上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）（含答案解析）

上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

（一模）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列命题中，真命题是（）

A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角

形相似

B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角

形相似

C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似

D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似

2.已知：2szX4g3c3,如果与△&鸟c2的相似比为2,AAB2C2

与83G相似比为4,那么与3G的相似比为（）

A.2B.4C.6D.8

3.如图，ABC三边上点E、F,满足/加〃3GEF//AB,那么下列等式中，成

立的是（）

DEAErADBF〃DEAB一ADBF

A-----=-----B-----------C-----=-----D-----------

EFEC'DBFCEFBC'DBBC

4.已知G是ABC的重心，i&a=GB+GC,b=AB+AC,那么下列等式中，成立的是

（）

A.b=aB,b=2aC.b=3aD,b=4a

5.将二次函数y=f+2x+3和y=-f+2x-3的图象画在同一平面直角坐标系中，那

么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量》的取值范围是（）

A.x>lB.x<-lC.-1<X<1D.或xV-1

6.如图，过矩形A3CO的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H,依次

连接四个垂足，可得到矩形EFGH.设对角线AC与50的夹角为。（0<&<90。），那么

矩形EFGH与矩形ABC。面积的比值为（）

cos%C.tan2aD.cot%

二、填空题

8.已知向量“与6是互不平行的非零向量，如果〃=2a+3b,机,那么向量〃

与加是否平行？答：.

9.已知抛物线y="2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上

述特征的抛物线的表达式.

10.已知抛物线丫=办2+法+。开口向上，且经过点（3,4）和（-2,4）,如果点（1,y）与

（2,%）在此抛物线上,那么M%.（填或“=”）

11.已知点A（l,4）、B（-2,0）,那么直线A3与x轴夹角的正弦值是.

12.如图，在二ABC中，NACB=90。,AC=3,JBC=6,CO是边AB上的中线，G为ABC

的重心，过点G作GNBC交AB于点、N,那么,0GN的面积是.

13.已知等腰三角形的腰与底边之比为3:2,那么这个等腰三角形底角的余弦值

为.

14.如图，N是线段上一点，AC±AB,BDJ.AB,NMLAB,连接CM并延长

交AB于点P,连接。0并延长交AB于点Q.已知AS=4,AC=3,BD=2,MN=1,

PN=1.2,那么QN=.

试卷第2页，共6页

15.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图，已有的铁皮是等腰直角三角

形ABC,它的底边48长20厘米.要截得的矩形的边在A3上，顶点£＞、E

分别在边AC、BC上，设DE的长为无厘米，矩形OEMN的面积为,平方厘米，那么〉

关于x的函数解析式是.（不必写定义域）

16.如图，点ZXE1分别位于ABC边3C、AB上，AD与CE交于点已知

AF:FD=1:1,EF:FC=l:4,则比）：CD=.

17.如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,将：ABC绕点3旋转到qDBE的

位置，其中点。与点A对应，点E与点C对应.如果图中阴影部分的面积为4.5,那么

18.为了研究抛物线4：y=aY+bx+c与乙：y=-奴②+灰-。在同一平面直角坐标系中

的位置特征，我们可以先取字母常数。、氏c的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，

通过观察来发现乙与4的位置特征，你的发现是：；我们知道由观察得到的特

征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述

一下理由吧.理由是：.

三、解答题

?

19.计算：2sin6(T+-------------------cos230°.

cot45°-tan60°

20.已知抛物线y=f+2x+3的顶点为A,它与y轴的交点为B.

(1)求线段的长；

(2)平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与X轴两交点间的距离为4,求平移后所得抛

物线的表达式.

21.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=3,对角线AC、BD交于点E.

(1)设AC=a,8C=b,试用a、b的线性组合表示向量C。.

(2)如果/ABC=90。,AC求四边形ABC。的面积.

22.在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三(3)班的雏鹰小队带着工具对这棵松树

进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度.他们选好位置架

设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为

树根部为8、树顶端为A,其中MN=1.5m,视线MB的仰角为a(已知tana=1),视

6

线M4的仰角为夕(已知=

4

(1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了.”小聪接着说：“不对

吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不

了的.如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中N4的长度，就可以了.”设

试卷第4页，共6页

N"=a,请你用含有。的代数式表示松树(AB)的高度.

(2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但

也没有办法量出N”的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用

现有的工具，测量出有关数据(数据可以用字母常数表示)，并用含有这些字母常数的

表达式表示出松树(A3)的高度.

23.如图，在平行四边形ABCD中，ACLAD,过点A作AELfiD,垂足为E,再过

点C作CFLCD交直线AE于点

⑴求证：CA-CD=CB-CF；

(2)连接CE,求证：ZACE=ZF.

24.如图，直线>=-》+3与x轴、y轴分别交于点43.对称轴为直线x=l的抛物线

>=办2+法+。经过点43,其与x轴的另一交点为C.

⑴求该抛物线的表达式；

⑵将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处,得到新抛物线L,其与直线y=-》+3

的另一个交点为Q.

①如果抛物线乙经过点A,且与x轴的另一交点为。，求线段C。的长；

②试问：.CPQ的面积是否随点P在线段4?上的位置变化而变化?如果变化，请说明理

由；如果不变，请求出CPQ面积.

25.如图，。是RtAABC斜边A2的中点，BH工CO交AC于D,垂足为连接OD.

D

⑴求证：BC2=ACCD；

(2)如果ODH与ABC相似，求其相似比;

(3)如果9:DL=4:1,求NADO的大小.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】本题考查相似行的判定,掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键.

【详解】解：A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这

两个三角形相似，是真命题；

B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一

定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题；

C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这

两个梯形不一定相似，是假命题；

D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这

两个梯形不一定相似，是假命题；

故选A.

2.D

【分析】本题考查了相似三角形的性质.根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出

A4与A层的比值，也就是两三角形的相似比.

【详解】解：♦.,△ABiGsaA与c2s△AB3C3,如果△AB|G与△人与c?的相似比为2,

2G与△AB3G相似比为4,

/.4耳：为为=2:1,&不：=4:1,

设人员=%，则4与=4x,A耳=8x,

44：=8：I,

△AIBG与MB3c3的相似比为8.

故选：D.

3.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.由题意可证四边形跳比F是平行四边形，可

得BD=EF,DE=BF,由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解.

【详解】解：EF//AB,

:.ZADE=ZB=ZEFC,ZAED=ZC,

ADEsdEFC,

答案第1页，共22页

翁警,故A错误；软笔

,:DE〃BC,EF//AB,

，四边形跖是平行四边形,

:.BD=EF,DE=BF,

.ADBF

故B正确；

"BD~FC

.ABAD

故C错误；

"~BC~~DE'

AD_AE_BF

故D错误

DB~CE~CF

故选：B.

4.C

【分析】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，先推出GO=《。，AD』,再

22

由重心的性质可得=贝=由此即可得到6=34.

【详解】解：如图所示，ABC中，G是重心，AO是中线，

GD+DB=GB,GD+DC=GC，

GD+DB+GD+DC=GC+GB,

•*-2GD=GC+GB，

：.GD=-a,

2

同理可得=,

是的重心，

.・.GD=-AD,

3

：.GD=-AD,

3

.1_117

・・一Cl=—x—b

232

b=3a，

故选c.

答案第2页，共22页

G

B

DC

5.C

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质.根据题意画出函数的图象，然后根据函数的

图象即可得到结论.

由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是TWxWl,

故选：C.

6.B

【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导OFBS.OEA,得到

OFOEEF

----=cosa然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

08OAAB

【详解】如图，设对角线AC与即交于点。,

答案第3页，共22页

AD

VABCD,石FGH是矩形,

：.OA=OB=OC=OD,

VBFVAC,AE±BD,

：.ZAEO=ZBFO=90°,

又.：ZEOF=/BOA,

OFB空。EA,

OF=OE

OFOF

——=——，/EOF=ZAOB,

OAOB

OEFsOBA,

OEOFEF

OB~OA~AB"

OEOF

cosa=----=-----,

OAOA

EF

------=C0S6Z,

AB

OFGsOAD,

.FGOF

----=cosa,

ADOA

矩形•GH与矩形ABCD面积的比为商・罚=c。"

故选B.

7

【分析】由="可得三=9,设9g=k,则a=2k,b=5k,然后代入X求解即可・

b52525b+a

【详解】解：

b5

,a_b

1,2-5

答案第4页，共22页

ah

设一=—=k,则a=2k,b=5k

25

.5k-2k_3

**5k+2k-7*

3

故填

【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确的对已知条件进行变形成为解答本题的关键.

8.否

【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量九与m平行，则n=km（k为常数,且人力0）,

据此可得答案.

【详角单］解：■:n=2a+3b,m——a—b,

23

:,n*km（左为常数，且上片0）,

，向量”与加不平行,

故答案为：否.

9.y=x2+2x（答案不唯一）

【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般

式解题.

【详解】解：抛物线的表达式为：y=（x+l）2-l=d+2x,

故答案为：y=x2+2x.（答案不唯一）

10.<

【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题

的关键.

【详解】解：：抛物线广加+入+。经过点（3,4）和（-2,4）,

.•.对称轴为了=1±±21=」，

22

:开口向上，

/.对称轴右侧y随x的增大而增大，

当:<1<2时，％<%，

故答案为：<.

答案第5页，共22页

4

11.—/0.8

5

【分析】本题考查了正弦函数.在直角坐标系中，过A作AC，尤轴，构造直角三角形，可

得直线与1轴夹角的正弦值.

【详解】解：过A作轴，交九轴于点C,则

•••A（l,4）,B（-2,0）,

AAC=4,BC=3,

在RtAABC中,AB=dAC2+BC?=5,

4

直线A5与X轴夹角的正弦值=5诂4钻。=上=>

AB5

4

故答案为：—.

12.-/0.5

2

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到

S°BC=；SABC，然后根据平行得到ONGsOBC,进而得到自四=（襄］计算是解题的

关键.

【详解】解：：c。是边AB上的中线，

:,SOBC='SABC=-x—BCxAC=—x—x6x3=--,

又•：G为ABC的重心，GNBC,

：.ONG^.OBC,

答案第6页，共22页

故答案为：—.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、余弦函数的定义.从顶点向底边作高，构造直角三

角形，可得底角的余弦值.

【详解】解：设等腰三角形的腰为初，底边为2a,

过A作AD人BC,交BC于点。，

:.BD=CD=-BC=a,7R=ZC,

2

CD1

在RtAABD中，cosNB=cosZC=——=-,

AC3

故答案为：g.

14.1.6

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.先证△的求得PN、NB,再证

AMNQSADBQ,可得QN.

【详解】解：AC1AB,NMLAB,

.\ZCAP=ZMNP=90°,

ZMPN=ZCPA,

.'.Z\MNP^/\CAP,

.PN_MN

-PA--G4'

AC=3,MN=1,PN=1.2,

答案第7页，共22页

.•.刈=3.6,PB=AB-PA=OA,NB=NP+PB=1.6,

设QN=x,则。5=%+1.6,

BD±AB,NMLAB,

:.ZMNQ=ZDBQ=90°,

ZDQB=ZMQN,

:.2\MNQ^/\DBQ,

.MN_QN

BD=2,MN=1,

•1二x

一5-x+1.6'

解得：％=1.6,

即QN=1.6,

故答案为：1.6.

1

15.y=——x29+10x

2

【分析】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式.根据图中的几何关系先把。石

表示出来，再利用矩形面积公式得到y与％的表达式.

【详解】解：，ABC是等腰直角三角形，四边形QEMN是矩形，

:...BME、ZVIDN是等腰直角三角形，

：.MN=DE=x,BM=ME=DN=AN=^20-x),

y=x'5(20-x)=一万"+10%.

故答案为：y=~x2+10x.

16.2:3

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理.作DG〃A8,

证明AEF^DGF,推出=由DGIIBE,利用平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】解：作OG〃A3,

答案第8页，共22页

A

：.AEFs,.DGF,

,EFAF

**GF-DF?

AF:FD=1:1.

：.EF=FG,

■:EF:FC=1:4,

：.EG:GC=2:3,

,:DGIIBE,

：.BD:CD=EG:GC=2:3,

故答案为：2:3.

17.2

13

【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理.作尸于点G,利用

旋转的性质以及面积法和勾股定理求得跖=1,BF=M，解得FG=g,再利用由旋转的

性质求得NCBE=NFBG,据此求解即可.

【详解】解：作/于点G,

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5-

由旋转的性质得，BE=3,BD=5,/BED=90。,

由题意得S阴影=gx4x3-：x斯*3=4.5,

解得EF=1,

答案第9页，共22页

•*-BF=y/BE2+EF2=y/w>

,SABFD=S阴影=5"BDxFG=4.5,

9

解得尸G=q,

：.BG=y/BF2-FG2=y,

由旋转的性质得，NCBA=NEBD,则NCBE=NFBG,

9

CBE的正切值=tanNFBG=—FG=^s-=-9,

DCJ££13

T

9

故答案为：—.

18.顶点关于原点对称顶点的横纵坐标都互为相反数

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.根据题意画出相应的图象，得出顶点关于原点

对称；分别求得抛物线乙和4的顶点坐标，据此即可求解.

【详解】解：取a=6=c=l时，则抛物线卬y=Y+x+l与%i=一/+X-1；

取°=。=1,b=—2时，则抛物线Zq:y=x?-2x+l与4：y=-—2x—1；

观察图象，发现乙与4的位置特征是：抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于原点

对称;

答案第10页，共22页

2

97上，〜-r一、r/b4ac—by

抛物线成：y=ax+6式+。的顶点坐标为一二，------

I2〃4a

/

b4x(-«)x(-c)-Z?2口/b4ac-b2

七2：,=一〃/+Zzx—C的顶点坐标为-即——，--------

2X(-Q)4X(-Q),、2Q4a

・•・顶点关于原点对称，理由是：顶点的横纵坐标都互为相反数.

故答案为：顶点关于原点对称；顶点的横纵坐标都互为相反数.

【分析】本题考查了特殊角的混合运算：先化简各个特殊角的函数值，再进行分母有理化,

最后进行加减混合运算，即可作答.

2

【详解】解：2sin60°+----------------------cos230°

cot45°-tan60°

=2x^2

+使丫

21-V3

沙出

-24

=sf3—1—y/3—

4

__7

--4,

20.(1)72

(2)y=x2-4

【分析】本题考查二次函数的配方求顶点和待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解

题的关键.

(1)求出顶点和与y轴的交点坐标，利用两点间距离公式解题即可；

(2)先设解析式为y=f+c,然后写出与x轴两交点的坐标，代入计算即可.

【详解】(1)解:y=x2+2x+3=(x+l)2+2,

顶点A的坐标为(-1,2),

当x=0时，y=3,

.•.点B的坐标为(0,3),

答案第11页，共22页

/.AB=J(-l_Op+(2-3)2=叵.

(2)解：设平移后的解析式为y=/+c,

:与x轴两交点间的距离为4,

与x轴两交点为(-2,0)和(2,0),

把(2,0)代入y=Y+c得o=4+c,

解得c=-4,

平移后所得抛物线的表达式为y=f-4.

21.(1)CD=­b—a

(2)273

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用

所学知识，学会利用参数解决问题.

(1)根据题意可得AD=；BC=g6,然后利用平行四边形法则得到CD即可；

(2)过点。作AC交BC的延长线于点孔则有得至1］辿=处，求出

BDFB

长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可

【详解】(1)解：VAD//BC,AD=1,BC=3,

：.AD=-BC=-b,

33

/.CD=AD-AC=-b-a-

3

(2)过点。作。尸AC交BC的延长线于点R

•/AD〃BC,

ACED为平行四边形,

CF=AD=1,

答案第12页，共22页

：.BF=BC+CF=3+1=4,

・.,ZABC=90°,AC±BD,

・•・ZBDF=ZBEC=90°=ZABC,

又丁AD〃BC,

：.ZBAD=180°-ZABC=90°=ZBDF,ZADB=ZDBF

ABD^DFB,

.ADBDnn1BD

BDFBBD4

解得：BD=2或BD=-2(舍去)

•*-AB=y/BD2-AD2=722-12=y/3^

•••S梯形的cD=g(AD+BC)xAB=；x(l+3)x石=2』.

7

22.(1)—a

12

(2)在松树上取点。，梗BD=MN,并用测角仪测出点。的仰角。，用直尺测出小山坡的长

,7

度NB=b米;AB=一bcosq

【分析】（1）过点M作MCLAA于点C,证明四边形肱VHC为矩形，得出MC=N8=a,

根据tana=2^==工，求出BC='a,根据tan尸==4^=』，求出AC=』a,即

MCa66MCa44

可得出答案；

（2）在松树上取点。，使BD=MN,并用测角仪测出点。的仰角6,用直尺测出小山坡的

长度A®=5米，连接过点M作MCLA”于点C,证明四边形MVBD为平行四边形,

得出〃E>=A®=>,求出MC=OCOS6，利用解析（1）的方法求出A8即可.

【详解】（1）解：过点〃作MCLA”于点C,如图所示：

,?ZMNH=ZNHB=ZMCH=90°,

答案第13页，共22页

・••四边形也为矩形,

：.MC=NH=a,

+z*BCBC1

在RtAMCB中，tana=-----==—,

MCa6

解得：Bcja,

ACAC3

在Rt^MC4中，tan/?=—

MCa4

3

解得：AC=7〃，

4

317

A.B=A.C—BC——ci—a——a.

4612

（2）解：在松树上取点。，使5。="N,并用测角仪测出点。的仰角e,用直尺测出小山

坡的长度A®=Z?米，连接MD,过点M作MCLAH于点C,如图所示：

,：MNLNH,AH工NH,

：.MN//AH,

•/MN=BD,

・•・四边形肱曲为平行四边形，

・•・MD=NB=b,

+,MCMC

在RtAMCD中，cow=-----=-----，

MDb

:.MC=bcos。，

*人*BCBC1

在RtAMCB中，tana=-----=--------=-,

MCbcos。6

解得：Bcjbco说,

6

AC3

在RtAMC4中，tan，=----=--------=—,

MCbcosd4

答案第14页，共22页

3

解得：AC=—bcosq,

317

/.AB=AC-BC--bcosq--bcosq=—bcosq.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的判定和性质，矩形的判定

和性质，三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合.

23.⑴见详解

(2)见详解

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，：

(1)运用三角形内角和，对顶角相等，得/BDC=ZAFC,结合三角形内角和以及对顶角

相等，得/BDC=NAFC,则8C£)s乌=空，即可作答.

CBCD

(2)先由ACFs一BCD,结合对顶角相等，证明AEGS.HCG,因为夹角相等，两边成比

例，证明,以烟2次达，结合平行四边形性质，即可作答.

【详解】(1)解：:四边形ABCQ是平行四边形，AC±AD

ABC±AGZACB=90°

'：CF±CD

：.ZDCF=90°,

■:ZBCA-^-ZACD=90°+ZACD=ZDCF-^-ZACD

即N3CD=NAC尸

•・•对顶角相等，AE±BD,CFVCD

：.ZBDC=ZAFC

JBCD^ACF

・CA_CF

"CB~CDf

即C4CD=CBCF；

(2)解：如图：AC与相交于点G

答案第15页，共22页

・・・ACFs^BCD

：.ZCBG=ZEAG

,:ZAGE=ZBGC

：.AEG^,BCG

.AGGE

**BG-GC

■:ZCGE=ZBGA

：.CGEs.BGA

：.ZACE=ZABG

・・・四边形ABC。是平行四边形

・・.ABCD

：.ZCDB=ZABG

ACFS2BCD

：.ZCDB=ZF

即ZACE=ZF

24.(1)y=—%2+2%+3；

⑵①CD=2；②一CPQ的面积不变，.CP。的面积为2.

【分析】（1）先求得4（3，。），8（0,3）,利用抛物线的对称性求得C（-l,0）,设抛物线的表达

式为y=a（x+l）（x-3）,利用待定系数法即可求解;

（2）①CD=2；②联立求得。（m+1,2-机），利用待定系数法求得直线CQ的解析式为

y=*x+N，作网〃y轴交直线CQ于点R,求得+Y],利用三角

m+2m+21m+2m+2J

形的面积公式，列式计算即可求解.

【详解】（1）解：令x=0,则y=3；令k0,贝U0=-x+3,解得x=3；

答案第16页，共22页

/.A(3,0),8(0,3),

:对称轴为直线x=l,其与x轴的另一交点为C,

C(-LO),

设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-3),

把8(0,3)代入)=。(%+1)(%_3),得3=a(O+l)(t)_3),

解得a=-l,

：.抛物线的表达式为y=—(x+l)(x—3)=-尤2+2X+3；

(2)解：①根据题意设新抛物线L的顶点坐标为(〃?，3-机)，则新抛物线£的解析式为

y=-(x-m)-+3-772,

•..抛物线L经过点A,

..0=—(3—+3—m,

解得加=3(舍去)或加=2,

当力=2时，新抛物线L的解析式为y=-(x-2『+1,

令y=0,贝I]O=-(X-2)2+1,

解得x=3或x=l；

与x轴的另一交点为。(1,0)；

CD=l-(-l)=2；

②，CP。的面积不变，

.新抛物线L的解析式为y=-(x-机y+3-m,

联立得一X+3=-(X-MI)2+3-m,整理得f一(2[九+l)x+租(租+1)=0,

解得X=机或无=+1;

/.Q(^m+l,2-ni),

设直线CQ的解析式为>=履+4，

答案第17页，共22页

,2-m

k=-------

；，—左+〃=0，m+2

\m+\)k+bl=2-m解得'

72-m

a=-------

m+2

直线CQ的解析式为y=+=

m+2m+2

作网〃y轴交直线CQ于点R,

2-m

•mH---(-m---+-1+1)

m+2

2m-m2+2-m

=-3-m-(m+2)

2m+2

=^(3—m)(m+2)-^2+m—

=—(3机-m2+6-2m-2—m+m2)

1,0

=—x4=2,

2

•••-CPQ的面积不变，-CP。的面积为2.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形

面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键.

25.⑴见解析

(2)相似比为正

6

(3)ZAZ)O=45°.

【分析】(1)利用直角三角形斜边中线的性质求得03=0。推出NO5C=4c利用等

角的余角相等求得NA=NCBQ,证明即可证明结论成立;

(2)分两种情况讨论，当DOHSJABC时，证明。。是的中位线，据此求解；当

答案第18页，共22页

ODHSa