2024年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一）

2024年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）（2024•聊城模拟）己知集合4=｛尤||尤|W2｝,B^｛x\x-a<Q）,若AUB,则。的取

值范围为（）

A.(-8,-2)B.(-8,-2]C.(2,+8)D.[2,+8)

2.（5分）（2024•聊城模拟）若复数z满足5=i-z,则z可以为（）

A.1-iB.1+iC.l+2zD.1-2z

3.（5分）（2024•聊城模拟）记等差数列｛即｝的前〃项和为引,若57=49,515=45,则。6

=()

A.3B.5C.7D.10

4.（5分）（2024•聊城模拟）设6299=7〃+广，其中“6N*,且0Wr<7,贝Ur=（）

A.3B.4C.5D.6

5.（5分）（2024•聊城模拟）设可，/2是双曲线C：3―/=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

P是C上的一点，若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PFi|-|尸/2|=2,则C的焦距

等于（）

A.1B.V3C.2D.4

6.（5分）（2024•聊城模拟）6知数列｛丽｝满足an+1=3an+2,则“al=-]"是“｛珈｝是等

比数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.（5分）（2024•聊城模拟）在三棱柱ABC-A18C1中，点。在棱881上，且△AOC1所在

的平面将三棱柱ABC-ALBICI分割成体积相等的两部分，点M在棱4。上，且

2MC1,点N在直线881上，若〃平面AOG,则毁1=（）

NB1

A.2B.3C.4D.6

8.（5分）（2024•聊城模拟）已知P是圆C：？+/1外的动点，过点尸作圆C的两条切线,

~»—>

设两切点分别为A,B,当P4-PB的值最小时，点P到圆心C的距离为（）

A.V2B.V2C.V2D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）（2024•聊城模拟）已知函数/（x）=sin（3x+3）+cos3x（3>0）的最小

正周期为2,则（）

A.0）=71

B.曲线y=f（x）关于直线久=1对称

C./（%）的最大值为2

D./（无）在区间［—勺上单调递增

（多选）10.（6分）（2024•聊城模拟）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的

成绩XE（u，。2）,且E（X）=80,D（X）=400,规定测试成绩不低于60分者为及

格，不低于120分者为优秀，令尸（|X-NW。）=m,P（|X-R|W2。）=n,则（）

A.|i=80,。=400

m+n

B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为丁

C.从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试

1—722

成绩优秀的概率为二一

D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生

1—71

测试成绩优秀的概率为:;一

1+m

（多选）11.（6分）（2024•聊城模拟）设八无）是定义在R上的可导函数，其导数为g（x）,

若y（3尤+1）是奇函数，且对于任意的尤CR,y（4-x）—f（x）,则对于任意的左ez,下

列说法正确的是（）

A.4%都是g（x）的周期

B.曲线y=g（x）关于点（2k,0）对称

C.曲线y=g（x）关于直线x=2A+l对称

D.g（x+4左）都是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

6。一x,为V4,

-的值域为（2,+8）,则实数

{logx,x>4

2

a的取值范围为.

13.（5分）（2024•聊城模拟）已知椭圆C；圣+'=l（a>b>0）的一个焦点的坐标为（1,

0）,一条切线的方程为无+y=7,则C的离心率6=.

->—>

14.（5分）（2024•聊城模拟）己知正四面体ABC。的棱长为2,动点尸满足4P•CD=0,

->—>

且PBPC=0,则点P的轨迹长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.

15.（13分）（2024•聊城模拟）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点尸（2,

2）,动直线/：不经过点P、与C相交于A、B两点，且直线B4和尸2的斜率之

积等于3.

（1）求C的标准方程；

（2）证明：直线/过定点，并求出定点坐标.

16.（15分）（2024•聊城模拟）在梯形ABC。中，AD//BC,设NA4D=a,ZAB£）=p,已

知cos（a-0）=2sin（a+^）sin（J3+^）.

（1）^ZADB；

（2）若CD=2,AD=3,BC=4,求AB.

17.（15分）（2024•聊城模拟）如图，在四棱台ABC。-AiBiCiDi中，AB//CD,。。1_1平

1

ffiABCD,BC=CD=~AB.

（1）证明：AD±BB\；

（2）若AO=3,A1B1=CD^l，DDi=2,求平面ABC。与平面BC&Bi的夹角的余弦

值.

18.(17分)(2024•聊城模拟)已知函数-1,g(x)—lnx-mx,<p(x)=ex-亨-

(1)求/(无)的单调递增区间；

(2)求(p(%)的最小值；

(3)设//(x)=/(x)-g(x),讨论函数/?(x)的零点个数.

19.(17分)(2024•聊城模拟)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记

作A,Bi,P,B2,Ci,Qi,C2,Q,C3.一个机器人从区域产出发，每经过1秒都从一

个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.

(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域;

(2)求经过2秒机器人位于区域。的概率；

(3)求经过〃秒机器人位于区域。的概率.

2024年山东省聊城市高考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）（2024•聊城模拟）已知集合4={尤||尤|W2},B={x\x-a<0},若AU2,则a的取

值范围为（）

A.（-8,-2）B.（-8,-2]C.（2,+8）D.[2,+°°）

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,再利用集合间的包含关系列出不等式，求出。的取值范围即

可.

【解答】解：集合A={x||尤|W2}={x|-2WxW2},B={x|x-。<0}={尤|尤<。},

XVAEB,

.'.a>2,

即a的取值范围为（2,+8）.

故选：C.

【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.

2.（5分）（2024•聊城模拟）若复数z满足2=>z,则z可以为（）

A.1-iB.1+zC.1+2/D.1-2z

【考点】共软复数；复数的运算.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】A

【分析】结合复数的四则运算及复数相等条件即可求解.

【解答】解：设2="万（a,6为实数），

因为2=>z,

所以a-bi—（a+bi）i—ai-b,

所以a=-b,

结合选项可知，A符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，复数相等条件的应用及共轨复数的概念，属

于基础题.

3.（5分）（2024•聊城模拟）记等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,若S7=49,Si5=45,则照

=（）

A.3B.5C.7D.10

【考点】等差数列的前n项和.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，由等差数列前“项和的性质求出国、羽的值，由此求出d,进而计

算可得答案.

【解答】解：根据题意，等差数列｛外｝中，设其公差为d,

若57=49,即Si=（ai+?x7-7^=49,贝ija4=7,

若Si5=45,BP515=（ai+ai5）x^^=15（28=45,贝ij圆=3,

则心中=?=T，

故。6=。4+21=7-2=5.

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题.

4.（5分）（2024•聊城模拟）设6299=7〃+广，其中“6N*,且0Wr<7,则r=（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】直接利用二项式的展开式以及整除问题的应用求出结果.

【解答】解:根据62"=（63-1）"=C°9-63"-盘9-6398+…一嗡,63i+C-.（-1产=

匾-63"-盘9-6398+…+c舞・63】-1=C&-63"--6398+...-C^-631-7+6.

故余数为6.

故选：D.

【点评】本题考查知识要点：二项式的展开式，整除问题的应用，主要考查学生的运算

能力，属于基础题.

5.（5分）（2024•聊城模拟）设为，放是双曲线C：3一，=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

P是C上的一点，若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|尸乃|-|巴切=2,则C的焦距

等于（）

A.1B.V3C.2D.4

【考点】双曲线的性质.

【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】根据双曲线的性质可解.

【解答】解：因为尸1,故是双曲线C；、=l（a>0,b>0）的左、右焦点，尸是C

上的一点，若C的一条渐近线的倾斜角为60°,

bb/~~

则一=tan60°,即一=V3,

CLCL

又|尸乃|-|尸。|=2,贝lj2a=2,即。=1,

则b=V3,

又c1=a2+b2=4,

则c=2,

则C的焦距等于2c=4.

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题.

6.（5分）（2024•聊城模拟）已知数列｛丽｝满足斯+1=3即+2,则“m=-1”是“｛丽｝是等

比数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】等比数列的性质；充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】C

【分析】由m+1=3珈+2,m=-1,得出数列｛丽｝是等比数列，判断充分性成立；由｛即｝

是等比数列，得出41=-1,判断必要性成立.

【解答】解：数列｛劭｝中,珈+1=3砺+2,ai=-1,

所以〃2=3〃I+2=3义(-1)+2=-1,。3=3〃2+2=-1,…，斯=3劭一1+2=-1,其中〃

22；

所以数列｛即｝是公比为1,首项为-1的等比数列，充分性成立；

设等比数列｛即｝的公比为q(qWO),由〃九+1=3即+2,可得即q=3即+2,即(.q-3)an=

2,

当q=3时，(q-3)劭=0W2,不成立，应舍去；

当时，劭=■为定值，所以所以等比数列｛〃〃｝的公比为q=1,

q-j

所以的=“22=12a=—1,必要性成立.

q_j1_3

所以“m=-1”是“｛斯｝是等比数列”的充要条件.

故选：C.

【点评】本题考查了等比数列的定义与应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，

是中档题.

7.(5分)(2024•聊城模拟)在三棱柱ABC-431cl中，点。在棱231上，且△ADQ所在

的平面将三棱柱A8C-A1B1Q分割成体积相等的两部分，点M在棱AiCi上，且AiM=

2MC1,点N在直线881上，若MN〃平面A。。，则股1=()

NB1

A.2B.3C.4D.6

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】作出图形，转化三棱锥的顶点与底面易得满足题意的点。为8bB的中点，再过

M作平面AZ)Ci的平行平面，从而可得N点位置，从而得解.

【解答】解：如图，设三棱柱ABC-4B1C1的体积为6,

则三棱锥A-A1B1C1的体积为2,

又三棱柱ABC-A1B1C1在截面ADC1上部分的几何体为四棱锥Ci-A1ADB1,

又忆-AiAOBi=^C1-A1AB1+^C1-ADB1=^A-A1B1C1+^C1-ADB1—^■^C1-ADB1'

...当三棱锥Ci-ADBi的体积为1时，满足题意，

又三棱锥A-A1B1C1（即为三棱锥Ci-A1AB1）的体积为2,

—2SAADB『•'•AIA=2BID,为_BI_B的中点，

为4cl上靠近Ci的三等分点，取AM的靠近A的三等分点P,

则MP〃C1A,过尸作PN〃A£>,则易得平面〃平面A。。，

从而可得MN〃平面ADC1,

111

此时AP=DN=豺4=抻1,又DB\=^BBi,

111

：.NBi=DBi-DN=^BBi-^BBi=^BB\,

236

•烈-6

••一u•

NB、

故选：D.

【点评】本题考查几何体的体积问题，面面平行的判定定理与性质，化归转化思想，属

中档题.

8.（5分）（2024•聊城模拟）已知P是圆C：，+y2=1外的动点，过点尸作圆C的两条切线，

—>—»

设两切点分别为A,B,当P2-PB的值最小时，点尸到圆心C的距离为（）

A.V2B.V2C.V2D.2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；数学运算.

【答案】A

t_>4_2

【分析】作出图形,设|P8|=mZBPC=Q,由平面向量数量积运算可得PA•PB=勺，,

mz+l

换元后由基本不等式即可求得.

【解答】解：设|尸8|=根，ZBPC=O,由图及圆的切线性质可得：|必|=|尸8|=相，\PC\=

Vm2+1,ZAPB=2Q,

，匚7712—1TH4—TH2

所以24•PB=\PnA\\PnBn\cosZ-A4PBn—m72—n--=——,

mz+lmz+l

令/=谒+1,Z>1,则渥=L1,

所以后,SB=(I)?”-])=12；t+2=t+|_3“鱼_3,当且仅当t=%,即t=

企时等号成立，

此时|PC|=7m2+1=VF=VA/2=V2.

故选：A.

【点评】本题列出直线与圆的位置关系，向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于

中档题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）（2024•聊城模拟）已知函数/（x）=sin®久+*+cosa）久（3>0）的最小

正周期为2,则（）

A.3=P

曲线>=/（X）关于直线X=看对称

C.f（x）的最大值为2

D./（%）在区间［一会勺上单调递增

【考点】三角函数的周期性.

【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】AB

【分析】先化简可得/（x）=V3sin再结合正弦函数的性质逐项判断即可.

【解答】解：/（x）=sin（o>x+看）+cos3K=sinatx+|cos（i）x=V3sin（cox+

由最小正周期7=红=2,得3=m

（JL）

所以/（%）=y/3sin（j［x+亨），故A正确；

,1,1,—TCTC.—

当％=工时，f（-）=V3sin（一+-）=V3,

6，663

所以直线是函数/（X）的对称轴，故8正确；

因为/（x）=Vising+5），所以了（无）的最大值为遮，故C错误；

当x6｝时，nx+号€［一t，,

而函数y=sinx在［-*勺上单调递增，在g,净上单调递减，故。错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦函数的性质，属于基础题.

（多选）10.（6分）（2024•聊城模拟）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的

成绩XW（R,小），且£（x）=80,D（X）=400,规定测试成绩不低于60分者为及

格，不低于120分者为优秀，令尸（|X-。）=m,P（|X-R|W2。）=n,则（）

A.|i=80,。=400

rrt+ri

B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为——

2

C.从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试

1—n2

成绩优秀的概率为------

2

D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生

测试成绩优秀的概率为匕

1+m

【考点】概率的应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】BCD

【分析】根据题意，由正态分布的性质分析A、B,由相互独立事件的概率公式分析C,

由条件概率的计算公式分析。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,X-N(|1,八)，且£(x)=80,D(X)=400,贝(Jp=80,o2=400,即。=

20,A错误；

对于2,设该生测试成绩及格但不优秀为事件A,

令尸(|X-川)=m,P(|X-山＜2。)=及,即尸(60WXW100)=m,P(40WXW

120)—n,

故P(A)=P(60WXW120)=号巴B正确；

对于C,设一名学生成绩优秀为事件8,则P(8)=P(X2120)=-P(40WXW120)]=

1—n

则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试

成绩优秀的概率P=6x号:x(1-亨)=士”;C正确；

对于D,设一名学生成绩合格为事件C,则尸(C)=＞竽=竽，P(BC)=尸(B)

1—n

=

1—71

故P(G8)=掰=率=瑞，。正确・

故选：BCD.

【点评】本题考查正态分布的性质以及应用，涉及条件概率的计算，属于中档题.

(多选)11.(6分)(2024•聊城模拟)设八无)是定义在R上的可导函数，其导数为gl),

若/(3x+l)是奇函数，且对于任意的尤6R,/(4-x)—f(x),则对于任意的keZ,下

列说法正确的是()

A.4/都是g(x)的周期

B.曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称

C.曲线y=g(x)关于直线x=24+1对称

D.g(x+4左)都是偶函数

【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用；导数的运算.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】BC

【分析】根据题意，分析/(x)的对称性和周期性，由导数的计算公式分析g(x)的对

称性和周期性，由此分析选项是否正确，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，若/(3x+l)是奇函数，则有/(l-3x)=-/(l+3x),变形可

得/(无)=-f(2-x),

又由对于任意的xCR,#4-x)=/(x),则有/(4-x)=-/(2-尤)，变形可得了(x+2)

=~f(X),

则有/(x+4)=-/(x+2)=f(尤)，故/(x)是周期为4的轴函数，

由于/(x)=-/(2-%),两边同时求导可得f'(x)—f(2-x),即g(x)—g(2

-x),则g(x)关于直线x=l对称，

由于/(4-尤)=/(x),两边同时求导可得-f(4-x)=f(尤)，即-g(4-x)=g

(尤)，则g(x)关于点(2,0)对称，

f(x+4)—f(x),两边同时求导可得(x+4)—f'(x),即g(x+4)—g(x),则g

(x)的周期为4,

由此分析选项：

对于A,当人=0,4左=0,不是函数g(x)的周期，A错误；

对于2,g(尤)的周期为4,则有g(4k-x)—g(-x),而-g(4-x)—g(x),即-g

(-无)=g(x),

综合可得：g(-x)=-g(x)=g(4及-x),故曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称，

B正确；

对于C,g(x)的周期为4,g(4k+2-x)—g(2-x),

又由g(x)—g(2-x),则有g(尤)—g(44+2-尤)，故曲线y=g(x)关于直线尤=2左+1

对称，C正确；

对于。，由8的结论，g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数，即k=0时，g(x+4&)是

偶函数不成立，。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

6。一Y.YV4.

一的值域为（2,+8）,则实数

{logx,x>4

2

a的取值范围为（1,+8）.

【考点】分段函数的应用；函数的值域.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】（1,+8）.

【分析】根据题意，由函数的解析式分析/（x）的单调区间，结合单调性可得6。-4>2,

解可得答案.

【解答】解：根据题意，当x>4时，f（x）=log2r,此时无）为增函数，易得了（x）

>log24=2,

当x<4时，f（x）=6a-x,此时无）为减函数，有了（x）可（4）=6。-4,

6。一x.YV4,

一的值域为（2,+8）,则有6。-4>2,

{log2x,x>4

解可得a>l,即°的取值范围为（1,+°°）.

故答案为：（1，+8）.

【点评】本题考查函数的值域，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

13.（5分）（2024•聊城模拟）已知椭圆C：及+*l（a>b>0）的一个焦点的坐标为（1,

0）,一条切线的方程为尤+y=7,则C的离心率e=:

【考点】椭圆的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】

【分析】设出切点坐标，利用切线方程，转化求解a,b,然后求解离心率即可.

YTIX71V

【解答】解：设椭圆与x+y=7相切于（相，九），可得切线方程为：—+—=又切

azbz

线的方程为x+y=7,

可得加=。2,n=b2,m+n=7,可得〃2+廿=7,

椭圆C；:*l（a>b>0）的一个焦点的坐标为（1,0）,

可得〃2-02=1,可得〃=2,b=V3,c=l,

所以椭圆的离心率为：6=：另.

m1

故答案为：二.

2

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.

14.（5分）（2024•聊城模拟）己知正四面体ABCD的棱长为2,动点P满足4P•CD=0,

—>—>

且PB•PC=0,则点P的轨迹长为V3?r.

【考点】轨迹方程.

【专题】转化思想；综合法；球；数学运算.

【答案】V37T.

【分析】作出图形，分别取3C,CD的中点。，E,根据题意可得尸在球。被平面ABE

所截的截面小圆上，再根据球的几何性质，即可求解.

【解答】解：如图，分别取2C,C。的中点。，E,连接AE,BE,

—>T

由4PCD^0,可知AP±CD,

又在正四面体ABC。中，易知CD_L平面ABE,

点尸在平面ABE内①，

—»—»

又PB-PC=0,：.PB±PC,

点尸在以8c为直径的球。的球面上②，

综合①②可得点尸在球。被平面ABE所截的截面小圆上,

又CE_L平面ABE,?!（9^OF//BE,>OFdBE^F,

11

：.OF±^ABE,且|Of]=,CE|=W，又球。半径R=l,

设截面小圆的半径为r,

则r=JR2-\OF\2=Jl-R亨,

,截面小圆的周长为2nr=V37T,

即点尸的轨迹长为遍加.

故答案为：V37T.

【点评】本题考查动点轨迹问题，球的几何性质，属中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.

15.（13分）（2024•聊城模拟）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点尸（2,

2）,动直线/：y=fcc+6不经过点尸、与C相交于A、8两点，且直线融和PB的斜率之

积等于3.

（1）求C的标准方程；

（2）证明：直线/过定点，并求出定点坐标.

【考点】直线与抛物线的综合；恒过定点的直线.

【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】（1）f=2y；

（2）证明见解析.

【分析】（1）设抛物线方程为了=@,再由点尸（2,2）在C上即可求解；

（2）设A（xi,yi）,B（尤2,y2）,由韦达定理尤I+X2=2左，ixi尤2=-2b,然后将直线B4

和PB的斜率表示出来，结合kp4•kpB=3推出左，6的关系即可得证.

【解答】（1）解：由C关于y轴对称，可设其标准方程为了=今，

又因为点P（2,2）在C上，

所以4=2a,解得a=2,

因此C的标准方程为f=2y；

（2）证明：设A（xi,ji）,B（x2,,2）,

由y-得/-2fcc-26=0,其中A=4d+86>0,

ix=2y

贝!jXI+X2=2左，xix2=~2b,

所以直线PA的斜率kpa=\=TXx—2^=,

同理直线PB的斜率为kpB=也产，

所以建,小=吟空=巧冷+2（：1+冷）+4=生券W,

2/c—b+2

又kpA・kpB=3,即-------=3,

2

解得。=2左-4,

所以/的方程为了=履+2女-4,BPy=k（x+2）-4,

所以动直线/恒过点(-2,-4).

【点评】本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

16.(15分)(2024•聊城模拟)在梯形A8CD中，AD//BC,设ZABD=p,已

^Acos(a-0)=2sin(a+^)sin(fi+

(1)求/ADB；

(2)若CD=2,AD=3,BC=4,求AB.

【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理.

【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算.

71

【答案】(1)

6

(2)V3.

【分析】⑴先将角a-0拆分为(a+J)-(p+J),再运用两角和与差的余弦公式整

理得cos[(a+号)+(0+&]=COS(a+B+争=0,结合角的范围及关系即可求解；

(2)由题意及(1)得NDBC=卷,运用正弦定理解△5CZ),运用余弦定理解即

可求解.

【解答】解：(1)因为cos(a-P)=2sin(a+^)sin(0+@,

所以cos[(a+⑥-(B+电]=2sin(a+掾)sin(0+,),

即cos(a+g)cos(p+^)+sin(a+5)sin(B+刍)=2sin(a+⑥sin(0+电，

所以cos[(a+亨)+(B+5)]—cos(a+0+冬)=0,

由0<a+P<n,得Va+0+冬V挈，

所以。+0+等=竽，即a+0=患，

所以NAZ>B=IT-(a+p)=看.

(2)因为AO〃5C,所以NDBC=NADB=3

4xm

在△BCD中，由正弦定理得sin/BDC=BGsgjDBC=^6=b

所以

所以BD=2®

在△ABD中，由余弦定理得

AB2^AD2+BD2-2AD'BD'COSZADB^32+（2A/3）2-2X2V3X^=3,

所以

【点评】本题考查两角和与差的余弦函数的公式，考查正弦定理和余弦定理在解三角形

中的运用，属于中档题.

17.（15分）（2024•聊城模拟）如图，在四棱台ABCD-AiBiCiDi中，AB//CD,。。1_1平

1

ABCD,BC=CD=^AB.

（1）证明：ADXBBi；

（2）若AD=3,ArBr=CD=LDDI=2,求平面A3CZ）与平面BCGBI的夹角的余弦

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；

逻辑推理；数学运算.

【答案】（1）证明见解答；

3V34

（2）-------.

34

【分析】（1）连接点。与中点E,连接。8,DiBi,借助棱台的性质可得Bi,Di、D、

8共面，由。。△平面ABCZ）,结合线面垂直的性质定理可得。。利用题意中的数

量及位置关系可得AOLBD,即可得线面垂直，借助线面垂直的性质即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.

【解答】（1）证明：连接点。与A3中点E,连接。2,D1B1,

由棱台的性质可得故Bi,Di,D,8共面，

1

由AB//CD,BC=CD=^AB,故CD〃BE,CD=BE,

故四边形CDEB为平行四边形，故DE=BC,

故有DE=EA=EB,iiADLBD,由。Oi，平面ABCQ,且80、AOu平面ABC。,

i^DDiLAD,DDi±BD,

又BD、OOiu平面BDPiDDi=D,

故AO_L平面又BBiu平面81Q1D8,故AO_L88i.

(2)解：由(1)知，DDi、BD、A。两两垂直，故可以。为原点，建立如图所示空间

直角坐标系，

q1.______

由&Bi=CD=|,BC=CD=《AB,则AB=5,BD=V52-32=4,

点C到直线BD的距离为J8)2一$)2=I，

则有。(0,0,0)、B(0,4,0)、C(-|,2,0)、Bi(0,2,2),

—>o—>

则BC=(-2，-2,0),BBi=(0,—2,2),

由2轴_1平面ABC。，故平面48C£>的法向量可为拓=(0,0,1),

设平面BCC1B1的法向量为蔡=(无，»z),

T-(3

则有，见=°,即—尹―2y=°,令尸4,则有y=-3,z=3,

n-BBi=0l-2y+2z=0

故平面BCCLBI的法向量可为£=(4,-3,3),

—>—>

则cos而’行=常裾33/34

“6+9+9

3V34

故平面ABCD与平面BCC1B1的夹角的余弦值为一

【点评】本题主要考查线线垂直的证明，面面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理

能力，属于中档题.

18.(17分)(2024•聊城模拟)已知函数/(x)=xex-1,g(x)=lnx-mx,(p(x)=ex—

(1)求/(尤)的单调递增区间；

(2)求(p(x)的最小值；

(3)设〃(尤)—f(x)-g(x),讨论函数〃(无)的零点个数.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值.

【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】⑴[-1,+8);

(2)1；

(3)当“2=-1时，函数力(X)有一个零点，

当机<-1时，函数h(x)有两个零点，

当机>-1时，函数//(x)无零点.

【分析】(1)求导后令,(x)20,计算即可得；

(2)求导后，令n(x)=//+阮v(x>0),再次求导后可得n(x)的单调性，无法直

接求出使U(x)=0的解，因此虚设零点，借助零点的存在性定理，得到久°C(J,1),

11

使就e%。+lnx=0,再借助对数变形，得到久0〃。=In—•e—,从而构造函数3(x)

0xoxo

=xd(x>0),结合函数单调性，得到Xo="。，代入隼(xo)中，即可得解.

xo

(3)变形后可得函数h(x)的零点个数即为<p(x)=-m的实数根的个数，结合(p(x)

的单调性讨论即可得.

【解答】解：(1)，(x)=(尤+1)令(%)\0,可得了2-1,

故了(%)的单调递增区间为[-1,+8)；

(2)0。)=靖一审+5=^^0>0),

令|1(%)=x2ex+Znx(x>0),

则〃(%)=(%2+2x)ex+

由x>0,故〃/(%)=(%2+2x)ex+-〉0恒成立，

故.G)在(0,+8)上单调递增，

又〃(})=[cl+=去el—1=‘°；V0,〃(1)=e+Ini=e〉°,

2x

故存在％oG(-/1),使|i(xo)=0,BP%0e°+lnx0=0,

即cp(x)在(0,xo)上单调递减，在(xo++°°)上单调递增,

故cp(x)><p(xo),

x

由久（）2靖。+lnx0=0,贝!J%（）e%。=—包出=/n—•eof

xo%o

令3（x）=f（x）+l=xex（X>O）,则有3（%o）=3（仇白）,

o）'（％）=f'（x）=（x+1）e^,当x>0时，3,（x）>0恒成立,

1

故3（X）在（0,+8）上单调递增，故％0=仇一,即/巾0=-冗0,

x0

1

一㈣1”=「环-3-。=。+—=1,

则9（%0）=e%。

%oxox0x0x0x0

即cp（x）的最小值为1；

（3）令h（尤）=f（%）-g（x）=xe）c-1-lnx-^mx=0（x>0）,

即有一TH=靖一号一］="⑺,

即函数。（X）的零点个数为（p（X）=-"的实数根的个数，

由（2）知，（p（x）在（0,xo）上单调递减，在（xo,+°°）上单调递增，且（p（xo）=1,

又当工-0时，（P（%）f+8,当入一+8时，（p（%）f+8,

故当-m=1,即m=-1时，（p（x）=-m有唯一实数根，

当-m>l,即m<-1时，cp（x）=-m有两实数根，

当-m<1,即m>-1时，<p（x）=-m无实数根，

即当m=-1时，函数h（x）有一个零点，

当m<-1时，函数h（龙）有两个零点,

当m>-1时，函数h（九）无零点.

【点评】本题考查了函数导数的综合应用，属于难题.

19.（17分）（2024•聊城模拟）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记

作A,Bi,P,B2,Ci,。1,Q,Q,。3.一个机器人从区域产出发，每经过1秒都从一

个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.

（1）分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域;

（2）求经过2秒机器人位于区域。的概率；

（3）求经过〃秒机器人位于区域。的概率.

A

【考点】几何概型.

【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；概率与统计；数

学运算.

【答案】(1)机器人经过2秒可能位于尸，Q,Qi；经过3秒可能位于A,Bi,B2,CI,

Ci,Ci.

1

(2)

6

11

(3)当〃为奇数时，所求概率为0；当w为偶数时，所求概率为0)2.

【分析】(1)根据题意中机器人的运动规律，结合所给图形写出答案；

(2)计算出机器人经过1秒机器人位于区域比的概率，再根据下1秒机器人从法运动

到。的概率，进而利用概率的乘法公式算出答案；

(3)根据机器人的运动路线，设经过"秒机器人位于区域。的概率为斯，分”为奇数

和偶数两种情况加以讨论，利用全概率公式算出递推关系，结合等比数列的通项公式，

算出斯的表达式，从而得出本题答案.

【解答】解：(1)根据题意，经过2秒机器人可能位于的区域为P,Q,0；

经过3秒机器人可能位于的区域为A,Bi,Bi,Ci,C2,C1.