专题01 数形思想之三角形的三边关系易错点专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题01数形思想之三角形的三边关系易错点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．已知有理数x，y满足+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上都不对【标准答案】B【思路指引】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系判断即可；【详解详析】∵+=0，∴，∴，，设以4，8为两边长的等腰三角形的三边长分别为a，b，c，且，，则有两种情况：当a为等腰三角形的腰时，有，此时，该等腰三角形不存在；当b为等腰三角形的腰时，有，，该等腰三角形存在，周长为．故答案选B．【名师指路】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，绝对值和二次根式的非负性，准确分析计算是解题的关键．2．下列说法中，正确的个数有（）①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；②一个三角形中，至少有一个角不小于60°；③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；A．1个 B．2个 C．3个 D．4【标准答案】C【思路指引】分别根据三角形的三边关系，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及多边形的内角和公式逐一判断即可．【详解详析】解：①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形，说法错误；改正为：若任意两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；②一个三角形中，至少有一个角不小于60°，说法正确；③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，说法正确；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确．所以正确的个数有3个．故选：C．【名师指路】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的内角和定理，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键．3．（2021·上海市文来中学七年级期中）将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，则三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．10【标准答案】C【思路指引】按题目要求，根据构成三角形的条件，周长为20，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可．【详解详析】解：由题意，符合题意的三角形各边分别为

9、9、2；9、8、3；9、7、4；9、6、5；

8、8、4；8、7、5；8、6、6；7、7，6，共8个．

故选：C．【名师指路】本题考查了在周长一定的条件下构成三角形的问题，要求学生掌握此类问题并能运用，注意要不重不漏．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=().A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c【标准答案】B【思路指引】根据三角形的三边关系可知，，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.【详解详析】根据三角形的三边关系可知，∴∴故选B【名师指路】本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.5．（2020·上海市静安区实验中学月考）如果三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．图形不能确定【标准答案】D【思路指引】设△ABC中，∠A=30°，因为题意表述有一边是另一边的2倍，没有具体指出哪两条边，所以需要讨论：①a=2b，利用大边对大角的知识可得出∠B＜∠A，利用不等式可表示出C的角度范围；②b=2c，利用大边对大角的知识可得出∠C＜∠A，利用不等式可表示出B的角度范围；③c=2a，利用直角三角中，30°角所对的边等于斜边的一半，可判断∠C为90°．综合三种情况再结合选项即可做出选择．【详解详析】设△ABC中，∠A=30°，

①若a=2b，则∠B＜∠A（大边对大角），

∴∠C=180°-∠A-∠B＞180°-2∠A=120°，即∠C为钝角，

∴△ABC是钝角三角形．

②若b=2c，a2=b2+c2-2bccosA=5c2-2＞1，可得a＞c，

∴∠C＜∠A（大边对大角），

∴∠B=180°-∠A-∠C＞180°-2∠A=120°，即∠B为钝角，

∴△ABC是钝角三角形；

③c=2a，在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，可得∠C=90°，即△ABC是直角三角形．

综上可得△ABC可为直角三角形、钝角三角形，不能为锐角三角形．

故选：D．【名师指路】此题考查三角形的边角关系，解题需要掌握在三角形中“大边对应大角”，及直角三角形的性质：在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，难度较大，注意分类讨论．6．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）以下列三条线段为边，不能组成三角形的是（）A．3，4，5 B．m+1，m+2，m+3（m>0）C．三条线段之比为4：3：2 D．【标准答案】D【思路指引】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可．【详解详析】解：A、∵4+3＞5，能构成三角形；，∴能组成三角形；

B、m+1+m+2=2m+3＞m+3，能够组成三角形；∴能组成三角形；

C、先设a=2x，b=3x，c=4x，

∵a+b=5x，5x＞4x，

c-a=2x，2x＜3x，

∴a、b、c能组成三角形；

D、∵，＞，∴不能组成三角形；故选D.【名师指路】此题考查三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间的关系．7．（2020·上海·青浦区实验中学八年级期中）等腰三角形的底和腰是方程的两根，这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定【标准答案】B【思路指引】将方程因式分解得的跟为等腰三角形的底和腰，以此计算得出结果.【详解详析】将方程因式分解得，故，.当等腰三角形的底边长为3时，满足三角形的三边关系；当等腰三角形的底边长为6时，不满足任意两边之和大于第三边.故这个三角形的周长为15.故选B.【名师指路】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程和三角形的三边关系.8．（2021·上海市文来中学七年级期中）如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是()A． B．C． D．【标准答案】D【详解详析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）∵AC=5，AD=7∴BE=5，AE=14在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19故选D9．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【标准答案】B【思路指引】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个．【详解详析】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a＞，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是3＜a＜8，∴a的整数解有4、5、6、7共4个，故选：B．【名师指路】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定【标准答案】A【思路指引】根据三角形三边的关系可以得到，，即，，再根据求解即可．【详解详析】解：∵a、b、c是三角形的边长，∴，，∴，，∴，故选A．【名师指路】本题主要考查了三角形三边的关系，平方差公式，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．二、填空题11．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）如果等腰三角形的周长为10，一边长为3，那么这个等腰三角形的另外两条边长为___________．【标准答案】3，4或3.5，3.5．【思路指引】题目给出等腰三角形一条边长为3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解详析】解：（1）当3是腰长时，底边为10-3×2=4，

此时4、3、3三边能够组成三角形，

所以另两边长为3，4；

（2）当3为底边长时，腰长为×（10-3）=3.5，

此时3.5、3.5、3能够组成三角形，

所以另两边长为3.5，3.5．

所以另两边的长分别是3，4或3.5，3.5．

故答案为3，4或3.5，3.5．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．（2021·上海市第四中学八年级月考）ABC中，AB＝6，AC＝8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是____．【标准答案】1＜AD＜7【思路指引】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【详解详析】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故答案为：1＜AD＜7．【名师指路】本题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．13．（2020·上海市民办立达中学七年级期末）已知等腰三角形的周长为12,设腰长为x,则x的取值范围是________.【标准答案】3<x<6.【思路指引】首先用x表示底边,并且底边要大于零,得到关于x的不等式;利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于x的不等式.解不等式组即可【详解详析】∵腰长为x,且等腰三角形的周长为12∴底边为12-2x,并且12-2x>0,得x<6又∵x+x>12-2x,解得x>3的取值范围是3<x<6.故填3<x<6.【名师指路】此题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题关键在于列出不等式14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的两边长为2、4，则它腰上的高为__________．【标准答案】【思路指引】题中没有指明哪个是底哪个是腰，故应该分情况进行分析，从而根据勾股定理求得底边上的高．【详解详析】当2为腰时，因为2+2=4，所以不能构成三角形；

当4为腰长时，因为4+2＞4，所以能构成三角形，

如图，AB=AC=4，BC=2，

过A作AE⊥BC于E，

∴BE=BC=1，∴AE=，过B作BD⊥AC于D，

∴S△ABCBC•AEAC•BD，

∴，∴BD=．∴腰上的高为．故答案为：．【名师指路】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，在解题中等积法的应用可以起到事半功倍的效果．15．（2021·上海静安·七年级期末）已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是________cm．【标准答案】17【详解详析】解∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，∴此等腰三角形的周长=7+7+3=17cm，故答案为：17．16．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）一个三角形的三边长分别是3，1−2m，8，则m的取值范围是_____________.【标准答案】−5＜m＜−2【思路指引】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边求解即可.【详解详析】由题意得：8−3＜1−2m＜3+8，即5＜1−2m＜11，解得：−5<m<−2.所以答案为−5＜m＜−2.【名师指路】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.17．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【标准答案】【思路指引】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解详析】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【名师指路】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．18．（2021·上海市南洋模范中学八年级月考）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________．【标准答案】19【思路指引】利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解详析】解：解方程得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故答案为：19．【名师指路】本题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．19．（2021·上海市实验学校八年级期中）若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝__________________【标准答案】或2【思路指引】分a为底边长及a为腰长两种情况考虑：当a为底边长时，由根的判别式∆＝0可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的两腰长，利用三角形的三边关系可确定m＝符合题意；当a为腰长时，将a＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的底边长，利用三角形的三边关系可确定m＝2符合题意．综上，此题得解．【详解详析】解：当a为底边长时，∆＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，解得：m＝，此时原方程为x2﹣3x+＝0，解得：x1＝x2＝．∵以2，，为长度的三边能组成三角形，∴m＝符合题意；当a为腰长时，将a＝2代入原方程，得：4﹣6+m＝0，解得：m＝2，此时原方程为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1．∵以2，2，1为长度的三边能组成三角形，∴m＝2符合题意．故答案为：或2．【名师指路】此题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，正确掌握各知识点并解决问题是解题的关键．20．（2021·上海市市北初级中学八年级期末）有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为．【标准答案】或【思路指引】根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可；【详解详析】如图，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；如图，，，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；如图，，则，不可能；故符合条件的顶角的度数为或．故答案是：或．【名师指路】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长16cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，写出y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围．【标准答案】，x的取值范围是4<x<8．【思路指引】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可．【详解详析】解：∵等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，周长为16cm，

∴2x+y=16

∴，并有x＜8，

∵两边之和大于第三边

∴2x＞8，∴x＞4，

则x的取值范围是：4＜x＜8，

故答案为：，4＜x＜8．【名师指路】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式以及等腰三角形的性质和三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．22．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负．【标准答案】的值是负值．【思路指引】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．【详解详析】=（a-b+c）(a-b-c)因为任意两边的之和大于第三边可得a-b+c大于零，a-b-c小于零，所以（a-b+c）(a-b-c)小于零，即小于零．故的值是负值．【名师指路】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法及三角形的三边关系．23．（2017·上海长宁·七年级期末）如图，已知、是线段上的两点（在的右侧），，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合于一点，构成，设，求的取值范围．【标准答案】．【思路指引】表示出BN，再根据旋转的性质可得MA=AC，BN=BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可；【详解详析】∵MN=4，MA=1，AB=x，

∴BN=4-1-x=3-x，

由旋转的性质得