高二数学选择性教学设计83正态分布

8.3正态分布江苏省姜堰第二中学丁连根教学目标：1．认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义；2．掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．教学重点：正态曲线的特点及曲线所表示的意义．教学难点：在实际中什么样的随机变量服从正态分布．教学过程一、问题情境1．前面讨论的二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据（《数学（必修第二册）》第245页习题8）：6.026.016.045.945.975.965.986.015.986.026.006.036.075.976.016.006.035.956.006.006.055.936.025.996.005.956.005.975.965.976.036.016.005.996.046.006.025.996.035.982．你能确定测量一次，其测量的长度在区间(5.97，6.03)上的概率吗？二、学生活动要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率直方图．三、建构数学这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显．可以设想，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．图832从图832可以看出，曲线存在一条过曲线峰顶的对称轴，数据的平均值就在曲线峰顶在x轴上的垂直投影处，在平均值附近的值相对较多，而远离平均值的值相对较少，即很小或很大的数据值所占的比例差不多且很小．函数（x∈R）的图象与上述曲线非常吻合，我们将该函数的图像称为正态密度曲线．这里有两个参数和，其中．图833如图833，不同的和对应着不同的正态密度曲线．正态密度曲线图象具有如下特征：（1）当时，曲线上升；当时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；（2）正态曲线关于直线对称；（3）越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P(a＜X≤b)是正态密度曲线下方和轴上（a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为和的正态分布(normaldistribution)，简记为X～．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如，反复测量某一个物理量，其测量误差通常服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重，近似地服从正态分布；某地每年1月份的平均气温T，也可以认为近似地服从正态分布．若X～，则随机变量X在的附近取值的概率很大，在离很远处取值的概率很小．图835具体地，如图835，随机变量X取值落在区间内的概率约为68.3%；落在区间内的概率约为95.4%；落在区间内的概率约为99.7%．事实上，μ就是随机变量X的均值，就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．对于节首问题，由于随机的测量误差，使得测量的长度L服从均值为6的正态分布，再用样本方差估计总体方差，得σ≈0.031．故随机测量一次，其测量的长度在区间(5.97，6.03)上的概率约为68.3%．我们将正态分布N(0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表(见附录)可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．四、数学应用例1已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：（1）P(Z≤1.52)；（2）P(Z＞1.52)；（3）P(0.57＜Z≤2.3)；（4）P(Z≤－1.49)．解：（1）P(Z≤1.52)＝0.9357．（2）P(Z＞1.52)＝1－P(Z≤1.52)＝1－0.9357＝0.0643．（3）P(0.57＜Z≤2.3)＝P(Z≤2.3)－P(Z≤0.57)＝0.9893－0.7157＝0.2736．（4）P(Z≤－1.49)＝P(Z≥1.49)＝1－P(Z≤1.49)＝1－0.9319＝0.0681．例2某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求：（1）随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；（2）随机抽取1罐，共净重在179g与189g之间的概率．解：（1）＝1－P(Z≤0.2)．（2）P(179＜Z≤189)＝P(＜≤)＝P(－2＜Z≤2)＝P(Z≤2)－P(Z≤－2)＝P(Z≤2)－P(Z≥2)＝P(Z≤2)－[1－P(Z≤2)]＝2P(Z≤2)－1＝2×0.9772－1＝0.9544．答：随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率是0.4207，在179g与189g之间的概率是0.9544．在实际生活中遇到的很多随机现象，随机变量大体都满足其取值以某个值为中心且左右对称这种特性，一般都可以尝试用正态分布来描述这个随机变量的取值规律．数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，那么这样的随机变量服从正态分布.特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的的分布都将趋近于正态分布．练习：1．已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：（1）P(Z≤2.57)；（2）P(Z＜0.5)；（3）P(Z＞－1.5)；（4）P(2＜Z＜2.9)；（5）P(－2＜Z≤2.9)．2．已知随机变量～N(2，2.52)，查标准正态分布表，求：（1）；（2）;（3）．3．某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是100kg/cm2，测量记录精确到50kg/cm2．（1）求抗拉强度超过10150kg/cm