浙江省职高高二数学上期末复习(知识点+练习题+答案)

期末复习材料

常考知识点及相应习题汇总

（一）、空间几何

一、棱锥

1、正三棱锥：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱

锥。

'性质：1.底面是等边三角形。

2.侧面是三个全等的等腰三角形。

3.顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。

4.常构造以下四个直角三角形〔见图〕：

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角

形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使元素与未知元素集中于一个直

角三角形中，利于解出。

练习1：

1、三棱锥A—8C。的棱长全相等,E是中点，那么直线CE与直线B。所成角的余弦值为（）

（A出（B）3（C）画（D）l

6262

2、正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形，那么此三棱锥的体积为（）

2%B.V2C.

A.

3、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a,那么棱锥的高为U

V373

——a----

A、aB、2aC、2D、27a

4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这

个正三棱柱有如下判断：①ABJ/BG；②AG与BC是异面直线；

③AB1与BC所成的角的余弦为字；④3G与4。垂直.

其中正确的判断是.

5、在正三棱锥尸―A5c中，AB=6,PA=5»[1）求此三棱锥的体积V；[2）求二面角尸—A5—C的

正弦值。

6、正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。

求（1）棱锥的侧棱长〔2）侧棱与底面所成的角的正切值。X

2、正四面体\\

定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，//二1——所有

棱长都相等。P

它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面

体。

正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角

形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且

都是等边三角形。

因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。

性质：

练习2：

1、在正四面体尸—A5c中，如果E、/分别为PC、AB的中点，那么异面直线跖与75A所成的角为

（）

（A）90°（B）60°（c）45°（D）30°

3、正四棱锥

定义：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。

三角形的底边就是正方形的边。

'性质：（1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它

叫做正棱锥的斜高）；

〔2〕正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面

内的射影也组成一个直角三角形；

〔3〕正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；

〔4〕正四棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c,斜高为h’,那么它的侧面积是s=1/2ch'

练习3：

1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为布：2,那么侧面与底面的夹角为〔）。

⑷%⑻％©%⑴）%

2、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（）

（A）各侧面是正三角形（C）各侧面三角形的顶角为45度

（B）底面是正方形（D）顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，那么侧面与底面所成的角等于〔）

A.30°B.45C.60°D.75

4、在正四棱锥PTBC。中，假设侧面与底面所成二面角的大小为60°,那么异面直线R4与BC所成角

的正切值为；

5、假设正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求①斜高与棱锥高之比②相邻两个侧面所成二面角的大

小。

4、棱锥

定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面

所围成的多面体叫做棱锥。

概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的对角面；

〔棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面)

性质：1.棱锥截面性质定理及推论

定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与

底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。

推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么棱锥的侧棱和高被截面分成的线段

比相等。

推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之

比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。

2.一些特殊棱锥的性质

侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心(外

心)，同时侧棱与底面所成的角都相等。

侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射

影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心〔内心)，

且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为a,那么有S底=$侧cosao

练习4

1、三棱锥P-A5c中，尸底面ABC,AANC是直角三角形，那么三棱锥的三个侧面中直角三角

形有()

(A)2个(B)3个(C)至多2个(D)2个或3个

2、正”棱锥的侧面积是底面积的2倍，那么侧面与底面所成二面角的度数为()

7/7/7/

(A)-(B)-(C)-(D)与"的取值有关

326

3、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三局部体积〔自上而下)为1:8:27,那么这时

棱锥的高被分成上、中、下三段之比为。

(A)1:(V2-1):(V3-V2)(B)l:V2:V3(C)1::-(D)1:1:1

23

4、棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两局部，那么截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的

比为()

A.2：1B,72：1C.1：(V2-1)D.1：(V2-1)

5、三棱锥V-ABC的三条侧棱两两为30。角，在VA上取两点M、N,VM=6,VN=8,用线

绳由自M向N环绕一周，线绳的最短距离是,

6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD_L底面ABCD,PD=DC,E为PC中点.⑴求证：

PA〃平面EDB.〔2)求EB和底面ABCD成角正切值.

P

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA_L底面AE^aPA=AD=2a,AB=a,Z

ABC=60°(1)求证平面PDC_L平面PAC.

12)求异面直线PC与BD所成的角的余弦值.P

8、AB为圆。的直径，圆0在平面a内，SA_La,/ABS=30°,P在圆周上s

移动〔异于A、B),M为A在SP上的射影，卜、x

(I)求证：三棱锥S—ABP的各面均是直角三角形；/；

〔II〕求证：AM,平面SPB；/.

9、三棱锥V—ABC的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，名BZ二

侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高.二

习题答案:

练习1：l,A2.C3,A4.(2)@5.3^39,41%

6、解：⑴过V点作于点0,VEJ_AB于点E

三棱锥V—ABC是正三棱锥0为△ABC的中心

那么OA二一x--a-----Cl,OE=—xa----d又侧面与底面成60。角NVEO=60。

323326

6a

那么在RtZWEO中；VO=OE•tan60°=—axg=-

62

在Rt^VAO中，VA=JVO?+AO?=+—=JZj='即侧棱长为

练习2：

练习3：1.D2.A3.C4.2_5、〔1〕有：亚；［2)71-arccos—；

练习4：1、D2、A3、D4、D5.106、⑵arctan孚7.(2)arccos-8、略

9、解：过点V作底面ABC的垂线，垂足为0

:各个侧面和底面成45°的二面角

...点。为三角形ABC的内心

设0D=x,那么有

3

；.三棱锥的高V0为一

2

二、棱柱

定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面。

两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点,不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的

对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高。

棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面O

分类：

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底

面垂直。

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂

直。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。

直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。

长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。

对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。

性质：1〕棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的

各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。

3〕过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

4〕直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

练习题：1.如图：在正三棱柱ABC—A与G中，Ee,截面AEC，侧面①求证：

BE=EB1；②假设44]=4用，求平面AEC与平面451G所成锐二面角的度数.

2.三棱柱ABC-agG的底面是边长为1的正三角形,

B1

NAA§1=NAAG=45°，顶点A到底面A^iG和侧面3]C的距离相

等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积.

3、在正三棱柱AiBC—ABC中，AAi=AB=a,D是CC的中点，F

是AB的中点.(I)求证：DFII平面ABC；[II)求证：AFXBD；

4.：如图，直棱柱ABC—AEU的各棱长都相等，D为BC中

点，CE_LCD于E

⑴求证：CE_L平面ADC'(2)求二面角D—AU-C的平面角

的大小

5、如图，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面ABC为等腰直角三角形，

V3

ZACB=90°,AC=1,C点到AB1的距离为CE=—,D为

2

AB的中点.(1)求证：ABi_L平面CED；

〔2〕求异面直线ABi与CD之间的距离；[3)求二面角Bl—AC—B的平面角.

6、在直三棱柱ABC-AiBiCi中，A1B：BC=AiCi，ACiXAiB,M,N分别是A&,

AB的中点。

⑴求证：面ABBiA」面AQM；⑵求证：AiBXAM；(3)求证：面AM3〃面NBiC

答案:Ai

M

1.解：①在截面AEC内，过E作AAD

BEGLAXC,G

是垂足

•.•面A|EC_L侧面AC],；.EG_L侧面AC取AC的中点F,连结BF,FG,由

A

AB=BC,得BF±AC•・•面ABC±侧面AC,BF_1侧面AC,得BF

〃EG

BF、EG确定一个平面，交侧面AC】于FG「BE〃侧面AC,

；.BE〃FG,四边形BEGF是平行四边形，；.BE=FG'：BEHAA{,：.FGHAA{,AAA^C~AFGC；V

AF=FC,==1^1,即=故BE=BB1

②分别延长CE、G^i交于点D,连结A。

EB\//CC[,EBi=^BBl=gcG；•DB]=^DC,=Bg,又4用=B©,

ZDAlCl=90°,BPDAX±A1Cl

CQ±面AGg，即AG是A。在平面AG。上的射影，根据三垂线定理，得Ac：.

•••DA{±t

NC41G是二面角的平面角

*/CG=AGNAG。=90°NC41cl=45°,即所求二面角为45。

2.解：作AO_L平面AiBiG,0为垂足

(12)VZAAiBi=ZAAiCi=45°

...0在/C1A1B1的平分线上

连结AiO并延长交BiCi于Di点

VAiCi=AiBiAAiDiXBiCi

.'.AiAXBiCi

.'.BBiXBiCi

四边形BB1GC为矩形

取BC中点D,连结ADDDi

VDD1//BB1

BiCi_LDDi又又CiJ„AiDi

平面AiDiDA

平面人次。口[_1_平面BiCiCB

过A作AN_LDDi,那么AN_L平面BBiJC

.1.AN=AO

:四边形AAiDiD为口

V3

.•.AiDi=DDi.\DD]=—

4、(2)arcsin半5、(1)略；(2)工；(3)arctanV2；

52

6、证明：(1)•三棱柱ABC—ABC是直三棱柱/.AAiXffiAiBiCiAAAiXCiM

；BC=AC,M是AB的中点.\CIMXAIBI

又AA1nAJBJ=A,A4ju面AA[BB]

AiBic[IjAjABB),面ABB〕A]±面AC1M

[2)•.•A|B，AC，GM_L面AiABBpA]BJ_AM

三、正方体、长方体

练习题:

1.棱长为a的正方体ABCD-AiBiGDi中，异面直线DDi与BJ之间的距离为（）

A.aB.叵0c.41aD.6a

2

2.正方体的棱长为1,P为DD］的中点，。为底面A3CD的中心，那么"＞］与平面PAO所成角的正

切值为

(A)字(B)V2(C)2V2(D)以上皆非

3.设长方体的三条棱长分别为。力，C,假设其所有棱长之和为24,一条对角线的长度为5,体积为

2,那么—I-----1—为

abc

114112

(A)J(B)—(C)—(Di­

ll211

4.长方体的外表积为22m2,所有棱的总长度为24cm，那么长方体的对角线的长度是()

A.yj\AcmB.VlTcmC,-JV2cmD.y/13cm

5.如图在正方形ABCD—AiBiCiDi中，M是棱DDi的中点，0为底面ABCD

的中点，P为棱AiBi上任意一点，那么直线OP与直线AM所成的角的大小

为()

A.一B.■—C.—D.与P点位置有关

432

6.如图，在长方体ABCD—ABiG'中，

AB=6,AD=4,AAi=3,分别过BC、AXD,

的两个平行截面将长方体分成三局部，其体积

分别记为匕=LEA-OFR'匕=VB[E[B=CIF1C°

假设匕：匕：匕=1:4:1,那么截面AEED]的面积为()

(A)4^/10(B)8A/3(C)4V13(D)16

7.如右图，正方体ABC。-A31GA中，E、尸是异面线段A。和AC的

中点，那么E/和3D]的关系是

A.相交不垂直B.相交垂直C.平行直线D.异面直线

8.如图在正方形ABCD—AiBiCiDi中，M是棱DDi的中点，0为底面ABCD

的中点，P为棱AiBi上任意一点，那么直线OP与直线AM所成的角的大小为。

A.—B.—C.—D.与P点位置有关

432

9.长方体全面积为24cm2,各棱长总和为24cm,那么其对角线长为cm.

10.正方体的外表积为m,那么正方体的对角线长为

11.长方体ABCD—A5G2中，AB=AD=1,BB、=2,E为的中点.

⑴求证：AE_L平面ARE；(2)求二面角E—A2-A的正切值;

⑶求三棱椎A-GAE的体积.

12.在正方体ABC。—ABIGA中，（1）求证：平面45。，平面ACGA；

〔2〕求直线A3与平面ACGA所成的角。

13.如图，在正方体ABCD—A4CA中，E、支分别是55]、CD

的中点.（1）证明：[2）求直线AE与功厂所成的角；

〔3〕证明：平面平面

14.如图，在长方体ABC。-A4GA中，AB=AD=：AA,点G为

CG上的点，且CG=：CC1。11）求证：CR，平面ADG；12）求二面角C—AG—。的大小〔结果用

反余弦表示）。D[g

15.在正方体A8CD-4BCLDI中，E、F分别是。山、B。的中点，G在棱CD上，=%工'（1）求

4

证：EF_LBiC；12）求EF与QG所成角的余弦值；

[3）求二面角F—EG—Ci的大小〔用反三角函数表示）.Dc,

13）证明：平面人石。，平面4包＞].

l\f2rn

答案：1、A2.B3.A4.A5.C6.C7.D8.C9.2V310>-^―

11.解[1)：A[E=®AE=叵[12)AA1=2.*.A1E±AE

又AE_LAiDi；.AE_L平面A1D1E

(2)取AAi中点F,过F作FP_LADi：EF_L平面AAiDiDFPXADi.'.EPXADi

NFPE即为E-ADi-Ai的平面角

EFr-

在Rt^AAiDI中，可求tan/P£=——=J5

FP

[3)VEF//C1D1・・・EF〃平面ACiDi

AVA-CiDiE=V-ACIDI=V-ACIDI=V-AFDi

EF5r

=|sAAFD1.C]D1=|x(lxlx2)xl=l

12.30°13.90°14.arccos-----15.------arctanV13

1017

16.解：①：ABCD—A5GD1是正方体，，面。G.又D/u面DG，，AD1D.F.

②取AB中点G,连结AG、FG.易证GED14是平行四边形....AG〃。R.

设AG与AE交于点”，NA/Z411或其补角）是AE与。R所成的角.

E是BB］的中点，，RtZ\AAGgRt^ABE,ZGAXA=ZGAH,

ZAHA,=90°,即AE与所成的角为90°.

③由①知AD_LQF,由②得AE_LDiF,：ADcAE=A,.•.°F_L面AEO.

2Eu面AlFDl,面AEDL面AxFDy.

四、二面角

1.二面角a-1一1内一点尸到平面名A和棱/的距离之比为1:6:2,那么这个二面角的平面角是

度.

2.E是正方体AG的棱3c的中点，那么二面角R-5]E-a的正切值是U

V3

B.----D.——

22

3.假设一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系

是（）

A相等B.互补C.相等或互补D.不能确定

4.等边三角形A3C的边长为1,沿BC边上的高将它折成直二面角后，点A到直线3c的距离是（）

V146V3

A.1B.------C.—D.—

422

5.E是正方体AC1的棱3c的中点,那么二面角用石-G的正切值是。

B.无

A.

22

6.如图，二面角（z-/一夕的平面角为120。，AC<za,BDJ3,AC±I,

BD±l,AC=BD=3,8=4。（1）求AB的长；[2）求直线AB与C£>

所成的角。

7.如图，四棱锥P——ABCD中，底面ABCD为正方形，

侧面PDC为正三角形，且平面PDCJ_底面ABCD,E为PC的中点.（1）求

证：PA〃平面EDB；〔2）求证：平面EDB_L平面PBC；〔3）求二面角D—PB—

C的大小.

8.如图，四棱锥P—ABCD中，PB_L底面ABCD,CO_LPD.底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AB±BC,

AB=/W=PB=3.点E在棱R4上，且PE=2EA

（1）求异面直线必与C。所成的角;

（2）求证：PC〃平面EBD；

（3）求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）.

答案：1.90。或150。2.B3.B4、B5、B6.灰

7.arctanV68.600arctan75

〔二）直线和圆的

一、直线方程

1、直线的方程知识点汇总；

（1）点斜式：直线过点（％,%）斜率为左，直线方程：y-稣=左（%-%）,它不包括垂直于x轴直线；

12）斜截式：直线在y轴上的截距为》和斜率左，直线方程：丁=丘+。,它不包括垂直于％轴直线；

（3）两点式：直线经过《（国,%）、£（%,%）两点，直线方程：上2」=上二工，它不包括垂直于

为一M无2一%

坐标轴的直线；

（4〕截距式：直线在x轴和y轴上的截距为。步,直线方程：二+上=1,它不包括垂直于坐标轴的直线

ab

和过原点的直线；

[5）一般式：任何直线均可写成加+为+。=0//不同时为0）的形式.

提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；

（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

直线两截距相等O直线的斜率为-1或直线过原点；

直线两截距互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点；

直线两截距绝对值相等O直线的斜率为±1或直线过原点.

如过点4（1,4）,且纵横截距的绝对值相等的直线共有一条〔答：3）

2、解题方法指导：

设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距6,常设其方程为丁=履+人；

12）知直线横截距与,常设其方程为x=+（它不适用于斜率为0的直线）；

13）知直线过点（%,为），当斜率左存在时，常设其方程为y=A（x-%）+%），当斜率左不存在时，那

么其方程为x=x（）；

14）与直线/:Av+5y+C=0平行的直线可表示为天+用v+C]=0；

〔5〕与直线/:Ac+5y+C=0垂直的直线可表示为&—Ay+G=O.

16)经过两条直线AX+BQ+G=0和4%+为丁+。2=0的交点的直线系方程为：

Axx+Bxy+Cx+2{A2x+B2y+C2)=0〔4为参数).

3、范例剖析

11)直接法

4

例1、直线/在y轴上的截距为3,且倾斜角a的正弦值为二，求直线I的方程.

434

解：sin«=—,costt=±—,直线的斜率左=±—

553

故所求直线/的方程为y=±%x+3,即4x—3y+9=0或4x+3y—9=0

评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本

例时不要混淆概念，倾斜角应在[°，])内，从而cosa有两个解.

12)待定系数法(公式法)

例2、过点P(2,1〕作直线/交羽y正半轴于4B两点，当|PA|・|P8|取到最小值时，求直线/的方程.

解：设直线/的方程为：y—1=左(％—2),(左W0)

令y=0解得x=2-0；令x=0,解得y=l-2左，.，.A[2-—,0),B[0,1-2左〕，

kk

：.\PA\-\PB\=)J(l+-^)(4+k2)=18+4(42+J)NJ8+4X2=4

当且仅当左2=1即左=土1时，|24|・|/>8|取到最小值.又根据题意左<0,，左=—1

所以直线/的方程为：x+y—3=0

〔3〕直线系法：

直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系.它的方程叫做直线系方程.

例3.求过4：2x—3y+2=0与4：3x—4y—2=0交点且与直线4x+y—4=0平行的直线方程.解：

设乙与4交点的直线方程为：(2x—3y+2)+〃3x—4y—2)=0(*)

即(2+3A)x+(—3—4A)y+2—2A=0

2+32-3-4214

因为所求直线与4x+y—4=0平行，所以七2±二,解得2=——

4119

将彳=—历代入（*）,得:所求直线方程为4x+y—66=0

⑷参数法

例4、直线/经过M（0,1）,且被直线/]：x-3y+10=0和4：2x+y-8=0所截得的线段恰以M为中点，

求直线/的方程.

解：设/交4于A（3t-10,t）,/交4于Biu,8—2u）,利用中点坐标公式得：

3t—10+u=0

s=t=2,.,.A[-4,2）

f+8—2u=2

由直线方程的两点式可得，直线/的方程为：2v——1=-x--—--0-,即x+4y-4=0.

2-1-4-0

[5）结构分析法：

例5、两直线:。以+8y+l=0和4：〃加+办2>1=0的交点为尸（2,3）,求过两点Q（防，"）、Q2（。2，

历）的直线方程.

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：VP[2,3）在直线上，/.2^1+3/71+1=0,2。2+3①+1=0.

/.2[的一怎）+3（"一=0,BP————.

/一%3

一2

・••所求直线方程为y—仇二一1tx~a\],；.2x+3y—〔2。1+3济）=0,即2x+3y+l=0.

4、稳固练习题：

11）过点P[2,1）作直线/交x轴、y轴正方向于小B,求使AAOB的面积最小时的直线/的方程.

12）过点P[3,0）作一直线，使它夹在两直线4：2x—y—2=0和/2：x+y+3=0之间的线段AB

恰被P点平分，求此直线方程.

〔3〕一直线被两直线4x+y+6=Q,Z2：3x—5y—6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求

该直线方程.

[4）求过点P[2,3）,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

（5）直线方程Ax+5y+C=0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质？

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交;（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.

（6）求与直线Z：5x-12y+6=0平行且到I的距离为2的直线的方程.

（7）假设两条直线乙：aYx+bxy=3,/2：/了+b2y=3相交于点P（1，2）,试求经过点A（%,仇）与

B（a2,b2）的直线方程.

答案：

(1)解：设所求直线方程为土+2=1,那么由直线/过点P[2,1),得一+—=l(a>0,b>0)

abab

即b=，-,由6>0,得a>2,

〃一2

bi1j1aa?la2—4+414

所以S^=—ab=—a-----=-------=-----------=—(a+2-l-----)

MOOBB22a-22(a-2)2a-22a-2

4

当且仅当a—2=——，即a=4,人=2时，5AA取得最小值为4

此时所求直线方程为?+5=l,即x+2y—4=0

(2)解：设所求直线分别与4、4交于A、B,因为A在乙直线上，故可设A。，2Z-2)

又P(3,0)为AB的中点，由中点坐标公式，得—2-20

—,即4"，—)

由B在4上，得(6—，)+(2—21)+3=0,解得右

333

由两点式得所求直线方程为8x-y-24=0.

(3)解：设所求直线与/一乙的交点分别是A、B,设4%,打)，那么B点坐标为(一%,一打)因为4、

4X()+%+6=0①

B分别在/「4上，所以<

一3%Q+5y0-6=0(2)

①+②得：Xo+6%=O,即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，所以直线/的

方程为x+6y=0.

(4)解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x—2y=0

假设截距不为0,那么设直线方程为二+1=1将点P(2,3)代入得一+3=1,解得a=5

aaaa

...直线方程为二+)=1,即x+y=5.

55

⑸答：⑴当AWO,B,0,直线与两条坐标轴都相交.

(2)当A/),2=0时，直线只与x轴相交.

(3)当A=0,B9时，直线只与y轴相交.

(4)当A=0,B和,C=0,直线是x轴所在直线.

(5)当A/),2=0,C=0时，直线是y轴所在直线.

(6)解：设所求直线的方程为5x-12y+c=0.在直线5x-12y+6=0上取一点Po[0,g),点尸o到直线5

—12XFCI乙।Ii

2c—6\c—6r|

x-12y+c=0的距离为：d=/=」——L由题意得——^=2.所以『32或c=-20.所以所求直线

'752+(-12)21313

的方程为5xT2y+32=0和5X-12厂20=0.

⑺解:将与4的交点P11，2）代入乙与4的方程，得为+2仇=3,«2+2b2=3

根据以上两式的结构特点易知：点/（马，4）与3（出，打）的坐标都适合方程无+2y=3

故经过点A、B的直线/的方程为x+2y=3

二、圆的方程

1.圆的标准方程与一般方程

①圆的标准方程为（X—a）?+（y—b¥=/，其中圆心为（凡加，半径为「；

nFJn2+p2_Ap

②圆的一般方程为f+）；2+m+4+/=0,圆心坐标（_万,_,），半径为-------------。方程

表示圆的充要条件是。2+£2—4。>0

2.假设圆（x-«）2+（y-6）2=/与％轴相切，那么।加=「；假设圆5,«）2+“一»2=/与丁轴相切,

那么|a|=厂

3.假设圆f+/+瓜+Ey+E=0关于x轴对称，那么遇=0；

假设圆d+/+£）x++歹=0关于y轴对称，那么£）=0；

假设圆好+/+瓜+4+尸=0关于y=》轴对称，那么。=£;

4、点M（%,%）与圆V+V+瓜+£y+R=o的位置关系：

M在圆内<^>Xg+%+DXQ+Ey^+厂<0

"在圆上o%（/+y（）2++£%+F=0

2

M在圆外oXQ+y0+Dx0+Ey0+F>0

2、范例剖析

考点1圆的方程

题型1：对圆的方程的认识

[例1]设方程x°+y2—2（m+3）x+2（l—4m2）y+l6ml+9=0。

[1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。

[2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。

[3）求圆心的轨迹方程

解:⑴由。2+炉一4/>0得：40+3）2+4（1-4疗y-4（16—+9）>0,

„11

化简得：7根2—6m—1<0,解得：——<根<1,所以当——〈机<1时，该方程表示一个圆。

77

,、A/Z)12+£2-4F

[2)=--------------(-7加2+6加+1，当机=■时，Qax=~~~

2

x=m+3。

[3)设圆心C(x,y),那么｛,消去加得y=4(x—3)2—1

y=4m-1

iof)170

,/——<m<l一<x<4:所求的轨迹方程为(x-3)2=—(y+1)(一<x<4)

774-7

注：［1)圆的一般方程，要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；［2)第3问求圆心的

轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y

的范围

题型2:求圆的方程

［例2］(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y在=0上的圆的方程;

⑵求以0(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形0AB外接圆的方程。

【解题思路】根据条件，列方程组求参数

2a—b—3=0a=4

［解析］m设圆心c(a,。)，那么有《

(a—5尸+3—2尸=(a—3)2+3—2)

.•・半径r=厢，所求圆的方程为(x—4下+(y—5下=10

(2)采用一般式，设圆的方程为炉+产+瓜+份+/=0,将三个点的坐标代入得

>=0=-2

<2D+F+4=0，解得：<E=-4故所求圆的方程为炉+炉一2%一4丁=0

4E+F+14=0卜=0

注：(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当

条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程

练习题：

1.假设ae{—2,0,l,2},方程/+/+。*+2。>+2/+。—1=0表示的圆的个数为〔).

4

A、0个B、1个C、2个D、3个

5

2.假设圆/—2x—4y=0的圆心到直线x—y+a=0的距离为己-，那么a的值为〔)

13

A.-2或2B.—或一C.2或0D.-2或0

22

3.与两坐标轴都相切，且过点(2,1)的圆的方程为

4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为()

A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-l)2+y2=16D.%2+(y-l)2=16

答案：1、解析:B

a2+(2a)2-4(2«2+«-l)>0得一2<。<§,满足条件的a只有一个，方程

x2+y~+ux+2ay+2al+ci—1—0表示的圆的个数为1.

2、解析：C圆X?+y2—2x—4y=0的圆心为[1,2),1个—〔==>a=0或2

3、(x-l)2+(y-l)2=1或(x-5)2+(y_5)2=25

4、B设P(x,y),那么4[(x—2)2+/]=(%—8y+化简得―+/=胎

三、直线与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比拟来判断，设圆心到直线的距离为d,圆半径为r,

假设直线与圆相离，那么d>r；假设直线与圆相切，那么d=r；假设直线与圆相交，那么d<r②代

数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，假设A>0,那么

直线与圆相离;假设A=0,那么直线与圆相切;假设A<0,那么直线与圆相交

2.两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为小g,圆心距为d

假设两圆相外离，那么+r,公切线条数为4

假设两圆相外切,那么d=R+r,公切线条数为3

假设两圆相交R—r<d<R+r,那么，公切线条数为2

假设两圆内切，那么d=H-公切线条数为工

假设两圆内含，那么d<H—r,公切线条数为Q

(2)设两圆G:+E1y+耳=0,C2:+y?+D?x+E2y+—0,假设两圆相父,

那么两圆的公共弦所在的直线方程是-2)x+(E]-E2)y+S-F,)=0

3.相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解

②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为T

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即A