2024年高考数学二轮复习 解析几何中的轨迹与方程（解析版）

专题14解析几何中的轨迹与方程(解密讲义)

内容概览一

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命题点1直送的方程

O直线与圆

命题点2圆的方程

解析几何中的轨迹与方程

命题点1椭圆、双曲爱和抛物线的方程

曲线方程

命题点2求轨迹方程

【知识梳理】

【考点1】直线与圆

1.直线的方程及应用

(1)直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率y=kx+b

与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y-照)

y-y\x-x\

两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线

yz-y\X'-x\

截距式纵、横截距泮=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

Ax-VBy+C=Q

一般式所有直线

(1+4W0)

(2)两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线/”/2的斜率Ri，依存在，则20kl=依，/4/2=依心=-1.若给出的直线方程

中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

(3)求直线方程

要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不

能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(4)两个距离公式

两平行直线/］：Ar+By+Ci=O,/2：AY+B.V+C2=0间的距离人3斗晟

点(X0,泗)到直线/：Ax+8v+C=0的距离公式1=幽普些9.

2.圆的方程及应用

(1)圆的标准方程

当圆心为(mb),半径为r时，其标准方程为(工一〃)2+0一与2=凡特别地，当圆心在原点时，方程为

(2)圆的一般方程

/+/+6+学+/=0,其中。2+序—4Q0,表示以(一冬一号为圆心，亚土异卫为半径的圆.

(3)点与圆的位置关系

平面上的一点"(的场)与圆G(x—a)2+(y—6尸=产之间存在着下列关系:

MC\>在圆外,即(旗一a)'+(y«—在圆外；

IMC\在圆上,即(施一a)'+(为-6)0M在圆上；

\MC\〈八》必在圆内,即(x0—a)2+(收一⑸七/e”在圆内.

3.直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法.

点线距离法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d</•。直线与圆相交，直线与圆相切,

分;0直线与圆相离.

Ax+By+C=O,

判别式法：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=/2,直线/：Ax+By+C=O,方程组消去y,

(x—a)2-\-(y—b)2=/2

得关于x的一元二次方程根的判别式则直线与圆相离=/<0,直线与圆相切a/=0,直线与圆相交。/>0.

(2)圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.

设圆Cj：(x—〃i)2+(y—6i)2=r?,圆C2：(x-ai)2+(y-b2)2—ii，两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位

置关系的判断方法如下：

+no两圆外离；

d=n+r2c两圆外切；

|八一次水八+^^两圆相交；

d=ln—闻⑺¥〃)。两圆内切；

0Wd<|ri—闻sr2)0两圆内含.

方法技巧：

1、求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；

2、对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究.

3、解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，

进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

【考点2】曲线方程

1.圆锥曲线的定义

⑴椭圆：|PFi|+|P尸¥=2a(2a>|FiF2|);

⑵双曲线：||PFi|-|PF2||=2a(2a<|FiF2|):

(3)抛物线：|PF|=『M，点/不在直线/上，于M.

2.椭圆的标准方程和几何性质

22

标准方程滔+%=13泌＞0)*玲=13泌＞0)

Jk＞u,

图形

\[F/2

-aWxWa一bWxWb

性质范围

一bWyWb-aWyWa

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

A\(—a,0)»A2(a,0),Ai(0,~a)fA2(0,a),

顶点

31(0,—b),&(0,b)B1(一b,0),B?(b,0)

轴长轴A1A2的长为2a：短轴以%的长为2b

焦距IQF2|=2C

离心率e=^G(0,1)

a,b,c的关系cz=a2—b2

3.双曲线的标准方程和几何性质

顶点A1(—a,0),A2(a,0)A](0,—〃)，42(0，。)

ba

渐近线

)(T0砂

离心率e=»e£(l,+°°)

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度1441=2”；线段与昆叫做双曲线的

实虚轴

虚轴，它的长度⑹员|=2儿。叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c的关系c2=a2+b2

4.抛物线的标准方程与几何性质

图形代1F步木

2*1

y=2px产=-2pxx=2pyx1=-2py

标准

(p>0)(P>0)(p>0)(P>0)

方程

p的儿何意义：焦点F到准线/的距离

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

电,0,-

焦点年,0)9K2)

4-冬°)

性

离心率e=l

质

准线方程x=_gx=2

x2y=~2y=2

范围y20,x€R><0,JCGR

开口方向向右向左向上向下

方法技巧：

1、准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、

抛物线方程的不同表示形式.

2、求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.

3、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几

何特点，建立关于参数c,a,h的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.

由》考情分析•解熨高考・

考点命题点考题

直线与圆①直线的方程2023北京卷T15,2023新课标I卷T6

②圆的方程2022新高考II卷T15,2022全国甲卷（文）T14

2022新高考U卷T3,2022新高考II卷T10

曲线方程①椭圆、双曲线和抛物线的方程2023北京卷T12,2023北京卷T6

②求轨迹方程2023全国甲卷（文）T7,2023全国甲卷（理）T8,

2023全国甲卷（理）T12,2023全国乙卷（理）T11,

密＞高频考点•以考定送

考点一直线与圆

＞命题点1直线的方程

典例】01（2021.全国.统考高考真题）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到直线y=x+l的距离为a，则p=（）

A.1B.2C.2V2D.4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为《,0），

IP-0+1I

其到直线x-y+1=0的距离：d==V2,

解得：p=2（p=-6舍去）.

故选：B.

典伊102（2022・全国•统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁

的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DDi，CG，BBi，A4是举,

ODi，DG，CBi，B4是相等的步，相邻桁的举步之比分别为照=0.5,第=心,警=七，警=自.已知

心水2，的成公差为的等差数列，且直线。4的斜率为0.725,则心=（）

4

A

【答案】D

【分析】设。5=OCi=CB]=BAr=1,则可得关于&的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设。5==CB]=BAr=1,则CG=k»BB]=k2,AA1=&，

依题意，有自一°.2=的,自一°」=~且器需黑段=0-725,

所以0.5+3：3-0.3=0725,故的=0.9,

故选：D

典例03（2020•山东・统考高考真题）已知直线，:丫=心也。+8$。的图像如图所示，则角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin。<0、cos0>0,即可得出结果.

【详解】结合图像易知，sin。<0,cos6>>0,

则角。是第四象限角，

故选：D.

命题点2圆的方程

典例01（2023・全国・统考高考真题）已知实数/丫满足/+丫2一轨一2丫-4=0,则刀-丫的最大值是（）

A-3在

A.1H---B.4C.1+3V2D.7

2

【答案】C

【分析】法一：令x-y=k,利用判别式法即可;法二：通过整理得（x—2）2+1）2=9,利用三角换

元法即可，法三：整理出圆的方程，设=利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

【详解】法一：令x—y=k,则x=/c+y,

代入原式化简得2y2+(2k-6)y+fc2-4/c-4=0,

因为存在实数y,则ANO,即(2々-6)2-4X2(1-4攵-4)NO,

化简得％2-2k-1740,解得1一3&WkW1+3VL

故x-y的最大值是3女+1,

法二：x2+y2-4x-2y—4=0,整理得(x-2>+(y—=9,

令x=3cos0+2,y=3sinO+1.其中。G[0,2n],

则x—y=3cos0—3sin6+1=3A/2COS(。+：)+1,

,•00E[O,27T],所以0+36I：,,则8+：=2TT>即8=?时，x—y取得最大值3+1,

法三:由“2+y2-4x-2y—4=0可得(x-2)2+(y-I)2=9,

设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=巴着四■43,

解得1-3<2<fc<1+3V2

故选：C.

典伊】02（2023・全国•统考高考真题）己知直线-my+1=0与OC:（x-1）2+y?=4交于8两点,

写出满足“△ABC面积为'”的m的一个值_____

【答案】2（2,-2卷,一3中任意一个皆可以）

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|4B|,以及点C到直线4B的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线4B的距离为d,由弦长公式得|4引=2"^,

所以SA.BC=[x&x2/4-cf2=*解得：d=竿或d=等，

由d=用Vl+空m2=V1l~+m寸2所V以l+m2=竽5或匕Vl』+m2=野5，解得：小=±2或7721=±；.

故答案为：2（2,-2*,-1中任意一个皆可以）.

典伊】03(2022.天津.统考高考真题)若直线％-y+m=0(m>0)与圆(x-I)*2+(y-I)2=3相交所得的

弦长为m,则m=.

【答案】2

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于他的等式，即可解得m的值.

【详解】圆(％-I)2+(y-I)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为百，

圆心到直线x-y+m=0{m>0)的距离为号罗=治

由勾股定理可得偌丫+得丫=3,因为血>0,解得m=2.

故答案为：2.

A高考猜题

1.在平面直角坐标系内，4(1,0),8(2,0),动点C在直线丫=久上，若圆M过4,B,C三点,则圆M面积的最

小值为()

A.-B.-C.TtD.—

243

【答案】A

【分析】根据圆的几何性质设圆心M(|,a),利用几何知识得圆M与直线y=x相切时半径最小即圆的面积

最小，得解.

【详解】由圆的儿何性质知，圆心在48中垂线上，故可设圆心M坐标(|,a),

当圆M与直线y=x相切即圆心到y=x的距离等于到力点距离时，圆M的面积最小，

可得：kf]?=Jd-1)+(a_。)2,解之得a=：或一夕

当a=：时，圆M的半径为|MA|=J(|-iy+G—0产=子,圆M的面积为》

当a=—制，”(|，一9，圆M的半径为I“川=J(|-1)+(_：-0)2=斗，圆M的面积为等，

所以圆M面积的最小值为5.

故选：A

2.已知圆C：x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,l)射出经x轴反射，则下列结论不正确的是()

A.圆C关于x轴的对称圆的方程为/+y2+4y+3=0

B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0

C.若反射光线与圆C相切于4与x轴相交于点B,则|PB|+|P*=2

D.若反射光线与圆C交于M,N两点，则△CNM面积的最大值为］

【答案】C

【分析】对于A,由对称的性质直接求解即可，对于B,由题意可知入射光线所在的直线过点P(2,l)和(0,-2),

从而可求出直线方程，对于C,由题意可知反射光线所在的直线过点P'(2,-l),则|P8|+|BA|=|P，B|+

\BA\=|P'A|,然后由圆的性质可求出|P'川，进而可求得|PB|+|8*的值,对于D,设4CMN=8,9€(0弓)，

表示弦长和弦心距，可表示出ACNM面积，从而可求出其最大值

【详解】对于A,由圆C方程可得/+(y-2)2=1,故圆心C(0,2),半径r=l,

・•.圆C关于%轴对称的圆的圆心为C'(0,-2),半径为1,

・•・所求圆的方程为：/+(y+2)2=1,即+y2+4y+3=o,A正确；

对于B,・••反射光线平分圆C的周长，，反射光线经过圆心C(0,2),

•••入射光线所在直线经过点。(0,-2),kC'P=詈=|，

二入射光线所在直线方程为：y+2=jx,即3x—2y—4=0,B正确；

对于C，「反射光线经过点P(2,l)关于x轴的对称点P<2,-1),

\PB\+\BA\=\P'B\+\BA\=\P'A\,

A\P'A\=Vl^Cp-l=2V3,则|PB|+|B川=2百，C错误；

对于D,设乙CMN=8(0V8＜以，

则圆心C(0,2)到直线y4-1=k(x—2)的距离d=sin。，

2

A\MN\=2V1—sin0=2cos0,

S&CNM=\\MN\-d=sin0cos0=|sin20,

则当时，(S“NM)max=：，D正确.

故选：C.

3.(多选)设动直线2:mx-y-2爪+3=0(小€咫交圆。：0-4)2+(丫-5)2=12于4B两点(点C为

圆心)，则下列说法正确的有()

A.直线I过定点(2,3)B.当|AB|取得最大值时，m=1

C.当乙1CB最小时，其余弦值为；D.荏•近的最大值为24

【答案】ABD

【分析】A选项，将直线方程整理为m(x—2)—(y-3)=0,然后得到［二解方程即可得到定点；

B选项，根据弦长最大是直径得到|4B|最大时经过圆心，然后列方程求解即可；C选项，根据几何知识得到

当直线I与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直时N4CB最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D选项，

根据外心的结论得到南•左=塔，然后求最值即可.

【详解】对于选项A,由动直线-y-2m+3=0,可得：m(x-2)-(y-3)=0,由；二；，

即｛；：；，即直线/过定点(2,3),即选项A正确；

对于选项B,当|4B|取得最大值时，直线/过点(4,5),即巾=三|=1，即选项B正确；

对于选项C,当NACB最小0寸，此时|AB|最小，当|AB|最小时，直线/与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直，则第=

2

V12-(4-2)2-(5-3)=2,即|4B|=4,由余弦定理可得cos44cB=叱+/；=产=即选项c错误；

对于选项D,AB-AC=|^4F||^C|cos<AB,AC>==24,即布•亚的最大值为24,即选项D

正确，

故选：ABD.

考点二曲线方程

>命题点1椭圆、双曲线和抛物线的方程

典例01(2022.天津.统考高考真题)已知抛物线y2=4届,F1，尸2分别是双曲线会，=l(a>0,b>0)的

左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点月，与双曲线的渐近线交于点4若乙a尸24=?,则双曲线的

标准方程为()

A.—~y2=1B./一”=1

10J16

C.x2--=1D.—-y2=1

44J

【答案】C

【分析】由已知可得出c的值，求出点8的坐标，分析可得MF1I=\F.F2\,由此可得出关于a、氏c的方程组，

解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线y2=4V5x的准线方程为x=—VK,则c=V5,则尸式―«,0)、F2(V5,0),

不妨设点a为第二象限内的点，联立y二一?，可得即点a(-吟)，

因为4居1「通且“1&人=：，则4月尸2a为等腰直角三角形，

且|4七|=|&尸21，即弓=2c,可得5=2,

所以，，，解得b=2，因此，双曲线的标准方程为/一?=1.

kCZ2=片7+1k2=V5v

故选：c.

典例】02(2023・天津•统考高考真题)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2Px(p>

0)于点P,若［0P|=8,则p的值为.

【答案】6

【分析】根据圆0+2）2+必=3和曲线丫2=2「%关于》轴对称，不妨设切线方程为y=kx,k>0,即可根

据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出.

【详解】易知圆（％+2）2+丫2=3和曲线丫2=2「%关于工轴对称，不妨设切线方程为y=kx,k>0,

__2p

X~X,

{y

所以|0P|=佰）2+管）2=£=8,解得：p=6.

当卜=一旧时，同理可得.

故答案为：6.

典例】03（2023•北京・统考高考真题）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为VL则C的方程

为.

【答案】?一?=1

【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.

【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距

c=2,

由双曲线C的离心率为近，得£=或，解得a=注，则b=7c2-必=也,

a

所以双曲线C的方程为?一?=1.

故答案为：—1=1

典例04（2023•全国•统考高考真题）已知点4（1,而）在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离

为.

【答案】

4

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-j,最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点4到C的准线的距离即可.

【详解】由题意可得：（佝=2px1,贝112P=5,抛物线的方程为y2=5x,

准线方程为x=-：，点4到C的准线的距离为1一（一=7.

4\4/4

故答案为：（

4

命题点2求轨迹方程

典例01(2021・浙江•统考高考真题)已知a,b6R,ab>0,函数/'(x)=aM+b(xeR).若/(s-

。，/缶),/。+。成等比数列，则平面上点区。的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】由题意得f(s—t)f(s+亡)=U(s)F，即[a(s-£)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,

对其进行整理变形：

(as2+at2—2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2,

(as2+at2+b)2—(2ast)2—(as2+b)2=0,

(2as2+at2+2ti)at2—4a2s2t2=0,

2

-2a2s2t2,|_Q2t4+2abt=0,

2

所以—2QS2+at+2b=0或t=0,

其中[•一£•=1为双曲线，t=o为直线.

aa

故选：c.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心

素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

典伊】02(2020•全国•统考高考真题)在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若元•前=1,则点C的

轨迹为()

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

【答案】A

【分析】苜先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.

【详解】设4B=2a(a>0),以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面宜角坐标系，

则：4(一Q,0),8(Q,0),设C(%,y),可得：AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),

—♦—♦

从而：AC-BC=(x+a)(x-a)+y2,

结合题意可得：(x+a)(x-a)+y2=1,

整理可得：x2+y2=a2+l,

即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

典伊】03(2023・全国•统考高考真题)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,9的距离，记

动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABC。有三个顶点在W上，证明：矩形力BCD的周长大于3b.

【答案】(l)y=/+；

(2)见解析

【分析】(I)设P(x,y),根据题意列出方程/+。一与2=y2,化简即可；

(2)法一：设矩形的三个顶点4(a,。？+伍,+]),c+0，且a<b<c,分别令/t4B=a+b=

m<0,kBC=b+c=n>0,且mn=-l,利用放缩法得gc+(n++於,设函数/(x)=

(x+i)2(l+x2),利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线4B的方程为y=k(x一a)+a?+%将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得|AB|+

\AD\>@号，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.

【详解】(1)设P(x,y),则|y|=J/+(y—32,两边同平方化简得、=/+%

故2

W:y=x+4

(2)法一：设矩形的三个顶点4(2。2+3,8伍,炉+34卜42+?在川上,且(1<6<以易知矩形四条

边所在直线的斜率均存在，且不为0,

.d2+i-(a2+7)

贝•k=-l,a+bV0<b+c,令Ak.=---------=a+fo=m<0,

BCb-d

同理令ABC=b+c=n>0,且mn=—1,则m=-

设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|>|n|,kBC-kAB=c—a=n—m=n+^,

则=\AB\+\BC\=(b—a)Vl+m2+(c-&)V1+n2>(c-=6+；)V1+n2,易知

(兀+V1+n2>0

则令/"(x)=(x+1)(1+x?),x>0/(无)=2(x+1)(2x-(),

令r(x)=0,解得x=y,

当xe(o,1)时,f'(x)<o,此时/(X)单调递减,

当xw(¥，l],f'M>0,此时f(x)单调递增，

则/'(X)min=f(¥)=3

故耳=竽,即(?2371

当C=3V5时,n=今,m=-&，且(b—a)\/l+而=(b—a)Vl+出,即m=n时等号成立，矛盾，故C>

3V3,

得证.

法二：不妨设4B,C在W上，且B4J.ZM,

依题意可设4(a,M+3,易知直线B4D4的斜率均存在且不为0,

则设84n4的斜率分别为k和一(由对称性，不妨设网41,

直线4B的方程为y=/c(x-Q)+/+%

y=x2+-

则联立•4i得/—kx+ka—a2=0,

y=fc(x—Q)+Q2+1

△=FC2—4(/CQ—a2)=(fc—2a7>0,则kW2a

贝=aT/|k—2a|,

同理|皿=]1+31+2可,

*'•\AB\+\AD\=yj\+k2|/c-2a|+1+—+2d

yK

2+—2a|+1+2a)々4+)2k+.=｝黄>

令Ze?=m»则m6(0,1],设f(m)=，""；：)-=m2+3m+'+3,

则f'(m)=2m+3—*=殁匚当汇叱，令/'(m)=0,解得m=5

当mW(0，)时，/r(m)<0,此时/(m)单调递减，

当小€《,+8),ff(m)>0,此时f(m)单调递增，

则/(m)min=/(3=a

.-.\AB\+\AD\>^9

但“+k21k_2a\+Jl+,卜+2a|之JFH^(|k—2a|+L+2Q。，此处取等条件为k=l,与最终取等

时次=乎不一致，故|4B|+\AD\＞苧.

法三：为了计算方便，我们将抛物线向下移动;个单位得抛物线W'：y=X2,

矩形4BCD变换为矩形HB'C'。',则问题等价于矩形AB'C'Z)'的周长大于3b.

设Ba,诏),A'(t*),C'(t2,取根据对称性不妨设to>0.

则^A,B,=+tg,kpc=12+，o，由于48'«LB，C,则(11+七())(12+《0)=一L

由于|4夕|=J1+("+1)2匕一丁|,=Jl+«2+%)21t2—Ml，且亡0介于之间,

则|AB'|+\B'C\=Jl+(q+£o)2|q-tol+4+«2+，0)2|/一无1・令亡2+2=tan。，

£i+匕。=—cot仇0G(0,；),则J=tan0-=—cot。—%,从而

,,22

\A'B'\+\BC\=V1+cot0(2to+cot。)+y/l-Vtan0(tan0—2t0)

33

故I4BI+|B，C，|=2t。(高-表)+骗+黑=2to(cose-sin。)sin^+cos0

sinOcos。sin20cos20

①当。e(o用时，

33

,,Z1,fflsin04-cos0sin0cos0j1I2厂

\A'B'\+\B'C'\>-7^7-=―+22—~~-=2--->2V2

sinz0cosz0cosesineJsin0cos0Jsm20

②当96(H)时，由于ti<t0<b，从而一cot。-t0<t0<tan。-t0,

从而一等＜%〈等又t°NO,

故0W玲<蜉，由此M'B'I+\B'C'\=如空警+唠喈

2sinOcosBsinz0cos20

sin0(cos0—sin0)(sin0cos0)sin304-cos301cos。

sin20cos30.sin26cos2。cos©*sin20

当且仅当cos。=/时等号成立，故M'B'I+\B'C'\＞手，故矩形周长大于3b.

【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得：C=|4B|+|BC|2(n+£)S二*,同时为了简便

运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.

A高考猜题

1.已知Q为直线，:x+2y+l=0上的动点，点P满足加=(1,一3),记P的轨迹为E,则()

A.E是一个半径为的的圆B.E是一条与，相交的直线

C.E上的点到2的距离均为有D.E是两条平行直线

【答案】C

【分析】设P(x,y),由丽=(1,-3)可得Q点坐标，由Q在直线上，故可将点代入坐标，即可得P轨迹E,结

合选项即可得出正确答案.

【详解】设P(x,y),由丽=(1,一3),则Q(x-1,y+3),

由Q在直线，:x+2y+1=0上，故久一1+2(y+3)+1=0,

化筒得x+2y+6=0,即P的轨迹为E为直线且与直线I平行，

E上的点至”的距离£/=会/=由，故A、B、D错误，C正确.

VI2+22

故选：C.

2.己知4,42是椭圆C：9+?=1的长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q与点P

关于x轴对称，则直线PA1与直线Q4的交点M所形成的轨迹为()

A.双曲线B.抛物线

C.椭圆D.两条互相垂直的直线

【答案】A

【分析】由题意设出点P，Q坐标，然后求出直线P4与直线QA2的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，

由于4,&是椭圆C：?+?=1的长轴上的两个顶点，所以4(—2,0),4(2,0)，

设P（x（）,yo）,则Q（x（）,-yo），

所以直线P4i的方程为y="因（x+2）①，直线Q4的方程为y=-2）②，

XQ+2Z—XO

①x②得y2=j£7a2-4）,

又因为P（xo，y。）在椭圆C：=+4=1上，所以C：M+"=1,即/冬=：，

43434—%。4

所以必=—4）,即—――=1,

即直线P4与直线Q4的交点M在双曲线?一3=L匕

故选：A.

3.已知抛物线G：y2=-2px（p>0）的焦点与椭圆。2：,+，=1（41>8>0）的左焦点a重合，点时为抛物

线G与椭圆。2的公共点，且轴，则椭圆的离心率为（）

A.4B.yC.V2-1D.V3-1

【答案】C

【分析】设椭圆的右焦点为&，易得P=2c,先求出IMF/,再根据椭圆的定义求出用尸21，再在RtZkMF/z

中，利用勾股定理求出关于a,c的齐次式即可得解.

【详解】设椭圆的右焦点为尸2，

抛物线Q:y2=-2px（p>0）的焦点为（一表0）,

椭圆。2：捻+卷=l（a>b>0）的左焦点为（—c,0）,

由题意可得一：=—c,所以p=2c,

将x=一步弋入抛物线方程解得y=±p,

所以|MFJ=p=2c,

由椭圆的定义可得IMF/+\MF2\=2a,所以IMF2I=2a-2c,

2

在Rt^MF/2中，由勾股定理得IMF/?+|凡尸2产=|MF2|,

即4c2+4c2=（2a—2c>，EPc2=a2—lac,

2

所以仔）+2--1=0,解得£=鱼一1（£=一四一1舍去），

\a/aaa

即椭圆的离心率为近一1.

故选：C.

4.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于力（%i，J5M）,两点，则「=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据题意，将4B坐标分别代入抛物线方程，即可得到右,小，再由4凡B三点共线，可得%F=kBF,

即可得到结果.

【详解】将4（%,媾），8（亚，一2回）两点分别代入抛物线方程，

可得Q而）=2px1,解得%i=l,则4（1,返己），

2

（—2历）=2px2,解得g=4,则8（4,-2历），

又抛物线y2=2pX（p>0）的焦点F©,0）,

由题意可得，三点共线，

则k"=k8F，即日=警，解得P=4.

22

故选：D

创新好题•分层训练•

A。新题速遴

1.（2024.全国.模拟预测）过直线y=%上一点〃作圆C：（x-2）2+y2=1的两条切线，切点分别为P,Q.若

直线尸。过点（L3）,则直线尸。的方程为（）

A.5%—y—2=0B.x—5y+14=0

C.5%+y—8=0D.x+5y-16=0

【答案】c

【分析】设先利用两圆方程相减得到直线尸。的方程，再利用直线尸。过点（1,3）求得r的值，进而

得到直线PQ的方程.

【详解】圆C：0-2尸+y2=1的圆心为。(2,0),

设则以MC为直径的圆的方程为

+(y~=^[(t-2)2+(t-0)2]

与圆C的方程(x-2)2+y2=1两式相减可得直线PQ的方程为

(t—2)x+ty—2t+3=0

因为直线尸。过点(1,3),所以t-2+3t-2t+3=0,解得t=-J

所以直线PQ的方程为-|x-：y+1+3=0,即5x+y-8=0.

2.(2023•山东聊城•统考三模)已知两圆/+y2+4ax+4a2-4=0和/-f-y2-2by4-b2-1=0恰有三

条公切线，若a€R,b&R,且ab¥0,则*+表的最小值为()

41

A.3B.1C.-D.-

99

【答案】B

【分析】求出圆的标准方程，根据三条公切线，推出两个圆外切，求出ga2+：b2=i,利用基本不等式求

解.

【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为(x+2a)2+y2=4和/+(y—b)2=1,

圆心为(-2a,0)和(0,b),半径分