2023-2024学年河南省周口市淮阳区九年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年河南省周口市淮阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）1．（3分）下列根式中属最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（）A．3 B． C． D．4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝（）A． B． C． D．5．（3分）下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C．“任意购买一张电影票，座位号是3的倍数”为随机事件 D．“概率为0.0001的事件”是不可能事件6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝9．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（）A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3） B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3） C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2） D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）10．（3分）下列说法正确的是（）A．A，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1：5000，则A，B两地实际距离为35m B．若AB＝1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则 C．任意两个菱形都相似 D．有一个角相等的两个等腰三角形相似二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个比大且比小的整数为．12．（3分）如图，斜坡AB的坡度是1：2，如果点B离地面的高度BC是3米米．13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，ED⊥AB于点D，若BC＝10，DE＝4，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点E、F分别是AB、BC上的动点，使点B落在AC上的点B'处，当△AEB'是直角三角形时．三、解答题（本题8个小题，共75分）16．（12分）计算或解方程．（1）计算：；（2）计算：；（3）解方程：2x2﹣x﹣15．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．18．（9分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝1019．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种．其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，手势相同部分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）乙每次做出“布”手势的概率为．（2）用画树状图或列表的方法，求甲不输的概率．20．（9分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°，到达B处时，测得∠EBC＝48°，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）21．（9分）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝2．则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE（1）若，求AB的长度；（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．23．（10分）下面是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°求证：．证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（1）如图②，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，连结CD，将△ACD沿CD折叠，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE＝．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高线，G是CE的中点，CD＝AE．若AB＝10，则cos∠BCE＝．2023-2024学年河南省周口市淮阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）1．（3分）下列根式中属最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则不是．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝，可化简；C、＝＝2；D、＝＝3；故选：A．【点评】最简二次根式是本节的一个重要概念，也是中考的常考点．最简二次根式应该是：根式里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数中不含开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．2．（3分）一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【解答】解：由题意得，，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（）A．3 B． C． D．【分析】直接利用平分线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝（）A． B． C． D．【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．【解答】解：A．观察图形可得tanα＝；B．观察图形可得tanα＝；C．观察图形可得tanα＝；D．观察图形可得tanα＝．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．5．（3分）下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C．“任意购买一张电影票，座位号是3的倍数”为随机事件 D．“概率为0.0001的事件”是不可能事件【分析】根据概率的意义、随机事件的概念解答即可．【解答】解：A．投掷硬币是随机事件，但任意掷一枚质地均匀的硬币10次，说法错误；B．明天的降水概率为40%，说法错误；C．“任意购买一张电影票，说法正确；D．“概率为5.0001的事件”是事件事件，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了概率的意义以及随机事件，概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．概率取值范围：0≤p≤1．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于sinα的一元一次方程，解之即可得出sinα的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角a的度数，继而得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝5有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣）2﹣7×1×sinα＝0，即7﹣4sinα＝0，解得：sinα＝，∴锐角α等于30°，则锐角α的余角等于60°，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝8，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣8＝3，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．8．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，∠ADE＝55°，∴sin55°＝，cos55°＝，故选：B．【点评】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．9．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（）A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3） B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3） C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2） D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）【分析】根据轴对称，中心对称，旋转变换的性质一一判断即可．【解答】解：A．点A与点B关于x轴对称，﹣3）；B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，2）；C．点A与点B关于原点中心对称，﹣8）；D．点A先向上平移3个单位，则点B的坐标为B（2，故本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查轴对称，中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握轴对称，中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．10．（3分）下列说法正确的是（）A．A，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1：5000，则A，B两地实际距离为35m B．若AB＝1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则 C．任意两个菱形都相似 D．有一个角相等的两个等腰三角形相似【分析】根据比例的性质和图形相似的判定求解．【解答】解：A：5000×7÷100＝350（m），故A是错误的；B：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB2＝AB•BC，AC＝×AB＝；C：当两个菱形的角度不等时，不相似；D：若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，故D是错误的．故选：B．【点评】本题考查了图形的相似，理解图形相似的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个比大且比小的整数为2（或3）．【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可．【解答】解：∵1＜＜6＜4，∴比大且比．故答案为：3（或3）．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出和的大小是解答此题的关键．12．（3分）如图，斜坡AB的坡度是1：2，如果点B离地面的高度BC是3米3米．【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度AC的长，再利用勾股定理得出斜坡AB的长度．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2，∴＝，∵从点B测得离地面的铅垂线高度BC是3米，∴解得：AC＝5，则斜坡AB的长为：＝（米）．故答案为：8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理．掌握坡度的定义是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．【解答】解：P（灯泡发光）＝．故本题答案为：．【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，ED⊥AB于点D，若BC＝10，DE＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据相似三角形的判定与性质知△ABC∽△EBD，对应边成比例可得到BD的长度，根据三角形的面积公式得到大小三角形的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：∵∠ACB＝90°，ED⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，∵BC＝10，AC＝6，∴，∴，∴＝30，．∴阴影部分的面积为：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点E、F分别是AB、BC上的动点，使点B落在AC上的点B'处，当△AEB'是直角三角形时或4（﹣1）．【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，再根据折叠的性质得到BE＝B′E，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△AB′E恰好为直角三角形，有两种可能：①∠AB′E＝90°，②∠AEB′＝90°，设BE＝x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝4，∴AC＝＝＝2，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的B′处，根据折叠的性质：BE＝B′E，设BE＝x，则B′E＝x，①当∠AB′E＝90°时，则B′E∥BC，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝，∴AB′＝；②当∠AEB′＝90°时，则△AEB′∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝2（﹣5），∴AB′＝4（﹣8），故所求AB′的长度为：或4（．故答案为：或4（．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．三、解答题（本题8个小题，共75分）16．（12分）计算或解方程．（1）计算：；（2）计算：；（3）解方程：2x2﹣x﹣15．【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）原式＝＝＝1；（3）∵2x4﹣x﹣15，∴（2x+5）（x﹣8）＝0，∴2x+2＝0或x﹣3＝8，解得x1＝﹣2.6，x2＝3．【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝﹣1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）6﹣4×1×（m﹣4）＝4m2+3m+1﹣4m+6＝4m2+5＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x4+x2+3x3x2＝﹣1得﹣（7m+1）+3（m﹣7）＝﹣1，解得m＝6．【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．18．（9分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝6，AB＝10，∴＝，解得：x＝6，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．19．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种．其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，手势相同部分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）乙每次做出“布”手势的概率为．（2）用画树状图或列表的方法，求甲不输的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出甲不输的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）乙每次做出“布”手势的概率为；故答案为：；（2）画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中甲不输的有2种，则甲不输的概率是＝．【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（9分）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°，到达B处时，测得∠EBC＝48°，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再利用已知求出BC的长，然后再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10，∵AB＝10米，∴BC＝AC﹣AB＝20（米），在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈6.9（米），∴广告牌ED的高度约为4.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（9分）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝2．则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0是“隔根方程”，求m的值．【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝﹣4，然后根据“隔根方程”的定义计算判断；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝﹣m，x2＝1，则根据“隔根方程”的定义得到﹣m＝1+2或﹣m+2＝1，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；理由如下；（x﹣3）（x+4）＝0，x﹣4＝0或x+4＝7，解得x1＝5，x4＝﹣4，∵5﹣（﹣8）＝9≠2，∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；（2）x2+（m﹣4）x﹣m＝0，（x+m）（x﹣1）＝3，x+m＝0或x﹣1＝3，解得x1＝﹣m，x2＝2，当﹣m＝1+2时，解得m＝﹣4；当﹣m+2＝1时，解得m＝2综上所述，m的值为﹣3或1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE（1）若，求AB的长度；（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及勾股定理求解；（2）根据勾股定理及三角函数的意义求解．【解答】解：过B作BF⊥AC于F，过D作DH⊥BF，∴∠BFC＝∠ABC＝90°，DH∥AC，∴DE∥BF，∵点D为BC的中点，∴E平分CF，H平分BF，∵DE⊥AC于点E，∴△CDE∽△DBH（AAS），四边形DEHF为矩形，∴BH＝DE＝FH＝2，∴BF＝4；（1）∵，∴CE＝4，∴EF＝BF＝8，AF＝2，∴AB＝2；（2）∵∠C＝30°，∴CD＝4，CE＝2，∴D