2017-2018学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只

有一个选项符合题目要求.

1.（5分）己知集合用={#（;<1},N={x\2x>1},则MCN=（）

A.0B.{x|x<0}C.{x\x<1}D.{x|0<x<l}

2.（5分）若复数Z满足（3-4/）Z=14+3/1，则Z的共枕复数的虚部为（）

A.4B.AC.-4D.-A

55

3.（5分）下列命题中正确命题的个数是（）

①命题“若7-3x+2=0,则x=r的逆否命题为“若X#1,则f-3X+2H0”；

@“a^O”是“。2+a#0”的必要不充分条件；

③若pAq为假命题，则p,〃均为假命题；

④命题p：3.WGR,使得x（）2+xo+lV0,则一^：VxGR,都有/+X+120.

A.1B.2C.3D.4

'x+2y41

4.（5分）若x、y满足约束条件，2x+y>-l.贝llz=3x-2y的最小值为（）

x-y<0

A.AB.-Ac.-5D.5

33

5.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A-2B.卷C2D.旨

6.（5分）设函数/（x）是定义在R上的奇函数，且当x20时，/（1）单调递增，若数列

{〃”}是等差数列，且〃3>0,则/（。1）+f（6Z2）+f（«3）4/（44）+/（«5）的值（）

A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负

7.(5分)已知函数/(x)=k>gzr+x,g(x)—2x+x,h(x)=log5x+x的零点依次为xi,X2,

X3,若在如图所示的算法中，令”=X1,b=X2,C=X3,则输出的结果是（）

开始

/输入a,b,c/

/输出a/

结束

A.XIB.X2C.X3D.X2或X3

8.（5分）已知函数/（x）=6fsiiw+Z?cosx（xGR）,若X=JCO是函数/（x）的一条对称轴，且

tanxo=2,则点（mb）所在的直线为（）

A.x-2y=0B.x+2y=0C.2x-y=0D.2x+y=0

22

9.（5分）设为，放分别为双曲线：号-号1Q〉O,b>0）的左右焦点，点22关于渐

近线的对称点恰好落在以Fi为圆心，|0为|为半径圆上，则双曲线的离心率为（）

A.3B.A/3C.2D.&

10.（5分）如图，面积为S的正方形A8CD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计

例的面积：在正方形A8CD中随机投掷"个点，若”个点中有初个点落入何中，则M

的面积的估计值为吗，假设正方形A3CQ的边长为2,M的面积为1,并向正方形A8CZ）

n

中随机投掷10000个点，用以上方法估计例的面积时，M的面积的估计值与实际值之差

在区间（-0.03,0,0.3）内的概率为（）

k

附表：P（%）=ytX0.25zX0.7510000z

乙5r0Go0

1=11

k2424242525742575

P（左）0.04030.04230.9570.9590

A.0.9147B.0.9167C.0.9187D.0.9287

11.（5分）己知不等式尤-在[0,2]上恒成立，且函数/（x）在（3,+

8）上单调递增，则实数机的取值范用为（）

3

A.（…，2）U（5,+8）B.（-8,1）u（5,e]

C.（-8,2）U（5,e2]D.（-8,2）U（5,?]

12.（5分）艾萨克•牛顿（1643年1月4日--1727年3月31日）英国皇家学会会长，英

国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数/

f（x）

（x）零点时给出一个数列｛x“｝：满足xq=xx-我们把该数列称为牛顿数

n+1n（Xn）

歹（I.如果函数f（x）=ax1+bx+c（a>0）有两个零点1,2,数列｛初｝为牛顿数列，设

x-2

aGn-2—，已知0=1，物>2,｛〃"｝的前〃项和为S”贝1JS2018+I等于（）

nxn-l

A.2018B.2019C.22018D.22019

二、填空题（本题共4小题；每小题5分，共20分.请将正确答案填入答题卡中对应的位

置.）

13.（5分）记S”为等差数列｛即｝的前"项和.若“4+45=24,56=48,则｛a“｝的公差为.

14.（5分）设常数所R,若（7+2）5的二项展开式中一项的系数为一io,则.=.

x

15.（5分）已知长方体48CZ5-AIBICICI中，AB=5,AD=3,A4i=4,点M为A£>i的中

点，则三棱锥C-MB\C\的外接球的表面积为.

16.（5分）己知非零向量6?，而不共线，设而二,语卫反，定义点集4=5吗萼

m+1m+1|FP|

=里典｝,若对于任意的机》3,当为，F2&4且不在直线PQ上时，不等式斥下

|FQI12

川丽恒成立，则实数”的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=c(sinB+cosB).

(1)求NAC8的大小；

(2)若/ABC=/ACB,。为△ABC外一点，DB=2,£>C=1,求四边形ABAC面积的

最大值.

18.(12分)如图，已知四棱锥尸-43CD,B4_L平面A3CD,底面ABCD中，BC//AD,AB

LAD,且R4=AO=A8=22C=2,阳为的中点.

(1)求证：平面PCMJ_平面以。

(2)问在棱PD上是否存在点Q,使尸。，平面CMQ,若存在，请求出二面角P-CM

-Q的余弦值：若不存在，请说明理由.

19.(12分)某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分

布N(170.5,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测

学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组

[157.5,162.5),第2组[162.5,167.5),…,第6组[182.5,187.5],如图是按上述分组

方法得到的频率分布直方图.

(I)试评估该校高三年级男生的平均身高；

(II)求这50名男生身高在177.5a”以上(含177.5cm)的人数；

(III)在这50名男生身高在177.5c制以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人，该2人

中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为讲求S的分布列和数学期望.

参考数据：若孑〜N(R,。2),则尸。<WWu+。)=0.6826,P(H-2o<^g+2

。）=0.9544,P（ji-3。＜$+3。）=0.9974.

20.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是椭圆M：2_+2_=1(a>6>0)的

bz

右焦点，且两曲线有公共点(2,2返).

33

(1)求椭圆M的方程；

(2)椭圆M的左、右顶点分别为Ai,A2,若过点8(4,0)且斜率不为零的直线/与椭

圆M交于P,Q两点，已知直线AiP与A2Q相交于点G,试判断点G是否在一定直线上？

若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.

21.(12分)已知函数f(x)=/-ax2,g(x)=xlnx-x2+(e-1)x+1,且曲线y=f(x)

在x=l处的切线方程为y=bx+l.

(1)求a,b的值；

(2)求函数/(X)在［0,1］上的最小值：

(3)证明：当x>0时，g(x)W/(x).

选修题：［选修4-4：坐标系与参数方程］(请考生在第22.23题中任选一题作答.注意：只

能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所

选题后的方框涂黑)

22.(10分)已知直角坐标系中动点P(1+cosa,sina)参数a€［0,2ir］,在以原点为极点，

x轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点。(p,0)在曲线Csine_cos0=^

aP

上

(1)在直角坐标系中，求点P的轨迹E的方程和曲线C的方程

(2)若动点尸的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知。>0,b>0,c>0f函数/(x)=c+\ci-x\+\x+b\.

(1)当a=/?=c=l时，求不等式f(x)>3的解集；

(2)当/(x)的最小值为3时，求a+6+c的值，并求」:+2+工的最小值.

abc

2017-2018学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只

有一个选项符合题目要求.

1.（5分）已知集合用={41<1},N={x|2x>l},则MCIN=（）

A.0B.{x|x<0}C.{x\x<1}D.{A|0<X<1}

【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出MAN.

【解答］解：N={x|2*>l}={4r>0}

：历={小<1},

.".MnN={X|0<X<l}

故选：D.

【点评】本题考查利用指数函数的单调性解指数不等式、考查利用交集的定义求两个集

合的交集.

2.（5分）若复数Z满足（3-4/）Z=14+3/1,则Z的共辆复数的虚部为（）

A.4B.AC.-4D.-A

55

【分析】把给出的等式两边同时乘以二求出分子的模后利用复数代数形式的除法运

3-4i

算化简，再求出Z的共轨复数，则答案可求.

【解答】解：由（3-4/）Z=14+3/1，

得|4+3i|八/42+32

3-4i3-4i

=5（3+4i）_5（3+4i）,34.

（3-4i）（3+4i）=~25-

•534.

“Z石万广

；.z的共飘复数的虚部为一£

5

故选：D.

【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题.

3.（5分）下列命题中正确命题的个数是（）

①命题“若/-3x+2=0,则x=l”的逆否命题为“若xWl,则7-3x+2W0”；

②“aWO”是“J+aKO”的必要不充分条件；

③若p/\q为假命题，则p,夕均为假命题；

④命题p：9xoGR.使得x（）2+xo+l<O,则~>：VxeR,都有/+x+l）O.

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根据逆否命题的定义进行判断.

②根据充分条件和必要条件的定义进行判断.

③根据复合命题真假关系进行判断.

④根据含有量词的命题的否定进行判断.

【解答】解：①命题“若/-3x+2=O,则x=l”的逆否命题为“若xWl,贝ij/-3x+2

WO"：故①正确，

②由/+4#0得-1且aNO,是“M+a¥。”的必要不充分条件；故②正确,

③若0八4为假命题，则p,q质数有一个为假命题；故③错误，

④命题p：mxoCR,使得x（）2+xo+l<O,则-'p：MveR,都有/+x+l，0.故④正确，

故正确的是①②④，

故选：C.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系，充分条件和必要条件的

判断以及复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，难度不大.

'x+2y4l

4.（5分）若x、y满足约束条件，2x+y>-l）则z=3x-2y的最小值为（）

x-y<0

A.AB.-AC.-5D.5

33

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.

'x+2y4l

【解答】解：由约束条件，2x号》-l作出可行域如图：

x-yCO

联立（x+2y=l,解得A（-i,i）.

l2x+y=~l

化目标函数z=3x-2y为）=旦乂二"，

2x2

由图可知，当直线y=^x-j■过4时，直线在>轴上的截距最大，

z有最小值为-5.

故选：C.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

5.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该凡何体的体积为（）

C.2

【分析】画出几何体的直观图，根据柱体和椎体的体积公式计算即可.

【解答】解：由三视图知几何体的直观图如图所示：

一个三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，

卜=丫浓柱-丫-：核嫉=^X2Xix2-7X-J-Xixix1=孕,

2326

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题关键是判断几何体的形状

及数据所对应的几何量.

6.（5分）设函数/（X）是定义在R上的奇函数，且当x'O时，/（x）单调递增，若数列

｛“"｝是等差数列，且03>0,则f（41）4/（42）4/（43）+f（tZ4）+f（«5）的值（）

A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负

【分析】利用函数的奇偶性以及函数的单调性，结合等差数列的性质以及函数的性质推

出结果即可.

【解答】解：根据题意，/（X）在R上单调递增，

且图象关于原点对称，不妨令f（X）的图象如图：

等差数列｛4"｝中，a\+45—ai+M=243>0,

由对称性，得f（<?l）+f（。2）+f（43）+f（44）+f（。5）>0.

故选：A.

【点评】本题考查数列与函数相结合，数列的简单性质的应用，考查计算能力.

7.（5分）已知函数/（x）=log2x+x,g（x）=2x+x,h（x）=k）g5x+x的零点依次为xi,xi,

X3,若在如图所示的算法中，令a=xi,b—xi,C—X3,则输出的结果是（）

开始

/输入a,b,c/

/输出a/

结束

A.xiB.X2C.X3D.%2或X3

【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，由程序算法的

功能即可得解.

【解答】解：函数f(x)=1og»+x=0,f(A)=-l+_L=-i<0,/(1)=1>0,

222

可得函数的零点满足：1<XI<1,

2

函数g(x)=2x+x,g(-1)=A-1=--L<0,g(0)=l>0,可知函数的零点X2<O；

22

函数刀(x)=log5x+jc=0,h(A)=-1+_L=-A<0,h(—)=log5—+—=..->0,

55522221g5

可得函数的零点满足：1<X3<X

52

则X2<X3<X\,

模拟执行程序算法，可得程序算法的功能是输出三个数中最大的数，

由题意可得：XI.

故选：A.

【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，

解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围.

8.(5分)已知函数/(x)=as\nx+bcosx(xER),若x=xo是函数f(x)的一条对称轴，且

taaro=2,则点(a,b)所在的直线为()

A.x-2y=0B.x+2y=0C.2x-y=0D.2x+y=0

【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论.

【解答】解：/(X)—asinx+bcosx,"£inn+】cos。）.

aJ

令sina=-=则cosa=-?=即tana=A,

22

Va+bb

则f(x)=^a2+^2cos(x-a),

由x-a=Ki,得x=a+匕i,依Z,

即函数的对称轴为x=a+E,kEZ,

,・”=刈是函数f(x)的一条对称轴，

.•.M)=a+E,贝ijtarLvo=tana=A=2,HPa=2b,

b

即a-20=0,

则点(mb)所在的直线为x-2y=0,

故选：A.

【点评】本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式

将函数进行化简是解决本题的关键.

22

9.(5分)设F1,放分别为双曲线：号_号1心＞0,b〉0)的左右焦点，点尸2关于渐

近线的对称点恰好落在以Fl为圆心，|0Fi|为半径圆上，则双曲线的离心率为()

A.3B.V3C.2D.A/2

【分析】求出尸2到渐近线的距离，利用尸2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OFi|

为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率.

【解答】解：由题意，Fi(-c,0),尸2(c,0),

则F2到渐近线hx-ay=0的距离为-厂bJ=也

Vb2+a2

设尸2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于4,

：.\MF2\=2b,A为F2M的中点,

又。是F1F2的中点，.•.NRMF2为直角，

.♦.△MF1F2为直角三角形，

由勾股定理得4c2-2+4■，

.'.3c2—4(c2-a2),/.C2=4<72,

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属

于中档题.

10.(5分)如图，面积为S的正方形A8CO中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计

M的面积：在正方形ABC。中随机投掷〃个点，若〃个点中有个点落入M中，则M

的面积的估计值为史S,假设正方形ABCQ的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCQ

n

中随机投掷10000个点，用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差

在区间(-0.03,0,0.3)内的概率为()

k

附表：P(%)=YrtX0.25fX0.7510000

乙J10000

1=1

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.9570.9590

A.0.9147B.0.9167C.0.9187D.0.9287

【分析】由题意知本题符合二项分布，再根据所给的公式代入数据进行运算，解题过程

中注意表中所给的数据，需要正确应用.

【解答】解：每个点落入M中的概率均为尸=」~=上，

2X24

依题意知X〜B(10000,-1),

4

EX=10000xA=2500；

4

则所求的概率为P(-0.03<—*-X4-K0.03),

10000

：.P(-0.03<―上—X4-K0.03)=P(2425<X<2575)

10000

2574

X0.25,X0.75I0000

L10000

,2426

25742425

=寸X「tX0.25*0.751°0°°]-寸X0.25zX0.7510000''

乙cL乙「

t=0ioooot=0

=0.9570-0.0423

=0.9147.

故选：A.

【点评】本题考查了运用概率知识解决实际问题的能力，以及独立重复试验的应用问题.

11.（5分）已知不等式x-1<依-2JC|在［0,2］上恒成立，且函数/（x）在（3,+

8）上单调递增，则实数加的取值范用为（）

A.（-8,2）U（5,+8）B.（-oo,1）U（5,e3］

C.（-8,2）U（5,e2］D.（-o0,2）U（5,e3］

【分析】去掉绝对值后转化为最值可得，”>5或者m<l；函数f（x）在（3,+8）上递

增，转化为导函数大于等于零恒成立，再转化为最值.

【解答】解：因为不等式x-1（依-2x|在［0,2］上恒成立,

所以m>3x-1或者m<x+\在［0,2］上恒成立，

所以m>5或者机<1,

又因为/.（X）=y-〃优在（3,+°°）上单调递增，

所以/（%）=-—%20,即mW/在（3,+00）上恒成立，

所以m^e\

综上所述：实数的取值范围是：（-8,1）u（5,e3］.

故选：B.

【点评】本题考查了函数恒成立问题.属基础题.

12.（5分）艾萨克•牛顿（1643年1月4日--1727年3月31日）英国皇家学会会长，英

国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f

f(x)

(x)零点时给出一个数列*“｝：满足x,=x-n，我们把该数列称为牛顿数

x

n+1n1(Xn)

列.如果函数f(x)=a^+bx+c(a>0)有两个零点1,2,数列(切｝为牛顿数列，设

二1•，

已知m=l,而>2,｛板｝的前〃项和为则S2018+1等于()

a

nxn-1

A.2018B.2019D.2刈9

【分析】由已知得到a,h,c的关系，可得f(x)-3改+2〃，求导后代入

，整理可得X吧二2=至三)2,两边取对数，可得@=ln^工

xn+l-xn

Xn+1-1x/1nXn-1

是以2为公比的等比数列，再由等比数列的前〃项和求解得答案.

【解答】解：••,函数/(x)=a^+bx+c(«>0)有两个零点1,2,

...fa+b+c=0,解得：fc=2a,

[4a+2b+c=0lb=-3a

:.于(x)-36+2。，

则，(x)=2ax-3a.

222

,axn-3axn+2axn-3xn+2xn-2

贝Ux“X------------=x———--=——，

n+1xn2ax_3an2x:32x「3

nnn

.xn+l_(X/2)2

&+「1xn-1

则｛1二£13_｝是以2为公比的等比数列,

XnT

x-2

7a=ln------7'且m=L

nxn-1

数列｛m｝是以1为首项，以2为公比的等比数列,

.1X(1-22018)

+1=22018

1-2

故选：C.

【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，属中档题.

二、填空题(本题共4小题；每小题5分，共20分.请将正确答案填入答题卡中对应的位

置.)

13.（5分）记S为等差数列｛如｝的前〃项和.若“4+45=24,16=48,则的公差为4.

【分析】等差数列｛“”｝的公差设为乩运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可

得到所求首项和公差.

【解答】解：等差数列｛"”｝的公差设为“，

由。4+。5=24,$6=48,

可得2m+7d=24,6ai+Lx6X5d=48,

2

解得d=4,ai--2,

故答案为：4.

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力,

属于基础题.

14.（5分）设常数aER,若（7+2）5的二项展开式中一项的系数为-io,则.

x

【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求

得x?的系数，列出方程求解即可.

5

【解答】解：（x2^）的展开式的通项为％1=C5A102'（A）r=C5"03V

XX

令10-3「=7得厂=1,

7

Ax的系数是aC5'

的系数是-10,

；.心=-10,

解得a--2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式

的特定项问题的工具.

15.（5分）已知长方体ABC。-AiBCiOi中，AB=5,AD=3,A4=4,点M为ADi的中

点，则三棱锥C-MBi。的外接球的表面积为.

~16—

【分析】首先发现球心在过B1C的中点N且垂直平面8CC1B1的直线上，然后设半

径列方程，得解.

【解答】解：

Cl

如图，取BiC的中点N,连接MN,

易知MN_L平面BCC\B\,

则球心。在MN上，

设球半径为r,

在RtAOZVC中，(5-r)2+■生=/，

4

解得r=至，

8

,外接球面积为4nx625=6252L>

6416

故答案为：6252L

16

【点评】此题考查了三棱锥外接球的半径的求法，球面积公式等，难度不大.

16.(5分)已知非零向量加，65不共线，设祈=_!-语」5_而，定义点集A={用吗誓

m+1m+1|pp|

=吗旦_},若对于任意的〃?23,当尸i,尸2€A且不在直线PQ上时，不等式IT

IFQI1

M西恒成立，则实数X的最小值为_3_.

【分析】根据条件可得MF平分NPFQ,故而F到P、Q的距离比为相，求出F的轨迹,

得出Fi尸2的最大值，得出k关于m恒成立的式子，利用单调性求出k的最小值.

【解答】解：♦.•而=-1-语上石3，Q,M三点共线，

m+1m+1

cosZPFM=cosZMFQ,

|FP||FQ|

:.FM为NPFQ的角平分线.

由而而+_2-而可得：

m+1m+1

MP=OP-OM=-^^

m+1

•.•—FP二—MP—一nif

FQMQ

以PQ为x轴，以PQ的中垂线为y轴建立平面坐标系，

22

设PQ=2a(a>0),F(x,y),则(空)?=6+a)+y；

FQ(x-a)2+y2

整理得：G-a(m2+l))2+丫2=4m2a2,

m2-l(m2-l)2

2

二产的轨迹是圆心为(一式眼+D,0),半径为①_的圆.

212

m-1m-11

...冷旦_W2hn即上亘成立，

21211

m-J.m-1m—

m

9

设/(m)=—^(m23),则/(相)在［3,+8)上单调递减,

m—

m

：.f(m)的最大值为f(3)=3.

4

故答案为：3.

【点评】本题考查向量共线定理的运用，考查向量的数量积的几何意义，以及角平分线

的性质定理，同时考查函数的单调性的运用，属于难题.

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=c（sinB+cosB）.

(1)求/ACB的大小；

(2)若/ABC=/ACB,。为△4BC外一点，DB=2,DC=\,求四边形A8DC面积的

最大值.

【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosCsinB=sinBsinC,

结合sinC¥O,可求tanACB=l,结合范围NAC86（0,n）,即可求得NAC8的值.

（2）由已知利用余弦定理可得8c2=12+22-2X1><2><cos£）=5-4cos。，由已知及（1）

可知/AC8=2L,利用三角形面积公式可求S.8C,S^BDC,从而可求S四边形，根据正弦

4

函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值.

【解答】解：⑴在△ABC中，•..“=，（sinB+cosB）,

AsinA=sinC（sinB+cosB）,…（1分）

sin（ir-B-C）=sinC（sinB+cosB）,

sin（B+C）=sinC（sinB+cosB）,…（2分）

/.sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinCcosB,（3分）

cosCsinB=sinBsinC,

又•：BE（0,n）,故sinBWO,…（4分）

AcosC=sinC,B|JtanC=1.…（5分）

XVCG（0,Tl）,

：.C=—.…（6分）

4

（2）在△BCD中，DB=2,DC=\,

.\BC2=l2+22-2X1X2XCOSD=5-4cosD.…（7分）

又/ABC=/ACB,由（1）可知/ACB=2L,

4

...△ABC为等腰直角三角形，…（8分）

2

/.5AABC=^XSCXA.XBC=ABC=A-cosD,…（9分）

2244

又；SZ\BOC=4XBOXOCXsinD=sin£）,—（10分）

2

，S四边形ABOC=5-cos£）+sin£）=5+\/^sin（D-…（11分）

444

.•.当。=卫和寸，四边形ABQC的面积有最大值，最大值为总+&.…（12分）

【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础

知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中

档题.

18.（12分）如图，已知四棱锥P-ABCD,«4_L平面4BCO,底面ABC。中，BC//AD,AB

±AD,且用=AO=AB=2BC=2,M为A。的中点.

（1）求证：平面PCM_L平面出。；

（2）问在棱PD上是否存在点Q,使尸力，平面CMQ,若存在，请求出二面角P-CM

-Q的余弦值：若不存在，请说明理由.

C

【分析】（1）由布_L平面ABCD,得B4_LA8,再由AB_LAO,可得A8_L平面B4Z）,利

用已知证明四边形A8CM为平行四边形，得A8〃CM,从而得到CM,平面外力，再由

面面垂直的判定可得平面PCMJ•平面PAD-,

（2）由（1）知，CMLPD,过M作MQ_LP£）,则PO_L平面CMQ,且/尸河。为二面

角P-CM-Q的平面角，然后求解三角形可得二面角P-CM-Q的余弦值.

【解答】证明：（1）：以1.平面48。£）,，以_148,

又ABJ_4O,ELPAC\AD=A,

平面PAD,

VBC//AD,AM=^jy）=BC，

二四边形ABCM为平行四边形，则AB〃CM,

平面PAD,

；CMu平面PCM,

二平面PCM_L平面PAD；

解：（2）由（1）知，CMA.PD,

过M作MQ±PD,则PO_L平面CMQ.

且NPM。为二面角P-CM-。的平面角，

由已知用=2,AM=\,得PM=遥，PD=2V2,

则A到PD的距离”=我，

:.MQ=^.

在RtaPMQ中，可得尸（2={5'=^4

.,PQ3^/10

..COS/pUQ=-i-2_v±v.

UPM=10_

即二面角P-CM-Q的余弦值为至ID.

【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

19.（12分）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分

布N（170.5,16）.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测

学生身高全部介于157.5c”?和187.5c〃?之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组

[157.5,162.5）,第2组[162.5,167.5）,…，第6组[182.5,187.5],如图是按上述分组

方法得到的频率分布直方图.

（I）试评估该校高三年级男生的平均身高；

（II）求这50名男生身高在177.5c,“以上（含177.5cm）的人数；

（III）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人

中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为讲求W的分布列和数学期望.

参考数据：若W〜。2）,则尸（|1-。V《Wu+。）=0.6826,P（口-2o<tWp+2

。）=0.9544,P（四-3。V?WH+3。）=0.9974.

【分析】（/）计算平均身高用组中值X频率，即可得到结论；

（〃）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组

中包含个体的个数；

根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男

生身高在177.5cm以上（含l17.5cm）的人数；

（〃/）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5a”以上的50人中的人数,

确定J的可能取值，求出其概率，即可得到《的分布列与期望.

【解答】解：（I）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为彳=160X0.02

X5+165X0.04X5+170X0.06X5+175X0.04X5+180X0.02X5+185X0.02X5=171.5,

高于全市的平均值170.5；（4分）

（II）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2,

二人数为0.2X50=10,

即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数为10人；…（6分）

（III）VP（170.5-3X4<^170.5+3X4）=0.9974,

：.P（我182.5）=卜0.小优⑶

2

.,•0.0013X1（X）000=130,

全省前130名的身高在182.5era以上，这50人中182.5c，”以上的有5人；

随机变量S可取0，I,2,于是

CcnCcCccCc

P9=0）=T-=W,p（《=1）=33=2,p（J=2）=Y-=，

f299「2

^10v10^10

；.欧=0义2+1X_L+2X2=1.—（12分）

999

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的期望与方

差的计算问题，属于中档题.

22

20.（12分）已知抛物线C：y1=2px（p>0）的焦点是椭圆M：2_+2_=1的

abz

右焦点，且两曲线有公共点（2,2返）.

33

（1）求椭圆M的方程；

（2）椭圆M的左、右顶点分别为Ai,A2,若过点B（4,0）且斜率不为零的直线/与椭

圆M交于P,Q两点，己知直线A1P