重庆市开县2024年高考数学二模试卷含解析

重庆市开县陈家中学2024年高考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

M-2---M

侧（左）视图

俯视图

A.生S，且2者gSB.2亚生S，且2百cS

C.2V2e5>且2G任SD.2拒GS，且2百eS

2.已知无穷等比数列｛4｝的公比为2,且…+—一）=[,贝Him」+L…+口=（）

…%a3322%4“

124

A.—B.—C.1D.一

333

3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分,

分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）

A.甲的数据分析素养优于乙B.乙的数据分析素养优于数学建模素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数学运算最强

4.函数/(x)=1_L的图象大致为()

ex

A.B.

c-？4^■$

5.执行如图所示的程序框图，则输出的”的值为()

【开声1

J

a=0,b=0,-二0

------------，------------

a=a*l

〃二〃十|

------------

/徐鼠/

土

1结一1

A.1B.2

C.3D.4

6.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()

］匕//

「Z

AL一四鼠里视国B壬比图二二五c正权图例视图

巨.X,X

D.

22

7.已知产是双曲线二—斗=1渐近线上一点，耳，耳是双曲线的左、右焦点，公产2=土,记PFi，po,尸工的

ab2

斜率为占，k9k2f若k］，・2k,女2成等差数列，则此双曲线的离心率为（）

A.y/2C.73D.娓

Z2=1+2,（i为虚数单位），若五为纯虚数，则。=（）

8.已知复数Z1=1+5(acH),

Z2

11

A.-2B.2C.——D.-

22

9.如图，在A45c中，AN=-AC,P是BN上的一点,若mAC=AP—则实数力的值为（）

33

A.-B.-C.1D.2

39

10.如图在一个60°的二面角的棱有两个点A8,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB,

且AB=AC=2,50=4,则C。的长为（）

A.4B.275C.2D.2A/3

11.已知数列｛。“｝满足log3a〃+l=log3a"+i（〃eN*）,且。2+。4+。6=9,则1°8；（“3+%+%）的值是（）

9

A.5B.-3C.4D.—

91

12.执行如图所示的程序框图，若输出的左=5,则输入的整数P的最大值为（）

A.7B.15C.31D.63

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

冗

13.若。=[[（V+cosxWx,则（X-京）5的展开式中含X的项的系数为.

x>0

14.已知x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为.

2%+y<2

15.（a—2））50—°）的展开式中，&362c的系数是.

2222/T

16.已知a>3>0,椭圆G的方程为、+与=1,双曲线G方程为三-当=1，G与C，的离心率之积为组，

a2b2a2b~2

则C2的渐近线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定

点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程o=a（l-sin。）（a>0）表示的曲线G就是一条心形

线，如图，以极轴3所在的直线为％轴，极点。为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线。2的参数方程为

X=1+yfit

<J?a为参数）.

1y=3——+/

(1)求曲线。2的极坐标方程；

(2)若曲线q与G相交于4、。、B三点,求线段的长.

18.(12分)已知函数/(x)=x2-2xlnx,函数g(x)=x+0一(Inx)2,其中aeR,%是g(x)的一个极值点，且

x

g(』)=2.

(1)讨论/Xx)的单调性

(2)求实数%和a的值

(3)证明£7^=〉!山(2〃+1)(〃eN*)

4k2-12')

19.(12分)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的”(“eN*)

个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为工，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，

2

如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)当〃取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)当“=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.

20.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和

价格统计如下表：

Xi2345

y17.016.515.513.812.2

(1)求y关于x的线性回归方程y=%+6；

(2)若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值?

n

参考公式：b=上、-----------=。-------------,a=y-bx

之X；-府之方(“无『

z=li=l

%=2+2cosa

21.(12分)在直角坐标系中，圆C的参数方程为一°.(a为参数)，以。为极点，x轴的非负半轴

y=2sma

为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程是Qsin[e+£]=b,射线=看与圆C的交点为。、P,与直线/的交点为Q,

求线段P。的长.

22.(10分)如图，平面四边形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AD上的一点，

43=6。=2。石,厂是EC的中点，以EC为折痕把△EOC折起，使点。到达点尸的位置，且PC,环.

(1)证明：平面PECL平面ABCE；

(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2®，BE=7（272）2+22=2^.

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

2、A

【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项%,再求出的，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】

1.1

因为无穷等比数列｛4｝的公比为2,则无穷等比数（歹｝的公比为不。

an2

由lim（'+'+…+」一）=|•有，-^1—=-,解得q=2,所以%=4,

fqq313

1--

4

1

4

【点睛】

本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

3、D

【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.

【详解】

对于A,甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分,

故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

对于B,乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分,

故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确;

对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为

100+80+100+80+100+80310

6―亍

80+60+80+60+60+100

乙的六大素养整体水平均得分为—-,故C正确;

63

对于D,甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误;

故选：D

【点睛】

本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

4、D

【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值/(2)可区分剩余两个选项.

【详解】

2

因为/(-x)=1L-/r#(x)知/(X)的图象不关于y轴对称，排除选项B,c.

—X

1-43

又｛2)=^=—F<0.排除A,故选D.

e~e~

【点睛】

本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.

5、B

【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的“值.

【详解】

根据程序框图，执行循环前：a=0,b=0,n=0,

执行第一次循环时：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

继续进行循环，…，

当。=4,人=8时，6?+2?=40成立，n=l,

由于。25不成立，执行下一次循环，

a=5,6=10,52+。2<40成立，n=2,aN5成立，输出的”的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

6、C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图

7、B

【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出P的坐标，由题意求得P(a,b),运用直线的斜率公式可得a,k,k2,再由等

差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值.

【详解】

22t

设双曲线1r-g=1的一条渐近线方程为y=-x,

Ajr

且P(〃z,g根)，由—,可得以。为圆心，C为半径的圆与渐近线交于尸，

a2

h

可得加+(—，w)2=c?,可取根=a,则P(a,b),

a

hbb

设耳(一c,0),K(c,O),则k=—,k=-,

a+c0a-ca

由《，-2k,女2成等差数列，可得-4左=匕+履，

化为一3=一^,即。2=3/,

ClCl—C2

可得6=工=也

a2

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

8、C

【解析】

z

把4=1+5(aeH),Z2=l+2i代入管，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.

Z2

【详解】

:4=1+〃，（々£尺），z2=l+2i9

—4——.1+..ai=_（1_+__ai_）（_l_-_2_z）—_1+__2〃__।_a_-_2_i.

z21+万一（l+2i）（l—2，）—55

•••幺为纯虚数,

Z2

1+2〃=0解得a=_工.

。一2w02

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.

9、B

【解析】

22__.___1

机AC=AP—变形为AP=mAC+3AB,由AN=§AC得AC=3AN，转化在中，利用6、P、N三

点共线可得.

【详解】

29—.

解：依题：AP=mAC+—AB=3mAN+—AB,

33

又B,P,N三点共线，

21

3mH"—=1,解得m=—.

39

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成

向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参

数方程：4P、B三点共线=OP=（1—+（。为平面内任一点"eH）

10、A

【解析】

由CDuCA+AB+B。，两边平方后展开整理，即可求得CD、则CD的长可求.

【详解】

解：+

•.•CD2=CA2+AB2+BD2+2CA.AB+2CA-BD+2AB.BD，

CA±AB9BD±AB

•e•CA.AB=09BD.AB=。，

CA.BD^CA\\BD\cosl?.0o=~x2x4=-4.

,-2

,-CD=4+4+16-2x4=16，

.1CO|=4,

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

11、B

【解析】

由log3a„+l=log31,可得«„+1=3a,,所以数列｛q｝是公比为3的等比数列，

9

所以%+%+%=4+9a2+81%=9I4=9,贝！I/二,，

3

则logi（/+%+%）=logi（3%+27%+243%）=logi3=-3故选B

333

点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试

题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在

使用等比数列的前〃项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

12、B

【解析】

试题分析：由程序框图可知：①5=。，＜-1；②5=1，＜,=-2»③5=3，1二=3；④$=■，：【=」；

⑤二=lf，=5.第⑤步后’输出，此时则户的最大值为15,故选B.

考点：程序框图.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-80

【解析】

首先根据定积分的应用求出。的值，进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.

【详解】

7171

5万

a=J(冗3+cosxjdx=-x4+sinx=2,

x-x-

根据二项式展开式通项:=C；.(-2)r-x3

4

令5—9厂=1,解得厂=3,

所以含X的项的系数C；(-2)3=-80.

故答案为：-80

【点睛】

本题考查定积分，二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.

14、2

【解析】

作出可行域，平移基准直线3x+2y=0至1](0,1)处，求得z的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至处时，z取得最小值为2.

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

15、-40

【解析】

先将原式展开成(a-2次-c(a-2与5,发现(a-2”中不含苏炉。，故只研究后面一项即可得解.

【详解】

(«-2Z?)5(1-c)=(«-2Z?)5-c(«-2Z?)5,

依题意，只需求—c・(a—235中a362c的系数，>.(-2)2=^0.

故答案为：-40

【点睛】

本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.

16、x±A/2y=0

【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出。力关系，即可求解双曲线的渐近线方程.

【详解】

22

a>b>0,椭圆G的方程为1+卓=1，

G的离心率为：'"一"，

a

22

双曲线方程为1-与=1，

ab

。2的离心率：，

a

C1与的离心率之积为立，

一2

V<22-b1yja2+b2也

---------------=---9

aa2

"UJ-1，厂可，

c,的渐近线方程为：y=±—X，即x±0y=O.

-2

故答案为：x±V2y=0

【点睛】

本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT

17、(1)0=—(2wR)；(2)2。.

6

【解析】

(1)化简得到直线方程为'=也%，再利用极坐标公式计算得到答案.

-3

(2)联立方程计算得到A,计算得到答案.

【详解】

x=1+y/3t厂

也消♦得，X—百y=0即丁=也》，

(1)由＜

y=—+t'3

I-3

C,是过原点且倾斜角为B的直线，的极坐标方程为。=工(peR).

66

⑵由嗯得,

p=a(l-sin8)

3a

T得.p=w

由＜：.\AB\=-+~=2a.

22

P=q(l-sin3)”女

6

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

18、（1）/（%）在区间（0,+。）单调递增；⑵5=1，。=1；⑶证明见解析.

【解析】

⑴求出尸（X）,在定义域内，再次求导，可得在区间（0,+8）上/'（620恒成立，从而可得结论；⑵由g'（x）=0,

可得只一2%111%-。=0,由g（x0）=2可得,一无o（lnXo）2-2/+a=O,联立解方程组可得结果；（3）由（1）知

/（x）=x2-2xlnx在区间（0,+oo）单调递增，可证明&—一］〉lnx,取1=丝土］，左eN*,可得

7x2k—1

JU包+_而、隹：住二=/:，利用裂项相消法，结合放缩法可得

\2k-l0mUk-ly2k+lV4F-1

结果.

【详解】

（1）由已知可得函数/（司的定义域为（0,+8）,且f（x）=2x—21nx—2,

令/z(x)=/'(x),则有/20)=也——,由“(x)=。,可得X=l,

可知当X变化时，”（九）,力（尤）的变化情况如下表:

X(0,1)1(1,+co)

“（X）-0+

/z(x)极小值■

.•.//（%）2•1）=0,即/'（x"o,可得/（%）在区间（0,+8）单调递增；

（2）由已知可得函数g（x）的定义域为（0,+“），且g'（x）=l—=—2,

XX

由已知得g'(x)=0,即看一2/111%0-<7=0,①

由可得，/：—%。)—

g(%o)=2(in%2x0+a=0,②

联立①②，消去〃，可得2%—(In%)?—21nx0—2=0,③

人/、八八、2clcri“、c21nx22(x-lnx-l)

令/(%)=2x-(lnx)2-21nx-2,贝h(x)=2--------------=------------------,

xxx

由⑴知,x-lnx-l>0,故，(x"0,."(%)在区间(0,+动单调递增,

注意到《1)=。，所以方程③有唯一解七=1,代入①，可得，=1,

=

..XQ1,tz—1•

(3)证明：由(1)知/(x)=*—2xInx在区间(0,+“)单调递增,

故当行(1,y)时，/(x)>/(l)=l,g，(x)=Y2x：nx—

XX

可得g(x)在区间(1,+8)单调递增，

](]、2

因此，当无>1时，g(x)>g(l)=2,即x+——(Inxf>2,亦即V%一一=>(lnx)2,

XIy/x)

这时—7=>0,Inx>0,故可得—7=〉lnx,取x=",keN”,

yjxJx2k-1

l2k+lJ2II。，八I。，八一l2k+l2k-1_2

可得J------------,>ln(2k+1)-ln(2k-1),而J——-

\2k-l0m\2k-l2^+1J4k2—1

n0

故">汽(ln(24+1)-ln(2左-1))=ln(2»+1)

k=l

n11

•••Z/,>-ln(2x+1)("eN*).

/=iW2-l2

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用

导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性,

求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并

运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

19、(1)当〃=5或“=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为3；(2)见解析.

16

【解析】

(1)将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概

率最大.(2)”=1时，X的所有可能的取值为0,1,2,3,1.分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期

望即可.

【详解】

(1)对一个坑而言，要补播种的概率0=《(;)=3，

有3个坑要补播种的概率为G；

解得5W〃W6,因为〃eN*，所以〃=5,6,

当九=6时，=机；

所以当〃=5或〃=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为以.

16

(2)由已知，X的可能取值为0,1,2,3,

所以X的分布列为

X01231

1]_3£1

P

1648416

X的数学期望£X=4><!=2.

2

【点睛】

本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题.

20、(1)y=18.69-1.23%(2)当x=2.72时，年利润z最大.

【解析】

(1)方法一：令z=y-10,先求得z关于x的回归直线方程，由此求得V关于x的回归直线方程.方法二：根据回归

直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.

(2)求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.

【详解】

(1)方法一：取2=丁-10,则得X与Z的数据关系如下

X12345

z7.06.55.53.82.2

%=|(1+2+3+4+5)=3,

z=~(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

5

Zxizi=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=l

5

=l2+22+32+42+52=55.

Z=1

5

b=--------=62，-5x3j5=_123

555-5x32

Z=1

©=彳一氤=5—(—1.23)x3=8.69,

二.z关于x的线性回归方程是z=8.69-1.23%即夕—10=z=8.69—L23x,

故丁关于x的线性回归方程是亍=18.69—L23x.

方法二：因为歹=g(l+2+3+4+5)=3,

y=|(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

i=l

5

Jx,2=12+22+32+42+52=55,

Z=1

5

X%7—5回

212.7-5x3x15

：.b=^----------------

元255—5x3?

i=\

所以6=]—应=15—(—1.23)x3=18.69,

故V关于x的线性回归方程是y=18.69-1.23x,

(2)年利润w=x(18.69-1.23x)-12x=-1.23%2+6.69%,根据二次函数的性质可知:当x=2.72时，年利润z最大.

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.

21、(1)0=4cos。(2)2也-2

【解析】

(1)首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；

⑵设p(Qi，a),。3，&)，由4=&=生即可求出8，夕2,贝！11。。1=|夕1—闯计算可得；

6

【详解】

x=2+2cosi。。

解：(1)圆C的参数方程c.(。为参数)可化为(尤—2y+y2=4,

y=2sini

:.p2-4pcos^=0,即圆。的极坐标方程为夕=4cos0.

Pi=4cosqA=273

(2)设尸(月，4),由＜71，解得＜

31=6

P2sin[a+£

=下)22=2

设。(夕2,4)，由,,解得＜

eJ

26

'：01=02,：.\PQ\=\pi-p2\=2^3-2.

【点睛】

本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

22、(1)见解析；(2)6

5

【解析】

(1)要证平面PECL平面A3CE,只需证政，平面PEC,而PCL5/，所以只需证而由已知的数

据可证得A6CE为等边三角形，又由于尸是EC的中点，所以BF上EC,从而可证得结论；

(2)由于在KfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A6CE,所以点P在平面A3CE的投