2024届云南省红河县一中高三第二次调研数学试卷含解析

2024届云南省红河县一中高三第二次调研数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，，则（）A．20 B．18 C．16 D．142．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．4．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．5．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）A．13 B．16．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．7．设,则(

)A．10 B．11 C．12 D．138．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A． B．C． D．9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．10．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A． B． C． D．11．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.14．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.15．已知等比数列的各项均为正数，，则的值为________.16．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.18．（12分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.19．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系．20．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；（2）求的取值范围．21．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.22．（10分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.2、A【解析】

根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵，集合，∴由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.3、A【解析】

先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4、D【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有，①，②①②得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.5、C【解析】

每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选：C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.6、B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7、B【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．8、B【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴，即在上单调递增，时，，，且，∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．9、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.10、D【解析】

设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.11、A【解析】

分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而，故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.12、B【解析】

根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为，则，，∵，代入可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、60【解析】

根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【详解】因为，所以，则所求项的系数为.故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.15、【解析】

运用等比数列的通项公式，即可解得．【详解】解：，，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．16、【解析】

从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，∴故答案为：【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.【详解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四边形为矩形.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，如图：则：，，，，：，设平面的法向量为，即，令，则，由题平面，即平面的法向量为由二面角的平面角为锐角，设二面角的平面角为即二面角的正弦值为：.【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19、直线与圆C相切．【解析】

首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系．【详解】直线为参数），转换为直角坐标方程为．圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为，所以圆心到直线，的距离．直线与圆C相切．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.【详解】（1）依题有，所以椭圆方程为．设，，，由为的重心，；又因为，，，，（2）当的斜率不存在时：，，，代入椭圆得，，，当的斜率存在时：设直线为，这里，由，，根据韦达定理有，，，故，代入椭圆方程有，又因为，综上，的范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出，【详解】（1）由题意得，，.又因为，，所以椭圆的方程为；（2）由，得.设、，所以，，依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.因为，，所以.即，将其整理为.因为，所以，.所以，即.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的