安徽省芜湖市2022-2023学年高二年级下册期末教学质量统测 数学 含解析

2022-2023学年度高二第二学期芜湖市教学质量统测

数学试卷

本试题卷共4页，22小题，满分100分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将

条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区线内；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求

作答无效.

4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回.

一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.本大题共8小题，每

小题3分，共24分，请把正确的答案写在答题卷上）

71

1.经过点倾斜角为了的直线的点斜式方程为（）

A.y-2=x-lB.y=x+l.

Cx-y+l=0D.x-y=-l

2.已知数列｛4｝是等差数列，。3=6,。6=3,则。9=（）

A.9B.OC.-3D.-6

3.某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布N（5,cr2）（b>0）,若

P（5<X<6）=0.24,则P（X>4）=（）

A.0.76B.0.24C.0.26D.0.74

4.R为抛物线C：V=12X的焦点，直线x=l与抛物线交于A,3两点，则/位为为（）

A.30B.60C.120D.150

5.在棱长为3的正四面体A—BCD中，E为的中点，尸为CD上靠近。的三等分点，则45.跖

为（）

6.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、乙去询问成

绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答

分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（）种.

A.144B.156C.168D.192

7.客机越来越普及之后，为了减少空气阻力、降低油耗以及减少乱流，飞机开始越来越往高空飞，飞机的

机身也因此做了很多调整，其中一项调整是机舱必须加压，好让旅客在内部能够生存，为了更好地分散

机窗压力，工程师将最开始的方形窗户改为椭圆形窗户如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全.一缕

阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示.若光线与地面所成角为60。，则椭

圆的离心率为（）

图1图2

A|B.正C.旦D.走

2332

3

8.已知O=2cOSl,0=eSml+ln2T,c=—,则下列不等关系正确的是（）

2

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多个选项是正确的.本大题共4小题，每小

题4分，共16分，每题全部选对的得4分，部分选对得2分，有选错得0分.请把正确的答

案写在答题卷上）

9.下列说法正确的有（）

A.随机变量X的方差。（X）越大，则随机变量X的取值与均值E（X）的偏离程度越大

B.随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为3

C.根据分类变量X与y的样本数据计算得到=3.218,根据小概率a=0.05的独立性检验

(%05=3.841),可判断X与y有关，且犯错误的概率不超过0。5

D.若变量>关于变量龙的经验回归方程为，=0.3-0.7%时，则变量x与y负相关

10.已知函数/(x)=e*+3(e是自然对数的底数)，则下列结论正确的是()

A.曲线y=/(x)切线斜率可以是-1

B.曲线y=/(x)的切线斜率可以是2

C.过点(0,3)且与曲线y=/(x)相切的直线有且只有1条

D.过点(1,5)且与曲线y=/(%)相切的直线有且只有2条

11.一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2

个球，则下列说法正确的是()

A.两个都是红球的概率为应

25

B.在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为g

3

C.第二次取到红球的概率为g

D.第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为g

«-««-1=

12.已知数列｛%｝有无限项且满足：2；1+12eN*),a2n+2-=/(«eN*),其中/为大于0

的常数，则下列说法正确的有()

A.当f=2时，若数列｛4｝是等差数列，则。2-4=1

B.当/=2时，若数列｛4｝是单调递增数列，则0<4-%<2

C.存在数列｛4｝单调递增数列

D.任意数列｛%｝不可能是单调递增数列

三、填空题(本大题共有4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案写在答题卷上)

13.已知函数/(%)=2siiLY+e*-d,则/'(0)=.

14.在(％+1)(%+2)(%+3)(%+4乂％+5)的展开式中，含一的项的系数是.

15.己知圆O:d+y2=i,A(m,i),若圆。上存在两点民C使得,ABC为等边三角形，则加的取值范

围为.

16.俄罗斯方块游戏，是一款由俄罗斯人阿列克谢・帕基特诺夫发明的休闲游戏，它的玩法就是用一些随

机出现的几何图案去填充平面区域，消去一行就会有得分，如果一次能消去多行，则会得到很多额外的

奖励分，但这会承担一定的风险，因为这些随机的图案是需要通过适当的平移或旋转后才可能被放置到

合适的空位上去的，当剩余的内容太多时，就不容易做这些操作，而导致失败.已知这些随机出现的图案

都是由若干块相同的小正方形拼接在一起构成的，要求相邻的两个正方形必须有一条公共边相连.如果相

同小正方形的个数为W,记用它们构成的不同图案总数为““(通过平移或旋转后重合的视为同一个图

=

案).已知％1,。2=L。3=2，则％=-

〃□

n-2,_____

“=3,।।I

四、解答题(本大题共6题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

17.2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量

化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室.

(D现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率；

(2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X

表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列和期望.

18.在三棱锥P—A5C中，底面一ABC是边长为2的等边三角形，口4=依,「。=4且直线产。与平面

(1)求证：平面尸平面ABC；

(2)求二面角A—P8—C的正弦值.

19.己知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足1.

(1)求数列｛4｝的通项4“；

,e4<9

(2)在%和a“+i之间插入n—l个数，使这〃+1个数组成一个公差为4的等差数列，求证：2LT7-

i=ld]4

20.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算

法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2

是杨辉三角的数字表示,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常

值得中华民族自豪的.

平力

第0行

正方

第1行

力2打

第3H

*4行

某市

双•打

以

中

髭

命%

藏

麦

实

廉

麦

乃

而

*乃

根

除

«图

数

之

方H

杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.

性质1：杨辉三角的第九行就是(。+切”的展开式的二项式系数;

性质2(对称性)：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即c：=c；r；

1

性质3(递归性)：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C：=C：：1+C：_1；

性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续几个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数,

比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；

请回答以下问题：

(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；

⑵证明：a=c3+c"

(3)在(l+x)2+(l+x)3+—+(l+x)"+l展开式中，求含了2项的系数.

21.己知函数/(%)=优2、+(2-a)e"-X

(1)讨论“X)的单调性;

(2)若"％)有两个零点，求。的取值范围.

22.己知以E(—2,3)为焦点的椭圆过4(—2,0),5(2,0),记椭圆的另一个焦点R的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)若直线/是曲线。的切线，且/与直线y=氐和y=-氐分别交于点监N,与x轴交于点Q,

求证：|。叫|。叫+|0。/为定值.

2022-2023学年度第二学期芜湖市教学质量统测

高二数学试题卷

本试题卷共4页，22小题，满分100分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将

条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区线内；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求

作答无效.

4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回.

一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.本大题共8小题，每

小题3分，共24分，请把正确的答案写在答题卷上）

71

1.经过点倾斜角为了的直线的点斜式方程为（）

A.y-2-x-lB.y=x+\.

C.x-y+l=0D.x-y=-l

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为倾斜角为：，则斜率k=tan：=l,且过点4（1,2）,

贝°y-2=,Bpy—2=x—1.

故选：A

2.已知数列｛〃〃｝是等差数列，。3=6,。6=3,则。9=（）

A.9B.OC.-3D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】由于数列｛4｝是等差数列，根据其性质可知%+。9=2。6,即可求得

【详解】数列｛4｝是等差数列

?.%+%=2%

又％=6,%=3

%=0

故选：B.

3.某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布N（5,b2/b>0）,若

P（5<X<6）=0.24,则P（X>4）=（）

A.0.76B,0.24C.0.26D.0.74

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由正态分布的特点，代入计算，即可得到结果.

【详解】由正态分布可知，P（5<X<6）=P（4<X<5）=0.24,

则P（XW4）=0.5-P（4<X<5）=0.5-0.24=0.26,

所以P（X>4）=1—P（X<4）=1—0.26=0.74.

故选：D

4.R为抛物线C:y2=12x的焦点，直线x=l与抛物线交于A,3两点，则447方为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】C

【解析】

【分析】在抛物线C：/=12%中可借助直角三角形的正切值的求解NAR9.再由对称性求方.

【详解】，

抛物线C:V=12x中X=1时可得y=±2A/3，且E（3,0）

则41,2石）,8（1,—2月），取H（1,0）（如图）

2x-x2x-=—,所以ER=RG='，在AEFG中，由余弦定理可得,

2242

MEF=EH

2EGEF2X3X^

22

且AB与EF的夹角为GE与EF的夹角，即为NGEF的补角,

..3

所以cos<AB,EF>=------7=,

2。13

所以AB.£F=M.同9

4

故选：B

6.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、乙去询问成

绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答

分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（）种.

A.144B.156C.168D.192

【答案】C

【解析】

【分析】分丙排第一名和不是第一名讨论，结合捆绑法进行求解.

【详解】依题意，甲、乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，

当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有A：=24种不同名次排列情况;

当丙不是第一名时，甲、乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，

则共有A；A：A；=144种不同名次排列情况，

故共有144+24=168种不同名次排列情况.

故选：C

7.客机越来越普及之后，为了减少空气阻力、降低油耗以及减少乱流，飞机开始越来越往高空飞，飞机

机身也因此做了很多调整，其中一项调整是机舱必须加压，好让旅客在内部能够生存，为了更好地分散

机窗压力，工程师将最开始的方形窗户改为椭圆形窗户如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全.一缕

阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示.若光线与地面所成角为60。，则椭

圆的离心率为（）

图1图2

A|B.—C.-D.—

2332

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，找出a,b与圆的半径为厂间的关系，再利用离心率的定义即可求出结果.

【详解】因为椭圆形窗户在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，不妨设圆的半径为人

则有2/?=2r,d=tan6(F=百，所以2a=2百厂，

故选：C.

3

8.已知4=2cosl,b=eSmi+】n2T,c=—,则下列不等关系正确的是()

2

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】利用构造函数的方法比较。和b，力和c的大小，利用l<2cosl<0，即可比较。和。的大小.

【详解】因为巴<1〈巴，所以!<cosl<42，即l<2cosl<所以a<c,

43222

令/(x)=e*-x-l,/f(x)=eA-1,

若第x)>0,即x>0,若广(无)<0,即x<0,

所以/(%)在(—8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以/(%"/(0)=。，

即e'Nx+1,当且仅当x=0时等号成立，

1nsin1_1

所以b=e®ni+2T=2e>2sinl>2sin->6，所以。>。,

4

令g(尤)=sin%一%+,g'(x)=cosx—l+；%2,

令加(％)=x—sinx,mf(x)=l-cosx>0,所以加(x)单调递增,

当%>0时，>m(0)=0,所以当%>0时，x—sinx>0,

所以“(力〉0,所以网力在％>0时单调递增,所以网力>网0)=0,

所以g(x)在％>0内单调递增，所以g(x)>g(o)=o,

所以当x>0时，sinx>x--x3,所以sinl>0.8,

6

3

所以由已证过的不等式12x+1可知Z?=2esin1-1>2e{2>1.6>-=c,所以/?>c,

2

贝!JZ?>c>a,

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用余弦函数的单调性从而比较出〃，c大小关系，再通过构造函数

/(x)=eY-x-l,g(x)=sinx-x+-x\再通过导数证明其单调性，利用其单调性比较大小.

二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多个选项是正确的.本大题共4小题，每小

题4分，共16分，每题全部选对的得4分，部分选对得2分，有选错得0分.请把正确的答

案写在答题卷上)

9.下列说法正确的有()

A.随机变量X的方差。(X)越大，则随机变量X的取值与均值E(X)的偏离程度越大

B.随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为3

C.根据分类变量X与y的样本数据计算得到=3.218,根据小概率a=0.05的独立性检验

(“05=3.841),可判断X与Y有关，且犯错误的概率不超过0.05

D.若变量y关于变量X的经验回归方程为£=0.3-0.7%时，则变量X与y负相关

【答案】AD

【解析】

【分析】对A、C、D：根据案例分析相关知识逐项分析判断；对B：根据二项分布结合组合数的性质分析

判断

【详解】对于选项A：根据方差的计算公式可知：方差。(X)越大，则随机变量X的取值与均值E(X)

的偏离程度越大，故A正确；

对于选项B：随机抛掷质地均匀的硬币100次，设出现正面向上的次数为则J：5^100,^,

/1Xk/［、100—2「k

则尸(D=cf七卜卜协=拂,左=0」,…,ioo,

根据组合数的性质可知Ch+C：oo+…+C；黑=25°,

2501

即P(J=0)+Pq=2)+…+P《=100)=产=对

所以P(J=50)<g,即出现50次正面向上的可能性小于故B错误；

对于选项C：因为％2=3.218<3.841=%05，

根据小概率£=0.05的独立性检验，可判断X与y无关，故C错误；

对于选项D：由经验回归方程为$=0.3—0.7%可知-0.7<0,

所以变量x与y负相关，故D正确；

故选：AD.

10.已知函数/(x)=e'+3(e是自然对数的底数)，则下列结论正确的是()

A.曲线y=/(x)的切线斜率可以是-1

B.曲线y=/(x)的切线斜率可以是2

C.过点(0,3)且与曲线y=/(%)相切的直线有且只有1条

D.过点(1,5)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数的几何意义，判断y=7'(x)的范围，即可判断AB；设切点尸(%,e2+3),利用导数

的几何意义，求切点坐标或切点的个数，即可判断CD.

【详解】/'(x)=e*〉0,根据导数的几何意义可知，曲线y=/(x)的切线斜率可以是2,不能是-1,

故A错误，B正确；

C.设切点尸(%,e与+3),则e%+33=e&,得%=1,所以切线只有一条，故C正确;

%0

D.设切点尸(为工跖+3),则二+3：5=广,整理为(％—2)e%+2=0,

设g(x)=(x-2)e*+2,g,(x)=(x-l)eA=0,得x=l

当x<l时，g'(%)<0，函数g(x)单调递减，

当%>1时，g'(X)>0，函数g(x)单调递增，

当x=l时，函数g(x)取得最小值g⑴=2—e<0,g(0)=0,g⑵>0,

所以在函数在(-8,1)和(1,+8)各有1个零点,

所以过点(1,5)且与曲线y=/(x)相切的直线有且只有2条，故D正确.

故选：BCD

11.一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2

个球，则下列说法正确的是()

A,两个都是红球的概率为色

25

B.在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为！

3

C.第二次取到红球的概率为g

D.第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为1

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断A选项；利用条件概率公式可判断B选项；利

用全概率公式可判断C选项；利用贝叶斯公式可判断D选项.

C23

【详解】对于A选项，抽取的两个都是红球的概率为港=而，A错;

对于B选项，记事件第一次取红球，事件N:第二次取白球，

则P(M)=|，0(皿)=言=卡，所以,。3眼)=写篝=»；,B对;

对于C选项，记事件第一次取红球，事件Q：第二次取红球,

则尸（M）=3,p（而）=2,P（0M）=LP（Q间=3,

5524

由全概率公式可得P（Q）=P（M）P（Q|M）+P（M）P（Q|M）=MX5+gXz=g,C对；

对于D选项，记事件M:第一次取红球，事件Q：第二次取红球，

则可双）=。（而）「（。忸）=|x：=2，

P（MQ\

所以，尸（,即_.可、=尢1而3x§5=51,D对.

故选：BCD.

N*）,a-«=N*）,

12.己知数列｛4｝有无限项且满足：a2n+l-aln_x=2（ne2/1+22,I/（ne其中.为大于0

的常数，则下列说法正确的有（）

A.当/=2时，若数列｛%｝是等差数列，则4-4=1

B.当f=2时，若数列｛%,｝是单调递增数列，则0<。2-6<2

C.存在f力2,数列｛an｝是单调递增数列

D.任意数列｛4｝不可能是单调递增数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,根据等差数列的定义，结合题目中等式，建立方程，解得公差，可得答案；

对于B,根据单调递增数列的定义，建立方程与不等式，可得答案；

对于C、D,利用分类讨论的思想结合累加法和递增数列的定义，根据作差法，可得答案.

【详解】对于A,由数列｛4｝为等差数列，可设其公差为d，

aa

则2n+i~2n-i~“2.-1+2d-4”-]=2d=2,解得d=l,

由f=2,则出”+2—出〃=“2"+24—4“=2d=2,解得d=l,故A正确；

对于B,由数列｛a.｝为递增数列，则q<%<%，设出一%=左〉0，。3一%=2,

两式相减可得：%一。2=2-左>0,解得左<2,故B正确；

对于C、D,当/W0时，a2n+2-a2„<0,显然此时数列｛4｝不是递增数列；

当/>0且/彳2时,由。2"+1—%"-1=2，°2（"-1）+1—02（"-1）-1=2，L,々2x1+1—=2,

则%+1一%=2”，则。2“+1=6+2〃，同理可得：。2"+2=。2+人”，

两式相减可得：。2"+2—%什1=。2+人”—(。1+2")=(4_。1)+"(，—2),

当/<2时，必定存在N,当〃〉N时，出“+2一%”+1<0,则数列｛4｝不是递增数列；

—a、,=q+2“—[a。+/,(“―1)]=(4—a,+/)+“(2—f),

当t>2时，必定存在N,当〃〉N时，a2n+1-a2ll<0,则数列｛a“｝不是递增数列.

故C错误，D正确.

故选：ABD

三、填空题(本大题共有4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案写在答题卷上)

13.己知函数/(%)=2sinx+eA-X2,则/'(。)=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意，求导得了'(九)，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】由/(X)=2sinx+e、一/可得，/'(x)=2cosx+ex-2x,

则(⑼=2x1+1-0=3.

故答案为：3

14.在(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中，含一的项的系数是.

【答案】15

【解析】

【分析】在(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中含力的项即从5个因式中取4个x,1个常数

即可写出含/的项，则可得到答案.

【详解】在(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中含力的项即从5个因式中取4个无，1个常数,

所以含一的项为5%4+4x4+3%4+2%4+%4=15/.

所以展开式中，含力的项的系数是15.

故答案为：15

15.已知圆O：£+y2=l,4m』)，若圆。上存在两点民C使得二46。为等边三角形，则加的取值范

围为.

【答案】［-0,、行］

【解析】

【分析】作图分析,讨论机=0和机。0,设。为的中点，推出A,o,£＞三点共线，从而可得AD=65D；

利用点到直线的距离公式得到等量关系，结合方程知识，利用判别式可得不等式即可求得答案.

【详解】由题意知为等边三角形，设。为的中点，连接A。，则

因为在圆O：V+y2=i上，故ODLBC,

故三点共线，

当机=0时，4(0,1),满足圆。上存在两点且C使得JRC为等边三角形;

加/0时，直线04的斜率为工，则斜率为一机，

m

|加+1一人|

设5c方程为y=—尔+b,A至U5C的距离为AD-I----

，加2+1

BD=1—()2,而AD=y/3BD，

VVJm2+'1-

2

故\m+l-b\=员,即(疗+1/)2=文疗+―2),

A/W2+1V+1

令汴+1=八则Q—6)2=3。一/),即482一2力+产—3/=0，

由于Z?eR,故,.=4/—16(——3力20,解得0W/W4,

即加2+144,...机243,则—G4根＜0或0＜相＜君，

综合可得＜7"＜\/3，

故身的取值范围为［-省,6］,

故答案为：［-百,6］

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合圆以及等边三角形的几何性质，找到线段之间的数量关

系，结合方程知识求解.

16.俄罗斯方块游戏，是一款由俄罗斯人阿列克谢・帕基特诺夫发明的休闲游戏，它的玩法就是用一些随

机出现的几何图案去填充平面区域，消去一行就会有得分，如果一次能消去多行，则会得到很多额外的

奖励分，但这会承担一定的风险，因为这些随机的图案是需要通过适当的平移或旋转后才可能被放置到

合适的空位上去的，当剩余的内容太多时，就不容易做这些操作，而导致失败.已知这些随机出现的图案

都是由若干块相同的小正方形拼接在一起构成的，要求相邻的两个正方形必须有一条公共边相连.如果相

同小正方形的个数为力，记用它们构成的不同图案总数为4（通过平移或旋转后重合的视为同一个图

案）.已知。1=1,4=1,。3=2,则&=■

〃=1,□

n—3,

【答案】7

【解析】

【分析】根据题意，分别画出四个相同的小正方形拼接在一起构成的不同图案，即可得到结果.

如图所示，四个相同的小正方形拼接在一起构成的不同图案总数为7个.

故答案为：7

四、解答题（本大题共6题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）

17.2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量

化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室.

（1）现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率；

（2）以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X

表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列和期望.

28

【答案】（1）—

（2）分布列见解析，E（X）=1

【解析】

【分析】(1)根据组合数公式，结合超几何分布的概率公式，即可求解；

(2)首先由题意可得X8(3,£|,再根据二项分布概率公式，即可求分布列和数学期望.

【小问1详解】

设4表示所抽取的3间寝室中有i间寝室优秀，抽取的3间寝室中有1间优秀为事件4,

贝叱4)=c1/C2=28

^1255

【小问2详解】

41

由题表数据可知，从12间寝室中任选1间是优秀的概率为一=-,

123

由题可知X的所有可能取值为0』,2,3,则X

18.在三棱锥P—A5C中，底面，ABC是边长为2的等边三角形，PA=P5PC=4且直线产。与平面

ABC所成角为30，。为AB中点.

(1)求证：平面尸OCL平面ABC；

（2）求二面角A—P8—C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

7

【解析】

【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，转化为证明A31平面POC；

（2）根据（1）的结果，过点P作CO延长线的垂线，垂足为以点M为原点，建立空间直角坐标系，

分别求平面和平面尸5C的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

由，RC为等边三角形，上4且。为A5中点，得

又因为POCO=O,PO,COu平面POC,

所以A3工平面POC，因为ABu平面ABC,

所以平面POC±平面ABC-

【小问2详解】

过尸作CO延长线的垂线，垂足为加,连接31.

由（1）知，ABi平面POC,又因为9u平面POC,所以

因为A3CO=O,A3,COu平面ABC,所以？M_L平面ABC.

直线PC与平面ABC所成角为ZPCO,则ZPCO=30.

以M为坐标原点，MC的方向为》轴正方向，“尸的方向为z轴正方向，过点M作与A3轴平行的直线

为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-个z.由题可得

A（-l,0）,B（1,A/3,0）,C（0,2^,0）,P（0,0,2）,荏=（2,0,0）,而=（1,若2）,/=卜1,有,。）.

杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.

性质1:杨辉三角的第九行就是（。+。）”的展开式的二项式系数；

性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C；=C：f；

性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C：=C，；+C"；

性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续〃个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数,

比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；

请回答以下问题：

（1）求杨辉三角中第8行的各数之和；

⑵证明：a=C3+C"

（3）在（1+犬）2+（1+%）3+—+（1+》）"+1的展开式中，求含了2项的系数.

【答案】（1）256（2）证明见解析

⑶*

【解析】

【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可；

（2）由组合数公式证明即可；

（3）由二项式定理结合组合数性质求解即可.

【小问1详解】

杨辉三角中第8行的各数之和为

l+Cg+Cg++C；+1=C；+C；+C；++C；+C；=28=256;

【小问2详解】

-i("T)!("T)!(“一l)![7+(n-rW=---

〃T〃T(r-l)!(n-r)!r!(n-l-r)!r!(n-r)!^」r!(zz-r)!

C=---------•

〃〃!(〃—r)!'〃-1〃

【小问3详解】

(1+x)2+(l+x)3++(1+x)n+i的展开式中，求含X2项的系数为

c；+c；+c；++c3=c；+c；+c；+.+c3=c：+c：+c；++C+C；+图

=c：+i+c\i=c：+2

21.已知函数/(%)=枇2*+(2-。甘一工

(1)讨论"司的单调性；

⑵若"％)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(41n2e,+co)

【解析】

【分析】(1)对函数/(%)求导，再对。进行分类讨论，根据/(九)>0和(。)<0,即可得函数7(%)

的单调性；

(2)根据(1)的单调区间，对。进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到〃的取值范

围.

【小问1详解】

“X)的定义域为(—8,+。。)，

f(x)=2«e2x+(2-a)ex-l=(aer+l)(2er-l),

(i)若a20,则ae*+l>0，由/''(x)=0得x=—ln2.

当xe(-oo,-ln2)时，/,(x)<0；当xe(-ln2,+“)时，制x)>0,

所以f(x)在(e,-ln2)单调递减，在(-ln2,y)单调递增.

(ii)若a<0,则由/''(x)=0得玉=Tn2,%2=Tn(—a).

①当一2<a<0时，则石<%2，

当x«-oo,Tn2)时，/,(x)<0；

当xe(—ln2,-ln(-a))时，>0；

当了6(—1!1(—<7),+00)时，f(x)<0；

所以"%)(f,Tn2)单调递减，在(—ln2,—ln(—⑼单调递增，在(—In(—a),+”)单调递减.

②当。=-2时，则石=々，此时尸(x)W0,所以在(-»,+<»)单调递减.

③当a<—2时，则石〉々，

当X£(—8,一ln(-a))时，/[x)<0；

当xw(—ln(-a),-ln2)时，>0；

当xe(-ln2,+oo)时，/,(x)<0；

所以"%)在(一8,—In(—a))单调递减，在(—In(―a),一ln2)单调递增,在(―山2,+8)单调递减.

综上所述，当。之0时，/(%)在(^,-m2)上单调递减，在(-山2,转)上单调递增；

当—2<a<0时，/(%)在(TO,—ln2)和(―ln(—a),+oo)上单调递减，在(―ln2,—ln(—a))上单调递增;

当a=-2时，"％)在(—,+8)上单调递减；

当a<—2时，/(力在—In(―明和(—ln2,转)上单调递减，在(―In(―a),—ln2)上单调递增.

【小问2详解】

(i)若。20,由(1)知，当x=—ln2时，〃龙)取得最小值，最小值为

/(-ln2)=ln2e-；a

①当a=41n2e时，由于/(—ln2)=0,故只有一个零点；

②当ae[0,41n2e)时，由于ln2e—(a>0,即/(—ln2)>0,故"％)没有零点；

③当ae(41n2e,+e)时，ln2e—：a<0,即/(-ln2)<0.

当x<0时，aex>0,ex<1,故/(x)>2—a—x,所以/(2—a)>0,

故/(%)在(fo,—ln2)有一个零点.

设g(%)=e"—%(%>0