专题04 集合与常用逻辑用语（能力测评卷）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

章末检测（一)集合与常用逻辑用语◎◎◎◎◎◎能力测评卷◎◎◎◎◎◎(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】因为A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.2．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|1≤x≤2} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x<2}【答案】D【解析】∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．3．“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵“”⇒“”，“”⇒“或”，∴“”是“”的充分不必要条件．故选A.4．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在(0，＋∞)上有解”的否定是()A．∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0B．∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0C．∃x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0D．∀x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0【答案】B【解析】原命题即“∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2＝0”，其否定为“∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0”．5．若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝()A．{1，2，3} B．{0，1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】由y＝|x＋1|，x∈A，知当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3.故得集合B＝{0，1，2，3}，故选C.6．2019年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为()A．7 B．8C．10D．12【答案】B【解析】由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.7．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}【答案】C【解析】因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．故选C.8．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有()A．5个 B．6个C．7个 D．8个【答案】D【解析】U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2，1，3}时，P＝{－3，－1，0，2}；当∁UP＝{－2，1}时，P＝{－3，－1，0，2，3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个，选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列命题正确的是()A．存在x<0，x2－2x－3＝0B．对于一切实数x<0，都有|x|>xC．∀x∈R，＝xD．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm【答案】AB【解析】因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x0＝－1<0，使－2x0－3＝0，故A为真命题；B显然为真命题；因为＝|x|，故C为假命题；当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题．10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≥11C．a≥10 D．a≤10【答案】BC【解析】当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9a≥11，a≥11⇒a≥9，选B、C.11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．1 B．－1C．0 D．2【答案】ABC【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法，其中正确的是()A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集【答案】AD【解析】数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是________．【答案】∃x∈R，x2－2x＋1<0【解析】该命题为全称量词命题，其否定命题为存在量词命题：∃x∈R，x2－2x＋1<0.14．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N⃘M，则a的取值为________．【答案】4【解析】①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1，2，3，－1}，显然N⊆M，不合题意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，N⊆M，舍去．当a＝4时，M＝{1，2，4，3}，满足要求．15．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】{m|m>2}【解析】由p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，q是p的必要不充分条件，即3<m＋1，即m>2.16．(一题两空)已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.(1)A∩M＝________；(2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________．【答案】(1){x|－3<x<5}(2){b|－2≤b<－1}【解析】(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}．(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R.所以，解得－2≤b<－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下列命题中，判断p是q的什么条件，并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．【解析】(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．18．(本小题满分12分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．【解析】(1)由于2的倒数为，不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈B，则必有∈B，现已知集合B中含有3个元素，故必有1个元素a＝，即a＝±1.故可以取集合B＝或或等．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.【解析】(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.检验知a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈(A∩B)，∴a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知a＝－3.20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－6或x>1}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．【解析】(1)因为A∩B＝∅，所以，解得－6≤a≤－2，所以a的取值范围是{a|－6≤a≤－2}．(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1，所以a的取值范围是{a|a<－9或a>1}．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解析】(1)∵A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}．∵A＝{x|3≤x<7}，∴∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(2)如图所示，当a>3时，A∩C≠∅.故a的取值范围为{a|a>3}．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，