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第八章立体几何初步探究课3祖暅原理与柱体、锥体的体积知识提炼01祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.典例探究02【典例】利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时,可以构造如图②所示的几何体M,几何体M的底面半径和高都为R,其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面,请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明.[解]
由题图可知,图①几何体为半径为R的半球,图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥,与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分).证明如下:在图①中,设截面圆的圆心为O1,易得截面圆O1的面积为π(R2-d2),在图②中,截面截圆锥得到的小圆的半径为d,所以,圆环的面积为π(R2-d2),所以,截得的截面的面积相等.对点训练031.“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:两个等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上,用平行于平面β且与β任意距离d处的平面截两个几何体,可横截得到一个圆面和一个圆环面,可以证明S圆=S环总成立.据此,当b=2cm,a=3cm时“椭半球体”的体积是(
)√A.4πcm3
B.8πcm3
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