湖南省张家界市2024届高考考前模拟数学试题含解析

湖南省张家界市重点中学2024届高考考前模拟数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.斜率为1的直线1与椭圆、+y2=l相交于A、B两点，贝!J|AB|的最大值为（）

4^/5„4M8^/10

A.2B.nu.---------

555

13

V4,C=log14,

2.已知a=logi2131=|13则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（)

4.国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入.某研究机

构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表,由下表可

知下列叙述错误的是（）

2010-2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比情况（单位：亿元,％）

500005.00%

4.16%4.10%4受%4.22%4.14%,"%

450004.28%4.50%

3.83%^*^-

400003.66%369904.00%

3500012922131.||3.50%

3000()3.00%

231482誉8.।HIII

250002.50%

200002.00%

1.50%

l.(X)%

0.50%

0.00%

w201x02011iH20122013l2L01420L15201L62017L2018

■财政性教育经费支出（亿元）财政性教育经费占GDP比田：（％）

A.随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长

B.2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上

C.从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿

D.从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年

5.已知函数f（x）满足当尤＜0时，2/（x-2）=/（x）,且当xe（—2,0］时，/（x）=|x+11—1；当％＞0时,

/0）=108“欢。＞0且。/1）.若函数/。）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则。的取值范围是（）

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

6.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位

数恰好为5的概率是（)

2863

A.C.—D.-

3535357

7.下列函数中，在区间（O,+。）上为减函数的是（）

2

A.y=Vx+TB.y-x-1C.y—D.y=log2x

其中三视图的长、宽、高分别为2,a,b,且2a+b=g（a＞0力＞0）,则

8.已知一个三棱锥的三视图如图所示,

此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

正线四倒槐的

B.-71C.4%D.57r

4

b，C满足：a-Z?=O,|c|=l,|«-c|=|z?-c|=5,则a-8的最小值为(

9.已知平面向量Q,)

A.5B.6C.7D.8

10.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般

滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种(含两种)以上的肉

混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()

A.20B.24C.25D.26

11.设集合A=Uly=2*-1,x^R},B={x\-2<r<3,x^Z},则AnB=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

12.若a>0,b>0,贝！|““+。>4”是“ab<4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等边三角形ABC的边长为1.AM=2MB点N、T分别为线段BC、C4上的动点，则

AB-NT+3C7M+CA-MN取值的集合为

14.已知圆柱的上下底面的中心分别为a，a,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该

圆柱的体积为__

15.已知尸为抛物线C：，=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),则APMF周长的最小值是.

lx2+5x+4|,x<0..

16.已知函数/■(;<)=L,1，若函数y=/(%)—ax恰有4个零点，则实数a的取值范围是________.

2|x-2],x>0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=xlnx与丁=。有两个不同的交点4B,其横坐标分别为知%(^<X2).

(1)求实数。的取值范围;

z-x-p->-r,3<7+2+e3

(2)求证：ae+1<x2-<---------

18.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线C的标准方程为土+>2=1.以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

4-

极坐标系，直线/的极坐标方程为何sin6+(=3百.

(1)求直线/的直角坐标方程;

(2)若点p在曲线C上，点。在直线/上，求IPQI的最小值.

19.(12分)函数/(x)=«x-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求实数。的集合M；

(2)当aeM时，判断Ax)图象与g(x)图象的交点个数，并证明.

(参考数据：出220.69,1:1.77)

20.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXSO,家长猜测的序号依次为其中

2

XAXBXCXD和班班"加)都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(XA-yA)2+(XB-JB)+(xc-yc)2+

(xD-yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

21.(12分)如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,

CF=瓜EDCFABCD.

B

⑴求证：DF1平面ABE；

⑵求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为且，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

22.(10分)已知椭圆C：W+£=1(a>^>0)的离心率为孚，且经过点1—1,等)

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(6,0)作直线/与椭圆。交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点。使得直线QA与直线恰

关于x轴对称？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去山根据判别式大于0求得f的范围，进而利用弦长公式求得|4初的表达式，利

用f的范围求得以为的最大值.

【详解】

解：设直线/的方程为y=x+f,代入'+y=1,消去y得一，+2枕+1-1=0,

44

由题意得^=⑵)2-1(Z2-1)>0,即/2<1.

弦长|AB|=40x或H4生匝.

55

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问

题的突破口.

2、D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较。和。的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<匕=("<],

由对数函数的图像与性质可知a=logi213>l,c=log1314>l,所以b最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

-lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

一Igl2-lgl3

一］¥

由基本不等式可知lgl2,lgl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

「［f

2lg213--(Igl2+lgl4)

嵯13-Igl2.lgl4301

Igl2-lgl3'Igl2-lgl3

(iY

lg213--lgl68

_______1

"Igl2-lgl3

riwi

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

_I2八2J

~Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lgA^68)

—Igl2-lgl3

所以

综上可知

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

3、A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

4、C

【解析】

观察图表，判断四个选项是否正确.

【详解】

由表易知A、B、。项均正确，2010年中国G0P为"Sa41万亿元，2018年中国G0P为当”=90万亿元,

3.55%4.11%

则从2010年至2018年，中国GDP的总值大约增加49万亿，故C项错误.

【点睛】

本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础.

5、C

【解析】

先作出函数/（%）在（一*0］上的部分图象，再作出/（X）=log。x关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点

时满足的条件，解之即可.

【详解】

先作出函数f（x）在（-8,0］上的部分图象，再作出/（X）=log“X关于原点对称的图象,

如图所示，当0＜。＜1时，对称后的图象不可能与在（-8,0］的图象有3个交点;

当。＞1时，要使函数/（元）关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

a>\

Tog。3〉一g,解得9<a<625.

则

,「1

-log„5<--

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

6、B

【解析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有所有的情况有《种，由古典概型的概率公式即得解.

【详解】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有所有的情况有种

由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：

故选：B

【点睛】

本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

7、C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间（0,+8）上的单调性，进而可得出结果.

【详解】

对于A选项，函数y=门在区间（0,+8）上为增函数；

对于B选项，函数丁=炉-1在区间（0,+。）上为增函数；

对于C选项，函数y=在区间（0,+"）上为减函数；

对于D选项，函数y=10g2X在区间（0,+8）上为增函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

8、B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体A3CD-4耳£2的四个顶点，即为三棱锥A-C与2,且

长方体ABC。—ABIGR的长、宽、高分别为2,a,b,

n

...此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-A6G。的外接球，

且球半径为R=6+4+/="+/+/,

22

.•.三棱锥外接球表面积为4»"+=^（4+a2+Z.2）=5^（a-l）2+—，

121

.•.当且仅当a=l,6=7时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为二乃.

24

故选B.

【点睛】

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

9、B

【解析】

rr

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设c=(cosasind),OA=a,OB=b,且4(加,0),8(0,9，由于

|«-c|=|z?-c|=5,所以77解e[4,6].

a-c=(m-cosa一sind)，〃一c=(—cos0,n-sin6).所以

m2-2mcos0+cos28+sin?8=25

即+“2=48+2/17cos0+2nsin0•

n2-Znsin^+sin2^+cos20=25

J(a-c)_2(a_<?)•(/?_c)+(〃-c)=^48+2mcos3+2nsin0

==

=ylnr+n2>y/2mn•当且仅当m=n时取得最小值，此时由机？+/=48+2mcos，+2"sin，得

2〃/=48+2m(sin，+cos，)=48+2j5msin[，+?J,当。=子时，2根？有最小值为48—2/n，即

l5%rr

2m2=48-2V2m>m2+V2m-24=0>解得m=30•所以当且仅当根=〃=342,。=7-时a—b有最小值为

,2x(3何=6-

故选：B

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

10、D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为C；+C；+或+C；,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为=20+5+1=26（种），

故选：D.

【点睛】

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

11,C

【解析】

先求集合4,再用列举法表示出集合凰再根据交集的定义求解即可.

【详解】

解：•.•集合4={加=2,-1,xe/?!={jly>-1},

B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

/.AnB={0,1,2,3）,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.

12、A

【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取。,6的值，推出矛盾，确定必要

性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当。>0,匕>0时，a+b>14ab，则当a+/?W4时，有2病<a+6<4,解得充分性成立；当。=1,匕=4

时，满足就44,但此时。+6=5>4,必要性不成立，综上所述，“。+/?44"是“"<4”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取6的值，从

假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标，依题意求出NT,TM，又N，的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以8C的中点。为坐标原点,BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为丁轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则A(0,网,6(-l,0),C(l,0),M

则A3=(—1,—@贵=(2,0),C4=(-1,6),

设N”,0),AT=AAC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(Q,j3)+4(1,—6)=(2,73(1-2)),

即点T的坐标为(九y/3(l-2)),

则NT=(/lT,若(1—X)),77Vf=-1-2,y^-73(l-2),MN=?+

所以AB•NT+BCTM+CA-MN

=-lx(Z-0+(-5/3)xV3(l-/l)+2xf-1-zj+0xy—73(1-2)+

=-6

故答案为：{-6}

本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

14、54"

【解析】

由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.

【详解】

解：因为轴截面是正方形，且面积是36,

所以圆柱的底面直径和高都是6

V=兀=%x32x6=54%

故答案为：54〃

【点睛】

考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.

15、5+V17

【解析】

△PMF的周长最小，即求|「河|+|尸/I最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为Q,转化为求1尸河1+1PQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线C：，=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：必=8/的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2.

过P作准线的垂线，垂足为Q,则有I尸/l=|PQI

|PM|+|PF|=|PM|+|P2|>|MQ\=5,

当且仅当/，尸,Q三点共线时，等号成立，

所以△PMF的周长最小值为5+J（—4f+（3—=5+717.

故答案为：5+V17.

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

16、（L3）

【解析】

函数V=/（x）—恰有4个零点，等价于函数/（元）与函数y=a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用

数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数y=/（x）—恰有4个零点，等价于函数f（x）与函数）的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图

所示:

故答案为:(1,3)

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(一5°］；(2)见解析

【解析】

(1)利用导数研究/(x)=xlnx的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

11(fl

(2)构造函数g(x)=-x-xlnx,hCx)=----(无一1)一jdnx可证得：-x>xinx,----(x-l)>xiwcxe-,1

e-1e-V7I(e

分析直线y=y=」一(x—l)与y=a

从左到右交点的横坐标，/(X)在x=e-3,无=1处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数/(x)=xlnx,

/'(%)=1+lnx,

令尸(x)>0，x>L4'/'(x)<0,0<x<—

故/（九）在（0，）单调递减，在g,包）单调递增,

•.y=/II

•・•尤f0+时/(%)-。；/(1)=0；时/(%)—+8

贝！|令g(x)=f_xlnx,XG^O,-

短(x)=-2-lnx

=g(%)max=g("2)，g(x)mta>min0,

/

=^>-x>xiwcxe

②过点（i,o）,H，—1的直线为了=匕（犬一1）,

l

贝！|/z(x)=---(x-l)-xlnxXG

e-1{

〃(x)=T—In%—1>0n/z(x)在上单调递增

=>/z(x)>/z(』)=O=>^"^(x—l)>xhuxe^—,1

③设直线y=_x,y=」一(x—l)与y=a

c—\

从左到右交点的横坐标依次为退=-。，5=a（e-D+l,

由图知/一%>x4~x3=ae+l.

④/(x)在x=e-3,兀=1处的切线分别为丫=—2工—"3,y=x-l,同理可以证得

记直线丁=。与两切线和/z(x)从左到右交点的横坐标依次为七，西，%,天,

3a+2-a

2

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.

18、(1)x+y-36=0(2)回

【解析】

(1)直接利用极坐标公式计算得到答案

(2)设P(2cosa,sina),1=电网经处之包，根据三角函数的有界性得到答案.

【详解】

(1)因为隹osin，+m=36,所以0sine+/?cos6-3百=0,

因为＜.八所以直线/的直角坐标方程为x+y-3君=0.

y=psme.

(2)由题意可设尸(2cos%sina),

则点P到直线l的距离d=12cosc+，9"3君|=函sm(*y-36

V2V2

因为一1麴bin(a+e)1,所以J蕊H2y/10,

因为IPQI.S,故IPQI的最小值为JIU.

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

19、(1){1}；(2)2个，证明见解析

【解析】

(1)要，(x)..O恒成立，只要/(元)的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看了(元)是否有最小值;

(2)将图像与g(x)图像的交点个数转化为方程/(x)=g(x)实数解的个数问题，然后构造函数

=/(x)-g(x),再利用导数讨论此函数零点的个数.

【详解】

(1)/(x)的定义域为(—1,+8),因为/'(x)=a———,

x+1

1。当％0时，/'(为<0,75)在土©(0,4«>)上单调递减，去e(o,4w)时，使得/。)</(0)=0,与条件矛盾；

2。当。>0时，由/'(幻<0,得—l<xJ—1；由/(%)>0,得x〉L—1,所以/(尤)在(―J—1］上单调递减，

aa\aJ

在］T,+j上单调递增，即有狐(x)=d=l—a+lna,由/'(x)..0恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

1\-

令h(a)=1-a+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----a,

aa

若0<a<1,h'(d)^0,h(a)<h(l)=0；

若a>L〃(a)<O,7z(a)<7z(l)=O；而a=l时,h(a)=O,要使l-a+lna.O恒成立,

故H.

(2)原问题转化为方程/(x)=g(x)实根个数问题，

当。=1时，“X)图象与g(x)图象有且仅有2个交点，理由如下:

由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=O,令°(x)=x-ln(x+l)-sinx,

因为9(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

x+1

1。当_l<x<0时，1---—(0,cosjf)0,

x+1

所以“(九)<o,9(x)在(-1,0)上单调递减，以%)>9(0)=0,即°(幻=。在(-1,0)上无实根;

2。当0cx<3时，(p\x)=---+sinx>0,

(x+1)?2

n2

则9(x)在(0,3)上单调递递增，又°,=1------>0,^(0)=-1<0,

71+2

0,11,且满足1-1

所以9,(x)=0在(0,3)上有唯一实根xo,xoe----7=cos%,

%+1

①当O<x,不时，9(x),,0,9(x)在(0,%］上单调递减，此时。(%)<。(0)=0,。(%)=0在(0,九()］上无实根；

二1

②当x0<x<3时，/(％)>0,0(%)在(%,3)上单调递增，=+=

2+1

2,\

<ln----(lnl=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0„,,八才/文、L七保》4H

兀、//，故。(幻=。在(%，3)上有唯一实根.

--ri

2

3。当xN3时，由(1)知，％Tn(l+x)—l在(0,+co)上单调递增，

所以x-ln(l+x)-L.2-21n2=21n］>0,

故"(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以°(x)=0在［3,+oo)上无实根.

综合1。，2°,3°,故0(%)=。有两个实根，即/(尤)图象与g(x)图象有且仅有2个交点.

【点睛】

此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.

3

20、(l)(i)：(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

O

【解析】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有禺=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=」，三轮游戏结果

都满足“X<4”的概率为工<二，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)CO若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为XA,XB,xc,期为1234的情况，家长的排序有=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况,

只需将角标A,B,C,。按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序X4,XB,XC,。为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACD5,

再研究yAyBycyn的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

•••他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为！3.

O

5)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

11111111111

P

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(D可知，在一轮游戏中，

P(XV4)=尸(X=0)+P(X=2)=L

6

三轮游戏结果都满足4”的概率为(4)3=，〈工.，

62161000

这个结果发生的可能性很小，

...这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

21、(I)见解析(II)生亘(III)\BP\=2

3111

【解析】

试题分析:

(I)取。为原点，ZM所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面A3E的法向量

n=(73,0,1),且DE=(—1,2,6)，据此有则"V/平面ABE.

(II)由题意可得平面螭的法向量机=(2道,6,4),结合(I)的结论可得IcosOU曰m=一1，即平面ABE

\)11\m\-\n\31

与平面EFB所成锐二面角的余弦值为豆豆.

31

(!!!)设。尸=40b=卜42%g),2e[0,l],则取二㈠―1,24—2,&),而平面ABE的法向量

八=(百据此可得sin6=kosBP,“=-^,解方程有人;或彳,据此计算可得网=2.

试题解析:

(I)取。为原点，ZM所在直线为x轴，。石所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则4(1,0,0),5(1,2,0),

E(0,0,6),网—1,2,指)，，丽=(-1,—2,若)，AB=(