江西省上饶市余干县蓝天实验学校2023-2024学年高二（下）期中数学试卷

第1页（共1页）江西省上饶市余干县蓝天实验学校2023-2024学年高二（下）期中数学试卷一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．（5分）在数列，，，2，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（）A． B． C． D．2．（5分）下列数列中等差数列的是（）A．an＝3n+1 B． C．an＝log2n+1 D．3．（5分）已知等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，则a1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（5分）在数列{an}中，，a1＝2，则a10＝（）A．2 B． C． D．﹣15．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（e2）′＝2e B．[（2x+7）2]′＝2（2x+7） C．（cos2x）′＝2sin2x D．6．（5分）一个小球从5m的高处下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y＝﹣4.9t2，则t＝0.5s时小球的瞬时速度（单位：m/s）为（）A．﹣4.9 B．﹣9.8 C．4.9 D．9.87．（5分）已知函数f（x）的图象与直线4x﹣y﹣4＝0相切于点（2，f（2）），则f（2）+f′（2）＝（）A．4 B．8 C．0 D．﹣88．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则＝（）A． B． C． D．二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有（多选）9．（6分）下列叙述不正确的是（）A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．a，a，a，a，…是等比数列 C．数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n D．数列是递增数列（多选）10．（6分）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）A． B． C． D．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减 B．f（x）的最小值为0 C．f（x）的对称中心为（0，2） D．方程f（x）＝0有3个不同的解三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）在数列{an}中，，则通项公式an＝．13．（5分）如图所示为函数f（x）的图象，则不等式的解集为．14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且anan+1＝an+an+1，则a5＝，S40＝．四．解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列{an}的通项公式是．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？16．（15分）已知a1＝1，an+1＝an+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前10项和．17．（15分）等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（17分）已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程；（3）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程．19．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）在x＝1处取得极值，且对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．（5分）在数列，，，2，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（）A． B． C． D．【解答】解：数列，，，2，…，则该数列的通项为，第12个数为．故选：D．2．（5分）下列数列中等差数列的是（）A．an＝3n+1 B． C．an＝log2n+1 D．【解答】解：对于A，an+1﹣an＝3，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列．故选：A．3．（5分）已知等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，则a1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：由等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，又由，可得．故选：B．4．（5分）在数列{an}中，，a1＝2，则a10＝（）A．2 B． C． D．﹣1【解答】解：由题意，a1＝2，，，，故数列{an}的周期为3，故a10＝a7＝a4＝a1＝2．故选：A．5．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（e2）′＝2e B．[（2x+7）2]′＝2（2x+7） C．（cos2x）′＝2sin2x D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A选项，（e2）′＝0，A错误；B选项，[（2x+7）2]′＝2（2x+7）•2＝4（2x+7），B错误；C选项，（cos2x）′＝﹣sin2x•（2x）′＝﹣2sin2x，C错误；D选项，，D正确．故选：D．6．（5分）一个小球从5m的高处下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y＝﹣4.9t2，则t＝0.5s时小球的瞬时速度（单位：m/s）为（）A．﹣4.9 B．﹣9.8 C．4.9 D．9.8【解答】解：由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y＝﹣4.9t2，故y′＝﹣9.8t，故t＝0.5s时小球的瞬时速度为﹣9.8×0.5＝﹣4.9（m/s）．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）的图象与直线4x﹣y﹣4＝0相切于点（2，f（2）），则f（2）+f′（2）＝（）A．4 B．8 C．0 D．﹣8【解答】解：直线4x﹣y﹣4＝0的斜率为4，直线与函数f（x）的图象相切于点（2，f（2）），根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以f′（2）＝4，又点（2，f（2））在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2﹣f（2）﹣4＝0，所以f（2）＝4．则f（2）+f′（2）＝8．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，因为，所以，令，则，变形可得．故选：C．二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有（多选）9．（6分）下列叙述不正确的是（）A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．a，a，a，a，…是等比数列 C．数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n D．数列是递增数列【解答】解：对于A：1，3，5，7与7，5，3，1显然不是相同的数列，因为顺序不一样，故A错误；对于B：当a＝0时常数数列a，a，a，a，…不是等比数列，故B错误；对于C：数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n﹣1，故C错误；对于D：因为，又n∈N*，函数f（x）＝x2+x﹣1在上单调递增且f（1）＝12+1﹣1＝1＞0，所以n2+n﹣1＞0，所以，即，所以数列是递增数列，故D正确．故选：ABC．（多选）10．（6分）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）A． B． C． D．【解答】解：对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，A是；对于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，B是；对于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，C是；对于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合题意，D不是．故选：ABC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减 B．f（x）的最小值为0 C．f（x）的对称中心为（0，2） D．方程f（x）＝0有3个不同的解【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x+2，对于A：f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，且f（﹣1）＝4＞0，f（1）＝0，可画出函数f（x）的大致图象如图所示，故A正确；对于B：此函数无最小值，故B错误；对于C：f（x）+f（﹣x）＝4，故C正确；对于D：根据图象可知f（x）有2个不同的解，故D错误．故选：AC．三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）在数列{an}中，，则通项公式an＝．【解答】解：因为，即，则，，，•••，，，所以上述（n﹣1）个式子左右分别相加得：an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+an﹣2﹣an﹣3+⋯+a3﹣a2+a2﹣a1＝，即（n≥2），又因为a1＝2，所以（n≥2），当n＝1时，也满足上式，所以通项公式．故答案为：．13．（5分）如图所示为函数f（x）的图象，则不等式的解集为．【解答】解：由f（x）的图象可得f（x）在，（2，+∞）上单调递增，在上单调递减，所以当时，f′（x）＞0，当x∈时，f′（x）＜0，因为，所以或，即或或，解得1＜x＜2或，所以原不等式的解集为．故答案为：．14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且anan+1＝an+an+1，则a5＝3，S40＝90．【解答】解：当n＝1时，可得，当n＝2时，可得a3＝3，依次可求得，依此类推可知该数列的周期为2，所以a5＝3，．故答案为：3；90．四．解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列{an}的通项公式是．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是．∴这个数列的第4项是：a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．（2）＝150，即n2﹣7n﹣144＝0，解得n＝16或n＝﹣9（舍），∴150是这个数列的项，是第16项．16．（15分）已知a1＝1，an+1＝an+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前10项和．【解答】解：（1）依题意，由an+1＝an+2及a1＝1，可知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝1+2•（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由题意，设数列{an}的前n项和为Sn，则由（1）及等差数列的求和公式，可得＝＝100．17．（15分）等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列，∴2（a3+2）＝a2+a4，∴2（4a1+2）＝2a1+8a1，∴a1＝2，又q＝2，∴an＝2n；（2）∵bn＝log2an+an＝n+2n，∴＝．18．（17分）已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程；（3）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程．【解答】解：（1）由A（0，0）在曲线y＝f（x）上，可得0＝0+a，即a＝0，则f（x）＝x3；（2）f（x）的导数为f′（x）＝3x2，可得曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为3，则切线方程为y+1＝3（x+1），即为3x﹣y+2＝0；（2）设切点为（m，n），可得n＝m3，则切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m），代入E（2，0），可得0﹣m3＝3m2（2﹣m），解得m＝0或m＝3，则切线的方程为y＝0或y＝27x﹣54．19．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）在x＝1处取得极值，且对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，，令f′（x）＝0可得x＝1，故当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；（2）由f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）可得：函数定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令f′（x）＜0，解得；令f′（x）＞0，解得，此时函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上可得：当a≤0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；当