2024年高考数学模拟试题解析 (一)

2

A=[x7-3<0,%eZB=<yy=—,xeZ,yeZ>

1.已知集合LXJ,则AD5=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}c.{-1,1}D.{-2,2}

【答案】B

【分析】先化简集合A,B,再利用集合的并集运算求解.

2百,

【详解】因为A=x\x-3<0,xeZ}=6<x<xez|=1-1,0,1},

2

B=<yy=_,xeZ,yeZ={-2,-1,1,2},

x

所以AU5={-2,—l,0,l,2},

故选：B.

2.设命题P：Vx<-1-x2+x>0,则。的否定为（)

A.V—1fx2+x<0B.3%>-Lx2+x<0

C.Vx<—1,x2+x<0D.\/x>-l,x2+x<0

【答案】A

根据全称命题的否定是特称命题即可写出P的否定.

【详解】解：命题0：Vx<-1,x2+x>0»

二〃的否定为：3r<-1,x2+x<0，

故选：A.

)

【答案】A

【分析】当x>0时，可判断C,D错误，当x<0时可判断A,B.

【详解】当x>0时，f(x)=3x,其在(0,+8)单调递增,C,D错误；

当x<0时，/(%)=—3)在(—8,0)单调递减，B错误，A正确.

故选：A

4.直线4:(3+n?)x+4_y=5-3瓶,/2：2x+(5+nz)y=8,则“％=-1或机=一7"是"1川/的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】分析：由两条直线平行，求解相=-7,在根据充要条件的判定方法，即可得到结论.

详解：由题意，当直线"〃2时，满足23—+^77=——45—3加解得祖=-7,

25+m8

所以“％=-1或9=-7"是“"/个’的必要不充分条件，故选B.

点睛：本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定，其中正确求解两条直线

平行式，实数用的值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题属于基础题.

3

5.设a=2.1",Z^log43,c^logzl.8,则a、b、c的大小关系为()

Aa>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】利用有理指数幕的运算性质与对数的运算性质，比较a,b,c与1的大小，结合对数函数的单调性

得答案.

【详解】：a=2.1°-3>2.1°=b

■:b=log43=log2括，C=log21.8,

且退<1.8<2,

.-.b<c<l.

.*.a>c>b.

故选B.

【点睛】本题考查函数值的大小比较，考查对数的运算性质，指数函数与对数函数的图象与性质，是基础

题.

6.已知S“是等差数列｛凡｝的前几项和，7“为数列|+1的前〃项和，若$4=12,21s8=10打，则

G=（）

A.51B.52C.84D.104

【答案】A

【分析】由已知条件可得出关于对、d的方程组，求出这两个量的值，可求出s,的表达式，推导出],

为等差数列，利用等差数列求和公式可求得几的值.

4x3

【详解】设等差数列{4}的公差为d,则S4=4o1+下一d=4a]+6d=12,

由21s8=10S12可得2118。]+8；d[=io[12q+二；””,整理可得26=3d,

2

解得q=3,d=1,所以，S=nax+―^L=—n+lkl_^L=Ln+n,则2=J_"+1,

2"12222n2

SSI

则——一（〃+i）+i_〃+i=所以，数列{〈s口}为等差数列，

n+ln212）2n

12|-+1+-X12+1

所以,(22

兀==51

2

故选：A.

7.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榨卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用

于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为1

的正方形，且VAOE，△BCE均为正三角形，EF//CD,EF=2,则该木楔子的体积为（）

A40R万C2夜近

r\.---LJ.A/2---U.---

333

【答案】D

【分析】如图，分别过点A,8作所的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,取的中点。，连

接GO,求出54”=5""=立，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.

I\D\Jy|

【详解】如图，分别过点A,B作所的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,CH,

则由题意等腰梯形WR全等于等腰梯形CDEF,

2-11♦GD=BH=HC=(2—Q]=兴

则EG=族=——=-,AG

22

取AD的中点。，连接GO,因为AG=GD,所以GOLAD,

则。。[图考

.C_C_1V2受

'ADG='BCH='X《-XJL—,

4

因为AB〃£F,AGLEF,所以A3_LAG,因为四边形ABCD为正方形，

所以ABJ_AD,又因为A。AG=A,A£>,AGu平面A£>G,所以A5/平面ADG,

所以跖/平面AGZ),同理可证EF1平面5c」H,

*,*多面体的体积V=嚏棱锥E-ADG+&棱锥f-BCH+V三棱柱AGD-BHC=2嚏棱锥EYOG+嚏棱柱AGD—8HC

，立」x2+在x3,

34243

故选：D.

EGF

AB

8.已知函数/(x)=3sin(ox+9)1xeR,o〉0，M<]，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

()

二「

T~4~

A./(x)=3sin[x—

3jrQjr

c.不等式y(x)25的解集为6fat+-,6fat+—keZ

D.将/(%)的图象向右平移.个单位长度后所得函数的图象在［6兀,8可上单调递增

【答案】C

【分析】由图象求出/(九)表达式后逐一验证选项即可.

【详解】由函数图象可知，最小正周期为—所以。=至=J,

144J6713

代入/(x)=3sin(Gx+0),得3=3sin

又阚苫，所以0=］，故〃x)=3sin［；x+京，故A错误；

所以7(*)=3sin5=¥，故B错误；

3(］冗、1JT1JT5冗

令/(%)N—,则sin+2彳,所以2k7iH—<—---<2ATIH----,keZ,解得

21312)263126

兀5/71

6kliH—«冗V6kliH-----,左£Z,

44

371971

所以不等式/(X)25的解集为6kn+-,6kn+^-左eZ,故C正确;

将/(x)=3sin(1x+^］的图象向右平移立个单位长度后,1兀

得到/(x)=3sin-XH---的图象，令

318

2kn-—<—x+-<2kn+—,keZ,

23182

5IT4IT

解得6kn----<x<6kliH------,kGZ,

33

令％=1得g,因为［6兀,8无］<2-^―，^―,故D错误.

故选：C.

A+2

2-1,X<07

9.已知函数〃%)=<11，若关于x的方程"(%)『+时(x)+2=0恰有6个不同的实数根，则

|log2x|,x>0

机的取值范围是()

C.—,-2A/2jD.卜3,—20)

【答案】A

【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当/取不同值时，/(九)=/的交点个数,

即可结合二次函数零点的分布求解.

,、12X+2-1|,X<0,、

【详解】根据/'(%)=.1，作出了(%)的大致图象如下：

|log2x|,x>0

由图可知：当/(x)=0时，此时由两个根，分别为一2,1,

当0</<1时，此时/(尤)=方有4个交点,

当1WY3时，此时/(%)=/有3个交点,

当方>3时，此时/(%)=/有2个交点，

故要使得［/(%)『+时(x)+2=0由6个不同的零点，则令/(九)=/,/+m+2=0有6个不同的实数

根，

/(%)=0显然不是［/(%)］2+时(x)+2=0的根，

设g«)=/+7加+2的两个零点分别为44，且：WG，

故当0<：<14〉3时，此时/(x)=%有4个交点，/(%)=/2有2个交点，满足题意,

g⑼=2〉0

故需要满足<g(l)=3+m<0,解得加<---

g⑶=11+3加<03

当1%(弓43时，此时/(x)=:有3个交点，/(x)=Z2有3个交点，满足题意,

«1<——一m<3-

2

故需要满足《A=m2-8>0,解得—3〈机<—2行，

g(l)=3+m>0

g(3)=ll+3m>0

综上可得—3V冽＜—或加＜——

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

10.己知复数2=-则复数Z的虚部为

1-1

3

【答案】-##1.5

2

13

【分析】根据复数除法运算得z=—+—i,进而得答案.

22

2+i_(2+i)(l+i)_l+3i_13.

【详解】解:

l-i(l-i)(l+i)222

3

所以复数z的虚部为2

2

...........3

故答案为：一

2

11.已知圆G:犬+丁2+4%+1=0和圆。2：/+产+2%+2＞+1=0,则圆G与圆G的公共弦的弦长

【答案】2

【分析】根据两圆方程确定两圆圆心与半径，然后求得两圆公共弦所在直线方程，根据直线与圆相交弦长公

式求得圆C1与圆C2的公共弦的弦长即可.

【详解】圆£：(x+2)2+V=3的圆心q(—2,0),半径《=6，

圆：(%+1产+(＞+1)?=1的圆心Q(—LT)，半径2=1,

所以|。1^|=也＜彳+々=1+6，满足两圆相交有公共弦，

两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：(炉+/+4%+1)一(无2+/+2%+2,+1)=0,即

x-y=Q,

所以圆心C(—2,0)到直线x—y=0的距离4=与Q=叵,则公共弦长为2M-力=265=2.

故答案为：2.

12.曲线y=2—hu在％=1处的切线的倾斜角为a,则cos[2a—3]=.

3

【答案】--##-0.6

【分析】先求导数，从而求得切线斜率，即可求得tana的值，进而弦化切代入计算即可.

221

【详解】由y=——Inx,则y=一一-一一,

XXX

所以tana=y1%=i=-3,

1兀、.八2sinorcosor2tana2x(-3)3

所以cos2a——=sin2a=-----------—=——-----=——亍/=一一

I2)sin2a+cos2atan2a+1(-3)+15

3

故答案为：--.

13.定义在R上的函数满足/(—%)=—/(%)"(%—2)=/(x+2),且X£(—l,0)时，

v

/(x)=2-+j,则/(log220)=

【答案】-1

根据题意可得/(x+4)=/(x),再根据对数运算法则结合xe(-1,0)时的解析式，即可得答案；

【详解】由/(—x)=—/(X)可得函数/(%)为奇函数，

由”1-2)=/(X+2)可得/(x+4)=/(x),

故函数的周期为4,

5554

所以/(1。8220)=/(4+1。82/=/(1。82/=—/(—1。821)=—/(1。827，

44102-141

因为—l<log2M<0,所以/(Iog2()=25+|=-+-=l.

/(log220)--l.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查函数奇偶性及对数的运算法则，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

14.若〃>0,b>0,且〃+8。—2次?=0,则2a+Z?的最小值为；此时。=.

3

【答案】①.9②.-##1.5

2

【分析】利用基本不等式“1”的代换即可求解.

14

【详解】因为》+8。—2次?=0,所以一+―=1.

2ab

因为a>0,b>0,所以汾+5=（2。+5）[2+3]=1+2+迎+425+2/2?区

[\lab）2ab\2ab

1QQ

当且仅当丁二；,即。=不力=6时等号成立.

2ab2

3

所以2〃+Z?的最小值为9,此时近一.

2

3

故答案为：9；—.

2

UUUUUU1

15.如图，在四边形43。中，/3=60°,AB=2,BC=6,且AD=/LBC，AD.AB=—2则实数几

.UUUUi

的值为,若跖N是线段BC上的动点，且“V=1,则AM.£>N的最小值为.

【分析】求出NB4O=120°,由A£）.A5=—2利用数量积公式求解几的值即可；建立坐标系，设

则N（〃z+l,0）,利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.

uuuuimuuiuuuu

【详解】因为AD=43C，所以AD//BC，

因为/5=60°,所以NB4£>=120°,

所以AD.AB=1cos120。

=-12|JBC|-|AB|=-12X6X2=-2^2=1；

建立如图所示的坐标系x0y,

因为—5=60。，AB=2,BC=6,

可得A（0,有）,£>（2,百），

|UUUU1|

设Af（m,0）,因为加V=l,则N（m+l,0）,

所以AM=,

AM.Z>N=/n(加一1)+(6)=m2-m+3=fm-^,

当m二L时等号成立，

2

所以AM•£>N的最小值为—，

4

【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐

标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

3冗

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=30，b=6,C=—.

4

(1)求c；

(2)求cos[A—的值；

(3)求cos(A—3—C)的值.

【答案】(1)3V10;

(2)正;

5

(3)4

【分析】(1)由余弦定理即可求C;

(2)由正弦定理可求sinA,再求出cosA,根据余弦差角公式即可求cos]A-?

(3)cos(A—5—C)=cos[A—(兀一A)]=—cos(2A)=2sin2A-b再结合(2)sinA的值即可计算.

【小问1详解】

由余弦定理得c?=片+尸一2"cosC=18+36—2•3后•6cos三=90,

4

Ac=3A/10.

【小问2详解】

3a_3Mr-

由正弦定理，=ij,得；解得sinA="2.

sinAsinCsm——10

4

'：a<b,为锐角，；.cosA=Jl—sir?A=,

10

.「乃、43而A/2VlOA/22>j5

・・cosA=cosAcos—+smAsin—=_____________--v.

I4；44io21025

【小问3详解】

4

由(2)可得cos2A=l—2sin29A=—,

JB+C=7i—A9cos(A—B—C)-cos(2A—TT)=—cos2A——.

17.如图，在四棱锥尸—A5CD中，24,平面A5C。，底面ABCD是直角梯形，其中AD〃5C,

AB±AD,AB=AD=-BC=2,PA=4,E为棱BC上的点，且

(1)求证：DEI平面PAC；

(2)求平面APC与平面PC。所成角余弦值；

(3)设。为棱CP上的点(不与C,P重合)，且直线QE与平面24c所成角的正弦值为仓，求孚

5CP

的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）拽；（3）丝=2.

5CP3

【分析】（1）由已知证得Q4LAB，PA±AD，AB±AD,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直

角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；

（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；

（3）设丝=4（0<2<1）,表示点Q,再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得4,可得答案.

CP

【详解】（1）因为2平面ABC。，ABu平面ABC。，ADu平面ABCD,所以

PALAD，又因为

则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得A(0,0,0),5(2,0,0),C(2,4,0),£>(0,2,0),尸(0,0,4),E(2,l,0)

所以。石=(2,-1,0),AC=(2,4.0),AP=(0,0,4).

因为。石-AC=2x2—lx4+0=0，=0.所以DEIAC，DELAP

又APcAC=A,APu平面B4C,ACu平面PAC.

所以「史上平面PAC.

(2)设平面24c的法向量加，由(1)可知加=。£=(2,-1,0),

设平面尸CD的法向量n=(x,y,z)

ULMULIU

因为PD=(0,2,-4)，PC=(2,4,T).

n-PD=012y—4z=0

所以《，即<,,

n-PC=02x+4y—4z=0

不妨设z=l，得"=(—2,2,1).

/、m-n2x(-2)+(-1)x2+02y/5

cos＜m,n)=।-j-r-r=.=——/==--------

|«|-|«|J22+(-1)2X7(-2)2+22+15，

又由图示知二面角A—PC—。锐角，

所以二面角A—尸C—O的余弦值为空.

5

COUL1UULI

(3)设(。＜丸＜1),即Q2=；ICP=(—24Y44；1).所以Q=(2—22,4—42,4/1),即

ULU

QE=(244"3T孙

因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为B,

5

所以cos/QE.m\一慨呵一一匕十(4-3)+0|一逐,

()|eE|.|m|^22+(-1)2x7(22)2+(42-3)2+(-42)25

即，36%—242+9=3,解得2=|,即黑=|.

【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.

1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直

角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上。

2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.

3、求：求出两个面的法向量.

4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；

5、取：根据二面角的范围(0，»)和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.

18.己知圆C经过点4(1,3)和8(5,1),且圆心C在直线x—y+l=。上.

(1)求圆C的方程；

(2)设直线/经过点(0,3),且/与圆C相切，求直线/的方程.

(3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x+l)2+(y+2)2的最小值.

【答案】⑴(X—5)2+(y—6)2=25

(2)%=0或8x+15y—45=。

(3)25

【分析】(1)根据圆心在直线%-丁+1=。上，设出圆心坐标，半径，然后把点48的坐标代入圆的方程，求

解方程组即可求解;

(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直

线的距离等于半径可求上的值，所以圆的切线方程可求.

(3)根据圆的几何性质可以转化为求出圆心与点(-L-2),减去半径即可平方后得最小值.

【小问1详解】

因为圆心C在直线x—y+l=O上，

所以设圆C的圆心C(a,a+1)，半径为r(r>0),

所以圆的方程为(x—a)?+(_y—a—l)2=r2,

因为圆C经过点4(1,3)和3(5,1),

（一）2+（3-。-1）2=/—6〃+5二r2

所以

（5-4+（1-a-Ip=/,2/—10〃+25=户

〃=5

解得《

r=5

所以圆C的方程为(x—5猿+(y—6)2=25;

【小问2详解】

由题意设直线I的方程为y=Ax+3或％=0,

当/的方程为x=0时，验证可知/与圆C相切;

当/的方程为y=Ax+3,即Ax—y+3=0时,

|5^-6+3|_

圆心C到直线/的距离为d=->7r=5.

Q

解得上=—A'

Q

所以/的方程为丁=—记x+3,即8x+15y—45=0.

所以直线/的方程为尤=0或8x+15y—45=0.

【小问3详解】

由(1)知圆心为。(5,6),半径为5,

则圆心与点(-1,-2)的距离为d=V62+82=10，

因为(x+l)2+(y+2『可以看作圆上任意一点P(x,y)与点(-1,-2)的距离的平方,

所以(x+1)2+(y+2『的最小值为(10—5)2=25.

19.已知数列｛4｝是公比4>1的等比数列，前三项和为13,且4+2,4恰好分别是等差数列｛2｝的

第一项，第三项，第五项.

（1）求数列｛为｝和也｝通项公式；

,、〃为奇数,/八，、

⑵设数列｛g｝的通项公式或=〃（neN*）,求数列｛cj的前2〃+1项和邑用；

。(2Z?—4)〃]—1/、

(3)求一

i=l%+计14+2+1

【答案】(1)a“=3"T,bn=2n-1

9〃+i1

S2

⑵2n+1=~-+2n+n

oo

2-3n+1+l,

CL=1[h=1

【分析】（i）由题意列出方程组，解之可得4,即可求解/；由<「求出公差比即可求出2；

<7=3也=5

（2）根据等比数列前九项求和公式求出奇数项的和，根据等差数列前〃项求和公式求出偶数项的和，即可

求解；

（2々-4）a,*1-1z-1z

（3）由（1）可得%----------=T-T>结合裂项相消求和法即可求解.

勤+1也”2+123+12-3（+1+1

【小问1详解】

q(l+q+q?)=13

由题意得《1.

q(1_2q+q?)=4

\aq=9

解得4°或〈i（不合题意,舍去）,

[4=3q=~

1^-1

所以%=3、又仁5,所以〃=2,

所以4=2〃一1.

【小问2详解】

设奇数项的和为

n+1

A=3°+32++3?”=^Q——A1,

n+188

设偶数项的和为3",

*12

Bn=3+7++4M-1=2«+n,

gn+l1c

所以

SZ2,nzt+Tlt—All~VL.+B"=--8----8-F2Tl+TI.

【小问3详解】

(2白一4)q.+i-1_(4z-6)3Z-1_z-1i

•*—(23+1)(2.3-+1)-23+1—2-3/+1+1'

斫以寸(2叫4)的-1,。___________,n-l

23n+l

白bu+|2x3?+12X3+12X3+12.3"+123*+12-3+l'

1ai+\+1ai+2+l

20.已知函数/(x)=lnx+ar2+(2a+l)x.

(1)讨论了(%)的单调性；

3

(2)当。<0时，证明了(x)V-----2；

4〃

(3)若不等式/(可>。恰有两个整数解，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)若a.O,/U)在(0,+s)上单调递增；若“<0,于3在(0,—工)上单调递增，在(―L,+8)

2a2a

上单调递减.(2)证明见解析；(3)

【分析】(1)利用导数符号与函数单调性之间的关系分a.O和。<0两种情况讨论即可得到答案；

113

(2)要证原不等式即证ln(——)-1——<-----2,构造函数g(x)=lnx—尤+1,利用g(x)<0即可

2a4a4a

证明原不等式；

(3)根据第(1)问单调性分。之0和“<0两种情况讨论，当。之0,因为当％>1