2024年高考数学复习 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展02不等式中的恒成立问题(精讲

+精练)

、知识点梳理

1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论!

设函数/(x)的值域为(。/)或[凡加，或(。,加或出力)中之一种，则

①若22/(X)恒成立(即2</(X)无解)，则/L2[/(X)]max；

②若XW/(x)恒成立(即X〉/(x)无解)，51U<[/(x)]mill；

③若42/(X)有解(即存在X使得22/(X)成立)，则2N[/(X)]min；

④若有解(即存在X使得成立)，贝“<[/(X)]max；

⑤若2=/(x)有解(即Xw/(x)无解)，则=/(%)}；

⑥若2=/(x)无解(即Xw/(x)有解)，则;leC"{y|y=/(x)}.

【说明】

y=%

(1)一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.、/F

⑤y=fW

(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍!

(即端点值的取舍)

2.分离参数的方法

①常规法分离参数：如/l/(x)=g(x)nX=&也;

/(x)

②倒数法分离参数：如X/(x)=g(x)nL=/a；

Xg(x)

【当/(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不为0时，可用倒数法分离参数.】

X>'I；卜g(x)〉0

③讨论法分离参数：如：2g(x)>/(x)=詈：

2<4^,g(x)<0

[g(x)

A</(〃),〃为正偶数

(―1)"2</(〃)(〃eN*)=

-2</(〃),〃为正奇数

④整体法分离参数：如万+2=f(x)；

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b,

⑤不完全分离参数法：如一=lnx+x-

x

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

(1)分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果

难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法.

(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一

部分或端点，再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】

3.其他恒成立类型一

①/(x)在[凡切上是增函数，则/'(x)»0恒成立.(等号不能漏掉).

②/(x)在[a,1上是减函数,则尸(x)VO恒成立.(等号不能漏掉).

③/(x)在[凡盼上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

4.其他恒成立类型二

①VX]eA,3X2eB,使得方程g(%)=/(占)成立

^{y\y=/(x),x©幺}口3y=g(x),XEB].

②叫e3x2e5,使得方程g(x2)=/(xj成

^{y\y=/(x),xeA}^{y\y=g(x),xeB}^0.

5.其他恒成立类型三

①％e4V々e8,/(xj>g(x2)<=>/(xj1nhi>g(x2)max；

②VX]e/，加e3,/(xj>g(x2)O/(占焉>g(x2)min；

③电e4V%e3,/(xj>g(x2)O/(xJmax2g(X2)max；

④叫EA,BX2EB,/(%1)>g(x2)O/(xJmax'g(^2)min.

【方法】处理/(占)时，把g(xj当常数；处理g(xj时，把/(占)当常数.

思考：/(xJ+g(X2)〉0对石,々的四种取值情形；或Vxe4/(X)〉g(X)；或

*e4/(x)〉g(x)等又如何处理呢？【同理！】

二、题型精讲精练

1.基本不等式恒成立问题

一、单选题

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1.（2023•全国•高三专题练习）当x>2时，不等式x+’Wa恒成立，则实数。的取值范

x-2

围是（）

A.（一与2]B.[2,+8）C.[4,+oo）D.（一叫4]

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求得X+—二的最小值，由此可得。的范围.

x-2

【详解】当x>2时，x+-^—=x-2+——+2>2.6c-2）———1-2=4（当且仅当x=3时

x—2x—2Vx—2

取等号），,aV4,即。的取值范围为（F,4].

故选：D.

2.（2023・上海•高三专题练习）已知尸是曲线C:y=lnx+/+（6-°卜上的一■动点，曲线

C在P点处的切线的倾斜角为。，若则实数a的取值范围是（）

32

A.[273,0）B.[20,0）C.卜6,26]D.（-<»,2逝]

【答案】D

【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求

解a的范围即可.

【详解】因为>=111戈+/+（6-4卜，所以j/=」+2x+g_a,

因为曲线在M处的切线的倾斜角8e

所以tang=百对于任意的x>0恒成立，

即—H2x+A/3—a>-\/3对任意x>0恒成立，

X

RPa<2x+—,X2x+—>2V2,当且仅当2x=,，

xxx

即x=4l时，等号成立，故心2VL

2

所以a的取值范围是卜吟2行].故选：D.

14

3.（2023•全国•高三专题练习）已知x〉0,y〉0且一+—=1,若x+y>冽之+8加恒成立，则

xy

实数机的取值范围是（）

A.卜B.{x|x<-3}}C.{x|x>l}D.{x|-9<x<1}

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【答案】D

【分析】根据基本不等式可取x+V的最小值，从而可求实数m的取值范围.

14

【详解】/>0,且一+—=1,

xy

,、/14、「y4xc\y4x「八

..x+y=（x+y）（—H——）=5+—H>2J--------b5=9,

yxy\xy

当且仅当x=3,”6时取等号，.•.（》+'篇=9,

由x+y>毋+8〃z恒成立可得加2+8m<（尤+y）1nhi=9,

解得：-9<m<1,

故选：D.

4.（2023・四川南充・四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数无、V满足x+y-砂=0,

且孙>0,若不等式4x+9y-/20恒成立，则实数/的最大值为（）

A.9B.12C.16D.25

【答案】D

【分析】由x+y-孙=。得到,+'=1,从而利用基本不等式“1”的妙用求出4x+9y的最小

xy

值，从而得到,M25.

【详解】因为。…也所以14,

当且仅当肛='，即x=3y=。时，等号成立.

xy23

因不等式-+9了—±0恒成立，RW（4x+9y）min>Z,

因此芯25,故实数1的最大值为25.

故选:D

11,

5.（2023・全国•高三专题练习）当0<x<2a,不等式；y+-------D恒成立，则实数”的

x\2a-x）

取值范围是（）

A.[a,+8）B.（0,后]C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】B

少后上,，将恒成立问题转化为3+入"

【分析】利用基本不等式求出

然后解不等式即可.

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1111

【详解】一区21恒成立，即-+-―->1

X(2a-x)[x(2a-x)

0<x<2a,2a-x>0,

11cI1222

23*2229

乂一(2a-x)x(2a-x)x(2a-x)+2a-x2a

I2)

上述两个不等式中，等号均在x=2a-x时取到，

1112

----------------------——T,

2

>1,解得一行也且Q。0,又。>0,

a

实数”的取值范围是（0，五］

故选：B.

6.（2023秋・河南郑州•高三校联考期末）已知正数“/满足“+6=3,若/+/»力仍恒成

立，则实数2的取值范围为（）

（811（27］（811（271

A.1万］B.1司。1,力D-r°°5Tj

【答案】B

474474

【分析】由题意可得1+匕2力，然后求出幺+工的最小值即可，而a+b=3,所以

baba

/化简后利用基本不等式可求得其最小值.

--1---------------

ba3

【详解】依题意，—+—>A,

ba

因为正数。/满足。+6=3,

所以//r+口（°+6）♦+:+/+/

--1--=------------=------------

ba33

“4+『+2^2

一33

(/+/)-m+34_27

3—-T

当且仅当。=6,即“=；3,6=31时两个等号同时成立,

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所以2的取值范围为1-8,74

故选：B

14v

7.（2023秋•广东潮州•高三统考期末）正实数x，>满足一+—=1,且不等式无+与2/-3%

xy4

恒成立，则实数机的取值范围（）

A.（-4,1）B.（-<»,-l）u（4,+oo）

C.[-1,4]D.（-oo,-l]u[4,+oo）

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得x+4的最小值为4,再根据含参不等式恒成立解一

4

元二次不等式，即可得实数机的取值范围.

14

【详解】正实数X/满足一+—=1,

xy

则xL丈1+3U122+2归二4,

4I4八%y4xyy4x

4xv14I;

当且仅当一=F，即y=4x且—+—=1时，等号成立，则x=2/=8时，x+4取到最小值

y4xxy4

4,

要使不等式X+52/-3机恒成立，即加2-3加44,解得一1W777W4,

4

所以实数机的取值范围是

故选：C.

8.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知正数。，6满足!+:=1,若不

ab

寸式ClH------F-机abZO恒成立，则机的最大值为

2

93二

A--B.-C.V2

【答案】B

【分析】结合条件,然后由

【详解】因为工+；=1,所以6

ab

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所以。+1+2/「+^+*6=3,所以加w|,当且仅当。=3,6=|时取等号，

a+ba+b2

故选：B.

9.（2023秋•河南郑州•高三校联考期末）已知正数a,6满足a+b=3,若/+八研恒

成立，则实数2的取值范围为（）

【答案】D

【分析】先参变分离得〈+匕22,再利用学=1,与4+Q相乘，然后连续运用两次

ba3ba

基本不等式即可.

4

“4h

【详解】依题意，—+—>A.

ba

又〃+6=3,

414、

a+b(a+6)—+^+a4+b4

4

而/bba______ba

------1------二

ba3一3

(a*12+b2a2+b2\

2《了》+a、b[a4+b、2a泞(/+4Hd

33-33

(“2+,2+2ab\

[2+2)_(a+6)：_27，

312―T

当且仅当Q=b,即。=±3,3时，

22

前后两个不等号中的等号同时成立，所以2的取值范围为，巴子］

故选：D.

14工2/2

10.（2023•全国•高三专题练习）设正实数满足不等式三+卢匚2加恒

2y-12x-l

成立，则加的最大值为（）

A.8B.16C.2A/2D.472

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【答案】A

22

【分析】设yT=6,2x-l=。，求出x，V的值，代入二4X+4v中化简，利用基本不等式

y-12x-l

求出结果.

【详解】设y—l=6,2x_l=a,贝!]y=6+l(6>0),x=；(a+l)(a>0)

所以4x1]S+l)2।(6+1)2,加4+1

y-12x-lbayfabyfab

=2(屈+上+^i^b2(2+=2.(2+2)=8

Iy[abyjabJ('4abslabJ

当且仅当。=6=1即x=2,y=l时取等号

42v2

所以X"r+d的最小值是8,则加的最大值为8.

y-l2x-l

故选A

【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设y7=6,2x-l=a,得出

y=b+1(b>O),x=g(a+l)Q>0)进行代换，属于偏难题目.

二、多选题

II.(2023•全国•高三专题练习)若不等式;+不」1-〃?川对恒成立，则

实数〃?的值可以为()

A.1B.2C.4D.5

【答案】ABC

【分析】将题目转化为±+&2加恒成立问题,即求上+义的最小值,利用基本不等

式求出W+4的最小值，进而可得实数加的取值范围，则答案可求•

【详解】解：即[占M恒成立,

,「XE卜0cx<；

,贝(]4x>0,1-4%>0,

111/i\。l-4x4xl-4x4x

/.---1------1-4x)=2+------+-------->2+2=4,

4xl-4x)4xl-4xV4xl-4x

当且仅当d=黑，即x]时等号成立,

:.m<4.

故选：ABC.

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【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化

能力，是中档题.

12.（2023•全国•高三专题练习）当x>0,V>0,加wR时，，+白>-/+2加+左恒成立,

x2y

则左的取值可能是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AB

【分析】利用基本不等式求出生+广的最小值，再求出--+2冽+左的最大值即可求解.

x2y

【详解】因为x>0,y>0,所以殳+小之2\户?=2,当且仅当x=2歹时，等号成立.

x2y\x2y

因为一〃72+2加+左=一(m-iy+左+14左+1.

若殳+3>-/+2加+左恒成立，则上+1<2,解得上<1.

x2y

故选：AB.

三、填空题

11W

13.（2023•全国,iWi二专题练习）a>b>c,“eN*,且----恒成立，则”的最

a-bb-ca-c

大值为_.

【答案】4

【分析】将不等式变形分离出〃，不等式恒成立即〃大于等于右边的最小值；由于

a-c=a-b+b-c,凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值.

【详解】解：由1于1展W恒成立，且

a-bb-ca-c

即〃4一+一恒成立

a-bb-c

只要的最小值即可

a-bb-c

a—c+。一c_a—b+b—ca—b+b—c

a—bb—ca—bb—c

'：a>b>c

,,(a-ca-c\_,,

:.a-b>0,b-c>0,故-----+-----24,因此〃V4

ya-bb-c)

故答案为：4.

31m

14.(2023•山西大同•大同市实验中学校考模拟预测)已知。>0,6>0,若不等式一+：Z—-

aba+3b

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恒成立，则加的最大值为.

【答案】12

【分析】根据将，W分离出来，基本不等式求最值即可求解.

31m319ba

【详解】由士+：2Tz得机V(a+3b)—+——+—+6

aba+3babab

又生+£+622囱+6=12,当且仅当独=£,即当a=36时等号成立,

abab

Am<12,二加的最大值为12.

故答案为：12

15.（2023・全国•高三专题练习）已知不等式«+774“7^工亍对任给》>0，y>0恒成立,

则实数a的取值范围是.

【答案】[后,+可

【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到

结论.

【详解】Vx>0,y>0,

工不等式4x4-y[y<a[x+y等价为a2J6恒成立,

Jx+Jv

设m=—/,则m>0,

在+歹

/G+八、x+y+2-Jxy2-Jxy

平方?得<rtm2=()2=--^-=1+^-2-<1+

y]x+yx+yx+y

当且仅当x=y时取等号,

/.m2<2,贝！|0<m<也

・由任、A

..要使a>一G/+/7怛成立,

y/x+y

则a>72，

故答案为+oo）

【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解

决本题的关键.综合性较强.

4x|

16.（2023•辽宁・鞍山一中校联考模拟预测）若关于x的不等式一+—^24对任意x>2恒

a尤一2

成立，则正实数。的取值集合为.

【答案】{。|0<。44}

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【分析】分析可得原题意等价于纱口+，24-当对任意x>2恒成立，根据恒成立问

ax-2a

题结合基本不等式运算求解.

【详解】•.•竺+、»4,则+

ax-2ax-2a

原题意等价于企Z+」—24-2对任意x>2恒成立，

ax-2a

由〃>0,x>2,贝！—―>0,--—〉0,

ax-2

_rM4(x-2)+L^4(x-2)4

ax-2Vax-2Jc

当且仅当40—2）=，,即工=2+五时取得等号,

ax-22

4

4a解得0<a<4.

a>Q

故正实数a的取值集合为｛a|0<«<4｝.

故答案为：｛a|0<a<4｝.

2.一元二次不等式恒成立问题

一、单选题

abxx—az、

1.（2023・全国•高三专题练习）定义，=泅-左，若关于x的不等式c>2在1,+s

ca2x

上恒成立，则实数。的取值范围为（

33

A.B.C.—,+ooD.—,+00

22

【答案】D

【分析】首先根据新定义得--2（x-〃）>2,再参变分离，转化为求函数的最值.

xx一如

【详解】2x>2等价于一一2（i）>2,即2a>4+2x+2,

23

I己f（x）-—X?+2x+2=-1）+3<392a23,ci.

故选：D.

2.（2023•全国•高三专题练习）数列｛4｝满足％="+而+2,若不等式%2久恒成立，则

实数上的取值范围是（）

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.(-9,-8)D.(-9,-7)

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【答案】B

【分析】由%=[+：]-：+2利用二次函数的性质计算可得答案.

[详解]%="2+左〃+2=（〃+g]-I-2,

•不等式。"2%恒成立，

/.3.5<--<4.5,

2

解得-9W,

故选：B.

3.（2023,全国,高三专题练习）已知关于x的不等式kx2-6kx+A-+8>0对任意xeR怛成立,

则上的取值范围是（）

A.0<^<1B.0<^<1

C.左<0或左>1D.左W0或左21

【答案】A

【分析】对上进行分类讨论，当左=0时不等式恒成立，左片0时不等式恒成立，需要人>0时

且AW0,可求得上的范围.

【详解】当左=0时，不等式-6履+左+820化为820恒成立，

_%>0

当上W0时，要使不等式依2-6区+左+820恒成立，需《八,,,2。7、小，解得

[A=36k-4（左一+8左）V0

0<后41,

综上可得，不等式丘2-6丘+后+820对任意尤eR恒成立，则上的取值范围是[0』.故选：

A.

4.（2023春•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的xe（L4）,

不等式办2-2尤+2>0都成立，则实数。的取值范围是（）

A.[1,+℃）B.C.D.g'+sj

【答案】D

【分析】分离参数得。>三U对任意的xe（l,4）恒成立，则求出即可.

XIX/max

【详解】因为对任意的、£（1,4）,都有尔_2工+2>0恒成立，

2x-2

・•・。>——对任意的％£。4）恒成立.

x

2x-222

设〃％)=一了十一4,

X2x

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VXG(1,4),<1,

4x

二当即”2时，/(%,=；，

二实数a的取值范围是(；,+◎.

故选：D.

5.(2023春・浙江绍兴•高三统考开学考试)对于任意实数x及IV/vVL均有

21

(x+Z12+l)-+(x+a/)2>-,则实数。的取值范围是()

【答案】D

【分析】先将除了x以外的量aJ看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，

然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.

【详解】由基本不等式，

(x++1)2+(x+at)2=(x+?2+1J+(-x-at)2>(X+?'+1~X~a02=俨+「*,故只需要

(/2+1—点)21口口_

--------乙2_即可，

28

即对于任意的IV/VG，(r+1-023;恒成立，等价于对任意的IV/VG，t2-at+l>-,

42

或/一点+

2

111

当+时，由于原式可变形为%+k，记=

2It2t

根据对勾函数性质y='+(在°，当上递减，在g+8上递增,

I2)

11a

于是>=在口,向上递增，此时。"而„=1+]=；；

133

当成+lv—不时，由于1«，4^/5,原式可变形为+记y=%+k，

22tIt

根据对勾函数性质尸方+彳在0喋上递减，在\-,+8上递增，于是片1+：在

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[上递减，在]当，6上递增，

当，=1,了1，当""了=手，注意到孚>2故当14芯6时，5=竽，故心手・

故选：D

6.(2023•宁夏中卫・统考二模)已知点/(1,4)在直线工+才=1(。>0/>0)上，若关于/的不

ab

等式a+b»〃+5f+3恒成立，则实数f的取值范围为()

A.[-6,1]B.[-1,6]

C.(-oo,-l]u[6,+oo)D.(^»,-6]u[l,+oo)

【答案】A

【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得6的最小值，从而将问题转化

9>t2+5t+3,解之即可.

【详解】因为点/(1,4)在直线±+==1(。>0,6>0)上，

ab

所以上1+4?=1,

ab

4Ab4a__lb4a__

故〃+〃=(4+力)—+—=—+—+5>2J-------+5=9,

\ab)abyab

b

当且仅当2=岑4a且上1+?4=l,即。=3,6=6时等号成立，

abab

因为关于t的不等式4+匹》+夕+3恒成立，

所以92L+5/+3,解得-6WY1,

所以弥卜6,1].

故选：A

7.(2023•全国,高三专题练习)已知函数"(％)=(m-1)2-2e(m-l)x+eax,若对任意的加GR,

当%>0时，〃(x)20恒成立，则〃的最小值是()

2

A.-B.0C.1D.2

e

【答案】D

【分析】H(x)>Q,可看作关于小-1的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0

恒成立，即。22十』1nx在x>0时恒成立,记成幻=2+2出\利用导数求出/(x)最大值即

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可.

【详解】H（X）20,即（m-l）2-2e（m-l）x+eflX>0,

算式可看作关于加-1的二次函数大于等于0恒成立，

则判别式A=（-2ex）2-4e"V0恒成立，即a»2+;nx在彳>。时恒成立，

记〃x）=2+21nx,则/，（x）=Z^£,

/'（x）>0,解得0<x<l,/'（x）<0,解得x>l,

〃x）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，/«max=/（l）=2,

a>2,则a的最小值是2,

故选：D

8.（2023秋•江西抚州•高三临川一中校考期末）若对VxeR,使得j-2（。>0且分1）

恒成立，则实数。的值是（）

A.V2B.V3C.2D.5/5

【答案】A

【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到A40,求出实数。的值.

【详解】对2m2'2一取对数可得：（2x-2）lnQ4％2—*山2.

即关于x的不等式（山2）工2一（1口2+2111办+21口。20对心。恒成立，

只需A=（ln2+21na）?-4（ln2）x21n〃=Qn2-2InaJ<0

所以ln2-21na=0,解得：a=42-

故选：A

9.（2023•全国•高三专题练习）已知a>0,6eR,若x>0时，关于x的不等式

（◎-2乂/+乐-5性0恒成立，则6+&的最小值为（）

A.2B.2A/5C.4也D.372

【答案】B

【分析】根据题意设V="-2,y=x2+bx-5,由一次函数以及不等式

（办-2）（/+乐-5卜0分析得x=2时，y=x2+bx-5=0,变形后代入6+3，然后利用基

本不等式求解.

【详解】设歹=办-2（x>0）,y=x2+bx-5（x>0）,

2

因为。〉0,所以当0<%<—时，y=ax-2<0；

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2

当x=_时，y=ax-2=0；

a

2

当x>—时，y=ax-2>0；

a

、,、

由不等式,3-2而77+法-5扭。恒成立，得,:f"tzx+-2…<0。或ftzx-2…>0

2

即当0<xV—时，d+bv-5Vo恒成立,

a

2

当xN一时，/+以_520恒成立，

a

所以当尤=2时，>=/+®-5=0,贝！+生一5=0,BPZ)=-

aaa2a

则当a>0时，b+-=-+->2.Mx-=2A/5,

a2aa2a\2a

当且仅当孚=2,即0=拽时等号成立，

2a5

4

所以6+—的最小值为26.

a

故选：B.

10.(2023・四川绵阳・统考模拟预测)已知函数/(x)的定义域为(-s,0)U(0,+8),且“X)为

7+9+1)尤2-(°+3)X+3与即中|中较大的数，/(x)»0恒成立，则°的取值范围为()

A.[-4,4]B.卜26,+8)C.[-273,273]D.

【答案】A

【分析】根据题意分析可得3+(0+1及2-(0+3U+320对立€(-1,1)恒成立，对

一丁+(a+1)/-(0+3)X+320整理分析可得：，-ax+320对Vxe(-1,1)恒成立，结合二次

函数的性质分析运算.

【详解】•••当卜号1时,则In国20,可得即小归0；当国<1时，则1中|<0,可得即中|<0；

二当国21时，/(%)>0,

故原题意等价于+(a+1)/-(a+3)x+320对Vxe(-1,1)恒成立，

整理得(无？-ax+3)(尤一1)40,

xe(—1,1)>贝!)x—1<0,可得X。-ax+320,

故原题意等价于/-办+320对Vxe(-1,1)恒成立，

构建g(x)=Y-办+3,可知g(x)开口向上，对称轴A.

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-<-l-1<-<1->1

可得，2，或J2，或12,

g(-l)=a+4>0[A=a2-12<0[g(l)=-a+4>0

解得-4VaV4,

所以a的取值范围为[-4,4].

故选：A.

【点睛】关键点睛：

1.对国In|x|的符号分析可得:-x3+(a+1)--(a+3)x+3N0对Vx€(-1,1)恒成立；

2.对一d+g+l)/-(a+3)x+3因式分解，分析可得：--公+320对也€(-1/)恒成立.

二、填空题

II.(2023・全国•高三专题练习)若不等式/+26-2卜+4>0对一切xeR恒成立，则实

数。的取值范围是.

【答案】0<。<4

【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得A<0,即可求。的范围.

【详解】由题设，△=4(“-2)2-16<0,即-2<。-2<2,

所以0<a<4.

故答案为：0<。<4

12.(2023・全国•高三专题练习)关于尤的不等式/_4x+4a在0,6]内有解，则a的取

值范围为.

【答案】[-2,6]

22

【分析】根据不等式有解可得当xe[1,6]时，a-4fl<(x-4x)max，结合二次函数的最值可

求得结果.

【详解】"-4x+4a>a2在[1,6]内有解,Q?-4aW卜?-4x)max，其中Xe[L6];

1

^y=x-4x(l<x<6),贝!!当x=6时，Jmax=36-24=12,

/.a2-4A<12,解得：-2<a<6,二。的取值范围为[-2,6].

故答案为：[-2,6].

13.(2023•全国•高三专题练习)若不等式/+广1<”七2—…对xeR恒成立，则实数加的

取值范围是.

【答案】

【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对xeR恒

成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出

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即可.

【详解】解：原不等式可化为(--1卜2-(加+1)尤+1>0对xeR恒成立.

(1)当/_i=o时，若不等式对xeR恒成立，

fm+1=0

只需八，解得加=-1;

[1>0

(2)当/_1。0时，若该二次不等式恒成立，

m2-l>0或加<—1

只需'/1,2/2\，解得<5十，

A=(m+1)-4(m-11<0m>一或m<-1

所以加e(-oo,-l)u[g,+co

加e(-oo,-l]u1|>+℃；故答案为:

综上:

14.(2023•全国•高三专题练习)若不等式2xT>加(/_1)对任意"?«一1』恒成立，实数x

的取值范围是.

【答案】(V3-l,2)

【分析】把题意转化为设=-l)-2x+l,由一次函数的单

调性列不等式组，即可求解.

【详解】2无一1>加可转化为加(》2-1)-2尤+1<0.

设〃间="伊-1)-2x+l,则/(")是关于m的一次型函数.

要使/㈣<。恒成立，只需/2；+；<0,

JI—1I——X—ZX十N〈U

解得6-1<