2024年中考数学训练-二次函数与角度有关的问题（知识解读）

二次函数与角度有关的问题（知识解读）

【专观饯明】

二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点

问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结

合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高

的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理

【知狷立梳理】

类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C,CP，y轴交抛物线与点P,

点M为A、（：间抛物线上一点（包括端点），求满足NMPO=NPOA的点M的坐

标。

分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP

上方时，由NMPO=NPOA可知PM〃OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，

ZMPO=ZPOA,这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D,坐

标为D（n,0）,由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求

出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

类型二:将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函

数(通常是正切值)相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角

的一边与坐标轴平行(重合)；

1

例2如图，抛物线丫=5乂一9+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其对

称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)连接BD,F为抛物线上一动点，当NFAB=NEDB时，求点F的坐标；

v

解析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=；Y—2x+6及各定点坐标，第二

问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt/BDE中，可知tan

ZEDB=-,则tan/FAB=1，过F作x轴垂线，构造NFAB所在直角三角形，接

22

着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tanNFABF=Hd=上1列方程，或利用

AH2

相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，

已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。

还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，

进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错

的方法。

另一种是所求角的边不与坐标轴平行。

例3:如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+2与x轴交于点A,与y轴交于点

C,抛物线y=-；x+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)x轴上有一点E(士，0),连接CE,点D为直线AC上方抛物线上一动点，

2

过点D作DFLAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得^CDF中的某个

角恰好等于NAEC?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。

13

分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-^x-±x+2及各定点坐标。第二问要

22

分类讨论，当NCDF=NAEC或是NDCF=NAEC时，先来讨论NCDF=NAEC的情

44

况。在Rt/COE中，可知tanZAEC=-,当NCDF=ZAEC时，tanNCDF=—，即

33

CF:DF=4：3,然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3,设

CF=3m,DF=4m,由△CFHs^CAO可得FH=8m,同理DG=6m,由GI=HO=2-4m,

可得Dl=2+2m,从而写出D点坐标(-llm,2+2m)，将其代入抛物线表达式求得D

点坐标。

或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直

线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D的坐标。

当NDCF=NAEC时，可用同样方法求出D点坐标。

类型三：二倍角或半角的存在性问题

(一).二倍角的构造方法

如图，已知我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造加，在BC边

上找一点D,使得BD=AD,则NADC=2c.

这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算就

可以了。

(二)半角的构造方法

如图，已知N。，构造半角可以用下面两种方法：

方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D,

使得BD=BA,则ND=^a,若AC、BC的长度已知，则容易求出tan/D的值，

2

从而进行相关计算。

方法二：如图，直接做的角平分线BE,若AC、BC的长度已知，则容易求

出tanZEBC的值。

【典例今祈】

【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】

【典例1】(2022•荷泽)如图，抛物线>=办2+万龙+c(°#0)与x轴交于A(-2,0)、8

(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点尸的坐标.

【变式1](2022秋•大连月考)抛物线y=-上一+公+c过点&(4,0),B(0,2).

4

(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

(2)如图1,点P在抛物线上，ZPBA=ZBAO,求点P的坐标.

【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数(通

常是正切值)相等问题】

【典例2】(2022秋•大连月考)如图，抛物线y=o?+2ax+c经过8(1,0),C(0,3)

两点，与x轴交于另一点A,点。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接AC、BC,在抛物线上是否存在点使若存在，

直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由.

【变式2】(2022秋•瓦房店市月考)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-7-4x-

3与无轴交于A、B两点(点2在点A的左侧)，抛物线对称轴与直线BC交于点E,与x

轴交于点F.

(1)求直线BC的解析式；

(2)如图1,抛物线的顶点为。，抛物线的对称轴与线段BC交于点E,连接AE,点P

【类型三：二倍角或半角的存在性问题】

【典例3】（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+6x+c

与y轴交于点C,与无轴交于A、8两点，直线y=x+3恰好经过8、C两点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）点。是抛物线上一动点，连接。8、DC.若△BCD的面积为6,求点。的坐标;

（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE,若N3AE=2NAC2,求点E的坐标.

【变式3-1］（2022•黄石）如图，抛物线y=-2?+2x+4与坐标轴分别交于A,B,C三

33

点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为加.

（1）A,B,C三点的坐标为,,.

（2）连接AP,交线段于点。，

①当CP与x轴平行时，求型的值；

DA

②当CP与x轴不平行时，求型的最大值；

DA

（3）连接CP,是否存在点P,使得/8CO+2/PC8=90°,若存在，求机的值，若不

存在，请说明理由.

【变式3-2]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+5)(x-3)与x轴交与A、

B两点(点A在点B的左侧)，且过点(-2,4).

(1)直接写出。的值和点B的坐标；

(2)将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M,N两点，

两抛物线交于点P,求点M到直线PB的距离；

(3)在(2)的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D,使得

ZDAB=-ZPBA?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【类型四：角度等于定值问题】

【典例4】(2022•盘锦)如图，抛物线y=7+b.t+c与无轴交于A,B(4,0)两点(A在B

的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点尸在抛物线上，连接BC,BP.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，若点尸在第二象限，点厂为抛物线的顶点，抛物线的对称轴/与线段2C交

于点G,当/P8C+/CFG=90°时，求点P的横坐标.

【变式4-1](2021•内江)如图，抛物线y=o?+bx+c与天轴交于A(-2,0)、8(6,0)

两点，与y轴交于点C.直线/与抛物线交于A、。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为

(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式；

(2)若点。是y轴上的点，且乙4。。=45°,求点。的坐标.

【变式4-2](2020•淄博)如图，在直角坐标系中，四边形042c是平行四边形，经过A

(-2,0),B,C三点的抛物线y=a/+/z#|(a<0)与x轴的另一个交点为。，其顶

点、为M,对称轴与x轴交于点E.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得NPQE

备用图

【变式4-3](2022•罗湖区校级一模)如图，已知抛物线y=-』？+bx+c交x轴于A(-3,

3

0),B(4,0)两点，交y轴于点C,点尸是抛物线上一点，连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点。使得NQBA=75。？若存在，直接写出点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

J

二次函数与角度有关的问题（知识解读）

【专茎饯明】

二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点

问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结

合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高

的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理

【知鹤五梳理】

类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C,CP±y轴交抛物线与点P,

点M为A、（：间抛物线上一点（包括端点），求满足NMPO=NPOA的点M的坐

标。

分析：显然符合条件的点M有两个，0P上方一个，0P下方一个、当M在0P

上方时，由NMPO=NPOA可知PM〃OA,则M与C点重合。当M在0P下方时,

ZMPO=ZPOA,这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D,坐

标为D（n,O）,由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求

出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

类型二:将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函

数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角

的一边与坐标轴平行（重合）；

1?

例2如图，抛物线y=~X+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其对

称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)连接BD,F为抛物线上一动点，当NFAB=NEDB时，求点F的坐标;

解析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=；Y—2x+6及各定点坐标，第二

问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt/BDE中，可知tan

ZEDB=-,则tan/FAB=1，过F作x轴垂线，构造NFAB所在直角三角形，接

22

着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tanNFABF=Hd=上1列方程，或利用

AH2

相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，

已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。

还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，

进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错

的方法。

另一种是所求角的边不与坐标轴平行。

例3:如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+2与x轴交于点A,与y轴交于点

C,抛物线y=-；x+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)x轴上有一点E(-,0),连接CE,点D为直线AC上方抛物线上一动点，

2

过点D作DFLAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得^CDF中的某个

角恰好等于NAEC?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。

13

分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-±x-±x+2及各定点坐标。第二问要

22

分类讨论，当NCDF=NAEC或是NDCF=NAEC时，先来讨论NCDF=NAEC的情

44

况。在Rt/COE中，可知tanZAEC=-,当NCDF=ZAEC时，tanNCDF=-，即

33

CF:DF=4：3,然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3,设

CF=3m,DF=4m,由△CFHs^CAO可得FH=8m,同理DG=6m,由GI=HO=2-4m,

可得Dl=2+2m,从而写出D点坐标（-llm,2+2m），将其代入抛物线表达式求得D

点坐标。

或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直

线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D的坐标。

当NDCF=NAEC时，可用同样方法求出D点坐标。

类型三：二倍角或半角的存在性问题

（三）・二倍角的构造方法

如图，已知N。，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造加，在BC边

上找一点D,使得BD=AD,则NADC=2a.

这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就

可以了。

（四）半角的构造方法

如图，已知N。，构造半角可以用下面两种方法：

方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D,

使得BD=BA,贝i]ND=La,若AC、BC的长度已知，则容易求出tan/D的值，

2

从而进行相关计算。

方法二：如图，直接做的角平分线BE,若AC、BC的长度已知，则容易求

出tanNEBC的值。

【真例台新】

【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】

【典例1】(2022•荷泽)如图，抛物线y=a?+Zw+c(aWO)与x轴交于A(-2,0)、2

(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点尸的坐标.

【解答】解：(1)•抛物线y=o?+bx+cQWO)与x轴交于A(-2,0)、8(8,0)

两点，与y轴交于点C(0,4),

4a_2b+c=0

64a+8b+c=0,

c=4

c=4

:.抛物线的表达式为y=-+3+4；

2

C.PC//AB,

...点C,尸的纵坐标相等,

・••点P的纵坐标为4,

令y=4,贝U-+等+4=4,

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

■:NPCB=/ABC,

：.HC=HB.

设HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=S-m,

在RtZ\COH中，

0(^+0^=CH2,

42+(8-m')2=R

解得：m—5,

：.0H=3,

：.H(3,0).

设直线PC的解析式为y=kx+n,

.fn=4

,13kW=0'

\_4

解得：『行

n=4

4.

.■.y=-—x+4.

3

：.p（丝，--122.）.

39

综上，点P的坐标为（6,4）或（处，-期）.

39

【变式1］（2022秋•大连月考）抛物线y=-」/+6x+c过点A（4,0）,B（0,2）.

4

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如图1,点P在抛物线上，ZPBA=ZBAO,求点P的坐标.

【解答】解：(1)设直线AB的解析式为丫=丘+%

.(4k+m=0

Im=2

k」

解得IK2，

m=2

••y—--A*H-2，

2

将A(4,0),8(0,2)代入y=-^r+bx+c,

・f-4+4b+c=0

,Ic=2

fb=l

解得*2，

c=2

(2)当轴时，ZPBA=ZBAO,

：.P(2,2)；

设8尸与x轴交于点Q,

"：ZPBA=ZBAO,

：.BQ=AQ,

在RtAB。。中，2Q2=og2+og2=4+(4-g。)2

解得BQ=a,

2

：.AQ=^-,0。=旦，

22

：.Q(旦，0),

2

设直线BQ的解析式为y=kx+b',

Vf———

解得『3，

b'=2

：.P（空，-辿）；

39

综上所述：尸点坐标为（旦，0）或（驾，-辿）.

239

【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通

常是正切值）相等问题】

【典例2】（2022秋•大连月考）如图，抛物线y=o?+2办+c经过8（1,0）,C（0,3）

两点，与x轴交于另一点4点。是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接AC、BC,在抛物线上是否存在点使若存在,

直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)把8(1,0),C(0,3)代入y=a/+2ox+c得:

fa+2a+c=0

Ic=3，

解得：卜=一1,

lc=3

・•・抛物线的解析式为：-x2-2x+3；

(2)分两种情况：

设M(x,-?-2x+3),

①如图，当CM交工轴于G时，

u：ZBCO=ZACM.

：.ZACG=ZOCBf

'：OC=OAf

：.ZOCA=ZOAC=45°,

：.ZBCM=45°,

VZACB=ZBCM+ZACG,ZBGC=ZOAC+ZACG,

：./ACB=/BGC,

■:/CBG=/CBA,

••.△BCGS^BAC,

•・•—BG二_BC1，

BCBA

VOB=1,0c=3,

ABC=VIo，

设G(-30),

.t+1Vw

V104

•■•I—3,

2

：.G(一2，0),

2

同理可求得CG的解析式为：y=2x+3,

则，

-2x+3=2%+3,

2

x+4x=0f

x(x+4)=0,

xi=O（舍），xi--4,

当x=-4时，y=-5,

：.M(-4,-5)；

②如图，当CM与X轴交于点N时，过B作3PJ_AC于尸,

9：ZOAC=45°,

・・・AABP是等腰直角三角形,

VAB=4,

:.AP=BP=±=2近,

V2

VAC=A/32+32=3V2-

:.CP=AC-AP=M，

'：ZBCO=ZACM,

ZACB=ZOCM,

,：ZBPC=ZCOA=9Q°,

:ABCPsANCO,

•.•,BP=-C--P-,

NOCO

•加V2

•--------=-----,

NO3

：.NO=6,

：.N（-6,0）,

同理可得NC的解析式为：y=^x+3,

-2

f1

y=­Y+J

联立方程组得：2,

y=-x2-2x+3

解得：Xl=0,X2=-—>

2

因为点M在抛物线上，所以当x=-5时，y=工，

24

：.M（一2工），

24

综上所述，存在点M（-4,-5）或（-$,工），使得/ACM=NBCO.

24

【变式2](2022秋•瓦房店市月考)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-7-4x-

3与无轴交于A、8两点(点8在点A的左侧)，抛物线对称轴与直线BC交于点E,与

x轴交于点F.

(1)求直线BC的解析式；

(2)如图1,抛物线的顶点为。，抛物线的对称轴与线段BC交于点E,连接AE,点P

在抛物线上，若/EAC=/DAP,求点尸的坐标.

【解答】解：(1)在y=-/-4_¥-3中，令x—0得y=-3,令y=0得x=-3或x=

-1,

：.A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),

设直线BC解析式为〉=乙+小把2(-3,0),C(0,-3)代入得:

f~3k+b=0

lb=-3

解得，

直线BC的解析式为y=-x-3；

(2)过A作AC的垂线，交DE于G,交抛物线于P,如图：

由y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1可得顶点D(-2,1),对称轴是直线x=-2,

在y=-x-3中，令x=-2得y=-l,

：.E(-2,-1),F(-2,0),

VA(-1,0),

：.AF=1,DE2=(1+1)2=4,AD2=(-1+2)2+(0-1)2=2,AEr=(-2+1)2+(-

1-0)2=2,

.\AD2+AE2=DE2,

：.ZDAE^90°=NCAP,

.,.ZCAE=ZDAP,即P是满足条件的点，

VZMG=90°-ZOAC=ZOCA,NG演=90°=ZAOC,

.,.△MG^AOCA,

，空=①，即口吗

0C0A31

：.FG=—,

3

：.G(-2,-A),

3

由G(-2,-1),A(-1,0)可得直线AG解析式为y=」x+工，

3-33

「11f=—

解产,?得或

y=-x2-4x-3y=—g-

...P的坐标为(-蛇，-1).

39

【类型三：二倍角或半角的存在性问题】

【典例3】(2022•惠山区校级二模)如图，在平面直角坐标系尤Oy中，抛物线y=/+bx+c

与y轴交于点C,与无轴交于4、3两点，直线>=尤+3恰好经过3、C两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点。是抛物线上一动点，连接。2、DC.若△BCD的面积为6,求点。的坐标；

(3)设E是抛物线上的一个动点，连结AE,若/BAE=2/AC8,求点E的坐

【解答】解：（1）令y=0,贝!Jx=-3,

：.B（-3,0）,

令％=0,则y=3,

：.C(0,3),

将点5(-3,0),C(0,3)代入y=/+fct+c,

.(9-3b+c=0

,Ic=3

.•・>=%2+4%+3；

(2)点。在直线3c上方时，过点。作。尸，x轴交AC于点尸,

设0(6金+4什3),贝IJP(£,£+3),

•二。尸=金+4什3-t-3=理+3%

•\S^BCD=S^CPD-SAPBD=—XDPX(-什3+/)=+(於+3力

22

••,△3CD的面积为6,

.•.2(产+3力=6,

2

/.t=1或t=-4,

：.D(1,8)或。(-4,3)；

当点。在直线BC下方时，

SABCD=S^CPD+SAPBD=—XDPX3=—(-z2-3/)=6,

22

.•.旦(产+3力=-6,

2

...此时才不存在，

综上所述：。点坐标为（1,8）或（-4,3）；

(3)设E(m,“户+4/"+3),

过点A作4G_LBC交于点G,在8C上截取HC=H4,

■:B(-3,0),C(0,3),

AOB=OC,BC=3五,

：.ZCBO=45°,

：X2+4X+3=0时，x—-1或尤=-3,

AA(-1,0),

：.AB=2,

在RtZXABG中，BG=AG=我,

；.CG=2&,

,:HC=HA,

：.NGHA=2/ACB,

在RtZXAGH中，HA2=(CG-HA)2+AG2,

：.HA2=(2V2-HA)2+2,

解得HA=5M,

4

：.HG=3v'2,

4

：.tanZGHA=-^-V2

GH3V2-3~

4

,：ZBAE=2ZACB,

：.ZBAE=ZGHA,

Im2+4m+3|,

3I-1-mI

解得m=-1（舍）或m=-互或m=-—,

33

.••E点坐标为（-5,-&）或（-卫，理.）.

3939

【变式3-1］（2022•黄石）如图，抛物线y=-2?+2工+4与坐标轴分别交于A,B,C三

33

点，尸是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为优.

（1）A,B,C三点的坐标为

（2）连接A尸，交线段于点。，

①当CP与无轴平行时，求型的值；

DA

②当CP与X轴不平行时，求型的最大值；

DA

（3）连接CP,是否存在点P,使得/8CO+2NPC8=90°,若存在，求机的值，若不

存在，请说明理由.

：.C(0,4)；

令y=0,贝！J-—^+―x+4=0,

33

.'.x=-2或x=3,

AA(-2,0),B(3,0).

故答案为：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)①：C尸〃x轴，C(0,4),

：.P(1,4),

：.CP^1,AB=5,

：C尸〃x轴，

.PD=CP=1

"DAAB

②如图，过点尸作尸。〃AB交BC于点。，

设点P的横坐标为m,

贝!!尸(m,--m2+—m+4),Q(—m2-—m,-—m2+—m+4).

332233

/.PQ=m-(—m2--m)=--m2+—z？z,

2222

'JPQ//AB,

啜嚼二牛二3(“卷喘

:.当TH=3时,里的最大值为a.

2DA40

另解：分别过点P,A作y轴的平行线，交直线3c于两点，仿照以上解法即可求解.

(3)假设存在点尸使得/2。。+2/2。尸=90°,即0＜根＜3.

过点C作C/〃x轴交抛物线于点F,

VZBCO+2ZPCB=90°,ZBCO+ZBCF+ZMCF=90°,

：.ZMCF=/BCP,

延长CP交x轴于点M,

：CP〃彳轴，

ZPCF=ZBMC,

：.ZBCP=ZBMC,

...△CBM为等腰三角形，

\'BC=5,

：.BM=5,OM=S,

：.M(8,0),

直线CM的解析式为：y=-A.r+4,

2

令-—^+―,r+4=-工+4,

332

解得尤=1或x=0(舍)，

4

存在点尸满足题意，此时机=工.

4

【变式3-2］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+5)(x-3)与x轴交与A、

B两点(点A在点B的左侧)，且过点(-2,4).

(1)直接写出a的值和点B的坐标；

(2)将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M,N两点,

两抛物线交于点P,求点M到直线PB的距离；

(3)在(2)的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D,使得

ZDAB4ZPBA?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

4

【解答】(1)y=--(x+5)(x-3)；B(3,0)

(2)A(—5,0)、M(—3,0)、N(3,0)

1174

设点M到直线PB的距离为h,则5ApMB=5・力•PB=5-MB-OP,；.h=M

(3)存在，理由：

设NDAB=gNP8A=。，如图，过点B作NP5A的平分线BH交y轴于点H,过点H

作HG_LPB于点G,设OH=m,贝UHG=m,PH=4—m,PG=PB—BG=2,

3

在RtZkPGH中，GH2+PG2=PH2,即n?+22=(4—m)2,解得：m=-

2

tanZHBO=tancr=...左!故直线AD的表达式为：=—%+—(1)

OB2AD222

4

同理直线PB的表达式为：y=x+4(2)

Q964

联立①②并解得：》=打，；.点口(石，五),

【类型四：角度等于定值问题】

【典例4】（2022•盘锦）如图，抛物线y=/+fcr+c与x轴交于A,B（4,0）两点（A在8

的左侧），与y轴交于点C（0,-4）.点P在抛物线上，连接8C,BP.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，若点尸在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴/与线段8C交

于点G,当/P8C+NC尸G=90°时，求点P的横坐标.

【解答】解：⑴将2(4,0)、C(0,-4)两点代入y=f+bx+c得，

[16+4b+c=0,

I0+0+c=-4

解得：产用，

Ic=-4

抛物线的解析式为：y=/-3尤-4；

(2)如图，作CE，/于E,PQ±BC^Q,无轴于N,连接PC交x轴于点X,

设P(”,«2-3n-4),PC的表达式为：y=kx+d(kWO),

将P,C代入y=fct+d1W0)得，

解得：(k=n-3,

Id=-4

・・・尸。的表达式为：y=(n-3)x-4,

将y=0代入y=(〃-3)x-4得，

0=(n-3)x-4,

••H(-^7，0>

n-3

SAPCB=SAPHB+SAHCB,

：.PQ・BC=PN・HB+OC・HB,

•••BC=VOA2-H)B2=^42+42=4V2'

24

.PNHB40CHB6-3n-4+4)(4/)加、

,,PQ=BC—=-----W2------F(n3'

PB=7PN2+NB2=7(n2-3n-4)2+(4-n)2=(4-n)V(n+l)2+l'

_3

由题可知，1:Y——二

2X1-2

99,25

将代入y=f-3x-4得,々亍4=-丁

■:NPBC+NCFG=9Q°,PQ±BC,CEL,

：.ZPBQ=ZFCE,ZCEF=ZPQB,

:.△CEFS^PQB,

3行

.PB二CF二4二后

,•而百=9=3'

7

.(4-n)V(n+l)2+l_A/13

"V2f2..~

kn-4n)

解得：rij=^"，口2=-6(舍去)，

...点尸的横坐标为-反，

5

方法二：将CP绕点/顺时针旋转90°得C,连接CC,作CE，/于E,

求出点C(),

J.BP//CC,

求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可.

【变式4-1](2021•内江)如图，抛物线y=a?+6x+c与x轴交于A(-2,0)、8(6,0)

两点，与y轴交于点C直线/与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点。的坐标

为(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式；

(2)若点0是y轴上的点，且/4。。=45°,求点。的坐标.

【解答】解：(1);抛物线yn/+fov+c与无轴交于A(-2,0)、8(6,0)两点,

设抛物线的解析式为y=a(元+2)(尤-6),

'：D(4,3)在抛物线上，

；.3=。(4+2)X(4-6),

解得a=-1,

4

，抛物线的解析式为y=-](x+2)(x-6)=--i-x2+x+3,

:直线/经过A(-2,0)、。(4,3),

设直线/的解析式为y=fcc+/w(左70),

则卜2k+m=0,

I4ktm=3

fk=l

解得，K2,

m=l

，直线/的解析式为y=£x+l；

(2)如图中，将线段绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(-5,6),

设。T交y轴于点。，则乙4。。=45°,

VD(4,3),

直线的解析式为y=-■1x+竽，

：.Q(0,—),

3

作点T关于AO的对称点7(1,-6),

则直线£>〃的解析式为y=3x-9,

设交y轴于点。'，则/AQ。'=45°,

：.Q'(0,-9),

综上所述，满足条件的点。的坐标为(0,旦)或(0,-9).

3

【变式4-2](2020•淄博)如图，在直角坐标系中，四边形OA8C是平行四边形，经过A

(-2,0),B,C三点的抛物线尸加+公+看(a<0)与x轴的另一个交点为。，其顶

点、为M,对称轴与x轴交于点E.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线M