（A3,〃）=

^2'\/33

故直线42与平面AEC所成角的正弦值为,’故c正确;

答案第7页，共17页

对于D,DBX=(1,1,1),^£=(-2,2,-1),

设直线。片与直线AE所成角为a,

DB].帖]

cosa=cos(DB[,AXE

7222+1A/3

']]力

因为0W/W1,所以当3=0时,

、J??!?+].抬'5*3

']]1

当4=1时,

也2+1.—3

故直线。片与直线AE所成角的余弦值的取值范围为,故D正确.

故选：ACD.

12.AD

【分析】由双曲线的方程可知“，b,。的值，逐一分析所给选项，判断正误.

【详解】由双曲线的方程可知a=2,6=2有，c=4,由题意可设3(-4-%),

7(%,%)

对于A,以A3为直径的圆经过尸?，连接A耳，BF{,可得四边形为矩形,

设词=〃，可得+九2=(2c)2,即(,w-〃)2+2?”"=4c2,得

答案第8页，共17页

"根=；（4。2一4/）=2〃=2x12=24,

所以S,"的=12,故A正确；

对于B,|尸制=5<a+c,所以尸在双曲线的左支上，贝lj|尸q=2a+|尸制=4+5=9,故B不

正确；

对于C,由题意可得忸Q|=6=26，设其中一条渐近线的方程为y=-x=屈，则直线耳。

的方程为y=一为（x+4）,即％=一石）一4,

代入双曲线方程可得3（-gy-4）Jy2-12=0,化简得2y?+6&y+9=0,解得>=及竽

如图A在耳。之间，所以％=_3-+3,匕速，即4，匕乎,*叵］,

1212（22）

所以|盟=J（匕芋+4了+（土芋尸=3君-3，故彳=1|=鼻^=守，故C不正

确；

=122

对于D,联立广耳，可得：延二耳=3,由于尤=止&,《二”1,

dy；,x--x-x0-xlx0+xt

式一％219c3c13

所以尢•匕=弓一二=3,由死+声22.17=2,当且仅当7时取等号，故D正确.

片一X；hk2k/hk\k2

故选：AD

13.>=$（答案不唯一：或y=-gx+2）

【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解.

【详解】由题意若过点P（3,l）的直线/在坐标轴上的截距均为0,则显然满足题意，即y=gx,

答案第9页，共17页

否则设满足题意的直线方程为或+5=1,将43,1）代入得。=2,即〉=-白+2也满足题意.

1]

故答案为：（答案不唯一：或y=-§x+2）.

14.50

【分析】将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进

行分配即可求得答案.

【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，

包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，

当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有鸳？③0；=种，

「3?3

当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有技广公；=20种,

根据分类计数原理得到共有30+20=50（种）.

故答案为：50

15.48

【分析】先利用正态分布的性质可求a=4,再利用二项展开式的通项公式可求炉的系数.

【详解】根据正态曲线的性质可知，0+G=2X2,解得。=4,

所以a=4,代入可得

,\r4--

尤工=q（T）z2

re{0,1,2,3,4},

令4-5r=1,贝1]r=2,所以C；（-l）-=6,

••.（x+a）?[尤的展开式中x?的系数为8x6=48.

故答案为：48.

16.—/0.3

10

【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，求解即可.

【详解】当X=3时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白,

答案第10页，共17页

rmn/vq3212313213

贝”尸(X=3)=_x_x_+_x_x_+_x_x_=——.

v754354354310

3

故答案为：—.

17.⑴(1)2+(y-2)2=25

⑵3

【分析】(1)选①：设圆”的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/,利用弦的垂直平分线过圆

心求解圆心坐标，代入两点距离公式求解半径即可；选②：由一ABC是直角三角形得圆心M

为斜边BC中点，半径为厂=即可求解圆的方程；选③：由向量相等得圆心M为

中点，怛。为圆的直径，即可求解圆的方程；

(2)先求出圆心/到直线/的距离，然后根据切线长公式转化求解即可.

【详解】(1)若选①：方法一：设圆M的标准方程为32=户，圆心为

半径为"，

因为圆Af过点人(-2,-2),C(4-2),所以圆心在直线尤=1上，即a=l；

因为圆M过点4(-2,-2),5(-2,6),所以圆心在直线y=2上，即6=2,

所以圆M的圆心为知(1,2),半径r=|〃A|=J(l+2)2+(2+2)2=5,

所以圆M的标准方程为(尤-1)2+(丁-2)2=25；

若选②：因为AB1AC,所以一AfiC是直角三角形，

所以A8C的外接圆圆心M为斜边8C的中点，

设圆M的标准方程为(*-娟+(丁-6)2=/,圆心为河(°,6),半径为r,

由题知，圆心为“(1,2),半径r==

所以圆M的标准方程为(尤-iy+(y-2)2=25；

若选③：因为所以圆心M为边8c的中点，忸。为圆的直径，

设圆M的标准方程为(*-娟+(丁-6)2=/,圆心为河(°,6),半径为r,

由题知，圆心为“(1,2),半径r=|MB|=J(_2T2+(6_2y=5,

答案第11页，共17页

所以圆M的标准方程为(x-+(y-2『=25；

(2)依题意：|pe|2=\PM^-r2=\PM^-25,

圆心M(1,2)到直线/：3x-5y-27=0的距离为d=-1;42：27|=取，

，3+5

又因为1PMzd=后，所以|尸0「234-25=9,Bp|Pe|>3,

所以|尸。|的最小值为3.

18.(1)证明见解析

(2)平面APD与平面CPO所成角的正弦值为平.

【分析】⑴设。为AD的中点，连接0P,03,3D,则由已知条件可得AZJLBO,ADYPO,

再由线面垂直的判定定理可证得M»_L平面PBO,从而可证得ADJLPB；

(2)由题意可证得PO,OB,AD两两垂直，所以以。为坐标原点建立如图空间直角坐标

系，利用空间向量求解即可.

【详解】(1)证明：设。为AD的中点，连接OP,OB,BD,

:底面ABCD是菱形，ZZMB=60°,

.♦.△ABD为等边三角形，/.ADLBO,

又,：PA=PD,：.AD±PO,

'：P0BO=O,PO、30u平面尸30,

AD_L平面尸30,

：尸3匚平面「3。，/.ADLPB-,

(2)：AB〃C£>,；.NPBA为异面直线尸5和CD所成角或其补角，贝Ucos/PBA=必，

4

T7AAr>cr+iA*口十小工田阳PB+~~PPB~+4-4^6

XAB=AP=29由余弦定理代，cosZ.PBA=---------------------=----------------=—，

2PBAB4PB4

解得尸5=«,

,/AABD和一PAD都为边长为2的等边三角形，且。为AD的中点，

PO=OB=y/3,

在.PO3中，PO2+BO2^PB2,APOYBO,

由(1)可知，POLAD,BO±AD,故尸O,OB,AD两两垂直，

答案第12页，共17页

•••以。为坐标原点，以。A08,。尸所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

则4(1,0,o),B(0,A/3,0),C(-2,73,0),0(-1,0,0),尸(0,0,6)，

DC=(-1,73,0),DP=(1,0,73),

n-DC-0-x+^y-0

设平面CPD的法向量〃=（x,y,z）,贝卜，即

n•DP-0x+\[iz=0

令X=G,得

VPOVBO,BOLAD,PO,AOu平面AP£),

801平面APD,平面APD的法向量。8=（0,石,0）,

OBn\6

设平面APD和平面CPD所成角为0,则|cos6\=J~r—L=〃,,—与

\OB\-\n\V3+1+1XV35，

所以sin0=V1--

V255

故平面APD和平面CPD所成角的正弦值为半.

（2）|：

（3）列联表见后；不能认为两所学校的数学成绩有差异.

【分析】（i）根据分层抽样方法得出甲、乙校各抽多少人，即可得出x、y；

（2）由古典概率公式求解即可；

（3）由频数分布统计表得出其2x2列联表，按公式代入计算得/w4.240<6.635,对照临

界值表可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.

【详解】（1）甲校抽取72x震=40人，乙校抽取72x鬻=32人，故x=2,y=15；

1oOO1o（J（J

答案第13页，共17页

（2）由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人,

C；C_3

恰有1人来自乙校的概率尸=

C；7

（3）2x2列联表如下:

甲校乙校总计

优秀15520

非优秀252752

总计403272

72x(15*27-5x25)2

Z2。4.240<6.635,

40x32x20x52

故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.

20.⑴。3

O

21

（2）分布列见解析；期望为

16

【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得到答案;

（2）首先写出X所有可能的取值，再计算对应的概率，最后根据数学期望公式即可得到答

案.

【详解】（1）计4,4分别表示甲、乙在第i次答题答对，则P（AJ=：,=i=L2,3,

记“甲获胜”为事件C,则尸（C）=P（4）+尸（4瓦4）=；+|xgx；=|；

（2）X的所有可能为：0,1,2,3,

P(x=o)j

；13213

P(X=1)=x—+—x—x­=

34348

3231323213

p(X=2)=—x—x—x—+—X—X—x—X—

43434343416

尸(X=3)=[23233

X—x—X—x—=

343416

综上所述，X的分布列为:

答案第14页，共17页

X0123

£333

P

481616

iQ33

数学期望E（X）=Ox—+lx-+2x—+3x—=—（次）.

48161616

21.（1）证明见解析

⑵存在；AP=y[i

【分析】（1）设点G是线段DE上靠近。的三等分点，连接G尸，GC.可证四边形/GC3是

平行四边形，则有B/7/GC,利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以点。为坐标原点，DA.DC、DE所在直线分别为x、八z轴建立空间直角坐标系，

设AP=XAC，0W4W1,求得平面施尸的法向量和3尸，利用空间向量法表示点P