北师大版八年级数学下册专题2.8一元一次不等式与一元一次不等式组章末八大题型总结(拔尖篇)(原卷版+解析)

专题2.8一元一次不等式与一元一次不等式组章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 1【题型2不等式组的有解或无解问题】 1【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 2【题型4根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 2【题型5利用不等式求最值】 3【题型6不等式中的新定义问题】 3【题型7解绝对值不等式】 4【题型8方程与不等式（组）的实际应用】 6【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】【例1】（2023上·浙江金华·八年级校考期中）已知不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，那么a满足条件（

）A．6<a<8 B．a≥6 C．6≤a<8 D．a≤6【变式1-1】（2023下·湖北武汉·八年级期末）关于x的不等式组x>2mx≥m−3的最小整数解为1，则m的取值范围是（

A．−3≤m<1 B．0≤m<12 C．3<m≤4 D．0≤m<【变式1-2】（2023下·江苏南通·八年级统考期末）若x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为（）A．﹣1<m<0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1<m≤0【变式1-3】（2023下·安徽亳州·八年级校考期中）若关于x的不等式组5x+2>4(x+m),−x3−1<4−4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2不等式组的有解或无解问题】【例2】（2023下·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）若不等式组{x≥ax≤b无解，则不等式组{x>3−aA．x>3−a B．x<3−b C．3−a<x<3−b D．无解【变式2-1】（2023下·四川成都·八年级校考期中）已知不等式组4x+a<2x−34x<5【变式2-2】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）对于不等式组x>1x≤a，以下结论中：①若a=2，则不等式组的解集为1<x≤2；②若a=−1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a<1；④若不等式组只有一个整数解，则1<a<3．其中正确的结论是：【变式2-3】（2023下·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）若关于x的一元二次方程a−2x2+2x−3=0有解，且关于y的不等式组y−2≥2y−13【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】【例3】（2023下·甘肃酒泉·八年级统考期末）关于x的不等式x−3<m的解集中只有三个正整数，则m的取值范围是．【变式3-1】（2023下·广西贺州·八年级统考期末）若关于x的不等式3x−a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（

）A．−7≤a<−4 B．−7<a≤−4 C．4<a≤7 D．4≤a<7【变式3-2】（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）已知不等式2x−m<3x+1的负整数解只有5个，则m的取值范围是【变式3-3】（2023下·安徽亳州·八年级校考期中）已知关于x的不等式5x−a<6x+1（1）当a=2023时，该不等式的解集为；（2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则a的取值范围是．【题型4根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】【例4】（2023·湖北襄阳·校联考一模）已知关于x的不等式组3a−2x≥02a+3x>0恰有3个整数解，则aA．23≤a≤32 B．43≤a≤【变式4-1】（2023下·上海虹口·八年级校考期中）已知关于x的不等式组x−a≥18−2x>0的整数解共有5个，且关于y的不等式ay−1≤−y的解集为y≥1a+1，则a【变式4-2】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）已知关于x的不等式组x−a≤0x+2≥0的整数解共有3个，则a的取值范围是（

A．0≤a<1 B．0≤a≤1 C．0<a<1 D．0<a≤1【变式4-3】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组x−a≤09−2x<2恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是【题型5利用不等式求最值】【例5】（2023下·河南许昌·八年级统考期末）已知非负实数a，b，c满足a−12=b−23=5−c4，设S=a+2b+3c，S的最大值为m【变式5-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）非负数x，y满足x−12=2−y3，记W=3x+4y，W的最大值为m，最小值n，则A．6 B．7 C．14 D．21【变式5-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）已知实数a，b，c，a+b=2，c−a=1．若a≥−3b，则【变式5-3】（2023下·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）已知x，y，z为3个非负数，且满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最小值为，最大值为．【题型6不等式中的新定义问题】【例6】（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）定义一种新运算“a∗b”：当a≥b时，a∗b=a+3b；当a<b时，a∗b=a−3b．例如：3∗−4=3+−12(1)填空：4∗−3=______，(2)若3x−4∗x+6=(3)已知3x−7∗4<−6，求x【变式6-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）定义：规定mina,b=a  a<b(1)min−3,−6(2)解不等式组min4,−x(3)若关于x的不等式组min6−4x,−2x+2=−2x+2min【变式6-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程x−1=2的解为x=3，而不等式组x+1>2x−3<1的解集为1<x<4，可以发现x=3在1<x<4的范围内，所以方程x−1=2是不等式组x+1>2问题解决：(1)在方程①3−x=0，②3x=−1中，不等式组x+1>−33x<3(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−1(3)若方程2x+4=0，2x−13=−1都是关于x的不等式组x+5≥mx+m<2m−3【变式6-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）定义运算：fx,y=ax+by，已知f2,3(1)直接写出：a=______，b=______；(2)若关于x的不等式组fx+1,2−x≥0f(3)若fmx+3n,2m−nx≥3m+4n的解集为x≤1【题型7解绝对值不等式】【例7】（2023下·河南鹤壁·八年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．例：解绝对值方程：3x=1解：分情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为3x=1，解得x=1②当x<0时，原方程可化为−3x=1，解得x=−1所以原方程的解为x=13或根据材料，解下列绝对值方程：(1)理解应用：2x+1=3(2)拓展应用：不等式x−1>4【变式7-1】（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）请阅读求绝对值不等式x<3和x对于绝对值不等式x<3，从图1的数轴上看：大于−3而小于3的数的绝对值小于3，所以x<3的解集为

对于绝对值不等式x>3，从图2的数轴上看：小于−3或大于3的数的绝对值大于3，所以x>3的解集为x<−3或

(1)绝对值不等式x>2(2)求绝对值不等式x−3>2(3)已知绝对值不等式2x−1<a的解集为b<x<3，求a−2b【变式7-2】（2023下·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解：5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2例1.解方程x=2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程x=2的解为例2.解不等式x−1>2，在数轴上找出x−1=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程x−1=2的解为x=−1或x=3，因此不等式x−1>2

参考阅读材料，解答下列问题：(1)x−3=2(2)找出所有符合条件的整数x，使得x+3+(3)不等式x+3+【变式7-3】（2023下·重庆·八年级期末）阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a−b|，如|x+2|表示数轴上表示数x的点与表示数−2的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式|x|>2的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当|x|=2时，x=±2，把−2和2在数轴上分别表示为点A，B，如图所示，观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A，B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式|x|>2的解集为：x<−2或x>2．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①|x|>1的解集是；②|x|<2的解集是；(2)求绝对值不等式3|x−1|+4⩽10的整数解；(3)直接写出绝对值不等式|x+2|+|x−3|>5的解集是．【题型8方程与不等式（组）的实际应用】【例8】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）根据国家医保局数据显示，近5年来医保药品目录累计新增了618种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在2021年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为275元/盒，售价是其成本的6倍．2022年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出250盒；②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售100盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为28000元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加20%③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加20%④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加50%⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；(2)①求该药品纳入医保后的售价；②该药企在2022年的销量为3000万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在2023年继续下调该药品的价格，希望2023年的年销量超过6000万盒，且盈利不低于20%【变式8-1】（2023下·湖北宜昌·八年级统考期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：购买保温杯的数量/个购买台灯的数量/个购买总费用/元第一次购买54800第二次购买37940第三次购买98912(1)求保温杯、台灯的标价；(2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？【变式8-2】（2023下·江西景德镇·八年级统考期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌温度枪的数量是用4000元购买乙品牌温度枪的数量的32(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共80个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？【变式8-3】（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；(3)若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．专题2.8一元一次不等式与一元一次不等式组章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 1【题型2不等式组的有解或无解问题】 3【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 6【题型4根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 8【题型5利用不等式求最值】 10【题型6不等式中的新定义问题】 13【题型7解绝对值不等式】 18【题型8方程与不等式（组）的实际应用】 24【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】【例1】（2023上·浙江金华·八年级校考期中）已知不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，那么a满足条件（

）A．6<a<8 B．a≥6 C．6≤a<8 D．a≤6【答案】C【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围.【详解】解：∵2x+a≥0，∴2x≥−a，∴x≥−a∵不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，∴−4<x≤−3，∴−4<−a∴6≤a<8.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定−a【变式1-1】（2023下·湖北武汉·八年级期末）关于x的不等式组x>2mx≥m−3的最小整数解为1，则m的取值范围是（

A．−3≤m<1 B．0≤m<12 C．3<m≤4 D．0≤m<【答案】B【分析】分两种情况讨论：①当2m≥m−3；②当2m<m−3，利用不等式组的最小整数解为1，分别得到关于m的不等式，求解即可得到答案．【详解】解：分两种情况讨论：①当2m≥m−3，即m≥−3时，此时，不等式组x>2mx≥m−3的解集为x>2m∵不等式组x>2mx≥m−3∴0≤2m<1，∴0≤m<②当2m<m−3，即m<−3时，此时，不等式组x>2mx≥m−3的解集为x≥m−3∵不等式组x>2mx≥m−3∴0<m−3≤1，∴3<m≤4（不符合题意，舍去），综上可知，m的取值范围是0≤m<1故选：B．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，解一元一次不等式，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．【变式1-2】（2023下·江苏南通·八年级统考期末）若x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为（）A．﹣1<m<0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1<m≤0【答案】C【分析】先解一元一次不等式可得x≥m+3，再根据x=2不是不等式3x−m≥2x+3的整数解，可得m>−1，然后根据x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，可得m≤0，即可解答．【详解】解：∵3x−m≥2x+3，∴x≥m+3．∵x=2不是不等式的整数解，∴m+3>2，解得m>−1．∵x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，∴3×3−m≥2×3+3，∴m≤0，∴﹣1<m≤0故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式1-3】（2023下·安徽亳州·八年级校考期中）若关于x的不等式组5x+2>4(x+m),−x3−1<4−4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】解不等式组用含m的式子表示不等式组的解题，根据所有整数解的和为7，写出所有的整数解题即可．【详解】由5x+2>4(x+m)，得x>4m−2；由−x3−1<4−因为不等式组的所有整数解的和为7，所以不等式组的整数解为4，3或4，3，2，1，0，−1,−2，所以2≤4m−2<3或−3≤4m−2<−2，解得1≤m<54或符合条件的整数m的值为1，即整数m的值有1个，故选A．【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，能正确确定不等式组的整数解是解题的关键．【题型2不等式组的有解或无解问题】【例2】（2023下·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）若不等式组{x≥ax≤b无解，则不等式组{x>3−aA．x>3−a B．x<3−b C．3−a<x<3−b D．无解【答案】C【分析】根据不等式组{x≥ax≤b无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组【详解】解：∵不等式组{x≥a∴a＞b，∴-a＜-b，∴3-a＜3-b，∴不等式组{x>3−ax<3−b的解集是故选：C【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．【变式2-1】（2023下·四川成都·八年级校考期中）已知不等式组4x+a<2x−34x<5【答案】a<3【分析】解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解可得关于a的不等式，解之可得答案．【详解】解：解不等式4x+a<2x，得：x<−a解不等式−34x<则不等式组的解集为：−3∵不等式组4x+a<2x−∴−3解得：a<3，故答案为：a<3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-2】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）对于不等式组x>1x≤a，以下结论中：①若a=2，则不等式组的解集为1<x≤2；②若a=−1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a<1；④若不等式组只有一个整数解，则1<a<3．其中正确的结论是：【答案】①②/②①【分析】根据一元一次不等式组的解法逐个判断即可得．【详解】解：①若a=2，则不等式组的解集为1<x≤2，原结论正确；②若a=−1，则不等式组无解，原结论正确；③若不等式组无解，则a的取值范围为a≤1，原结论错误；④若不等式组只有一个整数解，则2≤a<3，原结论错误；综上，正确的结论的序号是①②，故答案为：①②．【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．【变式2-3】（2023下·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）若关于x的一元二次方程a−2x2+2x−3=0有解，且关于y的不等式组y−2≥2y−13【答案】12【分析】先运用一元二次方程根的判别式和不等式组的解得情况确定a的取值范围，从而得到整数a的取值，最后求所有满足条件的整数a的值之和即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−2x∴Δ=22−4×−3a−2≥0将不等式组y−2≥2y−13−∵不等式组y−1≥2y−1∴a≤5，∴a的取值范围为：53≤a≤5且∴满足条件的整数a的值为：5,4,3∴所有满足条件的整数a的值之和是12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、含参数一元一次不等式组的解等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判定根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】【例3】（2023下·甘肃酒泉·八年级统考期末）关于x的不等式x−3<m的解集中只有三个正整数，则m的取值范围是．【答案】0<m≤1【分析】根据不等式只有三个正整数解列出关于m的不等式求解即可；【详解】解不等式x−3<m得x<m+3，∵只有三个正整数，∴3<m+3≤4，∴0<m≤1．故答案是：0<m≤1．【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式的整数解求参数，准确计算是解题的关键．【变式3-1】（2023下·广西贺州·八年级统考期末）若关于x的不等式3x−a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（

）A．−7≤a<−4 B．−7<a≤−4 C．4<a≤7 D．4≤a<7【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集为x≤a+23，再根据不等式只有两个正整数解得到【详解】解：∵3x−a≤2，∴3x≤a+2，∴x≤a+2∵关于x的不等式3x−a≤2只有2个正整数解，∴2≤a+2∴6≤a+2<9，∴4≤a<7，故选D．【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到2≤a+2【变式3-2】（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）已知不等式2x−m<3x+1的负整数解只有5个，则m的取值范围是【答案】2<m≤3【分析】解不等式得x>−3−m，由于只有5个负整数解，故可判断−3−m的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围．【详解】解：去括号，得：2x−m<3x+3，移项，得：2x−3x<3+m，合并同类项，得：−x<3+m，系数化为1，得：x>−3−m，∵不等式的负整数解只有5个，∴−6≤−3−m<−5，解得：2<m≤3，故答案为：2<m≤3．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．【变式3-3】（2023下·安徽亳州·八年级校考期中）已知关于x的不等式5x−a<6x+1（1）当a=2023时，该不等式的解集为；（2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则a的取值范围是．【答案】x>−2029−2<a≤−1【分析】（1）把a=2023代入5x−a<6x+1（2）根据不等式的性质得出x>−a−6，根据该不等式的负整数解有且只有四个，得出−5≤−a−6<−4，求解即可．【详解】解：（1）当a=2023时，5x−2023<6x+1去括号，得5x−2023<6x+6，移项、合并同类项，得−x<2029，系数化为1，得x>−2029．（2）由不等式5x−a<6x+1，得x>−a−6∵该不等式的负整数解有且只有四个，∴这四个负整数解为−4,−3,−2,−1，∴−5≤−a−6<−4，解得−2<a≤−1．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．【题型4根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】【例4】（2023·湖北襄阳·校联考一模）已知关于x的不等式组3a−2x≥02a+3x>0恰有3个整数解，则aA．23≤a≤32 B．43≤a≤【答案】B【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：3a−2x≥0解不等式①得x≤3a2，解不等式②得由于不等式组有解，则−2a∵|3a∴三个整数解不可能是−2，−1，0．若三个整数解为−1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则2≤3解得43故选：B【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．【变式4-1】（2023下·上海虹口·八年级校考期中）已知关于x的不等式组x−a≥18−2x>0的整数解共有5个，且关于y的不等式ay−1≤−y的解集为y≥1a+1，则a【答案】−3<a≤−2【分析】先求于x的不等式组的解集，根据整数解的个数求a的取值范围，然后根据关于y的不等式的解集求a的取值范围，最后作答即可．【详解】解：x−a≥1①解不等式①得，x≥1+a，解不等式②得，x<4，∵不等式组有5个整数解，∴−2<1+a≤−1，解得，−3<a≤−2，ay−1≤−y，移项合并得，a+1y≤1∵关于y的不等式ay−1≤−y的解集为y≥1∴a+1<0，∴a<−1，综上，−3<a≤−2，∴a的值为−3<a≤−2；故答案为：−3<a≤−2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式4-2】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）已知关于x的不等式组x−a≤0x+2≥0的整数解共有3个，则a的取值范围是（

A．0≤a<1 B．0≤a≤1 C．0<a<1 D．0<a≤1【答案】A【分析】不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出a的取值范围即可．【详解】解：不等式组整理得：x≤ax≥−2∴−2≤x≤a，∵不等式组的整数解共有3个，∴整数解为−2，−1，0，则a的取值范围是0≤a<1．故选：A．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-3】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组x−a≤09−2x<2恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是【答案】7≤a<8【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：解不等式组x−a≤09−2x<2得x≤ax>3.5，则∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，∴四个整数解为4、5、6、7，∴7≤a<8，故答案为：7≤a<8．【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．【题型5利用不等式求最值】【例5】（2023下·河南许昌·八年级统考期末）已知非负实数a，b，c满足a−12=b−23=5−c4，设S=a+2b+3c，S的最大值为m【答案】15【分析】设a−12=b−23=5−c4=k，则a=2k+1，b=3k+2，c=5−4k；利用a，b，【详解】解：设a−12=b−23=5−c4∴S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+3(5−4k)=−4k+20．∵a，b，c为非负实数，∴2k+1≥03k+2≥0解得：−1∴15≤−4k+20≤22，∴m=22，n=15．∴nm故答案为：1522【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，设a−12【变式5-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）非负数x，y满足x−12=2−y3，记W=3x+4y，W的最大值为m，最小值n，则A．6 B．7 C．14 D．21【答案】D【分析】设x−12=2−y3=t，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用【详解】解：设x−12=2−y则x=2t+1，y=2-3t，∵x≥0，y≥0，∴2t+1≥0，2-3t≥0，解得t≥−∴−∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，∴−解得，7≤w≤14，∴w的最大值是14，最小值是7，∴m+n=14+7=21．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．【变式5-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）已知实数a，b，c，a+b=2，c−a=1．若a≥−3b，则【答案】6【分析】由c−a=1得c=a+1，与a+b=2相加得a+b+c=a+3，由a+b=2及a≥−3b，可得a的最大值为3，从而得出a+b+c的最大值．【详解】解：由c−a=1得c=a+1，由a+b=2得a+b+c=a+3，∵a+b=2及a≥−3b，∴a≥−32−a解得：a≤3∴a的最大值为3，∴a+b+c的最大值=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．【变式5-3】（2023下·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）已知x，y，z为3个非负数，且满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最小值为，最大值为．【答案】23【分析】先解三元一次方程组得到y=7−4x3，z=1−x3，根据x、y、z是三个非负实数，得到0≤x≤1，再求出【详解】解：3x+2y+z=5①+②得：4x+3y=7，解得①−②×2得：x+3z=1∵x、y、z是三个非负数，∴x≥0,y≥0,z≥0，∴7−4x3∴0≤x≤1，∵S=2x+y−z，∴S=2x+7−4x∴2≤S≤3，∴S的最小值为2，最大值为3，故答案为：2,3；【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确求出0≤x≤1，S=x+2是解题的关键．【题型6不等式中的新定义问题】【例6】（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）定义一种新运算“a∗b”：当a≥b时，a∗b=a+3b；当a<b时，a∗b=a−3b．例如：3∗−4=3+−12(1)填空：4∗−3=______，(2)若3x−4∗x+6=(3)已知3x−7∗4<−6，求x【答案】(1)−5，−13(2)x<5(3)x<【分析】（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可；（2）根据题意可得3x−4<x+6，求解即可；（3）分为两种情况，当3x−7≥4，即x≥113时；当3x−7<4，即【详解】（1）解：∵4>−3∴4∗−3∵−4<3∴−4∗3=−4−3×3=−13故答案为：−5，−13（2）解：∵3x−4∴3x−4<x+6解得：x<5故答案为：x<5．（3）解：分两种情况，当3x−7≥4，即x≥11由3x−7∗4<−6可得：解得x<−11当3x−7<4，即x<11由3x−7∗4<−6可得：解得x<综上所述，x的取值范围x<11【点睛】本题考查了一元一次不等式，有理数的混合运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键．【变式6-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）定义：规定mina,b=a  a<b(1)min−3,−6(2)解不等式组min4,−x(3)若关于x的不等式组min6−4x,−2x+2=−2x+2min【答案】(1)−6(2)−4≤x≤2(3)−1<a≤1【分析】（1）根据−3>−6、以及min的定义即可得；（2）根据min的定义可得一个关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得；（3）先根据min的定义可得一个关于x的一元一次不等式组，解不等式组可得a−12≤x≤2，再根据不等式组恰好有三个整数解可得【详解】（1）解：因为−3>−6，所以min−3,−6故答案为：−6．（2）解：∵min∴4≥−x解不等式①得：x≥−4，解不等式②得：x≤2，则不等式组的解集为−4≤x≤2．（3）解：∵min∴6−4x≥−2x+2解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x≥a−1∵这个不等式组有解，∴这个不等式组的解集为a−12又∵关于x的不等式组min6−4x,−2x+2∴−1<a−1解得−1<a≤1，所以a的取值范围为−1<a≤1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解min的定义，正确得出不等式组是解题关键．【变式6-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程x−1=2的解为x=3，而不等式组x+1>2x−3<1的解集为1<x<4，可以发现x=3在1<x<4的范围内，所以方程x−1=2是不等式组x+1>2问题解决：(1)在方程①3−x=0，②3x=−1中，不等式组x+1>−33x<3(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−1(3)若方程2x+4=0，2x−13=−1都是关于x的不等式组x+5≥mx+m<2m−3【答案】(1)①(2)−9<k≤−3(3)−2<m≤3【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案．（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于k的一元一次不等式组．（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：解方程3−x=0得x=3．解方程3x=−1得x=−1解不等式组x+1>−33x<3，得−4<x<1根据“相伴方程”的定义可知，方程①3−x=0是不等式组x+1>−33x<3的“相伴方程”，方程②3x=−1不是不等式组x+1>−3故答案为：①．（2）解：解关于x的方程3x−k=6，得x=2+解不等式组3x+12>xx−1根据“相伴方程”的定义，得2+解得−9<k≤−3．（3）解：解关于x的方程2x+4=0，得x=−2．解关于x的方程2x−13=−1，得x+5≥m解不等式①，得x≥m−5．解不等式②，得x<m−3．根据“相伴方程”的定义，得m−5≤−2解得−2<m≤3．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键．【变式6-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）定义运算：fx,y=ax+by，已知f2,3(1)直接写出：a=______，b=______；(2)若关于x的不等式组fx+1,2−x≥0f(3)若fmx+3n,2m−nx≥3m+4n的解集为x≤1【答案】(1)2；1(2)t≤−20(3)x≤【分析】（1）根据定义的新运算f，列出二元一次方程组，解方程组可求出a，b的值；（2）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出t的取值范围；（3）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为x≤13可得出m与n的数量关系；再根据a，【详解】（1）解：由题意得：2a+3b=73a+4b=10解得：a=2b=1故答案为：2；1；（2）把a=2，b=1代入fx,y=ax+by得∴不等式组fx+1,2−x≥0f解得：x≥−4x<∵关于x的不等式组fx+1,2−x∴t5解得：t≤−20，∴t的取值范围是t≤−20；（3）不等式fmx+3n,2m−nx≥3m+4n转化为整理，得：2m−nx≥m−2n∵fmx+3n,2m−nx≥3m+4n的解集为∴2m−n<0，解得：x≤m−2n∴m−2n2m−n∴m=5n，∴2×5n−n<0，解得：n<0，不等式fmx−m,3n−nx≥m+n转化为整理，得：2m−nx≥3m−2n∴2×5n−nx≥3×5n−2n∴9nx≥13n，∴x≤13∴不等式fmx−m,3n−nx≥m+n的解集为【点睛】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．【题型7解绝对值不等式】【例7】（2023下·河南鹤壁·八年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．例：解绝对值方程：3x=1解：分情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为3x=1，解得x=1②当x<0时，原方程可化为−3x=1，解得x=−1所以原方程的解为x=13或根据材料，解下列绝对值方程：(1)理解应用：2x+1=3(2)拓展应用：不等式x−1>4【答案】(1)①x=1；②x=1或x=−2(2)x>5或x<−3【分析】（1）分为两种情况：①当2x+1≥0时，②当2x+1<0时，去掉绝对值符号后求出即可；（2）分为两种情况：①当x−1>4时，②当x−1<−4时，分情况求出即可．【详解】（1）解：分情况讨论：①当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1=3，解得x=1；②当2x+1<0时，原方程可化为：−2x−1=3，解得：x=−2，所以原方程的解为x=1或x=−2；（2）解：分情况讨论：①当x−1>4时，解得：x>5；②当x−1<−4时，解得：x<−3，所以不等式解集为x>5或x<−3．【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．【变式7-1】（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）请阅读求绝对值不等式x<3和x对于绝对值不等式x<3，从图1的数轴上看：大于−3而小于3的数的绝对值小于3，所以x<3的解集为

对于绝对值不等式x>3，从图2的数轴上看：小于−3或大于3的数的绝对值大于3，所以x>3的解集为x<−3或

(1)绝对值不等式x>2(2)求绝对值不等式x−3>2(3)已知绝对值不等式2x−1<a的解集为b<x<3，求a−2b【答案】(1)x>2或x<−2(2)x>5或x<1(3)9【分析】（1）根据题干提供的信息，结合绝对值的意义进行解答即可；（2）由绝对值的几何意义即可得出答案；（3）由2x−1<a知−a<2x−1<a，据此得出1−a2<x<a+12，再结合b<x<3可得出关于a、b【详解】（1）解：∵x>2∴x>2或x<−2．故答案为：x>2或x<−2．（2）解：根据绝对值的定义得：x−3>2或x−3<−2，解得：x>5或x<1；（3）解：∵|2x−1|<a，∴−a<2x−1<a，解得1−a2∵解集为b<x<3，∴1−a2解得a=5b=−2∴a−2b=5+4=9．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的基本步骤．【变式7-2】（2023下·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解：5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2例1.解方程x=2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程x=2的解为例2.解不等式x−1>2，在数轴上找出x−1=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程x−1=2的解为x=−1或x=3，因此不等式x−1>2

参考阅读材料，解答下列问题：(1)x−3=2(2)找出所有符合条件的整数x，使得x+3+(3)不等式x+3+【答案】(1)x=5或x=1(2)−3，−2，−1，0，1，2(3)x<−4或x>3【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为x表示的数，从而求解；（2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到−3的距离之和为5点即为x表示的数，由此结合数轴求解即可；（3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到−3的距离之和大于7的x的范围即可．【详解】（1）解：x−3=2x−3=2或x−3=−2，∴x=5或x=1，故答案为：x=5或x=1；（2）解：要使得x+3+即：数轴上x到2的距离与到−3的距离之和为5，∵数轴上−3和2之间的距离恰好为5，∴−3≤x≤2，∵x为整数，∴x=−3，−2，−1，0，1，2，故答案为：−3，−2，−1，0，1，2；（3）解：要使得x+3+即：数轴上x到2的距离与到−3的距离之和大于7，首先在数轴上找出x+3+

由（2）可知数轴上−3和2之间的距离恰好为5，∴要使得x到2的距离与到−3的距离之和等于7，则x=−4或x=3，∴x+3+x−2>7的解集为：x<−4故答案为：x<−4或x>3．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键．【变式7-3】（2023下·重庆·八年级期末）阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a−b|，如|x+2|表示数轴上表示数x的点与表示数−2的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式|x|>2的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当|x|=2时，x=±2，把−2和2在数轴上分别表示为点A，B，如图所示，观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A，B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式|x|>2的解集为：x<−2或x>2．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①|x|>1的解集是；②|x|<2的解集是；(2)求绝对值不等式3|x−1|+4⩽10的整数解；(3)直接写出绝对值不等式|x+2|+|x−3|>5的解集是．【答案】(1)①x<−1或x>1；②−2<x<2(2)整数解为x=−1，0，1，2，3(3)x<−2或x>3【分析】（1）①利用绝对值的意义解答即可得到答案；②利用绝对值的意义解答即可得到答案；（2）根据不等式的性质化简得到|x−1|⩽2，由此得到−2≤x−1≤2，求出解集即可得到整数解；（3）分三种情况：①当x⩽−2时，②当−2⩽x⩽3时，③当x⩾3时，分别解不等式即可．(1)解：根据阅读材料可知：①|x|>1的解集是x<−1或x>1；②|x|<2的解集是−2<x<2．故答案为：x<−1或x>1；−2<x<2．(2)解：3|x−1|+4⩽10，3|x−1|⩽6，|x−1|⩽2，∴−2⩽x−1⩽2，∴−1⩽x⩽3，∴整数解为x=−1，0，1，2，3；(3)解：①当x<−2时，不等式为−x−2−x+3>5，移项、合并得−2x>4，系数化为1，得x<−2；②当−2⩽x⩽3时，不等式为x+2−x+3>5，移项、合并得5>5，不成立；③当x>3时，不等式为x+2+x−3>5，移项、合并得2x>6，系数化为1，得x>3．故不等式的解集是x<−2或x>3，故答案为x<−2或x>3．【点睛】此题考查了解绝对值不等式，理解绝对值的意义，正确解一元一次不等式，解题的关键是理解阅读材料掌握解题的思路及方法．【题型8方程与不等式（组）的实际应用】【例8】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）根据国家医保局数据显示，近5年来医保药品目录累计新增了618种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在2021年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为275元/盒，售价是其成本的6倍．2022年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出250盒；②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售100盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为28000元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加20%③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加20%④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加50%⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；(2)①求该药品纳入医保后的售价；②该药企在2022年的销量为3000万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在2023年继续下调该药品的价格，希望2023年的年销量超过6000万盒，且盈利不低于20%【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元(2)①该药店纳入医保后的售价为100元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为66≤x<70，理由见解析【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为x元，成本为y元,根据利润为275元/盒，售价是其成本的6倍列二元一次方程组求解即可得解；（2）①设该药品纳入医保后的售价为m元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为28000元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低1%，销售量增长率为130，设该药品价格定为x元，则下降率为(100−x)%，销售增长率为1【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为x元，成本为y元.根据题意，列出方程组：x−y=275x=6y解得：x=330y=55答：该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元.；（2）解：①设该药品纳入医保后的售价为m元/盒.因为第二个月的总销量比第一个月增加20%所以第二个月的总销量为250×（1+20%）=300盒因为第二个月甲药店出售100盒，所以乙药店出售300−100=200盒,根据题意可列方程：100m+200×0.9m=28000解得：m=100所以该药店纳入医保后的售价为100元/盒,②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下：第一个月，甲药店的销售量为100盒，乙药店销售150盒，共售出250盒.第二个月，甲药店的销售量为100盒，乙药店销售200盒，共售出300盒.第三个月，甲药店的销售量为150盒，乙药店销售150盒，共售出300盒.第四个月，甲药店的销售量为150盒，乙药店销售225盒，甲乙两家药店共售出375盒.由第二个月可发现：乙药店价格下降10%，乙药店销售量增长率为13，即价格每降低1%由第三个月可发现：甲药店价格下降15%，甲药店销售量增长率为12，即价格每降低1%由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降15%，甲乙药店总销售量增长率为12，即价格每降低1%总结规律：该药品价格每降低1%，销售量增长率为1设该药品价格定为x元，则下降率为(100−x)%，销售增长率为130依题意得：3000[1+(100−x)]>6000，解得x<70,因为盈利不低于20%，则x−5555≥解得x≥66.所以66≤x＜70.因此该药企的制定该药品价格范围为66≤x＜70.【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键.【变式8-1】（2023下·湖北宜昌·八年级统考期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示：购买保温杯的数量/个购买台灯的数量/个购买总费用/元第一次购买54800第二次购买37940第三次购买98912(1)求保温杯、台灯的标价；(2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？【答案】(1)保温杯、台灯的标价为80元和100元(2)甲校分别获得保温杯和台灯8个和7个，乙校分别获得保温杯和台灯12个和3个【分析】（1）设保温杯、台灯的标价为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可；（2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可．【详解】（1）解：设保温杯、台灯的标价为x元和y元，5x+4y=8003x+7y=940，解得x=80答：保温杯、台灯的标价为80元和100元．（2）解：第三次购买的打折数为：9129×80+8×100设甲校获得保温杯a个，则610解得152又∵a为整数，∴a=8，∴甲