2024高考数学一轮复习讲义+练习：函数的应用（一）（解析版）

专题14函数的应用（一）

题型——次函数模型的实际应用题

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息

可知，营销人员没有销售量时的收入是（）

B.300元

C.390元D.280元

【答案】B

ri/+日古土y—8001300—800左刀/曰

【解析】依题意:।=———,解得y=300.

0—1z—1

故选：B

2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间f的函数关系如图所示，则下列说法正确

的是.（填序号）

①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.

【答案】④.

【解析】对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；

对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；

对③，速度,其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；

t

对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；

故答案为：④.

题型二二次函数模型的实际应用题

1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润》与营运年数x

（xeN）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过年.

【答案】7

【解析】设二次函数产a(x-6)2+ll,

又过点(4,7),

所以a=-l,即y=-(x-6)2+ll.

解y>0,得6-711-6+VTT，

所以有营运利润的时间为2而.

又6<2JTT<7,所以有营运利润的时间不超过7年.

故答案为：7

2.如图，有一长AM=30米，宽4V=20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求

顶点C在地块对角线上，氏。分别在边4/4V上，其他地方建停车场和路，设=x米.

则矩形ABCD的面积S关于龙的函数解析式为.

2

【答案】5=-§/+20无(0<%<30)

DN

【解析】解：在直角中石

AN

所以导20—A0

20

：.AD=20--x,

3

29

S=.X(20--X)=--X2+20X(0<X<30)

2

所以矩形ABCD的面积S关于元的函数解析式为5=--x2+20x(0<x<30).

t+20,0<t<25,

3.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间*天)的函数关系为：P=

-t+100,25<t<30.

QGN*)设该商品的日销售量。(件)与时间*天)的函数关系为2=40-r(0</<30,feN*),求这种商品的日

销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大.

【解析】设日销售金额为，⑺元，则

J(f+20)(40-f)0<f<25jeN

/⑷一[(100-(40-/),25W30,f6N，

”“、f-t2+20t+800,0<t<25,teN

'7t2-140/+4000,25<t<30,teN

当0<f<25时，/■(>)=—/+20/+800,/=10时有最大值900；

当25印<30时，是减函数，/=25时〃。有最大值1125.

综上所述，f=25时〃。有最大值1125,

所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.

4.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池

中注水，若f小时内向居民供水总量为100痴（04424）,则每天何时蓄水池中的存水量最少.

【答案】，=字时，蓄水池中的存水量最少.

O

【解析】设/小时后，蓄水池中的存水量为y吨，贝仃=400+60/-100倔，其中0W24,

令〃=〃e[0,2闷，贝I]y=60zr-10。庭“+400,

所以，当-时,y取最小值，此时，/=（地]=—（时）.

2x60616J6

因此，当，=蓼时，蓄水池中的存水量最少.

O

5.某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25

万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为X单位：百件）时,

销售所得的收入约为夕-3/（万元）.

（1）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x

的函数;

（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大?

12

—%+4.75%—0.5,0<%W5

【答案】(1)1%)=彳2；(2)475件.

12-0.25%,%>5

【解析】（1）当0<烂5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件.

5x——x2J—(0.5+0.25x),0<xW5

所以〃%)=

5x5-1x52j-(O.5+O.25x),x>5

12

—x+4.75%—0.5,0<%<5

即危尸2

12-0.25x,x>5

(2)当0K5时，X.«)=-1^2+4.75X-0.5,

所以当尤=4.75(百件)时，Kx)有最大值，

於),皿=10.78125(万元).

当x>5时，丸初<12—0.25x5=10.75(万元).

故当年产量为475件时，当年所得利润最大.

题型三塞函数模型的实际应用题

1.若彳2>/成立，则X的取值范围是.

【答案】(e,o)u(l,a)

【解析】如图所示，分别画出函数y=Y与>=£的图象，由于两函数的图象都过点(1,1),

由图象可知不等式/>)的解集为(-s,0)u(l,y).

2.用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作

如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数

(1)(i)试解释/(0)与/(D的实际意义；

(ii)写出函数A*)应该满足的条件和具有的性质；

(2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬

菜上残留的农药量比较少？请说明理由.

【答案】(1)(i)详见解析(ii)详见解析(2)答案不唯一，具体见解析

【解析】解：(1)(i)7(0)=1,表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1.

22

/(D=p表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的

(ii)函数"X)在0+8)上单调递减，并且有0</(元)41.

(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1,用。单位量的水清洗1次后，残留的农药量为可，则

=lx/(a)=-^-T.

2+a

如果用£单位的水清洗1次，则残留的农药量为

212)8+〃

然后再用］单位的水清1次后，残留的农药量为吗=/（胃）=64

(8+/2.

22

2642a(a-16

由于叫一%T，所以，叱-%的符号由/一16决定.

2+/(8+/

当a>4时，叱>也.此时，把。单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；

当。=4时，叱=吗.此时，两种清洗方法效果相同；

当。<4时，叱<明.此时，用，单位的水清洗一次，残留的农药量较少.

3.某人开汽车以60初x//z的速度从A地到150Am远处的8地，在3地停留后，再以50加//i的速度返

回A地，把汽车离开A地的路程％（版）表示为时间，（〃）（从A地出发是开始）的函数，并画出函数的图

象；再把车速vAm//z表示为时间《"）的函数，并画出函数的图象.

【答案】见解析

60r,0<r<2.5,

【解析】由题意得：路程九（初0表示为时间/（力）的函数：X=150,2.5<r<3.5,图像如图：

150-50（^-3.5）,3.5<r<6.5.

60,0<Z<2.5,

车速v(A加%)表示为时间/(%)的函数：v=<0,2.5<r<3.5,图像如图

50,3.5<6.5.

+v(km/h)

60金也

36=50

40

I

20-刖“5

-202・555t/h

-40

二落

4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表，若某户居

民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量.

每户每月用水量水价

不超过12M的部分3元/加3

超过12m3但不超过18疗的部分6元/加

超过18疗的部分9元/苏

【答案】14m3

【解析】解：设用水量为初？，水费为y元，当噂/12时，y=3%，当12<x«18时,

y=12x3+(%-12)x6=6x-36,当尤>18时，y=12x3+6x6+(%-18)x9=9x-90,

’3%,赚!Jr12

二.y=<6x-36,12<18,

9x-90,x>18

由y=48知6%—36=48,X=14.

・••此户居民本月用水量为14m3.

题型四分段函数模型的实际应用题

1.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一

/、400.r--x2,(0<x<400)

件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数R(x)=2I),其中尤

80000,(x>400)

是“玉兔”的月产量.

(1)将利润/(x)表示为月产量尤的函数；

(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益=总成本+利润)

【答案】(1)山)F。。—。。。。,(例4。。)⑵当—0G时，该厂所获利润最大，最大利润

-100%+60000,(%>400)

为25000元.

【解析】(1)由题意，

当喷火400时，

f(x)=400x-0.5/-20000-100%

=300无-。货-20000.

当x>400时，/(x)=80000-lOOx-20000

=60000-100%；

,--x2+300%-20000,(Oiijv400)

故/(x)=12

-100x+60000,(x>400)

(2)当Oik400时，/(x)=300.r-0.5x2-20000；

当x=300时，/(x)e="300)=25000(元)

当X>400时，/«_</(400)=20000(元)

25000>20000,

当x=300时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元.

2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:

每户每月用水量水价

不超过12加3元/加

超过12m3但不超过18M的部分6元/疝

超过18M的部分9元/疝

若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量.

【答案】14m3

【解析】设此户居民本月用水量为x,

当0<x412时，3x=48,解得元=16,不满足题意；

当12<xW18时，3?126?（x12）=48,解得了=14,满足题意；

46

当x>18时，3?126?69?（x18）=48,解得x=],不满足题意，

综上所述，此户居民本月用水量为14〃.

3.李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.

方案二：不收管理费，每度0.58元.

（1）求方案一收费"%）元与用电量x（度）间的函数关系

（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

/、f2+0.5x,0<x<30

【答案】（1）L（x）=\；（2）25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案一

[0.6%—〉30

比方案二更好.

【解析】（1）当0<x<30时，£（%）=2+0.5%.

当x>30时，=2+30x0.5+（x—30）x0.6=0.6%—1.

/、[2+0.5x,0<x<30

[0.6x—l,x>30

（2）设按第二方案收费为尸（x）元,则产（x）=0.58x.

当04尤430时，由L（x）〈尸（x）,得2+0.5x<0.58x，x>25

25<x<30.

当%>30时，由L（九）vF（x）,得0.6x—1<0.58%x<50

30<x<50.

综上,25Vx<50.

故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案一比方案二更好.

4.经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数/⑺（千人）与时间/

(天)的函数关