2024年中考数学常见几何模型全归纳（全国）全等与相似模型-对角互补模型（解析版）

全等与相似模型-对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋

转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2a-(180°-2a)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)

条件：如图，已知乙4。。片=90°,0C平分乙/OA

结论：①CD=CE,②OD+OE=GOC,③SODCE=S“COE+S.COD=LOC'

2

结论：®CD=CE,②OE-OD=COC,®SCOE-SCOD=-OC.

△cczc△ccztx2

资料整理

条件：如图，已知乙/。3=24。。E=120°,0C平分心NOR

结论：®CD=CE,@OD+OE=OC,

③S.COD+S.COE=与。C2-

4)“等边三角形对120。模型”(2)

条件：如图，已知乙4。2=24。匿=120°,。。平分4/OB,乙。CE的一边与20的延长线交于点。

结论：①C〃=C£,②OD-OE=OC,③S△VCC/OZxD-SACLUO,E=2。｝

5)“120。等腰三角形对60。模型”

条件：△N8C是等腰三角形，且48/C=120。，乙BPC=60°。结论：①PB+PC=JjPA；

6)-2a对180。-2a模型”

条件：四边形/BCD中，AP=BP,AA+AB=\^°结论：OP平分N/05

注意：①AP=BP,②N/+/2=180。，③O尸平分N/03,以上三个条件可知二推一。

资料整理

7）“蝴蝶型对角互补模型"

条件：AP=BP,^AOB=AAPB结论：OP平分N/03的外角。

例1.（2023•黑龙江黑河•八年级期中）必△A8C中，点。为3c中点.^MDN=90°,乙MDN绕点、

1

<s

。旋转，DM、分别与边48、AC交于E、尸两点.下列结论：①（BE+CF）=2BC,F--

②S^4AABC>

2

③S四边形AEDF=4D•即，④4DN即其中正确结论的个数是（）

【答案】C

【详解】解・.,RWABC中,AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,

.-.AD=DC,ZEAD=ZC=45°,ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

.-.△EDA^AFDC(ASA),，AE=CF...BE+CF=BE+AE=AB.

在Rt^ABC中，根据勾股定理，得AB=»BC.，(BE+CF)=^BC.二结论①正确.

22

设AB=AC=a,AE=b,贝UAF=BE=a—b.

SAAEF_；SAABC=~AE-AF--1--AB-AC=1-b(a-b)-1a2=-^(a-2b)2<0.

SAAEFV-二结论②正确，

如图，过点E作曰，AD于点I,过点F作FGLAD于点G,过点F作FHLBC于点H,ADEF相交于点O.

,四边形GDHF是矩形，4A曰和4AGF是等腰直角三角形，

.­.EO>EI（EFLAD时取等于）=FH=GD,OF>GH（EF工AD时取等于）=AG.

EF=EO+OF>GD+AG=AD.结论④错误.

资料整理

22

AEDA^AFDC,，S四边形底DF=SAADC=1•AD.DC=1AD<AD<ADEF.，结论③错误.

综上所述，结论①②正确.故选C.

例2.（2022辽宁九年级期末模拟）已知/AOB=90。，在/AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板

的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA,OB（或它们的反向延长线）相交于点D,E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图①），易证：OD+OE=V^OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明：若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】图②中0口+0£=血0（3成立.证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE-OD=0OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得ACKD组△CHE,进而可得出证明；判断出结

果，解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得

到结论.

【详解】解：图②中OD+OE=皿0。成立.

证明：过点C分别作OA,OB的垂线，垂足分别为P,Q

资料整理

有aCPD名△CQE,.•.DP=EQ,.OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

X-.OP+OQ=V2OC,BPOD+DP+OE-EQ=V2OC,.-.OD+OE=V2OC.

图③不成立，有数量关系：OE-OD=0OC过点C分别作CKLOA,CHXOB,

.OC为NAOB的角平分线，＜CK±OA,CH1OB,，CK=CH,ZCKD=ZCHE=90°,

又•；/KCD与/HCE者B为旋转角，ZKCD=ZHCE,

••.△CKD^ACHE,；.DK=EH,.•.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=V2OC,.'.OD,OE,OC满足OE-OD=&OC.

【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变,

两组对应点连线的交点是旋转中心.

例3.（2022秋•四川绵阳•九年级校联考阶段练习）已知NNCA=90。，AC=DC,MV是过点A的直线，过

点。作。8工儿W于点B,连接C2.

⑴问题发现：如图⑴，过点。作CE1C8,与九W交于点E,BD、AB.C2之间的数量关系是什么？并

给予证明.（2）拓展探究：当绕点A旋转到如图⑵位置时，BD、AB、C8之间满足怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明.

【答案】⑴BD+AB=V^CB；证明见解析（2）AD-48=夜⑵；证明见解析

【分析】⑴过点C作CE1CB,得到/3CD=//CE,判断出A/CE/ADCB,确定△£尊为等腰直角三角

形即可得出结论；⑵过点。作CE1C8于点C,判断出“CEBADCS,确定AECB为等腰直角三角形，即

可得出结论.

【详解】（1）解：如图1,过点。作CE1C8交于点E,

资料整理

'：ZACE=90°-ZACB,ZBCD=90°-ZACB,ZACE=ZBCD,

•；DBIMN,...在四边形NCZ)8中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=360°,ZBAC+ZD=1SO°,

'：ZCAE+ZBAC=\^°,：.ZCAE=ZD,：AC=DC,:.^ACE^DCB,AE=DB,CE=CB,

..2£C5=90。，.•.△EC8是等腰直角三角形，.•.BE=/C瓦

BE=AE+AB=DB+AB,：.BD+AB=V2CB；

(2)BD-AB=42CB.理由：如图2,过点C作CE1C5交九W于点E,

'：ZACE=9Q°+ZACB,ZBCD=90°+ZACB,ZACE=ZBCD,

,:DB1MN,ZCAE=90°-ZAFB,ZD=9Q°-ZCFD,

'：ZAFB=ZCFD,ZCAE=ZD,：AC=DC,:"CEdDCB,AE=DB,CE=CB,

..2ECB=90°,.hECB是等腰直角三角形，=

.­.BE=AE-AB=DB-AB,:.BD-AB=^CB；

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角

形是解题的关键.

例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,ZAOB=9ff,OC平分/AOB,以。为顶点作NDCE=90°,

交于点D,03于点E.(1)求证：CD=CE；(2)图1中，若OC=3,求OD+OE的长；

(3)如图2,ZAOB=120°,0c平分N/08,以。为顶点作NDCE=60°,交04于点。，03于点£.若OC=3,

求四边形OECD的面积.

【分析】(1)过点C作CGLOA于G,CH±OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明4CDG/ACEH,

从而求解；(2)根据全等三角形的性质得到=2。"，然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；

(3)过点C作CGLOA于G,CH，OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明4CDG组△CEH,从

而求得,四边形OEC0=S四边形OHCG=2冬衣，然后利用含30。的直角三角形性质求得OH=：,CH=X8从而求得三

22

角形面积，使问题得到解决.

资料整理

【详解】解：（1）如图，过点C作CGLOA于G,CH，OB于H,

■.•ZCDG+ZCDO=180°.\ZCDG=ZCEO

Z.CDG=NCEO

在4CDG与△CEH中4CGD=ACHEACDG色△CEH（N/（S）/.CD=CE

CG=CH

⑵由（1）得ACDG组△CEH：.DG=HE

由题易得dOCG与ZiOCa是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

:.OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH®OH=CH=x,在RtzXOCH中，由勾股定理，得：

OH2+CH2=OC2：.x2+x2=3?二尤=述（舍负），OH=逑,OD+OE=2OH=3亚

22

（3）如图，过点C作CGLOA于G,CH上0B于H,

■二。。平分/NOB:.CG=CH：ZAOB=n0°,ZDCE=60°ZCDO+ZCEO=1800

'."ZCDG+ZCDO=180°.'.ZCDG=ZCEO

ZCDG=ACEO

在ACDG与ACEH中■4CGD=ACHEACDG2△CEH0/5）,DG=HE

CG=CH

由题易得AOCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG=OH

OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OHS四边形。叱。=S四边形OHCG=2S^OCG

在RtAOCH中，有NCOH=60°,OC=3,.-.OH=|,CH=^/.=孚二S四边形=2邑℃6=苧

【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30。直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，

掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.

例5.（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知//。2=120。，在的平分线。”上有一点C,将

一个60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线。8相交于点。、E.

（1）当/OCE绕点C旋转到CD与。/垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与。C的数量关系，并说明理由；

资料整理

（2）当NDCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由;

（3）当NOCE绕点C旋转到CD与。区的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；

若不成立，线段O。、0E与0C之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为0E

-OD=OC,证明详见解析.

【分析】⑴根据。河是的角平分线，可得//。8=60。，贝l]/OCE=30。，再根据30。所对直角边是斜

边的一半，得出OD=；OC,同理：OE=；OC,即可得出结论；（2）同⑴的方法得到。尸+OG=OC,再根据

AASACFD^/\CGE,得出=£G,贝!J。尸=OD+Db=OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可

得出结论.⑶同⑵的方法得到。尸=EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.

【详解】⑴:。河是的角平分线，...N/OC=N3OC=；N/O8=60。，

：CDLOA,=NODC=90°,二N08=30°,:"OCE=/DCE-乙OCD=30°,

在RSOCD中，OD=；OC,同理：OE=；OC,：.OD+OE=OC,

⑵⑴中结论仍然成立，理由：过点。作CFLCM于尸，CGLOB^G,如图，

：.AOFC=AOGC=QO°,/4。2=120°,：.AFCG=60°,

同(1)的方法得，OF=^OC,OG=^OC,：.OF+OG=OC,

-.CFLOA,CGLOB,且点C是/Z03的平分线。河上一点，：.CF=CG,

■：ZDCE=60°,ZFCG=60°,ADCF=AECG,:.ACFD@4CGE,：.DF=EG,

OF^OD+DF^OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG^OD+EG+OE-EG^OD+OE,OD+OE^OC-,

⑶⑴中结论不成立，结论为：OE-OD=OC,

资料整理

理由：过点C作CFLCM于足CGLOB^-G,如图，

二NOFC=^OGC=90°,N/O8=120°,；./尸CG=60°,

同⑴的方法得，OF=^OC,OG=；OC,：.OF+OG=OC,

-：CFLOA,CGLOB,且点C是/4。8的平分线OM上一点，/.CF=CG,

ADCE=60°,ZFCG=60°,ADCF=AECG,:.ACFD04CGE,

:.DF=EG,OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

：.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,：.OE-OD=OC.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是

解题的关键.

例6.(2023・山东•九年级专题练习)如图，AABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

NEDF=120。，把/EDF绕点D旋转，使NEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.(1)当DFLAC

时，求证：BE=CF；

(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

【答案】(1)证明见解析；(2)是，2.

【分析】⑴根据四边形内角和为360。,可求NDEA=90。,根据“AAS”可判定ABDE/ZXCDF,即可证BE=CF；

(2)过点D作DMJ_AB于M,作DN_LAC于N,如图2,易证AMBD@△NCD,则有BM=CN,DM=DN,

进而可证到AEMD/aFND,则有EM=FN,就可得到

BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD-yBC=2.

【详解】(1);△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

ZB=ZC=60°,BD=CD,'.DF1AC,/.ZDFA=90°,

•••ZA+ZEDF+ZAFD+ZAED=180°,ZAED=90°,

ZDEB=ZDFC,且NB=NC=60。，BD=DC,/.ABDE^ACDF(AAS)

(2)过点D作DMLAB于M,作DNLAC于N,

资料整理

贝I」有/AMD=NBMD=/AND=/CND=90°.

'.•/A=60°,ZMDN=360°-60°-90°-90°=120°.

•••ZEDF=120°,.'.ZMDE=ZNDF.

2BMD=ZCND

在zxMBD和ANCD中，,.-.AMBD^ANCD（AAS）BM=CN,DM=DN.

BD=CD

ZEMD=ZFND

在AEMD和AFND中，\DM=DN,.-.AEMD^AFND（ASA），EM=FN,

ZMDE=ZNDF

BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=yBC=2.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知

识，通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.

例7.（2022山东省枣庄市一模）如图，已知乙4。3=60。，在的角平分线上有一点C,将一个120。

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.

（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到CD与。/垂直时，请猜想与。C的数量关系，并说明理由；

（2）当/。CE绕点C旋转到C。与。/不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于04的反向延长线上时，求线段。。。后与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）OD+OE=V3OC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE-OD=^,OC

【分析】⑴先判断出/OCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出OD=@OC,同OE=@OC,即可

22

得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=gOC,再判断出△CFD/^CGE,得出DF=EG,最后等量

资料整理

代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论.

【详解】解：(1)Q(W是N/O8的角平分线.•.44OC=4BOC=g03=30°

'.'CD1OA,:.AODC=90°,.'.AOCD=60°ZOCE=NDCE-NOCD=60°

在瓦△08中，OD=OC-cos30°=—OC,同理：OE=—OCOD+OE=V3OC

22

(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点。作CblCM于厂，。61。8于6

ZOFC=ZOGC=90°'：ZAOB=60°NFCG=120°

由(1)知，0F=q0CQG=10C:.OF+OG=6OC

：CF1OA,CG1OB,且点。是N/05的平分线OM上一点CF=CG

"DCF=120°,ZFCG=120°ADCF=ZECG,:.ACFD=bCGE

DF=EG:.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG

OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE：,OD+OE=V3OC

(3)结论为：OE-OD=&C.

理由：过点C作CFLOA于F,CGLOB于G,/.ZOFC=ZOGC=90°,

•.-ZAOB=60°,ZFCG=120°,同(1)的方法得，OF=^OC,OG=—OC,.'.OF+OG=V3OC,

22

■,CF1OA,CG1OB,且点C是/AOB的平分线OM上一点，

；.CF=CG,ZDCE=120°,ZFCG=120°,NDCF=NECG,

.-.△CFD^ACGE,.•.DF=EG,.-.0F=DF-OD=EG-OD,0G=OE-EG,

.'.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,/.OE-OD=百OC.

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，

正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.

例8.(2022秋•福建厦门•九年级校考期中)如图，AAOB=a(。是常量).点尸在N/O8的平分线上，

且O尸=2,以点尸为顶点的NMPN绕点尸逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与03,OA

相交于/W,N两点，若NMPN始终与ZAOB互补,则以下四个结论：①PM=PN；②。M+ON的值不变;

③四边形尸MON的面积不变；④点/W与点N的距离保持不变.其中正确的为()

资料整理

oA/B

A.①③B,①②③C,①③④D.②③

【答案】B

【分析】如图作尸ElCM于点E,PFLOB于点F,只要证明用△尸£0式放△PR?,RKPEN"RMPFM即可

一一判断.

【详解】解：如图所示：作?E1CM于点E,PFIOB于点F,

,：APEO=ZPFO=9CF,/.4EPF+NA0B=18(F,

,：ZMPN+AAOB=1SO°,:./EPF=NMPN,

*.'ZEPF=AEPN+ANPF,ZMPN=ZMPF+ZNPF,:.ZEPN=ZMPF,

.二0尸平分//OB,PELOA,PFiOB,PE=PF,

[PO=PO/、

在放和放△PR9中，\pE_pF，Rt^PEO^Rt^PFO{HL],:.OE=OF,

ZEPN=ZFPM

在△尸£N和△尸EW中，,PE=PF,/.Rt^PEN^Rt^PFM[ASA),

APEN=ZPFM

：.EN=FM,PN=PM,故①正确，，S"EN=S-

••S四边形PMON二S四边形pF。尸=定值，故③正确，

•：OM+ON=OF+MF+0N=OE+NE+0N=OE+0E=20E=定悔,故②正确，

,：M、N的位置是变化的，.•・"、N之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会

添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

资料整理

模型2.对角互补模型（相似模型）

［模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向

两边做垂线，从而证明两个三角形相似.

【常见模型及结论】

1）对角互补相似1

条件：如图，在中，NC=N£。b=90。，点。是/3的中点,

辅助线：过点。作。垂足为。，过点。作垂足为X,

结论：①〜△；②匹史OEOPBHBC

/XODEOHF=（思路提示:

OFACOF一OH一OH一AC）

2）对角互补相似2

条件：如图，已知//。8=N£>C£=90。，NBOC=a.

辅助线：作法1：如图1,过点C作CVLCM,垂足为尸，过点C作CG^OB,垂足为G；

结论：①AECG〜ADCF；②CE=CZ>切研.（思路提示：—=——,CF=OG,在必△COG中,…空）

CDCFOG

辅助线：作法2：如图2,过点C作BJ_OC,交于口

CFCFtana，

结论：①4CFE〜4coD；②CE=CZ>S"a.（思路提示：tana,在必△OCF中,

OC

3）对角互补相似3

条件：已知如图，四边形48co中，ZS+ZD=180°

辅助线：过点。作DELA4,垂足为E,过点。作。尸，3C,垂足为尸;

结论：①△OCG②/BCD四点共圆。

资料整理

E

例1.（2023•成都市•九年级期中）如图所示，在RtA48C中，NABC=90°,48=3,3C=4,在RsMPN

中，NMW=90。，点尸在/C上，PM交4B于点、E,PN交BC于■点F.当=时，/尸的值为（）.

【答案】C

【分析】过尸作/W_L8C于"，PQLAB^Q,证明△尸得出「。=2尸”=28。，再由尸。//BC

证得△4QPSA43C,OU—,设3。=匚则/Q=3-x,PQ=2x,求出x值即可解决问题.

ABBCAC

【详解】解：1•在RM/BC中，AABC=90°,AB=3,BC=4

.\AC=^AB2+BC2=V32+42=5,

过尸作尸〃_LBC于H,PQLAB=^Q,贝U/尸08=/尸〃3=/8=90°,

四边形PQAff是矩形，：.PH=BQ,LQPH=9G°=±MPN,PQIIBC,

ZEPH+ZQPE=ZEPH+ZHPF=90°,二ZQPE=AHPF,

PQPEr

^PQE^APHF,二谓=而，又PE=2PF,：.PQ=2PH=2BQ,

.PQHBC,：4QPs3BC,：♦啜AQ=嗫PQ=A记P

2—rAP£

设5。=%,贝！J4Q=3-x,PQ=2x,——=—=—^―,解得：x=y,AP=3,故选：C.

资料整理

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握

相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键.

例2.（2023•河南南阳•九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，44cB=90。，AC=BC,过点C

作射线C尸〃。为射线C尸上一点，£在边3c上（不与。C重合）且乙。/E=45。，4c与DE交于点、

O.（1）求证：A4DC~4AEB；（2）求证：AADE~AACB；（3）如果C£>=C£,求证：CD2=CO-CA.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】⑴根据题意先由等腰直角△4BC得到NA4c=/3=45。，从而结合/。4E=45。得至U/94。=/区4民

再由平行线的性质得到NNCP=N8/C=NB=45。，从而得到△NOCs△/防；

（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB,转化为AD：AC=AE：AB,结合。8=45。

得证结果；（3）根据题意结合N4C£>=45。和N/CB=90。，由CD=CE得至U/CD£=NC£D=22.5。，从而得到

ZDAC=22.5°,然后得到△OCDs/^a,最后即可求证.

【详解】解：（1）证明：:A48c是等腰直角三角形，：/夕/0=48=45°,

---ZDAE=45°,PC//AB,:.NDAC=NEAB,ZACD=ABAC=Z8=45°,:ZDC~Z^AEB；

（2）证明：-：MDC-MEB即四=七，

AEABACAB

ZDAE=ABAC=45°,:4DE〜MCB；

（3）ZACD=45°,ZACB=90°,ZCDE+ZCEZ）=180°-90°-45°=45°,

■/CD=CE,ACDE=Z.CED=22.5°,；MDE~MCB,ZADE=ZACB=9Q°,

资料整理

ACAD=180°-AADE-ZCDE-ZACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°NCAD=NCDE,

又•：NOCD=NDCA,:.XOCD~t\DCA,:.——=——，CD2=CO-CA

CDC4

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关

系得到三角形相似.

例3.（2023・广西河池•校联考一模）综合与实践【问题情境】在RS/3C中，NR4c=90。，AB=3,AC=4,

在直角三角板区（尸中，ZEDF=90°,将三角板的直角顶点。放在RtZX/BC斜边3C的中点处，并将三角

板绕点。旋转，三角板的两边。尸分别与边NC交于点M,N.

【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当M为边N8的中点时，试判断四边形ZMCW的形状，并说明

理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当乙8=N〃a8时，求线段CN的长.

【答案】仔青想证明］四边形/MW是矩形，理由见解析；［问题解决］CN=

16

【分析】［猜想证明］由三角形中位线定理可得nTffi=ZAMD=ZMDN=90°,即可求解；

［问题解决］由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解.

【详解】［猜想证明］四边形MDN是矩形，理由如下：如图1,二点。是的中点，点M是的中点,

.•.MD是&43c的中位线，MD//AC,:.NB4C+NAMD=180°,

'：ABAC=90°,:.ZAMD=90。，,：/EDF=NMDN=90。,

ABAC=ZAMD=ZMDN=90°,/.四边形AMDN是矩形；

［问题解决］过点N作NG工CD于G,如图2：

图2

：AB=3,AC=4,ABAC=90°,：,BC=^JAB2+AC2=5,

资料整理

;点。是的中点，.-.SD=CZ)=j,-：ZMDN=90°=ABAC,

/.ZS+ZC=90°,4BDM+ZNDC=90°,,:匕B=4MDB,ZNDC=ZC,:.DN=CN,

丈：NGLCDDG=CG=—,「cosC=0。=,A4CN=—

4CNBC•■-57=716

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有

关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

例4.(2023年江西省南昌市月考)如图，两个全等的四边形4BCD和CU®。，其中四边形048。的顶

点。位于四边形A88的对角线交点O.

图3

图1

⑴如图1,若四边形N8CD和043。都是正方形，则下列说法正确的有.(填序号)

①。②重叠部分的面积始终等于四边形"5。的“1③BE+BF=6%B.

(2)应用提升:如图2,若四边形/BCD和。/㈤。都是矩形，AD=a,DC=b,写出OE与O尸之间的数量关系,

并证明.

⑶类比拓展:如图3,若四边形48。和都是菱形，ND4B=a,判断(1)中的结论是否依然成立;

如不成立，请写出你认为正确的结论(可用。表示)，并选取你所写结论中的一个说明理由.

【答案】⑴①②③⑵关系为=±证明见解析

OFb

(3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形/BCD的gsin2(1^；

③3£+8尸=sin■|。氏证明①的过程见解析

【详解】(1)如图，在图1中，过点。作于点于点G

资料整理

图3

图1

•••OH1AB于点H,OG1AB于点G---/LOHE=AOGF=90°

•••四边形/BCD和049C'都是正方形泌03G(AAS)OH=OF

•••ZHOE=90°-4EOG/GOF=90°-4EOG"HOE=ZGOF

ZOHE=ZOGF

在AHOE和△GOF中■=OG4HOE=^GOF(ASA)：.OE=OF故①正确

NHOE=NGOF

'''AHOE=/IGOFSHOE=^GOF^OEBF=^OEBG+^OGF=^OEBG+，OHE=^OHBG=^ABCD故②正确

••・四边形ABCD是正方形AB=BC=—BD

2

/2

•・BE+BF=BE+BG+GF=BE+BG+HE=BG+BH=AB=功B故③正确

2

⑵关系为黑=：证明如下：如图‘在图2中’过点。作于点〃,°G,居于点G

OH1AB于点H,OG1AB于点G：.LOHE=ZOGF=90°

,•・四边形和CM®。都是矩形NOM9G=4EOF=90°

•••AHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG：.AHOE=4GOF

"HE="GF.AHOE淮GOF(AA)—=—==—=-

在和AGO尸中

AHOE=AGOF、'OFOGDCb

2

(3)(1)中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形N8CD的;sin?(5)；

③BE+BF=s呜DB.现证明①如下:

如图，在图3中，过点。作OH1/8于点于点G

资料整理

•••OH1AB于点H,OG1AB于点G---/LOHE=AOGF=90°

•••四边形/BCD和049。都是菱形&OBH=A（95G（AAS）.-.OH=OF

■：ZHOE=a-ZEOG/GOF=a-aEOG：.4HOE=AGOF

ZOHE=ZOGF

在AHOE和△GOF中■=OGxHOE=^GOF（ASA）：.OE=OF

NHOE=NGOF

例5.（2023.辽宁中考模拟）如图，在放A/BC中，AC=BC,N/C8=90。，点。在线段N5上（点。不

与点43重合），且03=上04,点”是/。延长线上的一点，作射线。M将射线绕点。逆时针旋转

90°,交射线C8于点N.（1）如图1,当左=1时，判断线段。“与ON的数量关系，并说明理由；

（2）如图2,当左＞1时，判断线段。河与ON的数量关系（用含左的式子表示），并证明；（3）点尸在射

线3C上，若NBON=15°,PN=kAM（后1）,且要〈心二1,请直接写出空的值（用含左的式子表示）.

AC2PC

图1图2备用图

【答案】（1）OM=ON,见解析；（2）ON=k-OM,见解析；（3）—=1+^

PCk-\

【分析】（1）作OELBC,证明△。。“组△EON；（2）作OD_L/Af,OELBC,证明△D0MSZ\E0N；

（3）^AC=BC=a,解MZXEON和斜用含左的代数式分别表示NC,尸N,再利用比例的性质可

得答案.

【详解】解：（1）0M=0N,如图1,作。DL4M于£）,0E_LC8于E,

资料整理

图1

：.AADO=AMDO=ACEO=/OEN=9。。,：.ADOE=90°,

:AC=BC,ZACB=90°,/.£A=ZABC=45°,

BF)

在•△Z。。中，OD=OA^inZA=—OA,同理：OE="OB,

22

:OA=OB,:.OD=OE,:ADOE=90°,:.ADOM+/LMOE=90o,

'：/MON=90。,：.AEON+/MOE=90。,/.ADOM=乙EON,

ZMDO=乙NEO

在出△Z)(W和放/XEON中，\OD=OE,:.&DOM9丛EON(ASA),：.OM=ON.

ADOM=AEON

BB

(2)如图2,作OD_L4河于。OE_LBC于E,由(1)矢口：OD=—OA,OE=—OB,

22

由(1)知：£DOM=AEON,AMDO=ZNEO=90°,

OEOBk

OMOD1,

:.ADOMSAEON,：.——二——=一，：.ON=k-OM.

ONOEk

(3)如图3,设4C=5C=〃，：.AB=41a,

ki5k

OB=k*OA,/.OB=^2•-a,OA=^2•a,：.OE=OB=-----a,

左+1左+12左+1

OEl「k

..ZN=AABC-/5。"=45。-15。=30。，：.EN=---------=^OE=百--------a,

tanZNk+1

-：CE=OD=—OA=-^—a,：.NC=CE+EN=-^—a+43-^-a,

2左+1左+1左+1

.z.OMOA1

由(2)知：——二——二一,△D0MS4E0N,:.AAMO=AN=30°

ONOBk

资料整理

_AMOMAM

——=——，:./\PON^/\AOM,/LP=ZA=4A5°n,

'~PN~~k"ONPN

kk「k

：.PE=OE=二a,PN=PE+EN=q+百•a,

左+1左+1左+1

设/。=0£>=x,:.DM=y/3x,由/£>+。〃="+。W得，(V3+1)x=AC+CM,

1Ak

-----Q+73----ci

NC左左1+4ik

.k>A--+-1+1

PNk/zkk+43k'

左+1k+1

,PNPC+NCPC门k+Ck.PCk-\NC_\+^k

'7VC-