高中数学必修一复习知识点总结

第一章集合与函数概念

知识架构

第一讲集合

★知识梳理

集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;

3.集合中元素与集合的关系：

文字语言符号语言

属于€

不属于£

4.常见集合的符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号ZQ

NN*或N+RC

集合间的基本关系

表示文字语言符号语言

关系

相等集合A与集合B中的所有元素

都相同A=B

子集A中任意一元素均为B中的元A^B或B二A

素

真子集A中任意一元素均为B中的元A^B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任

6三A,（!）展B

何非空集合的真子集

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:A（B={x|xeA<xGB}；

②两个集合的并集：AB=

③设全集是U,集合A0。,则G；A={,xe。且X至A}

交并补

n

A\B={x|xGA,eB]AB={x|xGA,SUeB}CUA={乂％£U且xe

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合

的交、并、补三种运算。

重难点：

1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，

在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

2.集合的表示法

(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性

质，如向丁=/(%)｝、｛"=/(*)｝、｛(羽y)|y=/(%)｝等的差别，如果对集合中代表元素认

识不清，将导致求解错误：

问题：已知集合M…层+》=1，川=卜1+措=1｝,贝i］McN=()

A.①；B.｛(3,0),(0,2)｝；C.［-3,3］；D.｛3,2｝

22

［错解］误以为集合“表示椭圆二+二=1,集合N表示直线二+2=1,由于这直

9432

线过椭圆的两个顶点，于是错选B

［正解］C；显然3WxW3｝,N=R,故=3,3］

(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用

Venn图。

3.集合间的关系的几个重要结论

(1)空集是任何集合的子集，即。口A

(2)任何集合都是它本身的子集，即A

(3)子集、真子集都有传递性，即若4口8,B=C,则A1C

4.集合的运算性质

(1)交集：①4口3=3门4；②ACA=A；③4门。=。；A^B^B

⑤4门5=AoAu5；

（2）并集：①AUBnBljA；②AUA=A；③AUO=A;@A\JB^A,A\JB^B

⑤AU3=AoBcA；

(3)交、并、补集的关系

①AnC°A=。；AUC°A=U

②。(An3)=(CuA)u(QB)；Cu(AU3)=(CvA)「(QB)

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系

题型1：集合元素的基本特征

［例1］(2008年江西理)定义集合运算：A*B=［z］z=xy,x^A,y^B］.设

A={1,2},5={0,2},则集合A*3的所有元素之和为()

A.0；B.2；C.3；D.6

［解题思路］根据A*B的定义，让x在A中逐一取值,让y在8中逐一取值，孙在值就是A*3

的元素

［解析］:正确解答本题，必需清楚集合4*3中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知

A*3={0,2,4},故应选择D

【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，

这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

题型2：集合间的基本关系

［例2］.数集X={(2〃+1)肛〃62}与丫={(4左±1)肛左eZ}之的关系是()

A.X呈Y；B.Y^X；C.X="D.XwF

［解题思路］可有两种思路：一是将x和y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之

间的关系进行判断。

［解析］从题意看，数集X与y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；

同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C

【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义,

逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。

［新题导练］

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥

运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比

赛的女运动员}，则下列关系正确的是()

A.A^BB.BcCC.AAB=CD.B［jC=A

［解析］D；因为全集为A,而BUG=全集=A

2.(2006•山东改编)定义集合运算：A⑤3={z［=Yy+盯2,%eAyeM，设集合

A={1,0},B={2,3},则集合ABB的所有元素之和为

［解析］18,根据的定义，得到A(8)8={0,6,12},故A⑤8的所有元素之和为18

3.(2007・湖北改编)设P和。是两个集合，定义集合尸―Q=且X0。},如果

P=向隆3x<1}，Q=国忖<1},那么P-Q等于

［解析］{x|l<%<3)；因为尸=.log3X<l}=(0,3)，0={小<1}=(—LD，所以

尸_0=(1,3)

4.研究集合4={小=%2—4},5={y|y=f—4},4={(羽丁)卜=——4}之间的关系

［解析］A与C,B与C都无包含关系，而雇A；因为人=附=%2—4}表示

丁=必-4的定义域，故A=R；3==Y-4)表示函数y=/-4的值域，

5=［-4,+8)；C={(x,y)|y=Y—4}表示曲线丁=一一4上的点集，可见，B展A,而A

与C,5与C都无包含关系

考点二：集合的基本运算

［例3］设集合人={小2一3%+2=O},B={^x2+2(a+l)x+(a2-5)=o}

(1)若AnB={2},求实数a的值；

(2)若AU3=A,求实数a的取值范围若AnB={2},

［解题思路］对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

［解析］因为人=比2—3%+2=0}=也2},

(1)由4口8={2}知，2eB,从而得2?+4(a+l)+(4—5)=0,即

tz2+4a+3=0,解得〃二一1或〃=―3

当a=-1时，B={%|x2-4=0}=L2,-2j,满足条件；

当a=-3时，B=(^X2-4X+4=O}={2},满足条件

所以。=一1或。=一3

(2)对于集合3,由2=4(a+l)2—4(/—5)=8(」+3)

因为AU5=A,所以

①当A<0,即a<—3时，B=(j),满足条件；

②当A=0,即a=—3时，3={2},满足条件;

③当△>€),即a>—3时，8=A={1,2}才能满足条件，

,(5

1+2=—2(a+1)a=—

由根与系数的关系得，n2,矛盾

lx2=a2-52r

［［a=7

故实数。的取值范围是aW—3

【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要

注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.

［新题导练］

6.若集合8=卜仅=3*/€尺},T=b|y=Y—1,XGR},则5口7是()

A.S；B.T；C.。；D.有限集

［解析］A；由题意知，集合5=卜卜=3*/6尺}表示函数丁=3工川67?的值域，故

集合S=(0,+co)；T-{y|y=x2一l,xe尺}表示函数y-x"-1,XER的值域，

T=［-l,+oo),故SCT=S

7.已知集合〃={(%丁),+丁=2},N={(羽y)|x—丁=4卜那么集合MnN为()

A.x=3,y=-l；B.(3,-1)；C.{3,-1}；D.{(3,-1)}

［解析］D；MhN表示直线x+y=2与直线X—y=4的交点组成的集合，A、B、C均不合题

后、O

8.集合A={x|ax-l=0},B=1x|x2-3x+2=01且A3=5,求实数a的值.

［解析］0,1,I；先化简B得，8={1,2}.由于A8=8OA73,故A或2GA.

因此a—1=0或勿—1=0,解得。=1或。=L.

2

容易漏掉的一种情况是：4=0的情形,此时。=0.

故所求实数a的值为0,l,g.

备选例题1：已知“={y［y=x+l},N=,{(x,y)|x2+y2=1},则MPlN中的元素个数是

()

A.0；B.1；C.2；D.无穷多个

［解析］选A；集合Af表示函数y=x+l的值域，是数集，并且M=R，而集合N表示满足

x2+y2=1的有序实数对的集合，即表示圆V+F=1上的点，是点集。所以，集合又与集合

N中的元素均不相同，因而故其中元素的个数为0

［误区分析］在解答过程中易出现直线y=x+l与圆/+y2=i有两个交点误选c；或者误认

为y=x+l中yeR,而/+y2=l中一从而〃ClN=有无穷多个解而选

Do注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。

备选例题2：已知集合A和集合3各有12个元素，AC3含有4个元素，试求同时满足下面

两个条件的集合。的个数：

（I）且C中含有3个元素；

（n）cnaw。（。表示空集）

［解法一］因为A、5各有12个元素，ACB含有4个元素，

因此，AU3的元素个数是12+12—4=20

故满足条件（I）的集合C的个数是6°

上面集合中，还满足的集合C的个数是C；

因此，所求集合C的个数是《°-=1084

［解法二］由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12—4=8

因此，在AU5中只含有A中1个元素的所要求的集合C的个数为Ch。；

含有A中2个元素的所要求的集合C的个数为

含有A中3个元素的所要求的集合C的个数为

所以，所求集合C的个数是ChCl+Cf2=1084

★抢分频道

基础巩固训练:

1.（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集rT

U=R,A={小（％+3）<0},3={小<—1},则右图中阴

影部分表示的集合为（）

A.卜卜>。}；B.{可一3<无<。}；C.|x|-3<x<-11；D.{x|x<-l}

［解析］C；图中阴影部分表示的集合是AC3,而A=,—3<x<。},故

AP|B={%|-3<x<-l}

2.（韶关09届高三摸底考）已知4={小（1一%）>0},3={2082尤<0}则4B=

A.（0,1）；B.（0,2）；C.（—8,0）；D.（f,0）（0,+8）

［解析］A；因为A=1x|0<x<l},B={^0<x<1},所以AU6={X（）<x<l}

3.（苏州09届高三调研考）集合{-1,0,1}的所有子集个数为

［解析］8；集合{-1,0,1}的所有子集个数为23=8

4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为X,集合3中的代表元素设为y,

若ICGB且VyeA,则A与8的关系是

[解析]或AcBw0；由子集和交集的定义即可得到结论

5.(2008年天津)设集合S={x||x—2>3},T={x[a<x<a+8},SUT=R，则a的取值

范围是()

A.—3<a<-1；B.—3<〃<—1

C.〃工一3或〃2-1；D.〃<一3或〃>一1

[解析]A；S={x||x-2|>3}={r|x<-l^u>5),T=[x\a<x<a+S]9S\JT=R

a<—1

所以《，从而得一3<〃<一1

〃+8>5

综合提高训练:

6.P={m|-1<m<o},Q=\tn&I^twc2+47nx-4<。对于任意实频恒成立}

则下列关系中立的是()

A.P^Q-B.eiP;C.尸=Q;D.PCQ=(I)

m<0

［解析］A；当时，有＜

A=(4/M)2-4Xmx(-4)<0

2={^G7?|—1<m<o}；当加=0时，+4/nr-4<0也恒成立，故

2={me^-l<m<0},所以尸枭。

7.设/S)=2〃+l("eN),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记

P={«e7V|/(«)eP},O=[eN*，(“)wQ},贝U(户口。力U(OPl。户)=()

A.{0,3};B.{1,2};C.{3,4,5};D.{1,2,6,7)

[解析]A；依题意得户={0,1,2},2={1,2,3},所以(户。'0)={。}，

(encNp)={3},故应选A

8.(09届惠州第一次调研考)设A、B是非空集合，定义

AxB={x|xeAnB},已知A={_xjy=一旦},B={y|y=2",x〉0},

则AXB等于()

A.[0,+oo);B.[0,1]I[2,+w);C.[0,1)[2,+w);D.[0,1](2,+00)

[解析]D；2x-x2>0=>0<x<2,.\A=[0,2],x>0=>2r>1,，B=(1,+℃),

.\AUB=[0,+8),AOB=(1,2],则AXB=[0,1],(2,+00)

第2讲函数与映射的概念

★知识梳理

1.函数的概念

(1)函数的定义：

设A、6是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合A中的每一个数x,在

集合3中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到8的一个函数，通常记为

y=/(x),xeA

(2)函数的定义域、值域

在函数y=/(%),尤eA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y=的定义域;与

x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合ea｝称为函数y=/(x)的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

2.映射的概念

设A、5是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素,在集合8

中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到3的映射，通常记为

f：AfB

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域

难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域

重难点：1.关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误

问题1：已知函数y=/(x)的定义域为［a,b］,求y=/(x+2)的定义域

［误解］因为函数y=/(x)的定义域为［a,b］,所以aWxW/?,从而a+2Wx+2WZ?+2

故"F(x+2)的定义域是［a+是T+2］

［正解］因为y=/(x)的定义域为［a,b］,所以在函数y=/(x+2)中，a<x+2<b,

从而。一2Wx<b-2,故丁=/(x+2)的定义域是［a-2,b-2］

即本题的实质是求。4％+24人中工的范围

问题2：己知y=/(x+2)的定义域是［a,b］,求函数y=/(x)的定义域

［误解］因为函数y=/(x+2)的定义域是［a,b］,所以得到aWx+2W〃，从而

a-2<x<b-2,所以函数y=/(x)的定义域是[a—2,b—2]

[正解]因为函数y=/(x+2)的定义域是[a,b],则aWxWZ?,从而a+2Wx+2WZ?+2

所以函数y=/(x)的定义域是[a+2,b+2]

即本题的实质是由aWxWZ?求x+2的范围

即/(x)与/(%+2)中x含义不同

2.求值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)''二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

y=-sin2x-2cosx+4,可变为y=-sin2x—2cosx+4=(cosx-1)2+2解决

(2)基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

2

y=logt(-x+2x+3)就是利用函数y=k>g]”和"=一％2+2x+3的值域来求。

22

2x+1

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数丁=,的值域

x—2x+2

由y=-----得一2(y+l)x+2y—1=0,若y=0,则得x=——,所以y=0是

x-2%+22

函数值域中的一个值；若ywO,则由△=[—2(y+l)r_4y(2y—1)20得

3—V13-3+V13*口痂后出/古”日13—3+-\[13

---<y<--一且yw0,故所求值域是[--一,---]

(4)分离常数法：常用来求''分式型〃函数的值域。如求函数y=的值域,因为

COSX+1

2COSX_3_5,r/ccrr-Lt、l5/5r

y—--------=2----------,而cosx+1E(0,2],所以----------G(—00,—],故

cosx+1cosx+1COSX+12

/In

ye(-00--]

3x

(5)利用基本不等式求值域：如求函数y=一一的值域

x+4

344

当x=0时，y=0；当xwO时，y=...-,若x>0,则％+—22]冗-一二4

XX

XH--

X

44433

若%<0,则%+—=—(—%+——)<2J(-x).(——)=4,从而得所求值域是

x-x\-x44

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数y=2——/+2(xe[-l,2])的值域

因y=8/—2x=2x(4%2—1),故函数y=2/一必+2(^[―1,2])在(―1,—g)上递减、在

(-工,0)上递增、在(0,工)上递减、在(工,2)上递增，从而可得所求值域为［”,30］

2228

(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些

分段函数的值域常用此法)。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

［例1］试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)于(x)=G^,g(x)=V?；

1x>0,

(2)/(x)=U,g(x)=

X-1x<0;

(3)/(x)=2划声,g(x)=(2”—)21("GN*)；

(4)/(x)=4xJx+1,g(x)=y/x2+x；

(5)f(x)=x2-2x-l,g«)=〃—2r-1

［解题思路］要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。

［解析］(1)由于/(x)=J”=W，g(x)=^=x,故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数.

,Ixl,,flx>0,

(2)由于函数/(%)=上的定义域为(一8,0)1>1(0,+8),而g(x)=〈的定义

x［—1%<0;

域为R，所以它们不是同一函数.

(3)由于当"GN*时，2”±1为奇数，；.〃幻=2"必产《=%,g(x)=(2^)2"-1=x,

它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

(4)由于函数/(x)=&五工T的定义域为{x|x»o},而g(x)=J%?+%的定义域为

{^%>0<x<-l},它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

［答案］(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函数

【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应

关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函

数。第(5)小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域

及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如/(x)=/+1,

/⑺=〃+1,/(M+1)=3+1)2+1都可视为同一函数.

［新题导练］

1.(2009•佛山)下列函数中与函数y='相同的是()

A.y=(Vx)2;B.y=眇";C.y=V?；D.y=—

x

［解析］B；因为y=醉=t,所以应选择B

2.(09年重庆南开中学)与函数＞=0.产(21)的图象相同的函数是()

A.y=2x-l(x＞：)；B,y=—^―-;C.y=J^(x＞:)；D,y=\—^—\

22x-l2x-l22x-l

ig，1

［解析］C;根据对数恒等式得＞=0.产(21)=102”1=-----,且函数丁=0.产(21)的定义

2x-l

域为(g,+oo)，故应选择C

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有解析式的函数的定义域

［例2］.(08年湖北)函数/(x)=—3x+2+J-/一3x+4)的定义域为()

x

A.(―8,T)U［2,+8);B.(—4,0)U(0,D；C.［,^,0)U(0,l］;D.［,-4,0)U(0,1)

［解题思路］函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。

［解析］欲使函数/(盼有意义，必须并且只需

x~—3x+220

—x~—3x+420

=>xe[-4,0)U(0,l),故应选择。

Jx~—3x+2+J-x~—3x+4>0

XH0

【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X的取值范围，

实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非

负数；④零指数哥中，底数不等于0；⑤分数指数基中，底数应大于0；⑥若解析式由几个

部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；依口果涉及实际问题，还应使得实际问题有

意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要

漏写。

题型2：求抽象函数的定义域

［例3］(2006•湖北)设/(x)=1g|±?,则/+/［2］的定义域为()

A.(-4,0)U(0,4);B.(-4,-1)U(1,4)；C.(-2-1)U(1,2)；D.(-4,-2)U(2,4)

［解题思路］要求复合函数f［^\+/［2］的定义域，应先求/(%)的定义域。

-2<-<2,

［解析］由W2二+土x>0得，/(%)的定义域为—2<x<2,故2

2-x

-2<-<2.

X

解得1)_(1,4)o故/仁)+的定义域为(―4,—1)U(1,4).选B.

【名师指引】求复合函数定义域，即己知函数/(%)的定义为［a,句，则函数/［g(x)］的定义域

是满足不等式a<g(x)〈人的x的取值范围；一般地，若函数力g(x)］的定义域是［a,切，指

的是xe［a,Z?］,要求/(x)的定义域就是时g(x)的值域。

题型3；求函数的值域

［例4］已知函数_y=--4奴+2a+6(aeR),若y20恒成立，求/(a)=2-a|a+3|的值

域

［解题思路］应先由已知条件确定。取值范围，然后再将/(a)中的绝对值化去之后求值域

［解析］依题意，y20恒成立，则八=16。2一4(2a+6)<0,解得—

3217=-

所以/(〃)=2—a(a+3)=—(a+—)+—,从而f(^)maxf(1)=4，

/(«)min=/(|)=—?，所以以G的值域是［―?,4］

【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

［新题导练］

J\x-2-1

3.(2008安徽文、理)函数/(x)=Y------的定义域为_________.

log2(x-l)

［解析］［3,+oo)；由J*1解得x»3

x—1〉0,x—Iwl

4.定义在R上的函数y=/(x)的值域为则函数y=/(x—1)的值域为()

A.［fl—1,Z?—1］；B.［a,b］；C.［<7+1,Z?+1］；D.无法确定

［解析］B；函数y=f(x-l)的图象可以视为函数y=/(x)的图象向右平移一个单位而得到，

所以，它们的值域是一样的

5.(2008江西改)若函数y=/(x)的定义域是［1,3］,则函数g(x)=13的定义域是

x-1

13

［解析］［-,l)u(l,-］；因为/(X)的定义域为［1,3］,所以对g(x),142］<3但XW1故

13

xw［-J)U(1,—］

21

6.(2008江西理改)若函数y=/(x)的值域是［—,3］,则函数F(x)=/(%)+——的值域

3f(x)

是__________

［解析］［2与；/(x)可以视为以/⑴为变量的函数，令t=则尸=。+夕|</<3)

«+1)尸)，所以，F=f在［2,1］上是减函数，在［1,3］上是增函

r12t2t3

数，故尸(X)的最大值是:，最小值是2

考点三：映射的概念

［例5］(06陕西)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文■密文(加密)，接收

方由密文—明文(解密)，已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.

例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文

为（）

A.7,6,1,4；B.6,4,1,7；C.4,6,1,7；D.1,6,4,7

［解题思路］密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。

［解析］当接收方收到密文14,9,23,28时，

a+2b=14a=6

2b+c=9b=4

解得1,解密得到的明文为c.

2c+3d=23c=1

4d=28d=7

【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：

(1)集合A、8及对应法则/是确定的，是一个整体系统；

(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合8到集合A的

对应关系一般是不同的；

(3)集合A中每一个元素，在集合2中都有象，并且象是唯：的，这是映射区别于一般

对应的本质特征；

(4)集合A中不同元素，在集合8中对应的象可以是同一个；

(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

［新题导练］

7.集合A={3,4},8={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是,从B到4的

映射个数是.

［解析］9,8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5

或6或7),第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数M=3x3

=9.反之从8到A,道理相同，有M=2x2x2=8种不同映射.

8.若/:y=3x+l是从集合A={1,2,3,行到集合8={4,7,°2+3°}的一个映射，求自然数

。、人的值及集合A、B.

［解析］a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16)；

V/(l)=3xl+l=4,f(2)=3x2+l=7,f(3)=3*3+1=10,于(k)=3左+1,由映射的定义知(1)

a4=10,a1+3a=10,

\或⑵{

。-+3。=3%+1,。4=3左+1.

♦aGN,...方程组(1)无解.

解方程组(2),得a=2或。=一5(舍)，3k+l=16,3k=15,k=5.

：.A={1,2,3,5},B={4,7,10,16).

备选例题：(03年上海)已知集合"是满足下列性质的函数/(%)的全体：存在非零常数T,

对任意尤GH,有/(x+T)=V(x)成立。

(1)函数/(x)=x是否属于集合”？说明理由；

(2)设函数/(x)=a«a〉0,awl)的图象与y=x的图象有公共点，证明：

/(%)=axeM

［解析］(1)对于非零常数T,/(x+T)=x+T,T/(x)=Tx.因为对任意xdR,x+T=Tx不能恒成立，所

以/(x)=x4M.

(2)因为函数/(x)=a、(a>0且a=l)的图象与函数y=x的图象有公共点，

V—优

所以方程组：f有解，消去y得a，=x,

y=x

显然x=0不是方程a，=x的解，所以存在非零常数T,使苏=工

于是对于f(x)=ax有f(x+T)-ax+T—aT-ax—T-ax—Tf(x)故/(x)=a*eM.

★抢分频道

基础巩固训练：

1.(2007广东改编)已知函数/(x)=~^=的定义域为N,g(x)=ln(l+x)的定义域为M,

■\1—x

则MUN=____________

［解析］(oo,+oo)；因为“=(—l,y),N=(f,1),故MljN=H

2.函数y=Jog］(3x—2)的定义域是

［解析］(1,1］；由0<3x—2W1得到<1

2X-1

3.函数y=------的值域是

2X+1

［解析］(—1,1);由y=2■^知y/1,从而得2,=山，而2、>0,所以山〉0,即

-2+11-y1-y

-1<y<1

4.(广东从化中学09届月考)从集合A到B的映射中，下列说法正确的是()

A.B中某一元素〃的原象可能不只一个；B.A中某一元素。的象可能不只一个

C.A中两个不同元素的象必不相同；D.B中两个不同元素的原象可能相同

［解析］A；根据映射的定义知可排除B、C、D

5.(深圳中学09届高三第一学段考试)下列对应法则/中，构成从集合A到集合3的映射是

A.A={》|x〉0},5=R":xfy|=/

B.A={-2,0,2},5={4},/:x—y=/

C.A=R,B={y\y>0］,f:x^y=^-

X

x

D.A={0,2},B={0,l},f:x^y=-

［解析］D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合3的映射是D

25

6.(09年执信中学)若函数丁=f-3x-4的定义域为［0,词，值域为［---,-4］,则加的取值范

-4

围是()

A.(0,4］；B.［—,3］；C.［—94］；D.［―,+oo)

3953

［解析］B；因为函数y=f—3%—4即为y=(%—/)2—1，其图象的对称轴为直线％=鼻，

2525

其最小值为—上，并且当x=0及％=3时，y=-4,若定义域为［0,m］,值域为［--,-4］,

44

3

则一V加V3

2

综合提高训练：

8.(05天津改)设函数/(x)=ln2上工则函数g(x)=/(二)+/(1)的定义域是_______

2-x2x

八%C

—2<一<2

II2+x9

［解析］(―4,一土)U(土,4)；由三工上>0得，/(幻的定义域为—2<%<2。故〈2

222-x-2<1<2

、X

解得—4<x<—或一<x<4。

22

。1

9.设函数/(X)=x2+x+5的定义域是［”,"+1］(〃是正整数)，那么/(X)的值域中共有

个整数

［解析］2〃+2；因为/(%)=一+x+；=(x+g)2+：,可见，/(X)在+(〃是正整

,1。1

数)上是增函数，又/(〃+1)—/5)=［(〃+1)2+(〃+1)+万］—(“2+〃+万)=2〃+2

所以，在/(x)的值域中共有2〃+2个整数

第3讲函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系;

2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系:

3.解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法--图象法、列表法、解析法，分段函数的概念

难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：

(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；

(2)若已知复合函数/[g(X)]的解析式，则可用换元法或配凑法；

问题1.已知二次函数/(%)满足/(2X+1)=4X2—6X+5,求/(x)

方法一：换元法

f—1t—1t—1

令2x+l=f«eR),则％=二，从而/«)=4(年产—6・亏+5=尸—5/+9«eR)

所以/(%)=--5x+9(xGR)

方法二：配凑法

因为/(2X+1)=4X2—6X+5=(2X+1)2-10X+4=(2X+1)2-5(2X+1)+9

所以/(%)-x2-5x+9(xeR)

方法三：待定系数法

因为/(x)是二次函数，故可设/(%)=依2+以+。，从而由/(2x+l)=4——6x+5可求

出a=1、b=一5、c=9,所以/(x)=X?-5x+9(xeR)

(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)

问题2：已知函数/(x)满足/(x)+2/d)=3x,求/(x)

因为/(x)+2/(^)=3x……①

X

以工代x得/d)+2〃x)=3」……②

XXX

★热点考点题型探析

考点1:用图像法表示函数

［例1］（09年广东南海中学）一水池有2个进水口，1个出水口，一个口的进、出水的速度如

图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：

进水量出水量蓄水量

甲乙丙

（1）。点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水.

则一定不E强