惠州一中、珠海一中等六校联考2024届高三第三次测评数学试卷含解析

惠州一中、珠海一中等六校联考2024届高三第三次测评数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x>0

1.已知。，b,ceR,a>b>c,a+b+c=0.若实数x,V满足不等式组卜+y44,则目标函数z=2x+y

bx+ay+c>0

()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，有最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

2.在AABC中，。，b,c分别为角A,B,C的对边，若AABC的面为S,且4百S=(。+域—c?,则sinC+?

()

A1nA/2„A/6-A/2NA/6+\/2

244

3.已知向量a=(l,4),b=(—2,m),^\a+b\=\a-b\,则机=()

11

A.----B.—C.-8D・8

22

4.已知集合“={》|必=1}.N为自然数集，则下列表示不正确的是()

A.IGMB.Af={-1,1}C.0cMD.M=N

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列各项之和为()

A.56383B.57171C.59189D.61242

6.设复数z满足忖=3三+1,z在复平面内对应的点的坐标为(羽田则()

A.x2=2y+1B.y2=2x+l

C.%2—2y—1D・y?=2%—1

7.复数4在复平面内对应的点为(2,3)/2=—2+/；则?=()

Z2

A.-14/18.

B.----------1C.-1H—iD.-1--z

555555

x—y+lVO,

8.已知所为圆(x—叶+(y+"=1的一条直径，点M(x,y)的坐标满足不等式组2x+y+3»0,则9.用歹的

0.

取值范围为()

A.—,13B.[4,13]

7

C.[4,12]D.-,12

9.已知。为坐标原点，角a的终边经过点尸(3,〃2)(根＜0)且$也&=巫相，贝!Jsin2(z=()

10

4334

A.-B.-C.--D.——

5555

10.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移£个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间［0,«］上单调递增,

6

则。的最大值为().

715兀

A.—C.—D.—

21212

x>l

11.已知实数x,y满足《x-y<Q,则z=/+y2的最大值等于()

x-\-2y-6<0

A.2B.2V2C.4D.8

12.若0<a<b<l,则qjb：log©,l°g的的大小关系为()

a

Aab>ba>log/>log*Bba>ab>log1b>log/

aa

Clog/>(/>ba>log1bDlogW>b">a">log，

aa

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某次足球比赛中，A,B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C,3对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABcD

A获胜概率一0.40.30.8

3获胜概率0.6一0.70.5

C获胜概率0.70.3一0.3

。获胜概率0.20.50.7一

则A队获得冠军的概率为.

14.关于函数/'(x)=ln(2+x)-ln(4-x)有下列四个命题:

①函数丁=/(%)在(-2,4)上是增函数；

②函数y=/(x)的图象关于(1,0)中心对称；

③不存在斜率小于1且与函数y=/(%)的图象相切的直线；

④函数y=/(%)的导函数y=/'("不存在极小值.

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

15.记S”为等比数列｛4｝的前"项和，己知生=-2,$—6^2+3々］,贝［jQ］=.

2

1x++Ax<0

16.已知函数/(x)=6，x2'，若关于x的方程+-九)=0在定义域上有四个不同的解，则实数。

Inx—x,x>0

的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)max｛m,科表示加，〃中的最大值，如max，,、而｝=,己知函数/(x)=max｛无？-1,21n%｝,

g(x)=max<x+lnx,-x2+卜--^x+2a2+4a>.

(1)设〃(x)=/(x)—3、—£|(X—1)2,求函数MX)在(0,1］上的零点个数；

3

(2)试探讨是否存在实数ae(-2,+8),使得g(x)<万%+4。对xe(a+2,+8)恒成立？若存在，求。的取值范围;

若不存在，说明理由.

18.(12分)如图，已知椭圆1+，=1(。〉6〉0)经过点一夜，当，且离心率e=g,过右焦点R且不与坐标

轴垂直的直线I与椭圆C相交于M,N两点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设椭圆C的右顶点为4,线段的中点为〃，记直线OH,AM,AN的斜率分别为6,4,融,求证:

为定值.

19.(12分)如图，三棱柱ABC-A4cl的所有棱长均相等，耳在底面ABC上的投影。在棱上，且人田〃平面

ADQ

(I)证明：平面ADC，平面5。。百；

(II)求直线与平面ADG所成角的余弦值.

20.(12分)已知圆O:Y+y2=4,定点4LO),尸为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆。，设动点P的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程

(2)过点。(2,0)的直线/与。交于工尸两点，已知点。(2,0),直线x=不分别与直线。及。厂交于S,T两点,

线段ST的中点"是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

21.(12分)为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷

作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

宪女

6936799

951080156

9944273457778

885110607

4332525

(I)由以上数据绘制成2x2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关?

男女总计

合格

不合格

总计

(II)从上述样本中，成绩在60分以下(不含60分)的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为X,求X

的分布列及数学期望.

附：

P伏2次)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

2

„2n(ad-bc),,

K=n—a+b^-c+a

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

22.(10分)记函数/(x)=x+g的最小值为加.

(1)求加的值;

(2)若正数b,。满足aZ?c=根，证明：ab+bc+ca>--------

a+b+c

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

判断直线法+ay+c=0与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.

【详解】

由a+Z?+c=0,a>b>c,所以可得”>O,c<。.

CCLC11C

a>bna>—a-cn—>-2,b>cn-a-c>cn—<——<——n—<——<2,

aa2a22a

hc

所以由区+ay+c=O=>y=—-x—-,因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图

aa

由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.

故选：B

【点睛】

本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.

2、D

【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.

【详解】

解：由46s=(a+〃)2—

^4A/3x—aZ?sinC-a2+b2-c2+2ab,

2

,4+—。2=2abcosC，

•0•2yf3absinC=2abcosC+2ab，

即A/3sinC-cosC=1

即25皿.小=1,

则sin[c-"=j

,:0<C<7T9

»「万57r

——<C——<—

666

••・r4，即c=f

.71710生一若、，四，L四迷+&

sm—cos—I-cossin—，x•,-1-—x-------------,

343422224

故选D.

【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计

算是解决本题的关键.

3、B

【解析】

先求出向量a+b,a-6的坐标，然后由|。+“=|。-6可求出参数旭的值.

【详解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

贝！|a+b=（-l,4+M7）,a-/?=（3,4-Zn）

22

|a+6|=JF+（4+〃Z）2,|a-Z?|=^3+（4-m）

又|a+61=|a-61,则《1。+（4+m）。=+,解得"，=].

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

4、D

【解析】

集合M={x|d=i}={_1,1}."为自然数集，由此能求出结果.

【详解】

解：集合M={x|d=i}={_i,i}.N为自然数集，

在A中，leM,正确；

在B中，M=正确；

在C中，0cM,正确；

在D中，以不是N的子集，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5、C

【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列{%}

贝!|an=23+35（«-1）=35«-12

2

令a,,=35〃-12<2020,解得〃<58—.

35

故该数列各项之和为58x23+处出x35=59189.

2

故选：C

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

6、B

【解析】

根据共捌复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

z在复平面内对应的点的坐标为（龙,y）,则2=*+”，

z=x-yi9

代入可得=%+1，

解得V=2x+1.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共朝复数的概念，属于基础题.

7、B

【解析】

求得复数4,结合复数除法运算，求得五的值.

Z2

【详解】

%2+31(2+3，)(—2_，)(2+3以-2，)-l-8z_18.

易知12+3，，贝仁=’7

(-2+z)(-2-z)55--5-5Z

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

8、D

【解析】

首先将板.板转化为MT?.1,只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心T(L-1)距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为T(l,—1),则ME・M，=(MT+rE>(MT+7F)=

22.2

(MT+TE)•(MT—TE)=MT-TE="-1，

过T作直线X—y+l=。的垂线，垂足为5,显然MBWMTWM4,又易得4-2,1),

所以MA=—(―2)F+(—1—1)2=713，TB=^r====>

.27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

9、C

【解析】

根据三角函数的定义，即可求出m=-1,得出P(3,-D,得出sin。和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出结

果.

【详解】

根据题意，sin6z=.m=^-m,解得加=-1,

7m2+910

所以。P=(3,—1),

诉N•血3M

所以sina=-----,costz=-----，

1010

3

所以sin2tz=2sincrcostz.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.

10、C

【解析】

由题意利用函数、=4$也(。无+夕)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出。的最大值.

【详解】

TTTT

解：把函数/(X)=Sin2x的图象向右平移?个单位长度得到函数g(x)=sin(2x--)的图象，

63

若函数g(x)在区间[0,刈上单调递增，

在区间[0,上，——G[――,2a],

333

则当a最大时，2«--=-,求得。=2，

3212

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(s+⑼的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

11、D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，其中A，,£|,C（2,2）,由于［0川=，2+［：=§,Qq=2夜,所以|OC|>|

所以原点到可行域上的点的最大距离为2应.

所以z的最大值为（2应了=8.

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

12、D

【解析】

因为所以>a">0，

因为log/〉log/〉1,0<a<l,所以工〉1,1°8上<°.

aa

综上log/>ba>ah>log^,故选D.

a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3；

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x0.4=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为Q5,则A胜D的概率为0.5x0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

14、①②③

【解析】

由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.

【详解】

函数/(无)=In(2+x)—In(4-X)的定义域是(-2,4),

。Iu

由于〃%)=In(2+x)-In(4-尤)=In—―-=ln(-l+—----),

a=-1+；在(-2,4)上递增，.・.函数丁=/(力在(-2,4)上是递胤①正确；

4-x

/(2—九)=ln(4—x)—ln(2+x)=—/(x),.•.函数y=〃尤)的图象关于(1,0)中心对称，②正确；

□-+□-=6=_一二;

x=l时取等号，.•.③正确;

2+x4—x8+2%—%2—(x—1)~+993

/'(x)=4+4=-4~O*设g(x)=/'(x)，贝Ig'(x)=厂/FW，显然X=1是g(x)即/(幻的

2+x4-x-x'+2x+8(一厂+2》+8)

极小值点，④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题.

1

15、——

2

【解析】

设等比数列｛。“｝的公比为彘将已知条件等式转化为关系式，求解即可.

【详解】

设等比数列｛凡｝的公比为q,

S3=+3%,=2d],..q=2,

4

a5=a1q=4%=—2,/.a[=一；.

故答案为:-

2

【点睛】

本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.

16、g,0]

【解析】

由题意可/(x)+/(-x)=0在定义域上有四个不同的解等价于丁=；/+@+《关于原点对称的函数

6x2

y=—!/+@一1与函数/(x)=[nx—x(x>0)的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析

单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.

【详解】

—XH---1%〈0

已知定义在(F,O)D(O,”)上的函数/\x)=6，X2'

In%-%,%>0

若/«+/(-%)=。在定义域上有四个不同的解

]]13

可设g（犬）-xlnx-x2+—x3+—%,贝！）g'（%）=Inx-2%+—%2+—,

进而g"(x)=X+工-220且不恒为零，可得g'(x)在(0,+8)单调递增.

由g'(l)=0可得

0<%<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

尤>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

即g(x)在x=1处取得极小值且为-g

作出y=g(x)的图象，可得—］<a<0时，Inx—x+q+工=0有两个解.

36x2

故答案为：

【点睛】

本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)二个；(1)存在，(上

4

【解析】

试题分析：(1)设r(取)=/：'-二-皆随*，对其求导，及最小值，从而得到’的解析式，进一步求值域即可；(1)

分别对3二和，两种情况进行讨论，得到一的解析式，进一步构造：，，通过求导得到最值，得到满足条件

的［的范围.

试题解析：(1)设*x)=*—l—21nx,广(x)=2x-2=~D(x+1)...........1分

JCX

令尸(x)>0,得x>l,b(x)递增；令尸(力<0,得0<X<1,/(可递减,.................1分

.*.F(x)min=F(l)=O,.-.F(^)>0,即f―i221nx，.••/(尤)=9一1...........3分

设G(x)=3、-；)(x-以，结合"%)与G(x)在(0』上图象可知，这两个函数的图象在(0』上有两个交点，即

用”在(0,1］上零点的个数为1.........................5分

(或由方程/(九)=G(x)在(0,1］上有两根可得)

3

(1)假设存在实数ae(—2,+co),使得g(x)<5X+4a对xe(a+2,+co)恒成立,

x+lnx<—x+4a

2、

则｛(3,对xe(za+2,+8)恒成立,

—x~+a——x+2a~+4a<—x+4a

I22

Inx—x<4a

即｛2,对X£(Q+2,+OO)恒成立..................................6分

(冗+2乂%—〃2)〉0

①设”(x)=lnx_gx,”'(x)=L_g=^^

令攵(x)>0,得0<x<2,〃(x)递增；令7T(x)<0,得]>2,H(x)递减,

・・・5(%)01ax=%(2)=如2—1,

[n2]早。•

当0VQ+2<2即一2vav0时，4〃>ln2-l,/.a>—-----,V«<0,，4〃£

4

故当ae，nj1,()]时,Inx--x<4a对xe(a+2,+co)恒成立,..............8.分........

当a+222即a之。时，//(九)在(a+2,-H»)上递减，"(x)<”(a+2)=ln(a+2)-ga-l.

・•,(ln(a+2)—ga—1]=^-1<0,AH(a+2)<H(0)=ln2-l<0,

故当。之0时，lnx-gx<4a对xe(a+2,+co)恒成立............................10分

②若(x+2乂x—/)>0对xe(a+2,+oo)恒成立，贝!la+22a，ae[—1,2]..................11分

由①及②得，ae

3

故存在实数ae(—2,+co),使得g(x)<]X+4a对xe(a+2,y)恒成立，

且a的取值范围为]若。,2...................................................................................

11分

考点：导数应用.

【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题.本题考查函数

导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的

值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理.也

可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

22

18、(1)L+匕=1；(2)详见解析.

43

【解析】

(1)由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得“力,。，代入标准方程中即可；

(2)依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为左，则直线/的方程为、=人(无-1),设河(七,%),"(%,%)，

通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含左的表达式表示“，力,进而表示左。；由韦达定理表

示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示匕+及，最后做比即得证.

【详解】

c1

(1)设椭圆的焦距为2c,则一=7,即a=2c,所以62=〃—，=3/.

a2

2323

依题意，5+白=1，即二+丁丁=1，解得。2=1，。=1

a22b24c22x3/

所以4=2,b2=3•

22

所以椭圆C的标准方程为L+2L=1.

43

(2)证明：依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为左，

则直线/的方程为＞=左(尤-1),设“(%,%),

f22

土匕=]

与椭圆联立43-'整理得(442+3)f—8左2尤+4左2-12二。，

y=^(x-l),

-8k之

柏玉+々=诉?

故49

4人2—12

所以X"二斗+”=-,y=k(XH-l)=~,

1124k2+3')4左2+3

_3k

所以心血=看各=弓・

xH4k4k

4k2+3

又k.二%।%二左(七一1)।4(％2—1)=、2%/2_3(%+%2)+4

七一2x2-2%]—2x2-2xxx2-2(Xj+x2)+4

c4^-12.8/)

2----5-----3,—5----1-4Q

=k4＞？+34-2+3:3

4^-128左2工'

---------2--------F4

4左2+34左2+3

_3

所以4:k2.=—g=4为定值，得证.

k。.上

4k

【点睛】

本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.

19、(I)见解析(II)近

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【解析】

(I)连接4。交AG于点。，连接8,由于46平面ADC；,得出A30D,根据线线位置关系得出ADL5C,

利用线面垂直的判定和性质得出AD1B.D,结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面AD。，平面BCG瓦；

(II)根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出朋=(L百,0)和平面ADG的法向量

〃=卜石,0,2),利用空间向量线面角公式，即可求出直线A3与平面ADG所成角的余弦值.

【详解】

解：(I)证明：连接4。交AG于点。，连接8，

则平面AXBC\平面ADCX=OD,

43〃平面4。。1,:.\B//GQ,

。为&C的中点，.为的中点，.•.ADL3C

BQJ■平面ABC，---AD±BlD

8。仆用。=。，..AZ)，平面5CG4，

QAOu平面ADG，・'•平面ADC，平面3。。1月

Ai

Ci

(ID建立如图所示空间直角坐标系。一孙z,设AB=2

则5（-1,0,0）,A（0,A/3,0）,4（0,0,6）,G（2,0,6）

.-.BA=（1,73,0）,DA=（0,73,0）,DCi=（2,0,73）

Gy=0

设平面ADG的法向量为“=(%,y,z),贝卜

2x+y/3z=0

取x=—百得〃=卜石,0,2,

设直线AB与平面ADQ所成角为0

直线AB与平面ADQ所成角的余弦值为之".

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【点睛】

本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

20、(1)土+匕=1；(2)存在，石x+2y—26=0.

43

【解析】

(1)设以AP为直径的圆心为切点为N,取A关于V轴的对称点4,连接A'P,计算得到|AP|+|AP|=4,故

轨迹为椭圆，计算得到答案.

(2)设直线的方程为x="+(2-")，设E(X］，M),/(々,为)，河(%，%)，联立方程得到

%=」亍(％-2),%=上有(毛一2),计算/、=一百，得到答案.

玉一2x2-2x0-2

【详解】

(1)设以AP为直径的圆心为B,切点为N,则却=2—忸从|。耳+忸刈=2,

取A关于y轴的对称点A,连接AP,故WH+I期=2(|。即+|刚)=4>2,

所以点P的轨迹是以AA为焦点，长轴为4的椭圆，其中a=2,c=l,

22

曲线方程为L+^=l.

43

(2)设直线的方程为》="+(2-/)，设石(石,％),/(%,%)，河(%,%),

直线。石的方程为•片力(“一2)'乂=力每一2)'同理力=鼠(/一2)'

所以2y°f+为=自5-2）+占（x0-2）,

即2yo=X।%=2y%-6（%+为）,

%-2%-2X2-2”%为-6（%+为）+3]'

卜："+?-后），：/+由丁+（12—6®?）'+%?_128=0,

3x2+4y2-12=0"

9r-12国6舟-⑵

所以=，%+%

3/+43/+4

—128

尸厂

代入得^7?=+4=一百,+2yn—2百=0,

%-29f-12©r-6后一⑵为

t[----5---------v3x--------------+3]

3〃+43/+4

所以点M都在定直线后+2y—2g=0上.

X

【点睛】

本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

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21、(I)填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关；(II)分布列见解析，j

【解析】

(I)根据茎叶图填写列联表，计算K2=理《3.956>3.841得到答案.

91

1Q2

(IDX=0,1,2,计算P(X=O)=F，P(X=1)=—,P(X=2)=-,得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】

(I)根据茎叶图可得：

男女总计

合格101626

不合格10414

总计202040

犬2—40(10x4-10x16)2

工。3.956〉3.841,

26x14x20x2091

故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.

（II）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事

件总数为《=15,X=0,1,2

「21R

p(X=0)=J」，尸(X=l)=4a=jP(X=2)=5=9=2,

1515151515155

X012

182

p

1515