湖北省武汉市华科附中、吴家山中学等五校2025届高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析

湖北省武汉市华科附中、吴家山中学等五校2025届高一数学第二学期期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点P(，)为角的终边上一点，则（）A． B．- C． D．02．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．904．数列中，，，则()．A． B． C． D．5．若，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（）A． B． C． D．7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则8．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A． B． C． D．9．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为A． B． C． D．10．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.12．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.13．函数的最小正周期为______________.14．若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为15．若直线的倾斜角为，则______.16．函数的最小正周期___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，．（I）求函数的最小正周期．（II）求函数的单调递增区间．（III）求函数在区间上的最小值和最大值．18．(1)计算(2)已知,求的值19．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求;（2）若，求.20．设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.21．正项数列的前项和为，且.（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和为.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据余弦函数的定义，可直接得出结果.【详解】因为点P(，)为角的终边上一点，则.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记概念即可，属于基础题型.2、B【解析】

根据线面和线线平行与垂直的性质逐个判定即可.【详解】对①,,,不一定有,故不一定成立.故①错误.对②,令为底面为直角三角形的直三棱柱的三个侧面,且,,,但此时,故不一定成立.故②错误.对③,,,,则成立.故③正确.对④,若,,则,或,又,则.故④正确.综上,③④正确.故选：B【点睛】本题主要考查了根据线面、线线平行与垂直的性质判断命题真假的问题,需要根据题意举出反例或者根据判定定理判定,属于中档题.3、C【解析】

由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，整理得，又因为，所以，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.4、B【解析】

通过取倒数的方式可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而得到结果.【详解】由得：，即数列是以为首项，为公差的等差数列本题正确选项：【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.5、D【解析】

通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【详解】若，，则，错误；，则，错误；，，则，错误；，则等价于，成立，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.6、B【解析】

作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积.【详解】由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：由直观图可知，底面是边长为的正方形，其面积为；侧面是等腰三角形，且底边长，底边上的高为，其面积为，且；侧面是直角三角形，且为直角，，，其面积为，，的面积为；侧面积为等腰三角形，底边长，，底边上的高为，其面积为.因此，该几何体的表面积为，故选：B.【点睛】本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.7、D【解析】

根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，，则可能平行、相交、或异面；故A错；B选项，若，，，则可能平行或异面；故B错；C选项，若，，，如果再满足，才会有则与垂直，所以与不一定垂直；故C错；D选项，若，，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.8、A【解析】由几何概型公式：A中的概率为，B中的概率为，C中的概率为，D中的概率为．本题选择A选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．9、A【解析】

如图做辅助线，正方体中，且，P，M为和中点，,则即为所求角，设边长即可求得．【详解】如图，取的中点，连接，，.因为为棱的中点，为的中点，所以，所以，则是异面直线与所成角的平面角.设，在中，，，则，即.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键在于构造包含异面直线所成角的三角形．10、D【解析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先作出线面角，再利用三角函数求解即可．【详解】如图，设正四棱锥的棱长为1，作在底面的射影，则为与底面所成角，为正方形的中心，，，，故答案为．【点睛】本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．属于基础题.12、2【解析】

由截得圆台上，下底面积之比可得上，下底面半径之比，再根据小圆锥的母线即可得圆台母线．【详解】设截得的圆台的母线长为.因为截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，所以截得的圆台的上、下底面半径之比是1:2.因为截去的小圆锥母线长为2，所以，解得.【点睛】本题考查求圆台的母线，属于基础题．13、【解析】

利用函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【详解】函数y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为．14、【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为.15、【解析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.16、【解析】

利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.【详解】依题意，故函数的周期.故填：.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）的最小正周期;（II）的单调递增区间为;（III）;【解析】试题分析;（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；（3）根据x的取值范围求出2x+的取值范围，从而求出f（x）的最值（I）因此，函数的最小正周期．（II）由得：．即函数的单调递增区间为．（III）因为所以所以18、(1)1+；（2）.【解析】

（1）利用对数的运算法则计算得解；（2）先化简已知得,再把它代入化简的式子即得解.【详解】（1）原式=1+；（2）由题得，所以.【点睛】本题主要考查对数的运算，考查诱导公式化简求值和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【详解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【点睛】本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.20、（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解析】

（1）根据题意，直接列出即可（2）利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3）利用（2）的结论完成（3）即可。【详解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即综上“”的充要条件是“”（3）等价于等价于由（2）得“=”的充要条件是“”即“=”是“”的充要条件【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.（