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文档简介
全等与相似模型-对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本
解题模型,再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念:对角互补模型特指四边形中,存在一对对角互补,而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法:解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种:①过顶点做双垂线,构造全等三角形;②进行旋
转的构造,构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2a-(180°-2a)对角互补模型。
1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)
条件:如图,已知乙4。。片=90°,0C平分乙/OA
结论:①CD=CE,②OD+OE=GOC,③SODCE=S“COE+S.COD=LOC'
2
结论:®CD=CE,②OE-OD=COC,®SCOE-SCOD=-OC.
△cczc△ccztx2
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条件:如图,已知乙/。3=24。。E=120°,0C平分心NOR
结论:®CD=CE,@OD+OE=OC,
③S.COD+S.COE=与。C2-
4)“等边三角形对120。模型”(2)
条件:如图,已知乙4。2=24。匿=120°,。。平分4/OB,乙。CE的一边与20的延长线交于点。
结论:①C〃=C£,②OD-OE=OC,③S△VCC/OZxD-SACLUO,E=2。}
5)“120。等腰三角形对60。模型”
条件:△N8C是等腰三角形,且48/C=120。,乙BPC=60°。结论:①PB+PC=JjPA;
6)-2a对180。-2a模型”
条件:四边形/BCD中,AP=BP,AA+AB=\^°结论:OP平分N/05
注意:①AP=BP,②N/+/2=180。,③O尸平分N/03,以上三个条件可知二推一。
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7)“蝴蝶型对角互补模型"
条件:AP=BP,^AOB=AAPB结论:OP平分N/03的外角。
例1.(2023•黑龙江黑河•八年级期中)必△A8C中,点。为3c中点.^MDN=90°,乙MDN绕点、
1
<s
。旋转,DM、分别与边48、AC交于E、尸两点.下列结论:①(BE+CF)=2BC,F--
②S^4AABC>
2
③S四边形AEDF=4D•即,④4DN即其中正确结论的个数是()
【答案】C
【详解】解・.,RWABC中,AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,
.-.AD=DC,ZEAD=ZC=45°,ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.
.-.△EDA^AFDC(ASA),,AE=CF...BE+CF=BE+AE=AB.
在Rt^ABC中,根据勾股定理,得AB=»BC.,(BE+CF)=^BC.二结论①正确.
22
设AB=AC=a,AE=b,贝UAF=BE=a—b.
SAAEF_;SAABC=~AE-AF--1--AB-AC=1-b(a-b)-1a2=-^(a-2b)2<0.
SAAEFV-二结论②正确,
如图,过点E作曰,AD于点I,过点F作FGLAD于点G,过点F作FHLBC于点H,ADEF相交于点O.
,四边形GDHF是矩形,4A曰和4AGF是等腰直角三角形,
..EO>EI(EFLAD时取等于)=FH=GD,OF>GH(EF工AD时取等于)=AG.
EF=EO+OF>GD+AG=AD.结论④错误.
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22
AEDA^AFDC,,S四边形底DF=SAADC=1•AD.DC=1AD<AD<ADEF.,结论③错误.
综上所述,结论①②正确.故选C.
例2.(2022辽宁九年级期末模拟)已知/AOB=90。,在/AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板
的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA,OB(或它们的反向延长线)相交于点D,E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①),易证:OD+OE=V^OC;
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,即在图②,图③这两种情况下,上述结论是否仍然成立?若
成立,请给予证明:若不成立,线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
【答案】图②中0口+0£=血0(3成立.证明见解析;图③不成立,有数量关系:OE-OD=0OC
【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,易得ACKD组△CHE,进而可得出证明;判断出结
果,解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出OC与OD、OE的关系;最后转化得
到结论.
【详解】解:图②中OD+OE=皿0。成立.
证明:过点C分别作OA,OB的垂线,垂足分别为P,Q
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有aCPD名△CQE,.•.DP=EQ,.OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,
X-.OP+OQ=V2OC,BPOD+DP+OE-EQ=V2OC,.-.OD+OE=V2OC.
图③不成立,有数量关系:OE-OD=0OC过点C分别作CKLOA,CHXOB,
.OC为NAOB的角平分线,<CK±OA,CH1OB,,CK=CH,ZCKD=ZCHE=90°,
又•;/KCD与/HCE者B为旋转角,ZKCD=ZHCE,
••.△CKD^ACHE,;.DK=EH,.•.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,
由(1)知:OH+OK=V2OC,.'.OD,OE,OC满足OE-OD=&OC.
【点睛】本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,
两组对应点连线的交点是旋转中心.
例3.(2022秋•四川绵阳•九年级校联考阶段练习)已知NNCA=90。,AC=DC,MV是过点A的直线,过
点。作。8工儿W于点B,连接C2.
⑴问题发现:如图⑴,过点。作CE1C8,与九W交于点E,BD、AB.C2之间的数量关系是什么?并
给予证明.(2)拓展探究:当绕点A旋转到如图⑵位置时,BD、AB、C8之间满足怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并给予证明.
【答案】⑴BD+AB=V^CB;证明见解析(2)AD-48=夜⑵;证明见解析
【分析】⑴过点C作CE1CB,得到/3CD=//CE,判断出A/CE/ADCB,确定△£尊为等腰直角三角
形即可得出结论;⑵过点。作CE1C8于点C,判断出“CEBADCS,确定AECB为等腰直角三角形,即
可得出结论.
【详解】(1)解:如图1,过点。作CE1C8交于点E,
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':ZACE=90°-ZACB,ZBCD=90°-ZACB,ZACE=ZBCD,
•;DBIMN,...在四边形NCZ)8中,ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=360°,ZBAC+ZD=1SO°,
':ZCAE+ZBAC=\^°,:.ZCAE=ZD,:AC=DC,:.^ACE^DCB,AE=DB,CE=CB,
..2£C5=90。,.•.△EC8是等腰直角三角形,.•.BE=/C瓦
BE=AE+AB=DB+AB,:.BD+AB=V2CB;
(2)BD-AB=42CB.理由:如图2,过点C作CE1C5交九W于点E,
':ZACE=9Q°+ZACB,ZBCD=90°+ZACB,ZACE=ZBCD,
,:DB1MN,ZCAE=90°-ZAFB,ZD=9Q°-ZCFD,
':ZAFB=ZCFD,ZCAE=ZD,:AC=DC,:"CEdDCB,AE=DB,CE=CB,
..2ECB=90°,.hECB是等腰直角三角形,=
..BE=AE-AB=DB-AB,:.BD-AB=^CB;
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,勾股定理,构造全等三角
形是解题的关键.
例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,ZAOB=9ff,OC平分/AOB,以。为顶点作NDCE=90°,
交于点D,03于点E.(1)求证:CD=CE;(2)图1中,若OC=3,求OD+OE的长;
(3)如图2,ZAOB=120°,0c平分N/08,以。为顶点作NDCE=60°,交04于点。,03于点£.若OC=3,
求四边形OECD的面积.
【分析】(1)过点C作CGLOA于G,CH±OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明4CDG/ACEH,
从而求解;(2)根据全等三角形的性质得到=2。",然后利用勾股定理求OH的值,从而求解;
(3)过点C作CGLOA于G,CH,OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明4CDG组△CEH,从
而求得,四边形OEC0=S四边形OHCG=2冬衣,然后利用含30。的直角三角形性质求得OH=:,CH=X8从而求得三
22
角形面积,使问题得到解决.
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【详解】解:(1)如图,过点C作CGLOA于G,CH,OB于H,
■.•ZCDG+ZCDO=180°.\ZCDG=ZCEO
Z.CDG=NCEO
在4CDG与△CEH中4CGD=ACHEACDG色△CEH(N/(S)/.CD=CE
CG=CH
⑵由(1)得ACDG组△CEH:.DG=HE
由题易得dOCG与ZiOCa是全等的等腰直角三角形,且OG=OH
:.OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH®OH=CH=x,在RtzXOCH中,由勾股定理,得:
OH2+CH2=OC2:.x2+x2=3?二尤=述(舍负),OH=逑,OD+OE=2OH=3亚
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(3)如图,过点C作CGLOA于G,CH上0B于H,
■二。。平分/NOB:.CG=CH:ZAOB=n0°,ZDCE=60°ZCDO+ZCEO=1800
'."ZCDG+ZCDO=180°.'.ZCDG=ZCEO
ZCDG=ACEO
在ACDG与ACEH中■4CGD=ACHEACDG2△CEH0/5),DG=HE
CG=CH
由题易得AOCG与△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH
OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OHS四边形。叱。=S四边形OHCG=2S^OCG
在RtAOCH中,有NCOH=60°,OC=3,.-.OH=|,CH=^/.=孚二S四边形=2邑℃6=苧
【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定,含30。直角三角形的性质以及勾股定理,是一道综合性问题,
掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.
例5.(2022湖北省宜城市八年级期末)如图,已知//。2=120。,在的平分线。”上有一点C,将
一个60。角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线。8相交于点。、E.
(1)当/OCE绕点C旋转到CD与。/垂直时(如图1),请猜想OE+OD与。C的数量关系,并说明理由;
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(2)当NDCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;
(3)当NOCE绕点C旋转到CD与。区的反向延长线相交时,上述结论是否成立?若成立,请给于证明;
若不成立,线段O。、0E与0C之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
【答案】(1)详见解析;(2)(1)中结论仍然成立,理由详见解析;(3)(1)中结论不成立,结论为0E
-OD=OC,证明详见解析.
【分析】⑴根据。河是的角平分线,可得//。8=60。,贝l]/OCE=30。,再根据30。所对直角边是斜
边的一半,得出OD=;OC,同理:OE=;OC,即可得出结论;(2)同⑴的方法得到。尸+OG=OC,再根据
AASACFD^/\CGE,得出=£G,贝!J。尸=OD+Db=OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可
得出结论.⑶同⑵的方法得到。尸=EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.
【详解】⑴:。河是的角平分线,...N/OC=N3OC=;N/O8=60。,
:CDLOA,=NODC=90°,二N08=30°,:"OCE=/DCE-乙OCD=30°,
在RSOCD中,OD=;OC,同理:OE=;OC,:.OD+OE=OC,
⑵⑴中结论仍然成立,理由:过点。作CFLCM于尸,CGLOB^G,如图,
:.AOFC=AOGC=QO°,/4。2=120°,:.AFCG=60°,
同(1)的方法得,OF=^OC,OG=^OC,:.OF+OG=OC,
-.CFLOA,CGLOB,且点C是/Z03的平分线。河上一点,:.CF=CG,
■:ZDCE=60°,ZFCG=60°,ADCF=AECG,:.ACFD@4CGE,:.DF=EG,
OF^OD+DF^OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG^OD+EG+OE-EG^OD+OE,OD+OE^OC-,
⑶⑴中结论不成立,结论为:OE-OD=OC,
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理由:过点C作CFLCM于足CGLOB^-G,如图,
二NOFC=^OGC=90°,N/O8=120°,;./尸CG=60°,
同⑴的方法得,OF=^OC,OG=;OC,:.OF+OG=OC,
-:CFLOA,CGLOB,且点C是/4。8的平分线OM上一点,/.CF=CG,
ADCE=60°,ZFCG=60°,ADCF=AECG,:.ACFD04CGE,
:.DF=EG,OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,
:.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,:.OE-OD=OC.
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质.正确作辅助线是
解题的关键.
例6.(2023・山东•九年级专题练习)如图,AABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,
NEDF=120。,把/EDF绕点D旋转,使NEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DFLAC
时,求证:BE=CF;
(2)在旋转过程中,BE+CF是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由
【答案】(1)证明见解析;(2)是,2.
【分析】⑴根据四边形内角和为360。,可求NDEA=90。,根据“AAS”可判定ABDE/ZXCDF,即可证BE=CF;
(2)过点D作DMJ_AB于M,作DN_LAC于N,如图2,易证AMBD@△NCD,则有BM=CN,DM=DN,
进而可证到AEMD/aFND,则有EM=FN,就可得到
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD-yBC=2.
【详解】(1);△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,
ZB=ZC=60°,BD=CD,'.DF1AC,/.ZDFA=90°,
•••ZA+ZEDF+ZAFD+ZAED=180°,ZAED=90°,
ZDEB=ZDFC,且NB=NC=60。,BD=DC,/.ABDE^ACDF(AAS)
(2)过点D作DMLAB于M,作DNLAC于N,
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贝I」有/AMD=NBMD=/AND=/CND=90°.
'.•/A=60°,ZMDN=360°-60°-90°-90°=120°.
•••ZEDF=120°,.'.ZMDE=ZNDF.
2BMD=ZCND
在zxMBD和ANCD中,,.-.AMBD^ANCD(AAS)BM=CN,DM=DN.
BD=CD
ZEMD=ZFND
在AEMD和AFND中,\DM=DN,.-.AEMD^AFND(ASA),EM=FN,
ZMDE=ZNDF
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=yBC=2.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知
识,通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.
例7.(2022山东省枣庄市一模)如图,已知乙4。3=60。,在的角平分线上有一点C,将一个120。
角的顶点与点C重合,它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.
(1)如图1,当/DCE绕点C旋转到CD与。/垂直时,请猜想与。C的数量关系,并说明理由;
(2)当/。CE绕点C旋转到C。与。/不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;
(3)如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于04的反向延长线上时,求线段。。。后与OC之间又有怎样
的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
【答案】(1)OD+OE=V3OC,见解析;(2)结论仍然成立,见解析;(3)OE-OD=^,OC
【分析】⑴先判断出/OCE=60。,再利用特殊角的三角函数得出OD=@OC,同OE=@OC,即可
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得出结论;(2)同(1)的方法得OF+OG=gOC,再判断出△CFD/^CGE,得出DF=EG,最后等量
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代换即可得出结论;(3)同(2)的方法即可得出结论.
【详解】解:(1)Q(W是N/O8的角平分线.•.44OC=4BOC=g03=30°
'.'CD1OA,:.AODC=90°,.'.AOCD=60°ZOCE=NDCE-NOCD=60°
在瓦△08中,OD=OC-cos30°=—OC,同理:OE=—OCOD+OE=V3OC
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(2)(1)中结论仍然成立,理由:过点。作CblCM于厂,。61。8于6
ZOFC=ZOGC=90°':ZAOB=60°NFCG=120°
由(1)知,0F=q0CQG=10C:.OF+OG=6OC
:CF1OA,CG1OB,且点。是N/05的平分线OM上一点CF=CG
"DCF=120°,ZFCG=120°ADCF=ZECG,:.ACFD=bCGE
DF=EG:.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG
OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE:,OD+OE=V3OC
(3)结论为:OE-OD=&C.
理由:过点C作CFLOA于F,CGLOB于G,/.ZOFC=ZOGC=90°,
•.-ZAOB=60°,ZFCG=120°,同(1)的方法得,OF=^OC,OG=—OC,.'.OF+OG=V3OC,
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■,CF1OA,CG1OB,且点C是/AOB的平分线OM上一点,
;.CF=CG,ZDCE=120°,ZFCG=120°,NDCF=NECG,
.-.△CFD^ACGE,.•.DF=EG,.-.0F=DF-OD=EG-OD,0G=OE-EG,
.'.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,/.OE-OD=百OC.
【点睛】此题属于几何变换综合题,主要考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质的综合运用,
正确作出辅助线,构造全等三角形是解本题的关键.
例8.(2022秋•福建厦门•九年级校考期中)如图,AAOB=a(。是常量).点尸在N/O8的平分线上,
且O尸=2,以点尸为顶点的NMPN绕点尸逆时针旋转,在旋转的过程中,的两边分别与03,OA
相交于/W,N两点,若NMPN始终与ZAOB互补,则以下四个结论:①PM=PN;②。M+ON的值不变;
③四边形尸MON的面积不变;④点/W与点N的距离保持不变.其中正确的为()
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oA/B
A.①③B,①②③C,①③④D.②③
【答案】B
【分析】如图作尸ElCM于点E,PFLOB于点F,只要证明用△尸£0式放△PR?,RKPEN"RMPFM即可
一一判断.
【详解】解:如图所示:作?E1CM于点E,PFIOB于点F,
,:APEO=ZPFO=9CF,/.4EPF+NA0B=18(F,
,:ZMPN+AAOB=1SO°,:./EPF=NMPN,
*.'ZEPF=AEPN+ANPF,ZMPN=ZMPF+ZNPF,:.ZEPN=ZMPF,
.二0尸平分//OB,PELOA,PFiOB,PE=PF,
[PO=PO/、
在放和放△PR9中,\pE_pF,Rt^PEO^Rt^PFO{HL],:.OE=OF,
ZEPN=ZFPM
在△尸£N和△尸EW中,,PE=PF,/.Rt^PEN^Rt^PFM[ASA),
APEN=ZPFM
:.EN=FM,PN=PM,故①正确,,S"EN=S-
••S四边形PMON二S四边形pF。尸=定值,故③正确,
•:OM+ON=OF+MF+0N=OE+NE+0N=OE+0E=20E=定悔,故②正确,
,:M、N的位置是变化的,.•・"、N之间的距离也是变化的,故④错误;故选:B.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质,角平分线的性质定理,四边形的面积等知识,解题的关键是学会
添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
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模型2.对角互补模型(相似模型)
[模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中,相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线,从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1)对角互补相似1
条件:如图,在中,NC=N£。b=90。,点。是/3的中点,
辅助线:过点。作。垂足为。,过点。作垂足为X,
结论:①〜△;②匹史OEOPBHBC
/XODEOHF=(思路提示:
OFACOF一OH一OH一AC)
2)对角互补相似2
条件:如图,已知//。8=N£>C£=90。,NBOC=a.
辅助线:作法1:如图1,过点C作CVLCM,垂足为尸,过点C作CG^OB,垂足为G;
结论:①AECG〜ADCF;②CE=CZ>切研.(思路提示:—=——,CF=OG,在必△COG中,…空)
CDCFOG
辅助线:作法2:如图2,过点C作BJ_OC,交于口
CFCFtana,
结论:①4CFE〜4coD;②CE=CZ>S"a.(思路提示:tana,在必△OCF中,
OC
3)对角互补相似3
条件:已知如图,四边形48co中,ZS+ZD=180°
辅助线:过点。作DELA4,垂足为E,过点。作。尸,3C,垂足为尸;
结论:①△OCG②/BCD四点共圆。
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E
例1.(2023•成都市•九年级期中)如图所示,在RtA48C中,NABC=90°,48=3,3C=4,在RsMPN
中,NMW=90。,点尸在/C上,PM交4B于点、E,PN交BC于■点F.当=时,/尸的值为().
【答案】C
【分析】过尸作/W_L8C于",PQLAB^Q,证明△尸得出「。=2尸”=28。,再由尸。//BC
证得△4QPSA43C,OU—,设3。=匚则/Q=3-x,PQ=2x,求出x值即可解决问题.
ABBCAC
【详解】解:1•在RM/BC中,AABC=90°,AB=3,BC=4
.\AC=^AB2+BC2=V32+42=5,
过尸作尸〃_LBC于H,PQLAB=^Q,贝U/尸08=/尸〃3=/8=90°,
四边形PQAff是矩形,:.PH=BQ,LQPH=9G°=±MPN,PQIIBC,
ZEPH+ZQPE=ZEPH+ZHPF=90°,二ZQPE=AHPF,
PQPEr
^PQE^APHF,二谓=而,又PE=2PF,:.PQ=2PH=2BQ,
.PQHBC,:4QPs3BC,:♦啜AQ=嗫PQ=A记P
2—rAP£
设5。=%,贝!J4Q=3-x,PQ=2x,——=—=—^―,解得:x=y,AP=3,故选:C.
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【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质,熟练掌握
相关知识的联系与运用,添加辅助线是解答的关键.
例2.(2023•河南南阳•九年级统考阶段练习)如图,在等腰直角中,44cB=90。,AC=BC,过点C
作射线C尸〃。为射线C尸上一点,£在边3c上(不与。C重合)且乙。/E=45。,4c与DE交于点、
O.(1)求证:A4DC~4AEB;(2)求证:AADE~AACB;(3)如果C£>=C£,求证:CD2=CO-CA.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【分析】⑴根据题意先由等腰直角△4BC得到NA4c=/3=45。,从而结合/。4E=45。得至U/94。=/区4民
再由平行线的性质得到NNCP=N8/C=NB=45。,从而得到△NOCs△/防;
(2)根据题意由相似三角形的性质得到AD:AE=AC:AB,转化为AD:AC=AE:AB,结合。8=45。
得证结果;(3)根据题意结合N4C£>=45。和N/CB=90。,由CD=CE得至U/CD£=NC£D=22.5。,从而得到
ZDAC=22.5°,然后得到△OCDs/^a,最后即可求证.
【详解】解:(1)证明::A48c是等腰直角三角形,:/夕/0=48=45°,
---ZDAE=45°,PC//AB,:.NDAC=NEAB,ZACD=ABAC=Z8=45°,:ZDC~Z^AEB;
(2)证明:-:MDC-MEB即四=七,
AEABACAB
ZDAE=ABAC=45°,:4DE〜MCB;
(3)ZACD=45°,ZACB=90°,ZCDE+ZCEZ)=180°-90°-45°=45°,
■/CD=CE,ACDE=Z.CED=22.5°,;MDE~MCB,ZADE=ZACB=9Q°,
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ACAD=180°-AADE-ZCDE-ZACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°NCAD=NCDE,
又•:NOCD=NDCA,:.XOCD~t\DCA,:.——=——,CD2=CO-CA
CDC4
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质,解题的关键是通过线段的比例关
系得到三角形相似.
例3.(2023・广西河池•校联考一模)综合与实践【问题情境】在RS/3C中,NR4c=90。,AB=3,AC=4,
在直角三角板区(尸中,ZEDF=90°,将三角板的直角顶点。放在RtZX/BC斜边3C的中点处,并将三角
板绕点。旋转,三角板的两边。尸分别与边NC交于点M,N.
【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中,当M为边N8的中点时,试判断四边形ZMCW的形状,并说明
理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中,当乙8=N〃a8时,求线段CN的长.
【答案】仔青想证明]四边形/MW是矩形,理由见解析;[问题解决]CN=
16
【分析】[猜想证明]由三角形中位线定理可得nTffi=ZAMD=ZMDN=90°,即可求解;
[问题解决]由勾股定理可求BC的长,由中点的性质可得CG的长,由锐角三角函数可求解.
【详解】[猜想证明]四边形MDN是矩形,理由如下:如图1,二点。是的中点,点M是的中点,
.•.MD是&43c的中位线,MD//AC,:.NB4C+NAMD=180°,
':ABAC=90°,:.ZAMD=90。,,:/EDF=NMDN=90。,
ABAC=ZAMD=ZMDN=90°,/.四边形AMDN是矩形;
[问题解决]过点N作NG工CD于G,如图2:
图2
:AB=3,AC=4,ABAC=90°,:,BC=^JAB2+AC2=5,
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;点。是的中点,.-.SD=CZ)=j,-:ZMDN=90°=ABAC,
/.ZS+ZC=90°,4BDM+ZNDC=90°,,:匕B=4MDB,ZNDC=ZC,:.DN=CN,
丈:NGLCDDG=CG=—,「cosC=0。=,A4CN=—
4CNBC•■-57=716
【点睛】本题考查四边形综合应用,涉及矩形的判定,直角三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数等有
关知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
例4.(2023年江西省南昌市月考)如图,两个全等的四边形4BCD和CU®。,其中四边形048。的顶
点。位于四边形A88的对角线交点O.
图3
图1
⑴如图1,若四边形N8CD和043。都是正方形,则下列说法正确的有.(填序号)
①。②重叠部分的面积始终等于四边形"5。的“1③BE+BF=6%B.
(2)应用提升:如图2,若四边形/BCD和。/㈤。都是矩形,AD=a,DC=b,写出OE与O尸之间的数量关系,
并证明.
⑶类比拓展:如图3,若四边形48。和都是菱形,ND4B=a,判断(1)中的结论是否依然成立;
如不成立,请写出你认为正确的结论(可用。表示),并选取你所写结论中的一个说明理由.
【答案】⑴①②③⑵关系为=±证明见解析
OFb
(3)①成立,②③不成立,正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形/BCD的gsin2(1^;
③3£+8尸=sin■|。氏证明①的过程见解析
【详解】(1)如图,在图1中,过点。作于点于点G
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图3
图1
•••OH1AB于点H,OG1AB于点G---/LOHE=AOGF=90°
•••四边形/BCD和049C'都是正方形泌03G(AAS)OH=OF
•••ZHOE=90°-4EOG/GOF=90°-4EOG"HOE=ZGOF
ZOHE=ZOGF
在AHOE和△GOF中■=OG4HOE=^GOF(ASA):.OE=OF故①正确
NHOE=NGOF
'''AHOE=/IGOFSHOE=^GOF^OEBF=^OEBG+^OGF=^OEBG+,OHE=^OHBG=^ABCD故②正确
••・四边形ABCD是正方形AB=BC=—BD
2
/2
•・BE+BF=BE+BG+GF=BE+BG+HE=BG+BH=AB=功B故③正确
2
⑵关系为黑=:证明如下:如图‘在图2中’过点。作于点〃,°G,居于点G
OH1AB于点H,OG1AB于点G:.LOHE=ZOGF=90°
,•・四边形和CM®。都是矩形NOM9G=4EOF=90°
•••AHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG:.AHOE=4GOF
"HE="GF.AHOE淮GOF(AA)—=—==—=-
在和AGO尸中
AHOE=AGOF、'OFOGDCb
2
(3)(1)中结论,①成立,②③不成立,正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形N8CD的;sin?(5);
③BE+BF=s呜DB.现证明①如下:
如图,在图3中,过点。作OH1/8于点于点G
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•••OH1AB于点H,OG1AB于点G---/LOHE=AOGF=90°
•••四边形/BCD和049。都是菱形&OBH=A(95G(AAS).-.OH=OF
■:ZHOE=a-ZEOG/GOF=a-aEOG:.4HOE=AGOF
ZOHE=ZOGF
在AHOE和△GOF中■=OGxHOE=^GOF(ASA):.OE=OF
NHOE=NGOF
例5.(2023.辽宁中考模拟)如图,在放A/BC中,AC=BC,N/C8=90。,点。在线段N5上(点。不
与点43重合),且03=上04,点”是/。延长线上的一点,作射线。M将射线绕点。逆时针旋转
90°,交射线C8于点N.(1)如图1,当左=1时,判断线段。“与ON的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,当左>1时,判断线段。河与ON的数量关系(用含左的式子表示),并证明;(3)点尸在射
线3C上,若NBON=15°,PN=kAM(后1),且要〈心二1,请直接写出空的值(用含左的式子表示).
AC2PC
图1图2备用图
【答案】(1)OM=ON,见解析;(2)ON=k-OM,见解析;(3)—=1+^
PCk-\
【分析】(1)作OELBC,证明△。。“组△EON;(2)作OD_L/Af,OELBC,证明△D0MSZ\E0N;
(3)^AC=BC=a,解MZXEON和斜用含左的代数式分别表示NC,尸N,再利用比例的性质可
得答案.
【详解】解:(1)0M=0N,如图1,作。DL4M于£),0E_LC8于E,
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图1
:.AADO=AMDO=ACEO=/OEN=9。。,:.ADOE=90°,
:AC=BC,ZACB=90°,/.£A=ZABC=45°,
BF)
在•△Z。。中,OD=OA^inZA=—OA,同理:OE="OB,
22
:OA=OB,:.OD=OE,:ADOE=90°,:.ADOM+/LMOE=90o,
':/MON=90。,:.AEON+/MOE=90。,/.ADOM=乙EON,
ZMDO=乙NEO
在出△Z)(W和放/XEON中,\OD=OE,:.&DOM9丛EON(ASA),:.OM=ON.
ADOM=AEON
BB
(2)如图2,作OD_L4河于。OE_LBC于E,由(1)矢口:OD=—OA,OE=—OB,
22
由(1)知:£DOM=AEON,AMDO=ZNEO=90°,
OEOBk
OMOD1,
:.ADOMSAEON,:.——二——=一,:.ON=k-OM.
ONOEk
(3)如图3,设4C=5C=〃,:.AB=41a,
ki5k
OB=k*OA,/.OB=^2•-a,OA=^2•a,:.OE=OB=-----a,
左+1左+12左+1
OEl「k
..ZN=AABC-/5。"=45。-15。=30。,:.EN=---------=^OE=百--------a,
tanZNk+1
-:CE=OD=—OA=-^—a,:.NC=CE+EN=-^—a+43-^-a,
2左+1左+1左+1
.z.OMOA1
由(2)知:——二——二一,△D0MS4E0N,:.AAMO=AN=30°
ONOBk
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_AMOMAM
——=——,:./\PON^/\AOM,/LP=ZA=4A5°n,
'~PN~~k"ONPN
kk「k
:.PE=OE=二a,PN=PE+EN=q+百•a,
左+1左+1左+1
设/。=0£>=x,:.DM=y/3x,由/£>+。〃="+。W得,(V3+1)x=AC+CM,
1Ak
-----Q+73----ci
NC左左1+4ik
.k>A--+-1+1
PNk/zkk+43k'
左+1k+1
,PNPC+NCPC门k+Ck.PCk-\NC_\+^k
'7VC-
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